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直线的方程与线性代数表示
适用范围
本文主要讨论二维欧氏平面 $\mathbb{R}^2$中的直线，并适当推广至三维空间$\mathbb{R}^3$ 及高维。所有系数均为实数，且定义直线的方程中关键系数不全为零。内容以教科书严密性为标准，适合作为复习或自学笔记。
1 二维直线的表达形式
1.1 一般式（普遍式）
定义 1.1（一般式）
设 $A, B$ 不同时为零，则方程 $$Ax + By + C = 0 \tag{1.1}$$ 在平面上确定的点集称为一条直线。向量 $\mathbf{n} = (A, B)$ 称为该直线的法向量（垂直于直线）。
解释：
- 当 $A = 0$且$B \neq 0$时，方程化为$y = -\frac{C}{B}$，表示一条平行于 $x$ 轴的直线。
- 当 $B = 0$且$A \neq 0$时，方程化为$x = -\frac{C}{A}$，表示一条平行于 $y$ 轴的直线。
- 直线的方向向量可取为 $\mathbf{v} = (B, -A)$，因为 $\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = A B + B(-A) = 0$。
- 改写为内积形式：$\mathbf{n} \cdot (x, y) = -C$。这表明直线是 $\mathbb{R}^2$中满足一个线性方程的点集，是一个一维仿射子空间（当$C=0$ 时退化为过原点的线性子空间）。
例 1.1
直线 $2x + 3y - 6 = 0$，法向量 $\mathbf{n} = (2,3)$，方向向量可取 $(3, -2)$。该直线在 $x$轴上的截距为$3$（令 $y=0$得$x=3$），在 $y$轴上的截距为$2$（令 $x=0$得$y=2$）。
1.2 斜截式
定义 1.2（斜截式）
若直线不垂直于 $x$轴（即$B \neq 0$），则可将一般式解出 $y$，得到 $$y = mx + b \tag{1.2}$$ 其中 $m = -\dfrac{A}{B}$ 称为斜率，$b = -\dfrac{C}{B}$ 称为 $y$截距（直线与$y$ 轴交点的纵坐标）。
局限性：斜截式无法表示垂直于 $x$轴的直线（即$x = c$ 型）。
斜率的意义：设直线上两点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$（$x_1 \neq x_2$），则 $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
1.3 点斜式
定义 1.3（点斜式）
给定直线上一点 $P_0(x_0, y_0)$和斜率$k$，则直线方程为 $$y - y_0 = k(x - x_0) \tag{1.3}$$
若直线有非零方向向量 $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$（即 $k = v_2/v_1$当$v_1 \neq 0$），点斜式可写成对称形式： $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} \quad (v_1, v_2 \neq 0) \tag{1.4}$$ 当 $v_1 = 0$时直线为$x = x_0$，$v_2 = 0$时直线为$y = y_0$。
例 1.2
过点 $(1,2)$且斜率为$-1$ 的直线：$y-2 = -(x-1)$，即 $x+y-3=0$。
1.4 两点式
定义 1.4（两点式）
已知直线上两个不同点 $P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则直线方程为 $$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \neq x_2,\thickspace y_1 \neq y_2) \tag{1.5}$$
线性代数形式：利用行列式，两点式可等价表示为 $$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 \newline x_2 - x_1 & y_2 - y_1 \end{vmatrix} = 0 \tag{1.6}$$ 该行列式的值为零表示向量 $\overrightarrow{P_1P} = (x-x_1, y-y_1)$与方向向量$\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1)$ 共线（线性相关）。当某分母为零时，可直接用行列式形式处理，无需额外讨论。
1.5 截距式
定义 1.5（截距式）
若直线在 $x$轴和$y$轴上的截距分别为$a \neq 0$和$b \neq 0$，则方程可写为 $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \tag{1.7}$$
适用条件：直线必须与两坐标轴均相交且不经过原点，因此不能表示水平线（$y = b$）、竖直线（$x = a$）或过原点的直线。
例 1.3
直线过点 $(3,0)$和$(0,2)$，截距式：$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1$，可化为一般式 $2x + 3y - 6 = 0$。
1.6 法线式（Hesse 标准形式）
定义 1.6（法线式）
取单位法向量 $\mathbf{n}_0 = (\cos\theta, \sin\theta)$，设原点到直线的距离为 $p \geq 0$，则直线方程为 $$x\cos\theta + y\sin\theta - p = 0 \tag{1.8}$$
优点：该形式可直接给出任意点 $(x_0,y_0)$ 到直线的带符号距离： $$d = x_0\cos\theta + y_0\sin\theta - p$$ 绝对值 $|d|$就是点到直线的欧氏距离。若$d > 0$，点在法向量所指的一侧；$d < 0$ 则在另一侧。
从一般式到法线式：将 $Ax + By + C = 0$两端除以$\sqrt{A^2+B^2}$，并调整符号使常数项为非正，即得： $$\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} x + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} y + \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} = 0$$ 此时 $(\cos\theta, \sin\theta) = \left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)$，$p = -\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}$（需保证 $p \ge 0$，若 $C>0$则整体乘以$-1$）。
1.7 参数方程（向量形式）
定义 1.7（参数方程）
设直线上一定点 $P_0(x_0,y_0)$和非零方向向量$\mathbf{v} = (v_1, v_2)$，则直线上任一点可表示为 $$\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \newline y = y_0 + t v_2 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \tag{1.9}$$ 或写成向量形式： $$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v} \tag{1.10}$$
这是线性代数中最核心的直线表示。它清晰地表明：
- 直线是 $\mathbb{R}^2$ 中一维仿射子空间。
- $t$ 可视为直线上的一维坐标（仿射参数）。
- 当 $\mathbf{r}_0 = \mathbf{0}$时，直线经过原点，成为由$\mathbf{v}$ 张成的一维线性子空间。
例 1.4
过点 $(1,2)$，方向向量为 $(2,1)$ 的直线参数方程： $$\begin{cases} x = 1 + 2t \newline y = 2 + t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$ 消去 $t$得$x - 1 = 2(y - 2)$，即 $x - 2y + 3 = 0$。
1.8 极坐标方程
定义 1.8（极坐标方程）
在极坐标系 $(\rho, \varphi)$ 中，一条不通过极点的直线可表示为 $$\rho \cos(\varphi - \theta) = p \tag{1.11}$$ 其中 $p > 0$ 是极点到直线的距离，$\theta$ 是直线法向量与极轴的夹角。
推导：将直角坐标的 Hesse 法线式 $x\cos\theta + y\sin\theta = p$代入$x = \rho\cos\varphi,\thickspace y = \rho\sin\varphi$，得 $$\rho(\cos\varphi\cos\theta + \sin\varphi\sin\theta) = \rho\cos(\varphi - \theta) = p$$
如果直线通过极点（$p=0$），则方程简化为 $\cos(\varphi - \theta) = 0$，即 $\varphi = \theta \pm \frac{\pi}{2}$，表示一条过极点且与方向 $\theta$ 垂直的直线。
2 线性代数视角下的直线
2.1 齐次方程与非齐次方程
考虑二元线性方程： $$ax + by = c \tag{2.1}$$
- 若 $c = 0$，则方程 $ax + by = 0$的解集是$\mathbb{R}^2$的一个一维线性子空间（过原点直线）。其全部解可写为$t(-b, a)$，即由向量 $(-b, a)$ 张成。
- 若 $c \neq 0$，则方程 $ax + by = c$的解集是上述子空间的一个陪集，即一条仿射直线，可表示为特解$\mathbf{x}_0$ 加上齐次解的通解：$\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + t(-b, a)$。
特解的求法：取其中一个变量为方便值（如 $x=0$解得$y = c/b$，若 $b \neq 0$），即得特解。
线性代数的统一观点
直线的不同表达形式最终都可统一为： $$\lbrace \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 \mid \mathbf{n} \cdot \mathbf{x} = d \rbrace \quad \text{或} \quad \lbrace \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v} \mid t \in \mathbb{R} \rbrace $$ 前者是基于法向量的隐式方程（余维数为 1），后者是基于方向向量的参数化表示（维数为 1）。
2.2 二维直线作为超平面
在 $\mathbb{R}^2$中，直线是由单个线性方程$\mathbf{n}\cdot\mathbf{x} = d$定义的超平面（余维数 1）。其法向量$\mathbf{n}$张成一维正交补空间。直线的方向向量集合即为$\lbrace \mathbf{v} \mid \mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = 0 \rbrace $，构成一维子空间。
2.3 三维空间中的直线
在 $\mathbb{R}^3$ 中，一条直线不能仅由一个线性方程描述（因为单个方程描述的是平面，余维数 2 才得到直线）。通常有两种等价表示方法。
2.3.1 参数方程（点向式）
三维参数方程
已知点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$和非零方向向量$\mathbf{v} = (a,b,c)$，则直线方程为 $$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}, \quad t \in \mathbb{R} \tag{2.2}$$ 即 $$\begin{cases} x = x_0 + at \newline y = y_0 + bt \newline z = z_0 + ct \end{cases}$$ 当 $a,b,c$ 均不为零时，可写对称式： $$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \tag{2.3}$$
2.3.2 两平面交线
两平面交线
直线也可由两个不平行（且不重合）的平面方程联立给出： $$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \newline A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} \tag{2.4}$$ 设系数矩阵 $M = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \newline A_2 & B_2 & C_2 \end{pmatrix}$。当 $\operatorname{rank}(M) = 2$ 时，两平面不平行，其交集为一条直线。
- 方向向量：可取两平面法向量 $\mathbf{n}_1 = (A_1,B_1,C_1)$与$\mathbf{n}_2 = (A_2,B_2,C_2)$ 的叉积： $$\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 \tag{2.5}$$
- 求一点：可固定一个变量（如令 $z = 0$），解出 $x,y$，得到直线上一个特解。
例 2.1
求两平面 $x+y+z=1$与$x-y=0$ 的交线。 法向量叉积：$\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = (1,1,1) \times (1,-1,0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \newline 1 & 1 & 1 \newline 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (1, 1, -2)$。 令 $z=0$，由两方程得 $x+y=1$且$x-y=0$，解得 $x=0.5, y=0.5$，故一点为 $(0.5,0.5,0)$。 交线参数方程：$\mathbf{r}(t) = (0.5, 0.5, 0) + t(1, 1, -2)$。
2.4 点到直线的距离
距离公式
点 $P(x_0,y_0)$到直线$Ax+By+C=0$ 的距离为 $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \tag{2.6}$$ 该公式可推广至 $\mathbb{R}^n$中的超平面$\mathbf{n}\cdot\mathbf{x} = d$（$\mathbf{n}$为法向量），点$\mathbf{x}_0$的距离为$\frac{|\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}_0 - d|}{\Vert\mathbf{n}\Vert}$。
三维点到直线的距离：若直线由点 $\mathbf{r}_0$和方向向量$\mathbf{v}$给定，点$P$ 到直线的距离为 $$d = \frac{\Vert (\mathbf{p} - \mathbf{r}_0) \times \mathbf{v} \Vert}{\Vert \mathbf{v} \Vert} \tag{2.7}$$ 即平行四边形面积除以底边长。
2.5 齐次坐标与射影直线（选读）
在射影几何中，平面上的点用齐次坐标 $(X,Y,W) \neq (0,0,0)$表示，等价类$(X,Y,W) \sim (\lambda X, \lambda Y, \lambda W)$。直线由齐次线性方程定义： $$l_1 X + l_2 Y + l_3 W = 0 \tag{2.8}$$
- 当 $W \neq 0$时，对应通常仿射坐标$(x,y) = (X/W, Y/W)$，方程化为 $l_1 x + l_2 y + l_3 = 0$。
- $W = 0$的点称为无穷远点，满足$l_1 X + l_2 Y = 0$，对应仿射直线的方向。平行线族可视为交于同一个无穷远点，无穷远点的全体构成无穷远直线 $W = 0$。
这一框架将仿射直线统一为三维线性空间中过原点的二维子空间与 $W=1$ 平面的交线，展示了线性代数在几何统一性中的强大力量。
3 总结与联系
| 方程类型 | 适用条件 | 表达式 | 线性代数含义 |
|---|---|---|---|
| 一般式 | $A,B$不全为 0 | $Ax+By+C=0$ | $\mathbf{n}\cdot\mathbf{x} = -C$ |
| 斜截式 | $B \neq 0$ | $y = mx + b$ | 函数图像 |
| 点斜式 | 已知点和斜率 | $y-y_0 = k(x-x_0)$ | 平移的方向向量表示 |
| 两点式 | 已知两点 | $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ | 共线条件 (行列式) |
| 截距式 | $a,b \neq 0$ | $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ | 特殊的一般式 |
| 法线式 | 任意直线 | $x\cos\theta+y\sin\theta = p$ | 单位法向量与正交投影 |
| 参数式 | 已知点与方向 | $\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$ | 一维仿射子空间 |
| 三维交面式 | 两平面不平行 | 联立方程组 (秩 2) | 两超平面的交集 |
| 极坐标式 | 不过极点 | $\rho\cos(\varphi-\theta)=p$ | 法线式的极坐标翻译 |
核心思维
- 参数方程与一般式是两种基本视角：向量生成 与 超平面约束。
- 所有二维直线的方程均可相互转化，其本质都是 $\mathbb{R}^2$ 中一维仿射子空间的代数描述。
- 将直线提升至线性代数层次，可自然推广到高维（超平面、仿射空间、射影空间），是数学统一性的体现。
常见误区
- 斜截式 $y=mx+b$ 无法表示竖直线，需用一般式或参数式补全。
- 截距式同样有局限性，不能包含过原点或平行于坐标轴的直线。
- 三维空间中一个线性方程表示平面而非直线，直线需两个方程联立或一个参数方程。