学习笔记

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素数分布与解析数论初步（Prime Distribution & Analytic Number Theory） ​

核心定位

素数分布是数论中既深刻又优美的主题。Euclid 证明素数无穷，Euler 用 $\sum 1/p$ 发散给出第二个证明，Chebyshev、Riemann、Hadamard、de la Vallée-Poussin 等用解析方法建立了素数定理。本笔记系统介绍素数分布的核心定理、$\zeta$ 函数、Dirichlet 素数定理、筛法入门，以及它们在高联二试、TST、Putnam 等高档次竞赛中的应用，与 数论函数与欧拉定理、组合数论：卢卡斯与库默尔、数论不等式与估计 紧密相连。

一、素数无穷性 ​

1.1 Euclid 证明 ​

Euclid 定理

素数有无穷多个。

证明：假设素数有限 $p_1, p_2, \ldots, p_n$。考虑 $N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$。$N$不能被任何$p_i$整除（余数均为$1$），故 $N$ 要么本身是素数，要么有不在列表中的素因子，矛盾。

1.2 Euler 证明（发散级数） ​

Euler 定理

$$\sum_{p \text{ 素}} \frac{1}{p} = +\infty$$

证明：用 Euler 乘积 $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-1}}$$ 左边发散（调和级数）。若 $\sum 1/p$收敛，则$\prod (1 - 1/p)^{-1}$ 收敛，矛盾。

Euler 证明的深化

$\sum_{p \le x} 1/p = \ln \ln x + M + o(1)$，其中 $M$是 Meissel-Mertens 常数$\approx 0.2615$。这给出素数密度的精确渐近。

1.3 其它证明 ​

Fermat 数证明

Fermat 数 $F_n = 2^{2^n} + 1$满足$\gcd(F_m, F_n) = 1$（$m \ne n$）。每个 $F_n$ 至少有一个素因子，这些素因子互不相同，故素数无穷。

递推证明

定义 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = a_1 a_2 \cdots a_n + 1$。$\gcd(a_i, a_j) = 1$，每个 $a_n$ 至少一个素因子，素数无穷。

Dirichlet 素数定理（1837）

对互素的正整数 $a, q$（$\gcd(a, q) = 1$），等差数列 $a, a+q, a+2q, \ldots$ 中含有无穷多个素数。

这是素数分布的高峰之一，证明需要 $L$ 函数理论。

二、Euler 乘积与 $\zeta$ 函数 ​

2.1 $\zeta$ 函数定义 ​

Riemann $\zeta$ 函数

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \quad (\operatorname{Re} s > 1)$$

收敛性：当 $\operatorname{Re} s > 1$时绝对收敛，且可解析延拓到$\mathbb{C} \setminus \lbrace 1\rbrace $（$s = 1$为简单极点，留数$1$）。

2.2 Euler 乘积 ​

Euler 乘积

对 $\operatorname{Re} s > 1$： $$\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$

证明：$\dfrac{1}{1 - p^{-s}} = 1 + p^{-s} + p^{-2s} + \cdots$。乘积展开后由 整除与同余基础 中的算术基本定理（每个 $n$ 唯一分解）即得。

对数导数： $$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}$$ 其中 $\Lambda(n)$ 是 von Mangoldt 函数（$n = p^k$时$\Lambda(n) = \ln p$，否则 $0$）。

2.3 $\zeta$ 在整数点的值 ​

$\zeta(2k)$ 的 Euler 公式

$$\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\quad \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\quad \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},\quad \zeta(2k) = (-1)^{k+1} \frac{B_{2k} (2\pi)^{2k}}{2 (2k)!}$$ 其中 $B_{2k}$ 是 Bernoulli 数。

$\zeta(3)$ 的 Apéry 值

$\zeta(3) \approx 1.2020569$。Apéry（1978）证明 $\zeta(3)$ 是无理数。$\zeta(5), \zeta(7), \ldots$ 的有理性至今未解决。

Euler 求 $\zeta(2)$

用 $\sin x / x$ 的无穷乘积： $$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}\right)$$ 比较 $x^2$ 系数：$-1/6 = -\sum 1/(n^2 \pi^2)$，故 $\zeta(2) = \pi^2/6$。

三、Chebyshev 估计与素数定理 ​

3.1 素数计数函数 ​

$\pi(x)$ 定义

$$\pi(x) = \#\lbrace p \le x : p \text{ 素}\rbrace $$

3.2 Chebyshev 估计 ​

Chebyshev 定理（1848）

存在常数 $c_1, c_2 > 0$使得对充分大$x$： $$c_1 \frac{x}{\ln x} \le \pi(x) \le c_2 \frac{x}{\ln x}$$

Chebyshev 取 $c_1 \approx 0.92$，$c_2 \approx 1.11$。

证明思路：用二项式系数 $\binom{2n}{n}$介于$4^n/(2n+1)$与$4^n$之间，结合其素因子分布得到$\pi(x)$ 的上下界。

3.3 素数定理（PNT） ​

素数定理（Hadamard, de la Vallée-Poussin, 1896）

$$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} \quad (x \to \infty)$$

等价地：$\pi(x) \sim \operatorname{Li}(x) = \int_2^x \dfrac{dt}{\ln t}$（对数积分）。

证明核心：$\zeta(s)$在$\operatorname{Re} s \ge 1$上无零点（除了$s = 1$的简单极点），由此推出$\psi(x) \sim x$，进而 $\pi(x) \sim x / \ln x$。其中 $\psi(x) = \sum_{p^k \le x} \ln p$ 是 Chebyshev 函数。

PNT 的等价形式

  • $\psi(x) \sim x$（Chebyshev 第二函数的渐近）
  • $\theta(x) = \sum_{p \le x} \ln p \sim x$
  • $\pi(x) \sim x / \ln x$
  • $p_n \sim n \ln n$（第 $n$ 个素数的渐近）

3.4 误差项与 Riemann 假设 ​

Riemann 假设（RH）

$\zeta(s)$的所有非平凡零点都位于直线$\operatorname{Re} s = 1/2$ 上。

RH 与 PNT 误差：RH 等价于 $$\pi(x) = \operatorname{Li}(x) + O(\sqrt{x} \ln x)$$

目前最佳无条件结果：$\pi(x) = \operatorname{Li}(x) + O(x \exp(-c \sqrt{\ln x}))$（Vinogradov-Korobov）。

计算 $p_n$

第 $1000$个素数约为$1000 \ln 1000 \approx 6908$。实际 $p_{1000} = 7919$。 第 $10^6$个素数约为$10^6 \ln 10^6 \approx 13.8 \times 10^6$。实际 $p_{10^6} = 15485863$。

四、Bertrand 假设 ​

Bertrand 假设（Chebyshev 证明, 1852）

对任意整数 $n \ge 1$，存在素数 $p$满足$n < p \le 2n$。

证明思路：用 $\binom{2n}{n}$ 的素因子分析。$\binom{2n}{n}$中的素因子$p$满足$p \le 2n$。如果所有素因子 $p \le n$，则 $\binom{2n}{n}$ 太小，矛盾。

Bertrand 假设应用

$n = 10$：素数 $11, 13, 17, 19$在$(10, 20)$ 内。$n = 100$：素数 $101, 103, \ldots, 199$在$(100, 200)$内（共$21$ 个）。

加强形式

  • Nagura（1952）：$n \ge 25$时$(n, 1.2n)$ 中有素数
  • 现代：对任意 $\epsilon > 0$，$n$充分大时$(n, (1+\epsilon) n)$ 中有素数（PNT 推论）

五、Dirichlet 级数与 $L$ 函数 ​

5.1 Dirichlet 特征 ​

Dirichlet 特征

模 $q$的 Dirichlet 特征$\chi: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ 满足：

  1. $\chi(n) = 0$当$\gcd(n, q) > 1$，否则 $|\chi(n)| = 1$
  2. 完全积性：$\chi(mn) = \chi(m) \chi(n)$
  3. 周期性：$\chi(n + q) = \chi(n)$

主特征 $\chi_0$：$\chi_0(n) = 1$当$\gcd(n, q) = 1$，否则 $0$。

例子：模 $4$ 有两个特征

  • $\chi_0$：主特征
  • $\chi_4$（非主）：$\chi_4(n) = \begin{cases} 1 & n \equiv 1 \pmod 4 \newline -1 & n \equiv 3 \pmod 4 \newline 0 & n \text{ 偶} \end{cases}$

5.2 Dirichlet $L$ 函数 ​

Dirichlet $L$ 函数

$$L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} = \prod_p \frac{1}{1 - \chi(p) p^{-s}} \quad (\operatorname{Re} s > 1)$$

关键性质：

  • 主特征：$L(s, \chi_0) = \zeta(s) \prod_{p \mid q} (1 - p^{-s})$
  • 非主特征：$L(s, \chi)$可解析延拓到整个$\mathbb{C}$，且在 $s = 1$ 处不为零（$L(1, \chi) \ne 0$）

5.3 Dirichlet 素数定理证明 ​

关键步骤：

  1. 用特征正交性提取等差数列的素数贡献： $$\sum_{\substack{p \le x \newline p \equiv a \pmod q}} \frac{1}{p^s} = \frac{1}{\varphi(q)} \sum_\chi \overline{\chi(a)} \sum_p \frac{\chi(p)}{p^s}$$
  2. 主特征项发散（类似 Euler 证明）
  3. 非主特征项收敛（因 $L(1, \chi) \ne 0$）
  4. 故等差数列中的素数倒数和发散，特别有无穷多

计算 $L(1, \chi_4)$

$L(1, \chi_4) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\chi_4(n)}{n} = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots = \pi/4$（Leibniz 公式）。

由此 $\sum_{p \equiv 1 \negthinspace\negthinspace\pmod 4} 1/p$与$\sum_{p \equiv 3 \negthinspace\negthinspace\pmod 4} 1/p$ 均发散。

六、素数分布的精细结果 ​

6.1 算术级数中的素数定理 ​

算术级数 PNT

对 $\gcd(a, q) = 1$： $$\pi(x; q, a) := \#\lbrace p \le x : p \equiv a \pmod q\rbrace \sim \frac{1}{\varphi(q)} \cdot \frac{x}{\ln x}$$

意义：素数在简化剩余类中均匀分布。

6.2 等差数列素数的常数偏差 ​

Chebyshev 偏差

Chebyshev 注意到 $3 \pmod 4$的素数似乎比$1 \pmod 4$多（"Chebyshev 偏差"）。Littlewood 证明$\pi(x; 4, 3) - \pi(x; 4, 1)$的符号变化无穷多次，但首次符号反转出现在极大数（Rubinstein-Sarnak 估计为$\sim 10^{312}$）。

6.3 素数间隙 ​

素数间隙

相邻素数差 $g_n = p_{n+1} - p_n$。

  • 上界：$g_n = O(p_n^{0.525})$（Baker-Harman-Pintz, 2001）
  • 平均：$g_n \sim \ln p_n$（PNT 推论）
  • 下界：$\liminf g_n / \ln p_n = 0$（Erdős, 1935）；更精细 $\liminf (p_{n+1} - p_n) \le 246$（Polymath 8, 2014，基于张益唐 2013 突破）

双生素数猜想

存在无穷多对素数 $(p, p+2)$。至今未证。Zhang (2013) 证明存在无穷多对素数差 $\le 70 \times 10^6$，Maynard-Tao 改进至 $\le 246$。

6.4 素数定理中的奇点 ​

Skewes 数

假设 RH，$\pi(x) < \operatorname{Li}(x)$的首个反例小于$e^{e^{e^{79.9}}}$；不假设 RH，小于 $e^{e^{e^{e^{7.705}}}}$。这些"Skewes 数"曾是数学中最大的具体数。

七、筛法简介 ​

7.1 Eratosthenes 筛 ​

Eratosthenes 筛法

列出 $2, 3, \ldots, N$。从 $2$开始，删除所有$2$的倍数（保留$2$）；下一个未删的数是 $3$，删除所有 $3$的倍数；继续直到$\sqrt{N}$。剩余的都是素数。

复杂度：$O(N \ln \ln N)$。

7.2 Selberg 筛与 Brun 筛 ​

Brun 定理（1919）

$$\sum_{p, p+2 \text{ 均素}} \left(\frac{1}{p} + \frac{1}{p+2}\right) < \infty$$

特别地，双生素数倒数和收敛（与单素数倒数和发散对比）。

这是 Brun 上筛的应用，说明双生素数"稀少"。

7.3 大筛法 ​

大筛法（Linnik, 1941）

设 $\mathcal{A}$ 是整数集，$P$是素数集。大筛法给出$|\mathcal{A}|$被$\lbrace p \in P\rbrace $ 上各剩余类分布的约束： $$\sum_{p \in P, p \le Q} p \sum_{a=1}^{p-1} \left|S(\mathcal{A}; p, a) - \frac{|\mathcal{A}|}{p}\right|^2 \le (N + Q^2) |\mathcal{A}|$$ 其中 $S(\mathcal{A}; p, a) = \#\lbrace n \in \mathcal{A} : n \equiv a \pmod p\rbrace $。

大筛法是 Bombieri-Vinogradov 定理的基础，是解析数论的核心工具。

7.4 陈景润定理 ​

陈景润定理（1973）

存在无穷多个素数 $p$使得$p + 2$ 是素数或半素数（两素数之积）。

这是筛法理论的巅峰成果之一。

八、模形式与 $\zeta$ 函数的零点 ​

8.1 函数方程 ​

$\zeta$ 的函数方程

完整化 $\xi(s) = \dfrac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)$ 满足 $$\xi(s) = \xi(1 - s)$$

即 $\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\negthinspace\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$。

8.2 平凡零点与非平凡零点 ​

$\zeta$ 的零点

  • 平凡零点：$s = -2, -4, -6, \ldots$（由 $\sin$ 因子产生）
  • 非平凡零点：位于临界带 $0 < \operatorname{Re} s < 1$ 内

Riemann-von Mangoldt 公式：非平凡零点数 $N(T) = \dfrac{T}{2\pi} \ln \dfrac{T}{2\pi} - \dfrac{T}{2\pi} + O(\ln T)$。

8.3 BSD 猜想与模形式 ​

椭圆曲线的 $L$函数与模形式的$L$函数相关（Wiles-Taylor 的模性定理，证明 Fermat 大定理的关键）。Birch-Swinneryer-Dyer 猜想将椭圆曲线的有理点群与$L(E, s)$在$s = 1$ 处的零点阶数联系起来。

九、典型例题 ​

例 1：$\pi(x)$ 估计

估计 $\pi(100)$与$\pi(1000)$。

解：$x / \ln x$：$\pi(100) \approx 100/\ln 100 \approx 21.7$（实际 $25$）；$\pi(1000) \approx 1000/\ln 1000 \approx 144.8$（实际 $168$）。

用 $\operatorname{Li}(x) = \int_2^x dt / \ln t$ 更精确：$\operatorname{Li}(100) \approx 30$，$\operatorname{Li}(1000) \approx 178$。

例 2：Bertrand 应用

证明 $n \ge 2$时$n!$与$(n+1)!$ 之间有素数。

解：由 Bertrand，$(n+1)!$与$2(n+1)!$间有素数$p$。$p > (n+1)! > n!$。或者直接用 $n < p \le 2n$（其中 $n$换成$n!$）：存在素数 $p$使$n! < p \le 2 n!$，而 $2 n! \le (n+1)!$（当 $n \ge 2$）。

例 3：Euler 乘积应用

证明 $\zeta(2) = \pi^2/6$推出$1 + 1/4 + 1/9 + \cdots = \pi^2/6$。

解：$\zeta(2) = \sum 1/n^2 = \pi^2/6$，由 Euler 乘积 $\zeta(2) = \prod_p 1/(1 - 1/p^2) = \prod_p p^2/(p^2 - 1)$。故 $$\prod_p \frac{p^2}{p^2 - 1} = \frac{\pi^2}{6}$$ 这是"素数的几何级数乘积 = $\pi^2/6$"的深刻结论。

例 4：素数倒数和发散

证明 $\sum_p 1/p = \infty$ 推出素数无穷。

解：若素数有限，则 $\sum_p 1/p$ 有限，矛盾。故素数无穷。

例 5：特征与 $L$ 函数

计算 $L(1, \chi_{-4})$，其中 $\chi_{-4}(n) = \left(\dfrac{-4}{n}\right) = \left(\dfrac{-1}{n}\right)$（即 $1, -1, 0$取决于$n \bmod 4$）。

解：$L(1, \chi_{-4}) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots = \arctan(1) = \pi/4$。

这是 Leibniz 公式，给出了 $\pi$ 的简单级数表示。

例 6：等差数列中的素数

求 $1 \pmod 4$与$3 \pmod 4$中不超过$100$ 的素数个数比。

解：$1 \pmod 4$：$5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97$共$11$个（加$2$不算$4k+1$或$4k+3$）。 $3 \pmod 4$：$3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83$共$13$ 个。 $3 \pmod 4$ 略多，体现 Chebyshev 偏差。

例 7：素数定理的等价

证明 $\theta(x) \sim x \iff \pi(x) \sim x / \ln x$。

解：$\theta(x) = \sum_{p \le x} \ln p$。用 Abel 求和： $$\theta(x) = \pi(x) \ln x - \int_2^x \frac{\pi(t)}{t} dt$$ 若 $\pi(x) \sim x/\ln x$，则 $\theta(x) \sim x - \int_2^x (1/\ln t) dt \sim x$。反之类似。

例 8：双生素数倒数和

已知 $\sum_{p, p+2 \text{ 素}} (1/p + 1/(p+2)) < \infty$（Brun）。求前几项和的近似值。

解：双生素数对 $(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), \ldots$ 前 $6$ 对贡献：$1/3 + 1/5 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 \approx 0.333 + 0.2 + 0.2 + 0.143 + 0.091 + 0.077 + 0.059 + 0.053 + 0.034 + 0.032 + 0.024 + 0.023 \approx 1.27$

Brun 常数 $B_2 \approx 1.90216$。

例 9：Mertens 定理

Mertens 第三定理：$\prod_{p \le x} (1 - 1/p) \sim e^{-\gamma} / \ln x$，其中 $\gamma$ 是 Euler-Mascheroni 常数。

验证：$x = 100$，$e^{-\gamma} \approx 0.5615$，$\ln 100 \approx 4.605$，预测 $0.5615/4.605 \approx 0.122$。实际：$\prod_{p \le 100} (1 - 1/p) \approx 0.120$。✓

十、与竞赛的联系 ​

10.1 一试常见 ​

  • 调和级数与素数倒数和的发散
  • $\zeta(2) = \pi^2/6$ 的应用
  • Bertrand 假设在存在性问题中的应用

10.2 二试与 TST ​

  • $\pi(x)$估计证明不等式（如$n! < n^n$ 的反例分析）
  • Dirichlet 素数定理在等差数列问题中的应用
  • 用 Chebyshev 估计证明素数无穷

10.3 高级竞赛 ​

  • RH 与素数分布的初等推论
  • 筛法在计数问题中的应用
  • 模形式与分拆数 $p(n)$ 的 Ramanujan 同余

十一、知识链接 ​

十二、mermaid 图：素数分布核心结构 ​

mermaid
graph TD
    A[素数分布]
    A --> B[素数无穷]
    B --> C[Euclid 证明]
    B --> D[Euler: sum 1/p = ∞]
    B --> E[Fermat 数证明]
    B --> F[Dirichlet: AP 中素数无穷]
    
    A --> G[计数函数 π x]
    G --> H[Chebyshev 估计: c1 x/ln x ≤ π ≤ c2 x/ln x]
    G --> I[素数定理 PNT: π ~ x/ln x]
    I --> J[ζ 函数零点分析]
    I --> K[Riemann 假设 RH]
    K --> L[误差项 O√x ln x]
    
    A --> M[等差数列素数]
    M --> N[Dirichlet L 函数]
    N --> O[L 1, χ ≠ 0]
    
    A --> P[素数间隙]
    P --> Q[Bertrand: n < p ≤ 2n]
    P --> R[双生素数猜想]
    R --> S[Brun 上筛: 倒数和收敛]
    R --> T[张益唐: 间隔 ≤ 70 × 10^6]
    T --> U[Maynard-Tao: ≤ 246]
    
    A --> V[筛法]
    V --> W[Eratosthenes 筛]
    V --> X[Selberg 筛]
    V --> Y[大筛法]
    V --> Z[陈景润: p + 2 素或半素]

十三、附录：常用 $\zeta$ 函数值与常数 ​

函数值数值
$\zeta(2)$$\pi^2/6 \approx 1.6449$
$\zeta(3)$$\approx 1.2021$（Apéry 常数，无理数）
$\zeta(4)$$\pi^4/90 \approx 1.0823$
$\zeta(6)$$\pi^6/945 \approx 1.0173$
$\zeta(1/2)$$\approx -1.4604$
$\zeta(-1)$$-1/12$（Ramanujan 求和基础）
$\zeta(-2n)$$0$（平凡零点）
Euler 常数 $\gamma$$\approx 0.5772$
Meissel-Mertens 常数$\approx 0.2615$
Brun 常数 $B_2$$\approx 1.9022$
$\operatorname{Li}(100)$$\approx 30$
$\operatorname{Li}(1000)$$\approx 178$

% 注：$\zeta(-1) = -1/12$ 在解析延拓意义下成立，是弦理论与 Ramanujan 求和的关键。

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