不等式

AM-GM不等式

$$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}>0,\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$$ $$\newline\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_{k} \geq \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} a_{k}}$$

证明:

当$n=2$时,不等式成立是容易看到的,这是由于$$(a_1+a_2)^2=a_1^2+2a_1a_2+a_2^2\geq 4a_1a_2$$两边同除以 $4$ 再开方即得结果。

由这个简单的结果，我们可以推广地证明不等式对所有 $n=2^k(k=1,2,\cdots)$也成立，事实上只需要把这$2^k$ 项不断地二分然后反复利用前述结果就够了，比如 $$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\geq \frac{2\sqrt{a_1a_2}+2\sqrt{a_3a_4}}{4}\geq\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}$$ 现在，我们只需再证明 $n\neq 2^k$时的情形。由于对每一个这样的$n$都可以找到$2^{k-1},2^k$将它夹住，即$2^{k-1}\leq n<2^k(k=1,2,\cdots).$这时，记$\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=\tilde{a},$ 则将有 $$\frac{a_1+\cdots+a_n+\overbrace{\tilde{a}+\cdots+\tilde{a}}^{2^k-n}}{2^k}\geq (a_1\cdots a_n\cdot \tilde{a}\cdots \tilde{a})^{\frac{1}{2^k}}$$ 亦即 $$\frac{a_1+\cdots+a_n+(2^k-n)\tilde{a}}{2^k}\geq (\tilde{a}^n\cdot \tilde{a}^{2^k-n})^{\frac{1}{2^k}}$$ 整理即得

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq \tilde{a}$$ 这就得证了。

应用

1. 概率论：在概率论中，AM-GM不等式被广泛应用于证明随机变量的期望值之间的关系。例如，它被用来证明对于任何非负实数随机变量X1, X2, ..., Xn，有E(X1+X2+...+Xn)>=(n/(n+1))*ΣXi。这个不等式在研究随机变量的期望值时非常有用，可以帮助分析和比较随机变量的加和情况，从而揭示随机事件发生的规律和特征。

2. 统计学：在统计学中，AM-GM不等式被用来估计总体的平均数。举例来说，当我们已知一个样本的平均数和标准差时，可以利用AM-GM不等式来估计总体的平均数，进而对总体的特征进行推断和分析，为统计推断提供重要的依据。

3. 经济学：在经济学领域，AM-GM不等式被应用于分析市场行为和价格变动。例如，它可以用于研究市场供需关系，推导出供给和需求的关联规律，进而指导市场调控和预测市场走势，对经济发展和政策制定具有重要意义。

4. 工程学：在工程学中，AM-GM不等式被用来优化设计和生产过程。举例而言，它可以应用于确定最优的生产计划，合理分配资源以达到最大的效率，同时在工程项目管理和优化设计中发挥重要作用，提高工程效益和资源利用率。

5. 计算机科学：在计算机科学领域，AM-GM不等式被用来分析和设计算法。例如，它可用于分析算法的时间复杂性，优化算法性能，提高计算效率，促进计算机科学与技术的发展和创新。

6. 生物学：在生物学中，AM-GM不等式被应用于分析生物种群的动态行为。例如，它可以用于研究种群的增长和衰退规律，种群的分布和迁移，从而深入理解生物种群的生态特征和演化规律，为生物学研究提供重要的定量分析工具。

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柯西不等式

柯西不等式的二维形式(常用):

对于任意实数 $a、b、c、d$ ，则 $$\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) \geq(a c+b d)^{2}$$ 当且仅当 $ad=bc$ 时成立。

柯西不等式的一般形式:

设 $n \geq 2$是正整数且$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} \in \mathbb{R}$, 则有:$$\large\color {Red}{ \left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right) \geq\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right)^{2}}$$ 当且仅当$$\dfrac{x_{1}}{y_{1}}=\dfrac{x_{2}}{y_{2}}=\ldots=\dfrac{x_{n}}{y_{n}}$$时取到等号。

[!直观一点] $\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}\right) \geq\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)^{2}$

当且仅当 $a_{i}=k b_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ 时，等号成立

二维形式的证明：$$\begin{aligned} (a^2+b^2)(c^2+d^2) &=a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2} \newline &=a^{2} c^{2}+2 a b c d+b^{2} d^{2}+a^{2} d^{2}-2 a b c d+b^{2} c^{2} \newline &=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2} \newline &\geqslant(a c+b d)^{2} \end{aligned}$$等号在且仅在$ad-bc=0$即$ad=bc$ 时成立。

一般形式的证明:

1. 构造二次函数 注意到柯西不等式是 $A\cdot C\geq B^2$的结构，这可以让我们联想到二次方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$ ，于是我们可以构造如下的二次函数： $$f(x)=\left(\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}\right)x^2+2\left(\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}\right)x+\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}$$

   注意到这个二次函数可以变形为： $$f(x)=\sum_{i=0}^{n}{\left(a_ix+b_i\right)^2}$$ 于是有 $f(x)$ 恒大于等于0，所以其判别式恒小于等于0，即： $$\left(2\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}\right)^2-4\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}\leq0$$ 变形即得柯西不等式.

2. 数学归纳法

   当n=2时，柯西不等式化为：

$$\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)\ge\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2$$

左式减去右式，得：

$$\begin{aligned} &\quad \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)-\left(a_1b_1+a_2b_2\right)^2\newline &=a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1a_2b_1b_2\newline &=\left(a_1b_2-a_2b_1\right)^2\newline &\ge0 \end{aligned}$$

于是，当n=2时，柯西不等式成立.

若n=k（k≥2，k∈N）时，柯西不等式成立. 则：

$$\begin{aligned} &\quad \sum_{i=1}^{k+1}{a_i^2}\sum_{i=1}^{k+1}{b_i^2}\newline &=\left(\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{k}{a_i^2}}\right)^2+a_{k+1}^2\right)\left(\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{k}{b_i^2}}\right)^2+b_{k+1}^2\right)\newline &\ge\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{k}{a_i^2}\cdot\sum_{i=1}^{k}{b_i^2}}+a_{k+1}b_{k+1}\right)^2\newline &\ge\left(\sum_{i=1}^{k+1}{a_ib_i}\right)^2 \end{aligned}$$

【第一个不等号是n=2时的柯西，第二个不等号是n=k时的柯西】

于是便证得了柯西不等式 3. 作差法

左式减去右式，得：

$$\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}-\left(\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}\right)^2$$

这里介绍一个求和之后相乘的小技巧——画表格.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \times&a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\newline \hline b_1^2&\newline\hline b_2^2\newline\hline b_3^2\newline\hline \vdots\newline\hline b_n^2\newline \end{array} - \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \times&a_1b_1&a_2b_2&a_3b_3&\cdots&a_nb_n\newline \hline a_1b_1&\newline\hline a_2b_2\newline\hline a_3b_3\newline\hline \vdots\newline\hline a_nb_n\newline \end{array}$$

注意到，主对角线上的数都形如 $a_i^2b_i^2$ ，所以左右可以抵消。

对于其他的数，我们可以对它们逐一考察，这里举一例如下：

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \times&a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\newline \hline b_1^2&&&a_3^2b_1^2\newline\hline b_2^2\newline\hline b_3^2&a_1^2b_3^2\newline\hline \vdots\newline\hline b_n^2\newline \end{array} - \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \times&a_1b_1&a_2b_2&a_3b_3&\cdots&a_nb_n\newline \hline a_1b_1&&&a_1a_3b_1b_3\newline\hline a_2b_2\newline\hline a_3b_3&a_1a_3b_1b_3\newline\hline \vdots\newline\hline a_nb_n\newline \end{array}$$

有 $a_1^2b_3^2+a_3^2b_1^2-2a_1a_3b_1b_3=\left(a_1b_3-a_3b_1\right)^2$ ，

所以不在主对角线上的数都可以按照这样的方式整理，于是：

$$\begin{aligned} &\quad\sum_{i=1}^{n}{a_i^2}\sum_{i=1}^{n}{b_i^2}-\left(\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}\right)^2\newline &=\sum_{i=1}^{n-1}{\sum_{j=i+1}^{n}{\left(a_ib_j-a_jb_i\right)^2}}\newline &\ge0 \end{aligned}$$

得证. 4. 均值不等式法（作商法）

考虑到均值不等式一般是形如“和≥积”的形式，我们把左式除过去【咳，偷一下小懒】：

$$\Leftrightarrow 1\ge\frac{\left(\sum{ab}\right)^2}{\sum{a^2}\sum{b^2}}$$

这里我们可以把“1”视为许多分式之和.

两边开方得：

$$\Leftrightarrow 1\ge\frac{\sum{ab}}{\sqrt{\sum{a^2}\sum{b^2}}}$$

我们注意到要凑出一些分式的和等于1，于是我们可以把这里的右式视为许多分式相加，每一个分式都是两个分式乘积.

$$\frac{\sum{ab}}{\sqrt{\sum{a^2}\sum{b^2}}}=\sum{\left(\frac{a}{\sqrt{\sum{a^2}}}\cdot\frac{b}{\sqrt{\sum{b^2}}}\right)}\le\sum\left( \frac{ {\frac{a^2}{\sum{a^2}}+\frac{b^2}{\sum{b^2}}}}{2} \right)=1$$

【这里利用了均值不等式 $ab\le\frac{a^2+b^2}{2}$ 】

于是得证.

当然，要补充说明一下，这里只证明了a、b都是正实数的情况. 对于全体实数，只需要在论证的过程中加上绝对值，并用绝对值不等式稍加修整即可，这里不再赘述.

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写在后面

这里介绍了四种证明柯西不等式的方法，各有千秋：

构造二次函数法可以提示我们在做一些外观上很像柯西，但又跟柯西有本质区别的题目时，可以类似地采用此法进行证明，比如证明阿采耳不等式：

$$a_i,b_i\in R^+(i=1,\cdots,n),且a_1^2-a_2^2-a_3^2-\cdots-a_n^2>0或b_1^2-b_2^2-b_3^2-\cdots-b_n^2>0.$$ 则\left(a_1^2-a_2^2-a_3^2-\cdots-a_n^2\right)\left(b_1^2-b_2^2-b_3^2-\cdots-b_n^2\right)\le(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-\cdots-a_nb_n)^2

具体证明留给读者练习.

数学归纳法是证明时尤其常见的一种思想，在柯西不等式的证明里也可以发挥很大的作用，从而给出一个非常简洁的证明.

作差法是证明不等式时的常见方法，某种意义上来说就是“硬算法”，比如这里就对求和乘积运算的熟练程度有很大的要求，但是其优点就是不用事先做很深的思考，可以直接暴算.

均值不等式法是在这四个不等式中“前景”最广的方法，因为它可以被用来证明柯西不等式的推广——卡尔松不等式：

$$\prod_{i=1}^{n}{\left(a_i^n+b_i^n+\cdots\right)}\ge\left(\prod_{i=1}^{n}a_i+\prod_{i=1}^{n}b_i+\cdots\right)^n$$

具体证明留给读者练习.

权方和不等式

柯西不等式：对于任意的 $a, b, c, d \in \mathbf{R}$恒有不等式$(a c+b d)^{2} \leqslant\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) .$

对柯西不等式变形：易得 $\left(\dfrac{a^{2}}{x}+\dfrac{b^{2}}{y}\right)(x+y) \geqslant(a+b)^{2} .$

在 $a, b, x, y>0$时， 我们就有了：$\color {Red}{\dfrac{a^{2}}{x}+\dfrac{b^{2}}{y} \geqslant \dfrac{(a+b)^{2}}{x+y}}$当 $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ 时， 等号成立.

这就是我们今天要讲的权方和不等式。

当然，柯西不等式有多维形式，同理权方和也可以拓展成多维形式：

若 $a_{i}>0, b_{i}>0$, 则$\color {Red}{\dfrac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\cdots+\dfrac{a_{n}^{2}}{b_{n}} \geqslant \dfrac{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}\right)^{2}}{\left(b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n}\right)}}$成立, 当$a_{i}=\lambda b_{i}$ 时, 等号成立.

权方和不等式还可以推广为如下形式:

若 $a_{i}>0, b_{i}>0, m>0$, 则$\color {Red}{\dfrac{a_{1}^{m+1}}{b_{1}^{m}}+\dfrac{a_{2}^{m+1}}{b_{2}^{m}}+\cdots+\dfrac{a_{n}^{m+1}}{b_{n}^{m}} \geqslant \dfrac{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}\right)^{m+1}}{\left(b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n}\right)^{m}}}$成立，当$a_{i}=\lambda b_{i}$ 的时, 等号成立.。

观察特征, $m$成为该不等式的权, 它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高$1$ 次.

利用权方和不等式可以巧妙的解决一些多元最值问题。下面就从一些我们常见的模拟题中举例说明权方和在求最值中的应用。

[!小补充] 赫尔德( Hölder) 不等式:若 $a_{i} 、 b_{i} \in \mathbf{R}_{+} (i=1,2, \cdots, n), p>0, p \neq 1, \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ , 则 $$\begin{array}{l}\color {Red}{\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}\qquad(p>1) \tag 1} \end{array}$$ $$\begin{array}{l}\color {Red}{\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \geqslant\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}\qquad(0<p<1) \tag 2}\end{array}$$当且仅当$\dfrac{a_{1}^{p}}{b_{1}^{q}}=\dfrac{a_{2}^{p}}{b_{2}^{q}}=\cdots=\dfrac{a_{n}^{p}}{b_{n}^{q}}$ 时, 以上两式等号成立. #代数 #不等式

琴生不等式

琴生不等式(Jensen's Inequality) 若 $f(x)$是区间$[a,b]$上的下凸函数，则对任意的 $x_1,x_2,x_3,···,x_n\in [a,b]$，有不等式$\frac{\sum_{i=1}^{n}{f(x_i)}}{n}\geq f(\frac{\sum_{i=1}^{n}{}{}x_i}{n})$ 当且仅当 $x_1=x_2=x_3=···=x_n$时等号成立在开启本文之前，容许我重申一个小结论：

如果函数 $f(x)$在区间$I$ 上二阶可导， 则 $f(x)$在区间$I$上是凸函数的充要条件是$f''(x)≤0$ ; 则 $f(x)$在区间$I$上是凹函数的充要条件是$f''(x)≥0$ 。琴生不等式(Jensen's Inequality)的二维形式概念：

$f(x)$在区间$I$上连续，对$I$上任意两点$x_1,x_2$。 如果$f(x)$在区间$I$上是下凸函数，恒有 $f\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$ 如果$f(x)$在区间$I$上是上凸函数，恒有 $f\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right) \geq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$ 当且仅当 $x_1=x_2$时等号成立。为了行文方便，以下凸函数为例，用数学语言则可以表述为：

$\forall x\in R,f''(x)\geq0\Leftrightarrow \forall x_1,x_2\in R,f\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

一、几何意义代数化1.高中方法证明[1]：(从几何意义上看，一个二阶导大于零的函数总有任意两点函数值的平均值大于中点的函数值。这样看是显然的。但是，我们需要把这个想法用严格的数学语言表述出来，这就启发我们——

不妨设 $x_1\leq x_2$，构造中间函数$g(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$

这时g(x)的几何意义就是连接点 $(x_1,f(x_1))$，$(x_2,f(x_2))$的直线。 我们观察到，此时问题转化为了$f(x)$和$g(x)$的大小关系令$h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)-f(x_1)$

那么 $h'(x)=f'(x)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

$h''(x)=f''(x)\geq0$

因此 $h'(x)$ 是单调递增的

又因为 $h(x_1)=h(x_2)$

由反证法得到 $h'(x_1)<0<h'(x_2)$

简单理解成一个开口向上的抛物线被一条垂直 $y$轴的直线所截，左交点处的切线斜率一定小于零，右交点处的切线斜率一定大于零假设$f'(x_0)=0$，因为$f''(x)>0$，$f'(x)$单调递增，显然存在且唯一存在一个$x_0$

$x\in[x_1,x_0)$，$h(x)$单调递减，$h(x)\leq h(x_1)=0$

$x\in[x_0,x_2]$，$h(x) $单调递增，$h(x)\leq h(x_2)=0$

因此 $\forall x\in [x_1,x_2],h(x)\leq0$

因此 $f(x)\leq\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$

将 $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ 代入，得证。

2.拉格朗日中值定理*证法1的修正不妨设 $x_1\leq x_2$，构造中间函数$g(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$

令 $h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)-f(x_1)$

由拉格朗日中值定理得， $\exists x_0\in(x_1,x_2)$，使得$f'(\xi)=\frac{f(x_2)-f(x_1) }{x_2-x_1}$ ，

$∴h(x)=f(x)-f'(\xi)(x-x_1)-f(x_1)$

$∴h'(x)=f'(x)-f'(\xi)$

$∴h''(x)=f''(x)\geq0$

因此 $h'(x)$ 是单调递增的

$∵\xi\in(x_1,x_2)$，且$h'(\xi)=0$，所以$h(x)$在$(x_1,\xi)$单调递减， 在$(\xi，x_2)$ 单调递增

所以 $h(x)\leq h(x_1)= h(x_2)=0$

因此 $f(x)\leq\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$

将 $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ 代入，得证。

二、代数证明1.虚设函数构造[1]：不妨设 $x_1\leq x_2$，令$m=x_1+x_2$

令 $h(x)=f(x)+f(m-x)(x\ne\frac m2)$

$f(x)$与$f(m-x)$关于$x=\frac{m}{2}$对称。则$h'(x)=f'(x)-f'(m-x)$

$h''(x)=f''(x)+f''(m-x)\geq0$

又 $h'(\frac m2)=0$

因此 $x<\frac m2,h'(x)<0$，$h(x)$ 单调递减。

$x>\frac m2,h'(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。

因此 $h(x)\geq h(\frac m2)$

令 $x=x_1$ ，得证。

2.主元法证明（偏导数：？？？）不妨设 $x_1\leq x_2$ ，

欲证 $f\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$

即证 $f\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)-\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\leq0$

以 $x_2$为变量，构造中间函数$g(x)=f\left( \frac{x_1+x}{2}\right)-\frac{f(x_1)+f(x)}{2}$

则 $g'(x)=\frac{1}{2}f'\left( \frac{x_1+x}{2}\right)-\frac{f'(x)}{2}= \frac{1}{2}\left[ f'\left( \frac{x_1+x}{2}\right)- f'(x)\right]$

因为 $x_1\leq x$，所以$\frac{x_1+x}{2}-x= \frac{x_1-x}{2}\leq0$

即 $\frac{x_1+x}{2}\leq x$

由于 $f''(x)\geq0$，所以函数$f'(x)$ 单调递增，

所以 $f'\left( \frac{x_1+x}{2}\right)- f'(x)\leq0$

即 $g'(x)\leq0$，所以函数$g(x)$ 单调递减，

所以 $g(x)≤g(x_1)=0$

即 $f\left( \frac{x_1+x}{2}\right)-\frac{f(x_1)+f(x)}{2}\leq0$

即 $f\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$

原不等式得证。

3.泰勒公式证明*由泰勒公式得 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2$

（ $\xi$介于$x_0$与$x$ 之间）

因 $f''(x)≥0$，所以$f(x)≥f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

取 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$ ，

$f(x)≥f\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)+f'\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)\left( x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)$ 。

分别将 $x=x_1$，$x=x_2$ 代入上式，得

$f(x_1)≥f\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)+f'\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)$ ，

$f(x_2)≥f\left( \frac{x_1+x_2}{2}\right)+f'\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)$ 。

将上述两式相加，得 $f\left( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\leq\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$

三、琴生不等式的应用$(1)在\Delta ABC中，求\sin A+\sin B+\sin C的最大值；$

$(2)设x,y,z为正实数，求证：\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}\geq\frac{x+y+z}{2}；$

$(3)设x,y,z为正实数，求证：\frac{x}{\sqrt{y+z}}+\frac{y}{\sqrt{z+x}}+\frac{z}{\sqrt{x+y}}\ge \sqrt{\frac{3}{2}(x+y+z)}。$

嗯，留做习题，读者自证不难~

【拓展】加权琴生不等式（Weighted Jensen's Inequality）的二维形式（1）概念在区间$I$上连续，对$I$上任意两点$x_1,x_2$，且 $\lambda_1+\lambda_2=1$，$\lambda_1,\lambda_2$ 为正实数。 如果$f(x)$在区间$I$上是下凸函数，恒有 $f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\right)\leq\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)$ 如果$f(x)$在区间$I$上是上凸函数，恒有 $f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\right)\geq\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)$当且仅当$x_1=x_2$时等号成立。为了行文方便，以下凸函数为例：

（2）主元法证明$f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\right)\leq\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)\Leftrightarrow f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\right)-\lambda_1f(x_1)-\lambda_2f(x_2)\leq 0$

不妨设 $x_1<x_2$，以 $x_1$ 为主元，令$F(x)=f\left(\lambda_1x+\lambda_2x_2\right)-\lambda_1f(x)-\lambda_2f(x_2)$，$x\in(-∞,x_2)$ .

则 $F'(x)=\lambda_1f'\left(\lambda_1x+\lambda_2x_2\right)-\lambda_1f'(x)=\lambda_1[f'\left(\lambda_1x+\lambda_2x_2\right)-f'(x)]$

由于 $f''(x)\geq0$，所以函数$f'(x)$ 单调递增，

因为 $\lambda_1+\lambda_2=1$ ，

则$\lambda_1x+\lambda_2x_2-x=\lambda_2x_2-(1-\lambda_1)x=\lambda_2x_2-\lambda_2x=\lambda_2(x_2-x)\geq0$

所以 $f'\left(\lambda_1x+\lambda_2x_2\right)\geq f'(x)$，即$F'(x)>0$

所以 $F(x)$在$(-∞,x_2)$ 上为增函数，

又 $F(x_2)=f\left(\lambda_1x_2+\lambda_2x_2\right)-\lambda_1f(x_2)-\lambda_2f(x_2)=f(x_2)-f(x_2)=0$

所以 $F(x)\leq F(x_2)=0$ ，

即 $F(x_1)\leq F(x_2)=0$

即 $f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\right)-\lambda_1f(x_1)-\lambda_2f(x_2)\leq 0$

即 $f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\right)\leq\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)$

韦达定理

一.二次方程的韦达定理

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$, 两根$x_1,x_2$满足以下关系式： $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

初中时我们是先推导一元二次方程的求根公式：

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

从而得到韦达定理的

应用

不论是解方程，还是研究方程的性质，韦达定理都很有。 一般来说，韦达定理主要有以下四个方面的用途。

1. 利用韦达定理可以观察出一些一元二次方程的根。
2. 已知方程的两根之间的某种关系，可以求出方程的系数来 。
3. 已知二次方程，求它的两个根的齐次幂的和。
4. 已知二次方程，求作一个新的二次方程，使得两个方程的根满足某种关系。

二.高次方程的韦达定理

$$\begin{equation}\left\lbrace \begin{aligned}x_1+x_2+\cdots+x_n &= -\frac{a_{n-1}}{a_n}~,\newlinex_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n &= \frac{a_{n-2}}{a_n}~,\newline&\vdots\newlinex_1x_2\cdots x_n &= (-1)^n\frac{a_0}{a_n}~.\end{aligned}\right.\end{equation}$$

$$\sum_{1 \leq k_1 \leq \dots \leq k_i \leq n} x_{k_1} x_{k_2} \cdots x_{k_i} = (-1)^i \frac{a_{n - i}}{a_n}~.$$

证明:

设$n$次方程$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$有根$x_1,x_2,...,x_n$那么这个$n$次方程可以被表达成另一种形式:

$$a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)=0$$

(类比一元二次方程的根式表达式$a(x-x_0)(x-x_1)=0$)

为了将这两种形式对应起来，我们需要用数学里一个很重要的思想，搭配套餐思想。

观察多项式$a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$，我们如何找到$x^i(i=0,...,n)$的系数呢？

我们可以在多项式的n个式子$(x-x_j)$中，任选$i$个$x$从而得到$x^i$, 剩下的$n-i$个式子选$-x_j$,因此我们有${n \choose i}$中选法，可以得到系数$$(-1)^{n-i} * a_0 * \sum_{1\le j_1\le \cdots\le j_{n-i} \le n}{x_{j_1}x_{j_2}\cdots}x_{j_{n-i}}$$对应系数$a_{n-i}$

例如为了得到$x^{n-1}$,我们可以在$n-1$个因式中选$x$, 剩下的$1$个式子当中选$-x_j$

因此系数就是$-a_0*(x_1+x_2+\cdots+x_n)$,对应系数为$a_1$.

因此我们可以得到$-a_0*(x_1+x_2+\cdots+x_n)=a_1$从而

$$x_1+x_2+\cdots+x_n=-\frac{a_1}{a_0}$$ 类似的我们还可以得到 $$x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n=\frac{a_2}{a_0}$$

$$\cdots$$

$$x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_n}{a_0}$$ 这种思想的关键在于相同次数对应系数相等，同时也提供了一种方式求和所有带有$x^i$项的系数的方法。

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集合

基本概念

如果a是集合S的元素(element),则记作$a\in S$

我们常用大写英文字母表示集合，小写英文字母表示集合的元素。

打个比方，集合就是一个大箱子，而元素则是我们打开箱子第一眼看到的东西，无论这大箱子里面，是小箱子，亦或是小球，都是这个集合的元素。但是，小箱子里面的东西，则不是这个大箱子的元素。举个例子，$\left\lbrace x,1,\left\lbrace x \right\rbrace ,1926,\infty ,\forall \right\rbrace $的元素分别是x、1、$\left\lbrace x \right\rbrace $、1926、$\infty$、$\forall$。现实中，就比如说，我们国家所有的省级行政区组成的集合的元素，既包括××省，也包括××市，还有××自治区，虽然省中也有市，但是省级行政区的市的地位和省是一样的。

如果$\forall x\in A,x\in B$且$\forall x\in B,x\in A$，那么称集合A和B相等，记为$A=B$

此外，集合的元素具有无序性，相异性。即：$\left\lbrace x,y \right\rbrace =\left\lbrace y,x \right\rbrace $

不含任何元素的集合称为空集(empty set)，记作$\varnothing$，正如0一样，空集并非什么都没有，空集自身也是一个客观存在的集合。{$\varnothing$}≠$\varnothing$。

集合的描述法$\left\lbrace x|p(x) \right\rbrace $具有全称性，即$\forall x(p(x)\rightarrow x\in \left\lbrace x|p(x) \right\rbrace )$

已知集合A、B，那么集合$\left\lbrace x|x\in A\vee x\in B \right\rbrace $称为A和B的并集(union)，记作$A\cup B$；集合$\left\lbrace x |x\in A\wedge x\in B\right\rbrace $称为A和B的交集(intersection),记作$A\cap B$，集合$\left\lbrace x|x\in A\wedge x\notin B \right\rbrace $称为B对A的相对补集(relative complement)，记作$A-B$。

对于集族$\left\lbrace A_1,A_2, ...,A_n\right\rbrace $，我们将$A_1\cup A_2\cup...\cup A_n$记作$\bigcup_{k=1}^{n} A_k$,我们将$A_1\cap A_2\cap...\cap A_n$记作$\bigcap_{k=1}^{n} A_k$.

对于无穷集族$\left\lbrace A_1,A_2,... \right\rbrace $,我们类似地记$\bigcup_{k=1}^{\infty } A_k$和$\bigcap_{k=1}^{\infty } A_k$.

如果$\forall x\in A,x\in B$,则称A为B的子集(subset)，记作$A\subseteq B$，读作A包含于B

由子集的概念我们知道，$A=B$等价于$A\subseteq B$且$B\subseteq A$

如果$A\subseteq B$，且A≠B,那么称A为B的真子集(proper subset)，记作$\subset$.

空集是所有集合的子集，是所有非空集合的真子集。

$\forall x$($x\in\varnothing\rightarrow x\in A$)

一个集合的所有子集组成的集合称为该集合的幂集(power set)。

如集合$\left\lbrace x,y,z \right\rbrace $的幂集为{$\varnothing$,x,y,z,{x,y},{x,z},{y,z},{x,y,z}}

Venn图是看集合之间关系的很好的工具

集合恒等式

下面给出一些集合恒等式： $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$,$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$,$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)$,$A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)$

$(A-B)-C=(A-C)-(B-C)$ 这些集合恒等式，可以用Venn图很方便地看出，而证明只需用一些逻辑恒等式。下面我们证明第一条集合恒等式： $x\in A\cup (B\cup C)\Leftrightarrow x\in A\wedge (x\in B\wedge x\in C)$ $\Leftrightarrow ( x\in A\wedge x\in B)\wedge x\in C\Leftrightarrow x\in (A\cup B)\cup C$

映射

映射是集合与集合之间的一种对应关系，数集到数集的映射即为函数。

• 定义1 设 $A,B$为非空集, 若存在对应法则$f$, 使得对每个$x \in A$都有唯一确定的$y \in B$与之对应, 则称对应法则$f$为从$A$到$B$的映射.记为$f: A \rightarrow B$, 其表达形式为 $y=f(x), \quad x \in A$；$A$称为映射$f$的定义域，记为$D(f)$ ；$A$在映射$f$ 下的像：$f(A)=\lbrace f(x): x \in A\rbrace $，称为映射 $f$的值域, 记为$R(f)$ 。

• 定义2 若 $x_1 \neq x_2$, 则 $f(x_1) \neq f(x_2)$, 则称 $f$为单射若$f(A)=B$, 即$\forall y \in B$, 都存在$x \in A$使得$f(x)=y$, 则称$f$ 为满射既单且满的映射，称为双射。

应用

1. 用于定义和构建复杂的数学结构，例如图、拓扑空间和代数结构。
2. 在计算机科学中，集合用于数据组织、数据库查询（如并集、交集操作）以及算法设计。
3. 集合论本身也是一个强大的数学基础系统，可以严谨地定义各种数学关系和推导定理，包括自然数和实数的性质。

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向量

平面向量

平面的定义

• 几何直观：平面是在三维空间中延伸的二维“平”表面，任意两点之间的连线仍在该平面内。
• 唯一性定理：通过三点中若干任意不共线点（即三点不在同一直线上）可以确定唯一的平面。
• 向量表示（参数式）：设平面上已有一点 $\vec{r_0}$，且存在两条线性无关的方向向量 $\vec{u},\vec{v}$，则平面上的任意点位置矢量 $\vec{r}$ 可表示为
  $$\vec{r}=\vec{r_0}+s\vec{u}+t\vec{v}\quad(s,t\in\mathbb{R}).$$
• 法向量表示（点法式）：若 $\vec{n}$为平面的法向量，则平面上任一点$\vec{r}$ 满足
  $$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0,$$ 表明从已知点到任一点的向量与法向量正交。
• 解析坐标式（一般式）：设 $\vec{n}=(a,b,c)$，将上述展开到坐标形式得
  $$ax+by+cz+d=0,$$ 其中 $(x,y,z)$ 为平面上一点的坐标，$d$ 为常数（可由已知点代入求出）。

平面向量基本定理

• 定理（基本表述）：设 $\vec{u},\vec{v}$为平面内的两个不共线向量（即线性无关），则平面内任意向量$\vec{w}$ 都可以且仅可以表示为这两个向量的线性组合：
  $$ \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}\quad(s,t\in\mathbb{R}). $$ 换言之，两个不共线向量构成该平面的一组基，且每个向量在这组基下的坐标 $(s,t)$ 唯一确定。

• 证明要点（概念性）：任选平面上一点作原点，将 $\vec{u},\vec{v}$的终点与原点连线可张成整个平面（因为不共线），因此任意点到原点的向量都能由$\vec{u},\vec{v}$的线性组合表示。若有两组表示相等$s\vec{u}+t\vec{v}=s'\vec{u}+t'\vec{v}$，则 $(s-s')\vec{u}+(t-t')\vec{v}=\vec{0}$，由线性无关性得 $s=s',\ t=t'$，从而表示唯一。

• 推论（线性相关/无关判据）：

  • 若 $\vec{u},\vec{v}$共线，则存在标量$k$使得$\vec{u}=k\vec{v}$（或 $\vec{v}=k\vec{u}$），此时无法用两者唯一地表示平面内任意向量，最多表示一条直线上的向量。
  • 在坐标形式下，若 $\vec{u}=(u_1,u_2),\ \vec{v}=(v_1,v_2)$，则线性相关当且仅当行列式为 0：
    $$ \det\begin{pmatrix}u_1 & v_1\newline[2pt] u_2 & v_2\end{pmatrix}=u_1v_2-u_2v_1=0. $$

• 坐标表示（基变换）：给定基 $\lbrace \vec{u},\vec{v}\rbrace $，若 $\vec{w}=(w_1,w_2)$ 在标准基下，解线性系统 $$ s\vec{u}+t\vec{v}=\vec{w} $$ 即得到 $\vec{w}$在基$\lbrace \vec{u},\vec{v}\rbrace $下的坐标$(s,t)$。当行列式非零时，解存在且唯一，可用克拉默法则表示： $$ s=\frac{\det(\vec{w},\vec{v})}{\det(\vec{u},\vec{v})},\qquad t=\frac{\det(\vec{u},\vec{w})}{\det(\vec{u},\vec{v})}. $$

• 常用结论与应用：

  • 共线判别：三点 $A,B,C$共线 当且仅当$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$ 共线（即上述行列式为 0）。
  • 向量分解：可用两条不同方向的向量把任意向量分解（投影与基变换相关）。
  • 面积计算：以 $\vec{u},\vec{v}$为邻边的平行四边形面积为$|\det(\vec{u},\vec{v})|$。

平面向量共线定理

• 定理（向量形式）：两个向量 $\vec{u},\vec{v}$共线 当且仅当 存在标量$k$ 使得 $$ \vec{u}=k\vec{v}. $$ （按常用约定，零向量 $\vec{0}$与任意向量都视为共线；若其中一向量为零，则$k$ 不唯一。）

• 二维判据（行列式/比例）：设 $\vec{u}=(u_1,u_2),\ \vec{v}=(v_1,v_2)$，则等价条件为 $$ u_1v_2-u_2v_1=0, $$ 或在分母非零时有分量成比例 $$ \frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}. $$

• 三点共线：平面上三点 $A,B,C$共线 当且仅当 向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$ 共线，即 $$ \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0 $$ （或对应的二维分量成比例、平行四边形面积为 0）。

• 三维判据（叉乘）：在三维空间中，两个向量 $\vec{u},\vec{v}$ 共线 当且仅当 $$ \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}, $$ 即叉积为零向量。

• 证明要点：

  • 必要性：若 $\vec{u}=k\vec{v}$，则显然各分量成比例，行列式为 0，且叉积为零。
  • 充分性（二维）：若 $u_1v_2-u_2v_1=0$，且不全为零，则可解出标量 $k$使得$\vec{u}=k\vec{v}$（处理分量为零的特殊情形即可）。
  • 三维情形可由叉积性质直接得出：$\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$ 意味着两向量方向相同或相反，从而存在标量倍数关系。

• 注意事项：

  • 零向量与任意向量共线，但通常在判据中需单独处理以避免除以零。
  • 若 $k>0$，方向相同；若 $k<0$，方向相反。
  • 共线不等同于等长，只是方向在一条直线上。

• 例子：

  • $\vec{u}=(2,4),\ \vec{v}=(1,2)$，有 $2\cdot2-4\cdot1=0$，故共线，且 $\vec{u}=2\vec{v}$。
  • 点 $A(0,0),B(1,2),C(2,4)$，有 $\overrightarrow{AB}=(1,2),\ \overrightarrow{AC}=(2,4)$，因此三点共线。

比分点定理（向量形式）

• 设线段 $AB$上一点$P$将$AB$分为内分点，使得$AP:PB=m:n$（$m,n\ge0$，不同时为0）。设顶点位置矢量为 $\vec{a},\vec{b},\vec{p}$，则有参数表示 $$ \vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}),\qquad t=\frac{AP}{AB}=\frac{m}{m+n}. $$ 故内分点位置向量为 $$ \vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}. $$

• 外分点（延长线上分点）：若 $P$在$AB$的延长线上使$AP:PB=m:-n$（或理解为外分 $m:n$），同样由参数 $t=\frac{m}{m-n}$ 得 $$ \vec{p}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}\quad(\text{或等价写法，根据符号约定}). $$

• 证明要点：用线性插值 $\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$，由 $t=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{m}{m+n}$ 得出权重形式。

• 注意：当含零或负比时要区分内分与外分，并避免分母为0的情形（即 $m+n=0$ 表示退化）。

重心公式及其推导（平面三角形）

• 定理（重心）：设三角形 $ABC$的顶点位置矢量分别为$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$，则三角形的重心 $G$ 的位置矢量为 $$ \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}. $$

• 推导（用中位线与比例）：

  • 设 $M$为边$BC$的中点，则$\vec{m}=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$。
  • 中位线从 $A$到$M$，重心 $G$在该中位线上且满足$AG:GM=2:1$（中位线被重心按 $2:1$ 分）。用参数表述： $$ \vec{g}=\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{m}-\vec{a}) =\vec{a}+\frac{2}{3}\Big(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{a}\Big) =\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}. $$
  • 也可通过对称或向量方程（令 $\vec{g}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}$，并利用三条中位线相交）得到相同结论。

• 性质：

  • 重心是三条中线的交点；
  • 重心可视为三个质量相等点在质心位置；
  • 若将顶点质量记为 $m_A,m_B,m_C$，质心为质量加权平均： $\vec{g}=(m_A\vec{a}+m_B\vec{b}+m_C\vec{c})/(m_A+m_B+m_C)$。

平面三角形面积的向量表示

• 向量与叉积（空间形式）：若在平面内或三维中，三角形 $ABC$ 的有向面积（绝对值为实际面积）可用两条边的叉积表示： $$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\big\Vert(\vec{b}-\vec{a})\times(\vec{c}-\vec{a})\big\Vert. $$ 其中在二维情形可将叉积视为标量（与行列式等价）。

• 二维行列式表示：若 $A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2),\ C(x_3,y_3)$，则面积为 $$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\Big| \det\begin{pmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1\newline[4pt] y_2-y_1 & y_3-y_1 \end{pmatrix}\Big| =\frac{1}{2}\big|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\big|. $$

• 代数几何意义：

  • 行列式的绝对值给出以 $(\vec{b}-\vec{a})$与$(\vec{c}-\vec{a})$ 为邻边的平行四边形面积，三角形面积是其一半；
  • 若行列式为0，则三点共线，面积为0。

• 应用例子（简短）：

  • 设 $A(0,0),B(1,0),C(0,2)$，则 $$ S=\frac{1}{2}\big|\det\begin{pmatrix}1&0\newline0&2\end{pmatrix}\big|=\frac{1}{2}\cdot2=1. $$

夹角公式

• 定义：两非零向量 $\vec{u},\vec{v}$之间的夹角$\theta$ 满足 $$ \cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}, $$ 其中 $|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}$。
• 若已知坐标（笛卡尔直角系），则用点积计算夹角： $$ \cos\theta=\frac{u_xv_x+u_yv_y(+u_zv_z)}{\sqrt{u_x^2+u_y^2(+u_z^2)}\sqrt{v_x^2+v_y^2(+v_z^2)}}. $$
• 有向角：可根据符号或叉积的方向判别角的正负（二维中叉积的标量符号）。

数量投影（标量投影）与向量投影

• 数量投影（标量投影，带符号）： $$ \operatorname{comp}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{|\vec{u}|}. $$ 说明：是 $\vec{v}$在$\vec{u}$ 方向上的有符号长度。

• 向量投影（在 $\vec{u}$ 上的正交投影向量）： $$ \operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{|\vec{u}|^2}\thinspace\vec{u}. $$

• 若需要垂直分量，$\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}$即为$\vec{v}$在$\vec{u}$ 正交方向上的分量。

• 坐标系中点积（直角坐标下的常用公式）

  • 在标准正交坐标系中，若 $\vec{u}=(u_x,u_y)$, $\vec{v}=(v_x,v_y)$，则 $$ \vec{u}\cdot\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y. $$ 三维对应为 $u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$。
  • 点积的几何含义：$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$，也用于投影、功的计算、正交判别等。

建系技巧（如何选取坐标系以简化向量问题）

• 优先选正交坐标系（最好选单位正交基）：计算最简，点积、长度直接用分量相乘相加。
• 若问题有对称性，令坐标轴与对称轴、边、或常见向量对齐（例如三角形一边、法向量、某条中线）以使分量简单或为零。
• 若存在自然原点（共顶点、质心、交点），把原点选为该点，常能简化位置矢量表达。
• 若需要处理角度或投影，令某轴与一个已知方向平行以便直接得到投影长度。
• 对于涉及距离或面积的计算，考虑是否把基向量长度归一化（单位向量）以免出现额外因子。
• 若方便，把问题先转到标准直角系里求解（计算完后再转回原问题所需形式）。

斜坐标系（非正交基/斜基）的问题与解决办法

• 描述：在斜坐标系中，选取的基 $\lbrace \vec{e}_1,\vec{e}_2\rbrace $ 不必相互正交或单位化。任一向量可写为 $$ \vec{v}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2. $$
• 点积的“度量矩阵”（Gram 矩阵）：
  • 定义 $G$ 为基的内积矩阵，$G_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$。则两向量 $\vec{v}=a_i\vec{e}_i,\ \vec{w}=b_j\vec{e}_j$ 的点积为 $$ \vec{v}\cdot\vec{w}=\begin{bmatrix}a_1 & a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}G_{11} & G_{12}\newline[2pt] G_{21} & G_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1\newline[2pt] b_2\end{bmatrix} =\sum_{i,j} a_iG_{ij}b_j. $$
  • 含义：在斜坐标系中不能简单地把分量直接相乘求内积，须用度量矩阵修正。
• 求分量的两种常用办法
  • 直接解线性方程：若知道基向量在标准坐标下的表达，令矩阵 $E=[\vec{e}_1\ \vec{e}_2]$（列为基向量），则给定标准坐标下的 $\vec{v}$，其斜坐标系下的系数向量 $a$满足$E a=\vec{v}$，解得 $a=E^{-1}\vec{v}$（二维中若 $E$ 可逆）。
  • 用倒易（互补）基：定义倒易基（互补基）$\lbrace \vec{e}^1,\vec{e}^2\rbrace $满足$\vec{e}^i\cdot\vec{e}_j=\delta^i_j$。则分量可写为 $a_i=\vec{e}^i\cdot\vec{v}$。计算倒易基的矩阵表达：若 $E=[\vec{e}_1\ \vec{e}_2]$，则倒易基列向量构成的矩阵为 $R=(E^{-1})^{\negthinspace{}T}$（即 $R$的列是各$\vec{e}^i$）。
• 用倒易基简化内积：若写 $\vec{v}=a_i\vec{e}_i,\ \vec{w}=b_i\vec{e}_i$，并定义倒易分量 $\tilde a^i=\vec{e}^i\cdot\vec{v}$，$\tilde b^i=\vec{e}^i\cdot\vec{w}$，则 $$ \vec{v}\cdot\vec{w}=\sum_i \tilde a^i b_i=\sum_i a_i\tilde b^i, $$ 或在倒易基下也可得类似正交形式。
• 面积与行列式：以 $\vec{e}_1,\vec{e}_2$为基的平行四边形面积为$|\det E|$；对三角形或面积相关问题可利用基向量的实际坐标算行列式。
• 求角度与投影：先按上述方法通过度量矩阵计算点积，再用夹角公式 $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$；投影向量仍用正交投影公式，但需先把被投影向量与目标方向表示为标准或基向量，然后按常规步骤计算（或用度量矩阵与倒易基推导分量形式）。
• 实用步骤（处理斜坐标题目推荐流程）：
  • 步骤 1：写出基向量 $\vec{e}_1,\vec{e}_2$在标准直角坐标下的坐标，构造矩阵$E$。
  • 步骤 2：若已知向量的标准坐标，求其斜坐标 $a=E^{-1}\vec{v}$；若只在斜坐标
  • 中给出，且需要点积，直接用度量矩阵 $G=E^TE$计算$a^T G b$。
  • 步骤 3：计算长度 $\thickspace|\vec{v}|=\sqrt{a^T G a}\thickspace$，点积 $\thickspace \vec{v}\cdot\vec{w}=a^T G b\thickspace$，夹角用 $\cos\theta=\dfrac{a^T G b}{\sqrt{a^T G a}\sqrt{b^T G b}}$。
  • 步骤 4：如需更直观的投影或几何图示，可把向量换回到标准直角坐标系中处理。
• 例子（简短）
  • 设基向量 $\vec{e}_1=(1,0),\ \vec{e}_2=(1,1)$，则 $$ E=\begin{bmatrix}1&1\newline0&1\end{bmatrix},\quad G=E^TE=\begin{bmatrix}1&1\newline1&2\end{bmatrix}. $$ 若 $\vec{v}=2\vec{e}_1+3\vec{e}_2$，$\vec{w}=\vec{e}_1-\vec{e}_2$（即斜坐标系下系数向量分别为 $a=(2,3)^T,b=(1,-1)^T$），则 $$ \vec{v}\cdot\vec{w}=a^T G b=(2,3)\begin{bmatrix}1&1\newline1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\newline-1\end{bmatrix}=(2,3)\begin{bmatrix}0\newline-1\end{bmatrix}=-3. $$ 长度为 $|\vec{v}|=\sqrt{a^TGa}=\sqrt{(2,3)G(2,3)^T}$，可据此求夹角。
• 注意事项
  • 斜坐标系可带来额外的代数复杂度，但在某些几何构造或晶格问题中更自然；如无必要，优先用正交单位基简化计算。
  • 使用矩阵形式能系统化地处理高维或复杂基的点积、长度、角度与投影问题。

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共线的重要结论

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重要结论

$$已知点 D 在直线 AB 上,且 \vec{OD} = x\vec{OA} + y\vec{OB},则必有x+y=1.$$

结论（命题）

• 已知点 $D$在直线$AB$上，且用以某一固定原点$O$ 为基的表示 $$ \vec{OD}=x\vec{OA}+y\vec{OB}, $$ 则必有 $x+y=1$；反之，若某些标量 $x,y$满足$x+y=1$且$\vec{OD}=x\vec{OA}+y\vec{OB}$，则 $D$在直线$AB$ 上。

证明

• 必要性（$D\in AB\Rightarrow x+y=1$）：

  • 设 $\vec{a}=\vec{OA},\ \vec{b}=\vec{OB},\ \vec{d}=\vec{OD}$。由于 $D$在直线$AB$上，存在实数$t$ 使得 $$ \vec{OD}=\vec{OA}+t(\vec{OB}-\vec{OA})=\thinspace(1-t)\vec{a}+t\vec{b}. $$ 与给定表示比较，可取 $x=1-t,\ y=t$，因此 $x+y=(1-t)+t=1$。

• 充分性（$x+y=1$且$\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}\Rightarrow D\in AB$）：

  • 若 $x+y=1$，则 $$ \vec{d}-\vec{a}=x\vec{a}+y\vec{b}-\vec{a}=(x-1)\vec{a}+y\vec{b}=y(\vec{b}-\vec{a}). $$ 故 $\overrightarrow{AD}=\vec{d}-\vec{a}=y\overrightarrow{AB}$，即 $D$在以$A$为起点沿$\overrightarrow{AB}$的直线上，因而$D\in AB$。

仿射组合的扩展与整理

• 定义（仿射组合）：

  • 给定点集 $P_1,\dots,P_n$及对应的标量$\lambda_1,\dots,\lambda_n$，若 $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$，则点 $$ P=\sum_{i=1}^n\lambda_i P_i $$ 称为这些点的一个仿射组合。这里把点用其位置矢量表示（相对于某固定原点 $O$），即 $\vec{OP}=\sum\lambda_i\vec{OP_i}$。

• 平移不变性（重要性质）：

  • 仿射组合与所选原点无关。若改选原点为 $O'$，位置矢量变为 $\vec{O'P_i}=\vec{OP_i}-\vec{OO'}$，则 $$ \sum_i\lambda_i\vec{O'P_i}=\sum_i\lambda_i(\vec{OP_i}-\vec{OO'})=\Big(\sum_i\lambda_i\vec{OP_i}\Big)-\Big(\sum_i\lambda_i\Big)\vec{OO'}. $$ 当 $\sum_i\lambda_i=1$时，上式为$\vec{OP}-\vec{OO'}=\vec{O'P}$，保持一致性。因此“仿射”概念与基点无关。

• 凸组合与仿射组合：

  • 若还要求 $\lambda_i\ge0$，则称为凸组合（点在这些点的凸包内部或边界上）。仿射组合不要求非负性，只要求系数和为1。

• 仿射空间、仿射无关性与仿射坐标（重心/重心坐标）：

  • 若点组 $P_1,\dots,P_m$的仿射凸壳生成了一个$k$维仿射子空间，且这些点在仿射意义下无关（即不能用其它点的仿射组合表示），则称为仿射无关。若$m=k+1$ 且仿射无关，则每一点在该仿射子空间中的表示（仿射系数）唯一。
  • 例如，三角形 $ABC$中任意点$P$ 在三角形所在平面内都有表示 $$ \vec{OP}=\alpha\vec{OA}+\beta\vec{OB}+\gamma\vec{OC},\qquad \alpha+\beta+\gamma=1. $$ $(\alpha,\beta,\gamma)$即为点$P$关于$\triangle ABC$的重心坐标（barycentric coordinates）；若还要求非负即为点在三角形内的凸重心坐标。若$A,B,C$ 非共线，则此表示唯一。

• 计算仿射系数的常用方法：

  • 参数法：把点表示为某一基点加上独立方向的线性组合（如用向量差 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 解线性方程）。
  • 面积法（重心坐标）：在三角形中，重心坐标与对边三小三角形面积成正比：例如 $$ \alpha=\frac{[PBC]}{[ABC]},\ \beta=\frac{[APC]}{[ABC]},\ \gamma=\frac{[ABP]}{[ABC]}. $$
  • 线性代数法：设位置矩阵 $E=[\vec{OP_1}\ \cdots\ \vec{OP_n}\ 1]$（在齐次坐标下），解方程可得系数向量。

• 唯一性条件：

  • 若点 $P_1,\dots,P_m$在仿射意义上生成的维度为$m-1$（即仿射无关），则任一点在它们生成的仿射子空间内的仿射表示系数唯一。否则表示不唯一（例如在直线上用两个端点外加其它在同一直线上的点会引入非唯一表示）。

示例与应用

• 原命题对应的示例：当 $D$在直线$AB$上时，表达为$D=(1-t)A+tB$（$t\in\mathbb{R}$），对应系数和为1；若再要求 $0\le t\le1$ 则为线段上的点（凸组合）。
• 重心：三角形重心 $G$即为仿射组合$G=\tfrac{1}{3}A+\tfrac{1}{3}B+\tfrac{1}{3}C$，系数和为1，且各系数相等。
• 反向使用：若写出某点的线性组合系数之和为1，则可断定该点在这些点张成的仿射子空间内（例如若两点系数和为1则在其直线上）。

扩展

基本概念与记法

• 向量空间：实数域上的 $n$维向量空间记为$\mathbb{R}^n$。向量可视为列向量 $v=(v_1,\dots,v_n)^T$或位置矢量$\vec{OP}$。
• 向量的线性运算：加法与数乘按分量进行，满足交换律、结合律、分配律等。
• 基与坐标：一组线性无关向量 $\lbrace e_1,\dots,e_n\rbrace $为基，则任意向量可唯一表示为线性组合$v=\sum_i a_i e_i$；系数 $a_i$ 为坐标。

内积、范数与角度

• 标准内积（欧氏内积）：在标准正交基下， $$ v\cdot w=\sum_{i=1}^n v_iw_i. $$
• 范数（长度）：$|v|=\sqrt{v\cdot v}$。
• Cauchy–Schwarz 不等式：$|v\cdot w|\le|v||w|$。
• 夹角：$\cos\theta=\dfrac{v\cdot w}{|v||w|}$。
• 非标准基/度量：若基不正交，则用度量矩阵（Gram 矩阵）$G$，有 $v\cdot w=a^T G b$（$a,b$ 为斜坐标系下系数）。

空间向量（3 维）特有运算

• 叉积（向量积）：仅在 $\mathbb{R}^3$ 中定义，$\thickspace{}u\times v\thickspace$ 为垂直于两者的向量，满足 $$ u\times v=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\newline u_1&u_2&u_3\newline v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}, $$ 且 $|u\times v|$ 为平行四边形面积。
• 标量三重积（混合积）：$u\cdot(v\times w)=\det[u\ v\ w]$，其绝对值为由三向量生成的平行六面体体积。
• 注意：高维无叉积的直接类比，可用外积/楔积（外代数）描述方向性，但常用行列式与 Gram 矩阵处理体积。

体积、面积与 Gram 行列式

• $k$维平行体的平方体积等于对应基向量 Gram 矩阵的行列式：若基向量为列向量组成矩阵$E$，则体积平方为 $\det(E^T E)=\det G$。
• 三角形/多面体面积体积常用行列式或混合积计算。

矩阵与线性变换

• 矩阵视为线性映射：$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$表示从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^m$ 的线性变换，$y=Ax$。
• 基本运算：加法、数乘、乘法、转置 $A^T$、逆矩阵 $A^{-1}$（若存在）。
• 行列式与体积：方阵 $A$的行列式$\det A$表示线性变换对体积的缩放因子（带符号）；若$\det A\neq0$，$A$ 可逆。
• 秩与秩定理：rank$(A)$ = 最大线性无关列数 = 最大线性无关行数；秩-零化度定理：$\dim\ker A + \dim\operatorname{im}A = n$。
• 特殊矩阵类型：
  • 对称矩阵 $A=A^T$（实对称矩阵可正交对角化）；
  • 正交矩阵 $Q$满足$Q^TQ=I$（保持长度与角度）；
  • 正定矩阵（$x^T A x>0$，用于度量与能量）。
• 线性方程组：$Ax=b$。若 $A$为方阵且可逆，解$x=A^{-1}b$；欠定/超定情况用秩与参数表示解的结构。

特征值与奇异值分解

• 特征值/特征向量：$Av=\lambda v$。实对称矩阵存在实特征值与正交特征向量集合，构成正交对角化 $A=Q\Lambda Q^T$。
• 奇异值分解（SVD）：任意矩阵可分解为 $A=U\Sigma V^T$，其中 $U,V$ 正交，$\Sigma$ 对角（奇异值）。SVD 在最小二乘、秩逼近、PCA 中非常重要。

投影、最小二乘与正交分解

• 子空间投影：给定矩阵 $A\in\mathbb{R}^{m\times k}$（列向量为基），投影矩阵 $$ P=A(A^TA)^{-1}A^T $$ 将任意向量投影到列空间（当列向量线性无关时）。
• 最小二乘问题：最小化 $\Vert{}Ax-b\Vert^2$的正规方程为$A^TAx=A^Tb$。用 SVD 或 QR 分解数值稳定求解。
• Gram–Schmidt 正交化：将一组线性无关向量变为正交（或正交归一）基，常用于构造正交基与数值计算（QR 分解即其矩阵化形式）。

齐次坐标与仿射/仿射空间推广

• 齐次坐标：在处理仿射变换（平移、透视变换）时把点表示为 $(x,1)$ 的形式，用扩展矩阵把仿射变换统一为线性变换。
• 仿射组合与重心坐标在任意维度推广：若 $\sum_i\lambda_i=1$，则 $P=\sum_i\lambda_i P_i$ 表示点在这些点张成的仿射子空间内；面积/体积法与之前类比推广为体积分配。

数值/计算技巧与建系建议（高维推广）

• 优先选取正交单位基（便于内积与长度计算），若不可，使用度量矩阵 $G$ 或将分量换回标准坐标计算。
• 在数值计算中，使用 QR 分解或 SVD 比直接求逆更稳定（避免求 $A^{-1}$）。
• 处理高维几何时常用矩阵形式：把多个点列成矩阵，利用行列式/秩/投影矩阵统一处理共线/共面/体积等判据。
• 若基向量相近或接近线性相关（条件数大），问题将数值病态，需重正交化或正则化（如岭回归）。
• 求点在仿射子空间的最近点（正交投影）用 $P$计算；若子空间由列矩阵$A$张成，投影系数为$(A^TA)^{-1}A^T b$（最小二乘解）。

几条有用公式/结论速查

• 投影矩阵： $P=A(A^TA)^{-1}A^T$。
• Gram 行列式给体积平方： 若 $E$列为基向量，体积平方$=\det(E^TE)$。
• 三维体积： $V=|\det[a\ b\ c]|=|a\cdot(b\times c)|$。
• 最小二乘正规方程： $A^TAx=A^Tb$。
• SVD： $A=U\Sigma V^T$，最好用于秩分解、降维与稳定求解。

应用举例（简短）

• 用矩阵判断点是否共面：把向量差列成矩阵，若列秩 $\le2$ 则共面（3D 情形）。
• PCA（主成分分析）：对高维点集中心化后，计算协方差矩阵并做特征分解，保留前 k 个主方向做降维。
• 利用 SVD 做低秩近似：最佳拟合低秩矩阵由截断奇异值构成。

[^1]

[^1]: 补充具体证明（如 Gram 行列式-体积的证明、SVD 的几何含义）

共线 / 共面 判别

• 二维共线（点或向量）：
  • 两向量 $\vec{u}=(u_1,u_2),\ \vec{v}=(v_1,v_2)$共线当且仅当行列式为 0：$u_1v_2-u_2v_1=0$。
  • 三点 $A,B,C$共线等价于$\det\begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A\newline y_B-y_A & y_C-y_A\end{pmatrix}=0$。
• 三维共线 / 共面：
  • 三维两向量共线同样可用比例或行列式（二维子式）判别；向量叉积为零： $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$。
  • 四点 $A,B,C,D$共面等价于三向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$的混合积（标量三重积）为 0：$\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=0$。
• 一般 $n$ 维的仿射判别（统一方法）：
  • 设点 $P_1,\dots,P_m$给出，任选基点$P_1$，构造差向量矩阵 $E=[\overrightarrow{P_1P_2}\ \overrightarrow{P_1P_3}\ \dots\ \overrightarrow{P_1P_m}]$。这些点位于同一 $k$维仿射子空间当且仅当$\operatorname{rank}(E)\le k$。
  • 特例：点共线等价于 $\operatorname{rank}(E)\le1$；点共面（在 3D）等价于 $\operatorname{rank}(E)\le2$。
• 数值实现与容差：
  • 数值判定用奇异值分解（SVD）或行列式/秩但要设置阈值（例如小于 $\varepsilon\cdot\sigma_{\max}$ 视为零），以应对舍入误差与近似共线/共面情形。

投影与最小二乘

• 正交投影到由列向量張成的子空间（列空间）：
  • 令 $A\in\mathbb{R}^{m\times k}$的列线性无关，向量$b\in\mathbb{R}^m$投影到列空间的投影向量为$p=A\hat x$，其中 $\hat x$为最小二乘解，满足正规方程$A^TA\hat x=A^Tb$。
  • 投影矩阵为 $P=A(A^TA)^{-1}A^T$，满足 $P^2=P,\ P^T=P$。
• 最小二乘求解方法（数值稳定建议）：
  • 直接正规方程：解 $A^TAx=A^Tb$（简单，但当 $A$ 条件数大时不稳定，因平方条件数）。
  • QR 分解：$A=QR$（$Q$ 正交，$R$上三角），解法为$R x=Q^Tb$（稳健且常用）。
  • SVD 与伪逆：$A=U\Sigma V^T$，最小二乘解 $\hat x=V\Sigma^{+}U^Tb$，可处理欠定/病态问题并便于截断奇异值正则化（TSVD）。
  • 正则化（岭回归）：当病态或噪声大时，解改为 $\hat x=(A^TA+\lambda I)^{-1}A^Tb$，减少过拟合并改善数值稳定性。
• 投影性质与误差：
  • 残差 $r=b-A\hat x$与列空间正交：$A^T r=0$。
  • 最优性：$\hat x$使得$\Vert{}b-Ax\Vert_2$ 最小。
• 示例（简单）：
  • 线性回归：数据矩阵 $A$的列为基函数（如$[1,\ x,\ x^2]$），解回归系数即为最小二乘解。
• 数值提示：
  • 当 $A$ 大且稀疏，优先使用稀疏 QR/迭代法（LSQR、LSMR）。
  • 若只需投影结果 $p$而非系数，可直接求$p=P b$或用正交分解构造$Q$得到$p=QQ^T b$。

特征值 / 特征向量 计算（及常用算法）

• 定义与性质：
  • 特征对 $(\lambda,v)$满足$Av=\lambda v$，若 $A$可对角化则$A=S\Lambda S^{-1}$。
  • 对称矩阵 $A=A^T$有实特征值与正交特征向量，可写$A=Q\Lambda Q^T$。
• 常用数值算法（何时用哪种）：
  • 幂法（Power method）：用于求矩阵最大的模特征值与相应特征向量（大而稀疏时常用，简单）。
    • 迭代 $v_{k+1}=Av_k/\Vert{}Av_k\Vert$，收敛到主特征向量（若谱半径有唯一最大模）。
  • 反幂法（Inverse power）与位移反幂：用于求靠近给定位移 $\mu$ 的特征值（求最小特征值或某个内部特征值）。
    • 需反复解线性系统 $(A-\mu I)w=b$，通常用 LU/预条件迭代。
  • QR 算法：通用求全部特征值/特征向量的稳健方法（对中小尺度密集矩阵常用，带位移的 QR 很快）。
  • Lanczos / Arnoldi（Krylov 子空间法）：用于大稀疏矩阵求前若干个特征值（Lanczos 适对称矩阵，Arnoldi 适一般矩阵）。
  • Rayleigh quotient iteration：局部二次收敛，需解线性系统，每步收敛快但开销大。
  • SVD：任意矩阵的奇异值分解可给出对称矩阵 $A^TA$ 的特征信息（$\Sigma^2$为$A^TA$ 的特征值）。
• 数值注意事项：
  • 对称阵可用专用算法（对称 QR、分段三对角化 + QR）获得高效与稳定结果。
  • 归一化与正交化：迭代中应定期正交化（如 Lanczos 中的重正交）以防止向量数值线性相关。
  • 条件数与灵敏度：特征值问题对噪声敏感度与矩阵的条件数相关，簇集（接近的特征值）会降低分辨率。
• 简要算法示例（幂法）：
  • 输入 $A$、初值 $v^{(0)}$，重复 $w=A v^{(k)}$, $\lambda^{(k)}=\Vert{}w\Vert_\infty$（或其他范数），$v^{(k+1)}=w/\lambda^{(k)}$，直至收敛 $\Vert{}v^{(k+1)}-v^{(k)}\Vert$ 小于容差。
• 获取全部特征向量（密集小矩阵）：
  • 先把 $A$ 化为上（或对称情形下三对角）形式，再用 QR 算法迭代提取特征值与反解特征向量，数值库（如 LAPACK）可直接调用高效实现。

常见判别/计算联系（综合提示）

• 判别共线/共面常归结为判断矩阵列的秩；秩可用 SVD 通过显著奇异值数目判断（稳健）。
• 投影与最小二乘紧密相关：投影矩阵 $P$ 可由 QR 或 SVD 高效获得，SVD 也给出正规方程的稳定伪逆解。
• 特征值问题在许多几何/统计任务中出现（如 PCA），PCA 本质上是对协方差矩阵做特征分解或对数据矩阵做 SVD。
• 数值实现首选成熟数值库（LAPACK / ARPACK / scipy.linalg / numpy.linalg），并结合问题规模选择算法（直接法 vs Krylov 法）。

微积分

微分

导数和微分的区别：

• 导数:是指函数在某一点处变化的快慢,是一种变化率。
• 微分：是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量。 导数:是指函数在某一点处变化的快慢,是一种变化率。 微分：是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量。

对于多元函数而言，全微分就是指在各个自变量处的微分的和。也就是说总的变化量指各个分变化量的和，这样子就比较容易理解了。比如三元函数，所以dz=zxdx+zydy。

导数和微分的关系类似于速度和路程。也就是说两个变化量之间的比值为衡量变化快慢的变化率。比如速度就是路程的变化量和时间的变化量的比值。而对于一元导数就为y的变化量dy与x的变化量dx之间的比值。

一、微分的本质

我直接先下个结论：微分本质是一个微小的线性变化量，是用一个线性函数作为原函数变化的逼近（或者叫近似）。

微分的定义是从导数而来,的由导数的定义有 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta y}}{ {\Delta x}} = f'(x)$ ，那么则有 $\frac{ {\Delta y}}{ {\Delta x}} - f'(x) = a{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\lim }\limits_{\Delta {\rm{x}} \to 0} a = 0$ 。 则可以得到如下结果：

$\Delta y = f'(x)\Delta x + a\Delta x$

当 $\Delta x$ 趋近于0，显然有 $\Delta y \approx f'(x)\Delta x$ 。

现在我们将 $f'(x)\Delta x$ 定义为dy。而 $\Delta y$ 表示的是函数值的变化，显然dy的真正含义是对这种变化的逼近。也就是说我们定义微分，就是想借助微分这个工具来研究函数的变化趋势。

从上面你可以明白两件事，第一微分，即dy不是一个符号，是真的有具体值的，它的值为 $f'(x)\Delta x$ ，第二观察下 $f'(x)\Delta x$ ，显然是一个关于 $\Delta x$ 的线性函数，因此微分其实在一点处，用一个线性函数的变化来逼近函数的变化,线性的东西，其规律就好掌握了。

那么我们根据 $dy = f'(x)\Delta x$ 还可以推导出更多东西，比如令里面的y为x，则可以得到 $dx = 1*\Delta x$ ，即 $dx = \Delta x$ 。那么x的微分也就出来了。说白了，dy和dx表示的就是y和x的变化量，是一种具体的量，跟我们通常理解的变化差额没什么本质区别，只不过因为 $\Delta x$ 趋近0这种极限的性质，让他变得特殊一点而已。因此我们在数学上给他起个牛逼的代号，微分！以后用到微分的地方太多了，所以要起名字。

好，那么根据我们的定义，导数和微分的关系自然而然就出来了，由 $dy = f'(x)\Delta x$ ，自然就得到 $\frac{ {dy}}{ {dx}} = f'(x)$ 。是不是觉得导数和微分的关系其实也没有那么神秘，这一切都只源于那些数学大家的定义而已。所谓定义，肯定是人为的了，没什么道理可讲。

二、微分的定义

根据微分的定义，对函数空间 $F$ 中的任意函数 $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ ，它在 $x_0 \in X$ 处的微分是

$df = f'(x_0) dx$

1. 首先，从微分的符号上来看， $df$ 由两个字母 $d$ 和 $f$ 组成，其中$d$表示求微分的动作，$f\in F$是一个函数，它们合起来表示一个数学对象。为叙述方便，我把这个数学对象换个符号表示，记作 $\omega$ 。也就是 $\omega=df$ 。

2. 从微分的定义可以看出，对函数集$F$中的每一个函数 $f$ ，都有一个在$x_0 \in X$ 处的微分$df = \omega$与之对应，这就暗含了一个映射，记作$\begin{aligned} d: F \rightarrow U_{x_0}, f \mapsto \omega =df \end{aligned}$称为微分算子，其中 $U_{x_0}$ 是函数集$F$在映射 $d$ 下的像，也就是由所有那些遍历 $f\in F$ 所得到的 $\omega$ 的集合。到这里为止，我们可以说微分算子是一个映射，但是却仍然不能真正理解微分，因为没有说清楚$\omega$到底是什么东西。

3. 从微分定义式的右边来看，它包含两项相乘，第一项 $f'(x_0)$ 是函数 $f$ 在$x_0 \in X$ 处的导数，它是一个数；而第二项 $dx$ 又是一个微分，它是恒等函数 ：$\operatorname{id}：\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x$ 在$x_0 \in X$ 处的微分。这就是理解微分这个定义的难点所在，即微分是递归定义的，而不像大多数其他概念那样采用构造性定义方式。也就是说，当我们尝试去看微分$df$是如何构造的，它却用到了另一个我们还没有定义的微分。

4. 为了理解微分，我们试图给微分一个构造性的定义。在这之前，先来看一下微分的性质。从微分的定义可以看出，一个数$f'(x_0)$可以与微分$dx$相乘得到另一个微分 $df$ 。按照定义，一个数 C 与 函数 $f$ 相乘得到的新函数 $g(x) = Cf(x)$ 在$x_0 \in X$ 处的微分$dg = g'(x_0)dx=Cf'(x_0)dx=Cdf$也就是说，微分的数乘是有合理且自然的定义的，即把对应的函数乘以常数再取微分，可以记作$\cdot: \mathbb{R}\times U_{x_0} \rightarrow U_{x_0}, \lambda \omega \mapsto d(\lambda d^{-1}(\lbrace \omega\rbrace ))$注意，这里符号 $d^{-1}$ 并不意味着微分算子 $d$ 是可逆的，它的含义是 $d^{-1}(A) = \lbrace f\in F: df \in A \rbrace $即 $d^{-1}(\lbrace \omega\rbrace )$ 表示其微分等于 $\omega$ 的那些函数组成的集合。而 $\lambda$ 与上述集合的数乘是指由该集合中的函数乘以 $\lambda$ 后所得到的那些函数组成的集合。所有这些函数在微分算子的作用下得到的是同一个微分。

5. 仿照上述微分数乘的定义，可以定义微分的加法：函数 $f_1,f_2 \in F$ 在 $x_0 \in X$ 处的微分分别记作 $df_1, df_2$ ，它们的加法定义为$\begin{aligned} df_1+df_2&=f_1'(x_0)dx+f_2'(x_0)dx \newline &=(f_1'(x_0)+f_2'(x_0))dx\newline &=f'(x_0) dx \end{aligned}$其中 $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ 是 $f_1$与 $f_2$ 之和。由于微分定义了加法和数乘，全体在 $x_0 \in X$ 处的微分的构成线性空间$U_{x_0}$，线性空间的元素也称为矢量。由于函数也有自然的加法和数乘的定义，函数集也是线性空间。容易看出，微分算子作为从函数空间到线性空间$U_{x_0}$的映射保持线性性质，是一个线性映射。

6. 以上我们导出了微分的线性性质，说明了微分可以被称为矢量。但是这仍不足以说明什么是微分。微分是矢量，但矢量不见得一定是微分。一个矢量什么时候等于微分，实质上是在问，什么时候两个函数的微分相等。微分相等在函数集上定义了一种关系，这种关系满足：

   1. 自反性，函数的微分与其自身的微分当然相等, $df =df$ ;

   2. 对称性， $df = dg \Leftrightarrow dg = df$ ;

   3. 传递性， $df = dg, dg = dh \Rightarrow df = dh$ 因此，微分可以定义为该等价关系的等价类。

7. 一元函数的微分这个概念在 $X=\mathbb{R}$ 的一维情况下相当隐晦，放在多元情况下就比较明显。先理解了多元函数 $f: \mathbb{R}^N \rightarrow\mathbb{R}$ 的微分，一元函数的微分反而更容易理解，只不过是 $N=1$ 的特例罢了。多元函数 $f: \mathbb{R}^N \rightarrow\mathbb{R}$ 在 $x=(x^1,x^2,\cdots, x^n, \cdots,x^N) \in \mathbb{R}^N$ 处的微分定义为$df = \sum_{n=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial x^n}dx^n}$这是把微分 $df$ 表示成了一组微分 $dx^1, \cdots, dx^n$ 的线性组合，其坐标为 $\left(\frac{\partial f}{\partial x^1}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x^n}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x^N}\right)$考虑函数 $f_1(x) = x^1$ ，微分 $df_1$ 为$df_1 = \sum_{n=1}^{N}{\frac{\partial x^1}{\partial x^n}dx^n} = dx^1$其坐标为 $(1, 0, 0, \cdots, 0)$其余 $1<n\le N$ 类似，故它们构成线性空间 $U_{x}$ 的一组自然基底。

8. 函数 $f$ 的微分 $df$在自然基底上的坐标都是 $f$ 的偏导数，它们的线性组合张成一个线性空间$V_x =\left\lbrace v: F\rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \sum_{n=1}^{N}{v_n \frac{\partial f}{\partial x^n}}\right\rbrace $该空间的元素 $v$ 称为切矢量，它不仅需要满足线性性质，还必须满足莱布尼兹律$v(fg) = v(f) g + fv(g)$可以证明，满足线性性质和莱布尼兹律的$v$也一定属于 $V_x$ 。$\frac{\partial}{\partial x^n}: F \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \frac{\partial f}{\partial x^n}$ 是空间 $V_x$ 的一组基底， $v$ 在该基底上的坐标为 $(v_1, \cdots, v_N)$ 。

9. 基于上述切矢量的定义，可以定义函数 $f$ 对应的对偶切矢量：$\omega: V\rightarrow R , v \mapsto \omega(v) = v(f)$对偶切矢量的全体构成线性空间 $V_x$ 的对偶空间 $U_x$ ，它也是一个线性空间，基底 $dx^n \in U_x$ 定义为$dx^n : V \rightarrow \mathbb{R} , v \mapsto dx^n(v) = v_n$微分就是从 $f\in F$ 到 $\omega \in U_x$ 的一个自然映射。

10. 当求微分的点 $x \in \mathbb{R}^n$ 遍历整个空间，矢量 $v$ 就构成了一个矢量场，对偶矢量 $\omega$ 就构成了一个对偶矢量场。

三、极限微分学

极限被发明了出来。相应的什么是无穷小，也有了确切的、具体的定义。无穷小终于不再是幽灵了，被光明正大的纳入数学体系中。

那么基于极限是怎么定义导数的，大家还有印象吗？其实就是基于下面的这个式子：

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)}}{ {\Delta x}}$ eg.
$\begin{array}{l} ({x^2})' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {f\left( {x + \Delta x} \right) - f(x)}}{ {\Delta x}}\newline {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { { {(x + \Delta x)}^2} - {x^2}}}{ {\Delta x}} \end{array}$

四、总结

1. 古典微分学和极限微分学最本质的区别就是，在前者的体系中，微分就是变化本身，而在后者中，微分是变化的逼近。

2. 微分是实实在在的一个量，是一个无穷小量（当变化趋近于0时）。它也是有自己的运算法则的，参见高等数学教材。其实跟导数的规则差不多。

3. 我们现在所学的体系，是按照先极限、再通过极限定义导数、再通过导数定义微分这个次数来的。但是在历史发展中，是先有的微分（即先定义出dy），然后根据需要（为了解决切线问题）定义出导数的。

4. 至于为什么要把微分定义出来呢？相信如果你以后在数学的领域接触到更高深的知识，就会明白为啥子非得把微分定义出来了。

5. 求微分是求微分，求导是求导。不要因为某些历史造成的巧合就按照自己臆想的规则胡来（比如约分）。当想不明白的时候，多想想极限的思想。

从古典到现代

1 牛顿、莱布尼兹开始的古典微积分

牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分 1.1 导数为什么出现？

导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的，之前数学家已经在对曲线的切线进行研究了，但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定下来了。

曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积之和： 直觉告诉我们，如果 n 越大，则这个近似越准确： 无穷小量就在这里出现了，无穷小量是建立微积分的基础，莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。在当时的观点下，无穷小量到底是什么也是有争论的，当时有数学家打比喻：“无穷小量就好比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为这是真实存在的。

在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。 1.2 导数的古典定义

在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线： 割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降，上升了多少，但是并不精确。 有了切线之后我们进一步去定义导数： 数的定义 $f'(x)=\frac{dy}{dx}$ ，而 $dx$ 和 $dy$ 被称为 $x$ 和 $y$ 的微分，都为无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商)。 1.3 无穷小量导致的麻烦

实际上是有矛盾的： 所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。

无穷小量的麻烦还远远不止这一些， $x^2$ 的导数是这样计算的：

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(x^2) & = \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \newline & = \frac{(x+dx)^2-x^2}{dx} \newline & = \frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx} \newline & = \frac{2xdx+dx^2}{dx} \newline & = 2x+dx \newline & = 2x \end{aligned}$ 仔细看看运算过程， $dx$ 先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。

无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1？

无穷小量还违反了 阿基米德公理，这个才是更严重的缺陷，康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。

一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。 1.4 对于古典微积分的总结

• 切线：通过无穷小量定义了切线
• 导数：导数就是切线的斜率
• 微分：微分是微小的增量，即无穷小量 2 基于极限重建微积分

莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦，一直拼命想要修补，但是这个问题要等到200年后，19世纪极限概念的清晰之后才得到解决。

解决办法是，完全摈弃无穷小量，基于极限的概念，重新建立了微积分。

2.1 极限

现在都是用 $\epsilon -\delta$ 语言来描述极限： 可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。

2.2 导数的极限定义

$\begin{aligned} \displaystyle f'(x_0)& =\frac{dy}{dx}\newline & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\newline & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{aligned}$ 用极限重新严格定义了导数，已经脱离了微商的概念，此时，导数应该被看成一个整体。

不过我们仍然可以去定义什么是微分，说到这里，真是有点剧情反转，原来是先定义了微分再有的导数，现在却是先定义了导数再有的微分。

$\begin{aligned} \displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) & \implies \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=0\newline & \implies \frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=a,\lim _{\Delta x \to 0}a=0\newline & \implies \Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x \end{aligned}$

$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x$ 可以得出， $\Delta y$ 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义： $dy=f'(x)\Delta x$ ，这是 $dy$ 的定义。

我们令 $y=x\implies dy=1\Delta x\implies dx=\Delta x$ ，这个 $dx$ 的定义。

最后我们可以得到 $dy=f'(x)dx\implies \frac{dy}{dx}=f'(x)$ ：2.3 对于极限微积分的总结

• 导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率
• 微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
• 切线：有了导数之后就可以被确定下来了 3 疑问的解答

微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。

3.1 古典微积分与极限微积分的对比

• 古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。
• 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。
• 古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。
• 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。
• 古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。
• 古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。

古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。

3.2 疑问的解答

之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。

• $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ ，在古典微积分中可以理解为消去，但是在极限微积分中我们应该认识到，这两个 $du$ 实际上是不同的函数。
• $\int _ a^ b \frac{dy}{dx}dx$ 古典微积分中， $dx$ 确实表明是无穷多个矩形的底边，消去也是合理的，而极限微积分中， $\int _ a^ b dx$ 是求黎曼和，我们可以把 $\int _ a^ b$ 当作左括号， $dx$ 当作右括号，就好比 $(2+6)=8$ ，计算完毕之后，括号自然就消失了。
• $d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv$ 在古典微积分中这么计算没有错误，只是 $dudv$ 的消去也是不严谨的，而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明，这里不再列出。

古典微积分其实已经被摒弃了，我们应该知道这一点，重新从极限的角度去认识微积分。

3.3 古典微积分的用处

我们应该从古典微积分，以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。

并且，莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性，他设计的微积分符号确实很符合直觉，我们可以继续借用他的符号来描述微积分。

4 无穷小量的逆袭

有的数学家还是对无穷小量念念不忘，最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数，超实数 。

基于超实数，数学家又重新定义了微积分，这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析（对应的，基于我们没有无穷小量的实数体系的微积分，就是标准分析）。

Reference

微分到底是什么意思？实际意义是什么？ - 知乎微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ? - 知乎

极限

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的

极限的广义定义：指无限靠近而永远不能到达的意思

极限在数学上的定义：某一个函数中某个变量，此变量在变化的永远的过程中，逐渐向某一个确定的数值不断逼近，而永远不能够重合到的过程中，此变量的变化被人为规定为永远靠近而不停止。极限是一种变化状态的描述

一、数列的极限 $x_{n}$

1. 数列的概念如果按照某一法则，对每个 $n\in N_{+}$,对应着一个确定的实数$x_{n}$,这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列：$x_{1}，x_{2}，x_{3},\cdot\cdot\cdot,x_{n},\cdot\cdot\cdot$就叫数列，记为数列 {${x_{n}}$ }.

• 注：数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 $x_{n}$ 叫做数列的一般项(或通项)

2. 数列极限的定义设{ $x_{n}$}为一个数列，存在常数$a$，$\forall \varepsilon > 0$($\varepsilon 是任意给定正数$)不论它多么小，总$\exists 正整数N$，使得当$n>N$时，不等式$|x_{n}-a|<\varepsilon$都成立，那么常数$a$是数列{$x_{n}$}的极限，或者称数列{$x_{n}$}收敛域$a$

• 记为 $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}} = a \Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0$,$\exists$正整数N，当$n>N$时，有$\left| x_{n}-a \right|<\varepsilon$
• 或 $x_{n}\rightarrow a(n\rightarrow \infty)$
• 当数列 ${\lbrace x_n\rbrace }$的项数$n$不断增大时，如果$x_n$的值也无限增大（$\infty$ ），则此数列没有极限
• 如果不存在这样的常数 $a$，就说数列{$x_{n}$}没有极限，或者说数列{$x_{n}$ }是发散的。

人们把无穷数列收敛于一个确定的实数L，就把L叫做此无穷数列的极限。

注： $\varepsilon$ 是任意小的距离；N表示某项；n表示N之后的所有项；都落在小区域的里头 3. 收敛数列的性质

• 定理1：收敛数列的极限唯一如果数列 {${x_{n}}$}收敛，那么它的极限唯一

• 反证法证明

• 定理2：收敛数列一定有界如果数列 {${x_{n}}$}收敛，那么数列 {${x_{n}}$}一定有界

• 但是反过来说不成立，数列 {$(-1)^{n+1}$} 虽有界但不收敛

• 定理3：收敛数列具有保号性如果 $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}} = a$且a>0（或a<0）,那么存在正整数N，当n>N时，都有$x_{n}>0$(或$x_{n}$<0)

• 推论：如果数列 {$x_{n}$} 从某项起有 $x_{n}\geq 0$(或$x_{n} \leq 0$)，且$\lim_{x \rightarrow \infty}{x_{n}} = a$,那么$a\geq 0$或（$a\leq 0$ ）

• 定理4：收敛数列的任一子数列收敛于同一极限

• 如果数列 {$x_{n}$}收敛于a，那么它的任一字数列也收敛，且极限也是a

• 由此性质可知，若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散。

• 例如： $x_{n} = -1^{n+1}(n = 1,2,3,...)发散！$ $\lim_{k \rightarrow \infty}{x_{2k-1}} = 1$和$\lim_{k \rightarrow \infty}{x_{2k}} = -1$

3. 数列极限的计算若 $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=a，\lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}=b$

• $\lim_{n \rightarrow \infty}{(x_n\pm y_n)}=\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}\pm \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} = a\pm b$ (加减法则)
• $\lim_{n \rightarrow \infty}{(x_n\cdot y_n)}=\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}\cdot \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}=a\cdot b$ (乘法法则)
• $\lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt{x_n}}=\sqrt{\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}}=\sqrt{a}(x_n\geq 0,a\geq 0)$ (交换法则)
• $\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}}{\lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}}=\frac{a}{b}(\lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}\ne 0,b\ne 0)$ (除法法则)

二、## 函数的极限

1、函数极限的定义

• 函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。把数列极限的定义域 $n\in Z^+$扩充到定义域$R$ 就变成了函数的极限以上情况有分为两种研究情形 ①、自变量 $x$ 趋于有限值时函数的极限
• $x_{0}$的邻域，记作$U(x_{0})$：以$x_{0}$ 为中心的任何开区间
• $x_{0}$的去心邻域，记作$\mathring{U}(x_{0})$ ：在$U(x_{0})$中去掉中心 $x_{0}$ 定义1：设函数 $f(x)$在点$x_{0}$的某一去心邻域内有定义（在$x_{0}$处可以没有意义）。$\exists 常数A$，对于$\forall \varepsilon$>0 (任一正数)，总 $\exists \delta > 0$(正数)，使得当x满足不等式$0<|x-x_{0}|<\delta$时，$|f(x)-A|<\varepsilon$ ,

那么常数A就叫函数 $f(x)$当$x\rightarrow x_{0}$ 时的极限，记作

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A$或者说$f(x)\rightarrow A(当x\rightarrow x_{0})$

• $\varepsilon$ 表示：函数值和极限之间的距离 |f(x)-A|>0
• $\delta$ 表示：找一个正数
• 定义中 $0< |x-x_{0}|$表示$x \ne x_{0}$，所以$x\rightarrow x_{0}时f(x)有没有极限，与f(x)在点x_{0}是否有定义并无关系$定义1 的简单描述：$\varepsilon-\delta语言$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,当0<|x-x_{0}|<\delta 时，恒有|f(x)-A|<\varepsilon$

函数 $f(x)$当$x\rightarrow x_{0}$ 时的极限为A的几何解释： 找一个 $\delta$在$x_{0}$的一个$\delta$领域$(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$,只要x落在以$x_{0}$为中心，以$\delta$为距离的小区域里面，使得函数值都落在以A为中心，以$\varepsilon$ 为距离的小区域里头。

注：常数的极限就是这个常数 若改变了 $\varepsilon$的取值，相应的$\delta$ 的取值也发生了改变，$\varepsilon$具有任意性，而 $\delta$ 对于$\varepsilon$具有依赖性。

它随着$\varepsilon$的变而变化，而 $\delta$的取值不是唯一的，我们只要找到一个满足条件的$\delta$ 即可。 注： $x$的趋向方向$x\rightarrow x_0$ ,

• 既要考虑 $x$从$x_0$的左侧无限接近$x_0$（$x\rightarrow x_{0}^{-}$ ）

• 也要考虑$x$从$x_0$的右侧无限接近$x_0$（ $x\rightarrow x_{0}^{+}$）左极限：$f(x_{x}^{-})=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)} = A$ $x$从$x_{0}$的左侧趋于$x_{0}$

• 定义修改： $0<x_{0}-x<\delta$

右极限： $f(x_{x}^{+})=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)} = A$ $x$从$x_{0}$的右侧趋于$x_{0}$

• 定义修改： $0<x-x_{0}<\delta$

总结：

• 左极限和右极限统称为单侧极限
• $\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=A\Leftrightarrow f(x_{0}^{+})=f(x_{0}^{-})= A$
• $x\rightarrow x_{0}$时$f(x)$的极限存在$\Leftrightarrow$左右极限均存在且相等。如果$f(x_{0}^{+})、f(x_{0}^{-})$中有一个不存在，或者两个虽然存在，但是不相等，则$\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)}$ 不存在 ②、自变量趋于无穷大（ $\infty$ ）时函数的极限 定义：任意给定正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在一个正数X，使得当$|x|>X$时，有$|f(x)-A|<\varepsilon$

那么叫： $\lim_{x \rightarrow \infty}{f(x)} = A （常数）$

• 简单的定义： $\lim_{x \rightarrow \infty}{f(x)} = A\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0, \exists X>0,当|x|>X时，恒有|f(x)- A|<\varepsilon$

• 若 $\forall \varepsilon>0,\exists X>0$,当$x>X$时，恒有|$f(x)-A$|<$\varepsilon$,则$\lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)}=A$

• 若 $\forall \varepsilon>0,\exists X>0$,当$x<-X$时，恒有|$f(x)-A$|<$\varepsilon$,则$\lim_{x \rightarrow -\infty}{f(x)}=A$ 几何上面的定义： 作直线 $y=A-\varepsilon和y=A+\varepsilon$，总有一个正数X存在，使得当x<-X或x>X时，函数$y=f(x)$ 的图形位于这两直线之间。直线y=A是函数的图形的水平渐近线 当 $\varepsilon$逐渐变小，$X$ 也随之变大。$\varepsilon$具有任意性，而X对于$\varepsilon$有着依赖性，它随着$\varepsilon$的变化而变化。但是X的取值不是唯一的，我们只需要找一个满足条件的X即可 $x\rightarrow +\infty$ (x>0且无限增大)

• 修改定义 $|x|>X为x>X$

• 得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = A$

$x\rightarrow -\infty$ (x<0且|x|无限增大)

• 修改定义 $|x|>X为x<-X$
• 得 $\lim_{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = A$ 2、函数极限的性质 定理1：函数极限唯一性

定理2：函数极限的局部有界性如果 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A$ ，那么存在常数$M>0$(界)和$\delta>0 $，使得$0<|x-x_{0}|<\delta$（局部）时，有$f(x)\leq M$

定理3：函数极限的局部保号性如果 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A$ ，且A>0(或A<0) 那么存在常数$\delta>0$，使得$0<|x-x_{0}|<\delta$（局部）时，有$f(x)>0(或f(x)<0)$(保号)

3、函数数列与数列极限的关系

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A$ （函数极限）

{$x_{n}$} $\rightarrow x_{0}$ （数列）

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} =\lim_{n \rightarrow \infty}{f(x_{n})}= A$

4、函数极限的计算方法

以下下标没有标注表示： $x\rightarrow x_0或x\rightarrow \infty$ 结论都成立

若 $\lim_{}{f(x)}=A，\lim_{}{g(x)}=B$

• $\lim_{}{[kf(x)\pm lg(x)]}=k\lim_{}{f(x)}\pm l\lim_{}{g(x)}=kA \pm lB$ (其中k、l为常数)
• $\lim_{}{[f(x)\cdot g(x)]}=\lim_{}{f(x)}\cdot \lim_{}{g(x)}=A\cdot B$特别的，若$\lim_{}{f(x)}$存在，$n$为正整数，则$\lim_{}{[f(x)]^n}[\lim_{}{f(x)}]^n$
• $\lim_{}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{}{f(x)}}{\lim_{}{f(x)}}=\frac{A}{B}(\lim_{}{f(x)}\ne 0,B\ne 0)$

Reference

【高等数学】极限的概念和性质 - 知乎

导数

概念

函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数f的自变量在一点x0上产生一个增量h时，函数输出值的增量与自变量增量h的比值在h趋于0时的极限如果存在，即为f在x0处的导数，记作f′(x0)、dfdx(x0)或dfdx|x=x0。

导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导(可微分)，否则称为不可导(不可微分)。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

对于可导的函数f，x↦f′(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导（英语：differentiation）。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的:372。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

定义

假设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$($x_0 + \Delta x$仍然在$x_0$的邻域内)，相应的函数取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$。如果$\frac{\Delta y}{\Delta x}$在$\Delta x \to 0$时的极限存在，称为函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导。它的导数写成$f'(x_0)$

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

$f'(x_0)$也可以记成$\displaystyle\frac{dy}{dx}$，或者$\displaystyle\frac{df(x)}{dx}$。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果$\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=a$。那么，对于某个正数$\epsilon$，对于任何正数$\delta$，都有$0 < |x - x_0| < \delta$时，$|f(x) - a| \geq \epsilon$。那么就称为$x \to x_0$时，$f(x)$的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当$\Delta x \to 0$时:

$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0 + \Delta x) = a$

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近$x_0$还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数$f(x)$在$x_0$点可导的充分必要条件就是，函数在$x_0$处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是$\frac{\Delta y}{\Delta x}$在$\Delta x \to 0$时存在。即：

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$

我们把极限符号去掉：

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) + a$

这里的a是$\Delta \to 0$时的无穷小，我们队上式两边同时乘上$\Delta x$，可以得到：

$\Delta y=f'(x)\Delta x + a\Delta x$

由于$a和\Delta x$都是无穷小，并且$f'(x)$存在，所以$\Delta y$也是无穷小。而连续的定义就是当$\Delta x \to 0$时，$\Delta y$也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

$f(x) = |x|$

我们试着来证明：$f(x)$在$x=0$处不可导。

$\begin{aligned} f'_{-}(0)&=\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \newline f'_+(0)&=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned}$

由于$f(x)$在$x=0$处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以$f(x)$在$x=0$处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

1. $f(x)=C$，C是常数。$f'(x)=0$
2. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$
3. $f(x)=\sin x$，$f'(x)=\cos x$
4. $f(x)=\cos x$，$f'(x)=-\sin x$
5. $f(x)=a^x$， $f'(x)=a^x\ln a$
6. $f(x)=\log_ax$，$f'(x)=\frac{1}{x\ln a}, (a > 0, a \neq 0)$
7. $f(x)=\ln x$， $f'(x)=\frac{1}{x}$

一般定义

$f^{'}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

直观上代表函数值从 到 的变化量，那这样，

代表的是从 到 的平均变化率，如果把  趋近于 ，似乎就可以更能贴切的描述函数值在 a 附近的变化。

以此为动机，若实函数 于实数 有定义，且以下极限（注意这个表达式所定义的函数定义域不含 ）

存在则称 于 处可导，并称这个极限为 于 处的导数，记为也可记作 或 dfdx(a)。

根据函数极限的定义，导数定义部分的 ＂存在 使所有的 ，只要 都有....＂ 可以直观的理解为 ＂当 趋近于 都有....＂，但要把它写成严谨的定义，会碰到 ＂存在 对所有的实数 ，只要  且 都有....＂这段叙述无法直接套入极限定义的问题，对此必须把以下的表达式

定义为导数原始极限表达式的简记，而非另一种自动合法的导数定义。但如果存在 ，使 在 里都有定义，那定义 为以

为定义域，然后以

为对应规则的函数，那以下的极限式

就可以把以 h 为自变数的偏差，将之趋近于零求导数的想法纳入正式的运算里。

几何定义

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设为曲线上的一个定点为曲线上的一个动点。当沿曲线逐渐趋向于点时，并且割线的极限位置存在，则称为曲线在处的切线。

若曲线为一函数的图像，那么割线（粉红色）的斜率为：

当处的切线（橘红色），即的极限位置存在时，此时，，则的斜率为：

上式与一般定义中的导数定义完全相同，也就是说，因此，导数的几何意义即曲线在点处切线的斜率。

此外

一、 导数与导函数1.1 平均速度与瞬时速度汽车行驶了120km，用时1小时，则平均速度：120km/时

于是就可得到一个函数：行驶距离(S)=平均速度(v)×用时单位(t)

写做：S=vt，所以v=S/t，展开如下：

$平均速度(V)=\frac{行驶距离}{用时}=\frac{终点值-起点值}{终点时刻-起点时刻}=\frac{S-S_{0}}{t-t_{0}}$

如果想知道，汽车行驶中，具体某一时刻的瞬间的速度（瞬时速度）呢？

来个具体的例子：假设一辆汽车，行驶一天（24h）能开1200km

现在想知道一天中：处于12:00时汽车的瞬时速度

通过拆分，我们可以将每小时拆分成60分钟

60分钟再拆分成3600秒

当然还能继续拆分成毫秒，和无限小的计时单位

那么要计算12点的瞬时速度

我们可以取11:59:59至12:00:00的行驶距离/用时(1秒）

同样还可取12:00:00至12:00:01的行驶距离/用时(1秒）

通过上面的方法，就是取无限逼近于12点，但不等于12点的行驶距离/用时

计算得出的值，就可以代表12点时的瞬时速度

于是，可以得到这样一个式子

$瞬时速度(V)=\frac{瞬时距离}{瞬时用时}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}{\frac{\Delta S}{\Delta t}}=\frac{S-S_{0}}{t-t_{0}}$

$\Delta$ 读：德尔塔，在微积分中用来形容前后的差值是极小的

$\Delta S = S-S_{0}$ ：表示前后行驶了非常小的距离

$\Delta t=t-t_{o}$ ：表示前后行驶了非常少的时间

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ 指在该点处，瞬间用时无限逼近于0，但不等于0的状态，就是<极限>

$\lim_{\Delta t\rightarrow 0}{\frac{\Delta S}{\Delta t}}$ ：表示在极限状态下，某一个时刻的瞬时速度

1.2 平均变化率与瞬时变化率上面的例子中：S=vt，这是一个等式，当存在未知数的时候即是一个方程

当然，它也是一个函数， $(S=vt) \Leftrightarrow (y=ax) \Leftrightarrow(f(x)=ax)$

所以平移到函数的情景下，平均速度就摇身一变成为了：平均变化率

而瞬时速度，就等同于瞬时变化率

虽然叫法不同了，本质上都是在形容或代表：某种变化程度的快与慢

于是，我们可以将上面的式子，写成这样的一个函数

$f^{'}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

这就是求出导函数的公式，用来求某一个值的导数值

比如：要求x=1时的导数值，将1代入导函数中

就可以求出x=1时的导数值，也就是x=1时的瞬时变化率

所以导数值，就是瞬时变化率

二、导数的几何意义2.1 什么是切线① 与函数图像上的某个点相交的一条直线

② 将一条割线的AB两点，通过向某个点无限逼近的方式，得到的一条直线

③ 一条切线是相对于某个点来说的，该切线可能会经过函数图像上的多个点

2.2 切线方程与导数的关系切线是一条直线，在图像上就是一个一次函数：$y=kx+b$

一次函数等同于该切线的方程，而一次函数中的k，代表是斜率

k=0时，该直线与X轴平行或就在X轴上

k>0时，该直线向上，单调递增

k<0时，该直线向下，单调递减

一个函数的导函数就等于k，所以导函数就切线方程的斜率

2.3 点斜式求出切线方程因为切线是一条AB两点的割线，某一点无限逼近于另一点的直线

在这里，我们设求A点的切线，即A与B点的割线，由B处无限逼近于A点

那么我们设A点的切线方程： $y_{0}=kx_{0}+b$

无限逼近于A的C点的切线方程： $y=kx+b$

因为AC在一条直线上，然后相减得到：

$y-y_{0}=kx+b-kx_{0}-b$

化简后得到切线的方程：

$y=k(x-x_{0})+y_{0}$

而K，就是原函数的导函数：

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

代入后得到最终式：

$y=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}(x-x_{0})+y_{0}$

常见函数的导数与推导

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{函数} & \text{导数} \newline \hline e^{x} & (e^{x})' = e^{x} \newline \hline \ln x & (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \newline \hline \log_a x & (\log_a x)' = \dfrac{1}{x \cdot \ln a} \newline \hline a^x & (a^x)' = a^x \cdot \ln a \newline \hline x^n, \thickspace x \in \mathbb{N}^* & (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \newline \hline x^n, \thickspace x \in \mathbb{R} & (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \newline \hline \sin x & (\sin x)' = \cos x \newline \hline \cos x & (\cos x)' = -\sin x \newline \hline \end{array} $$ $1.e^x$

这是一个神奇的函数，它的导数等于它本身，通过这个函数，可以推出很多函数的导函数。

但高中对 $e$ 的研究很少，使得在高中阶段这个函数的求导不好直接证明。需要一定的高数知识。

这里我利用一个 $e$的表达式来推导$e^x$的导数：$e=\lim_{x \rightarrow0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

$(e^x)^{'} \newline=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x} \newline=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^x\cdot \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}$

令 $t=e^{\Delta x}-1$, 得到$\ln (t+1)=\Delta x$

$$\begin{aligned}(e^x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^{x}\cdot\frac{t}{\ln (t+1)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^x\cdot \frac{1}{\frac{1}{t}\cdot \ln(t+1)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^x\cdot \frac{1}{\ln(t+1)^\frac{1}{t}}\end{aligned}$$

当 $\Delta x\rightarrow0$时$t=e^{\Delta x}-1\rightarrow0$ ，所以

${(e^x)^{'} \newline=e^x\cdot \frac{1}{\ln e} \newline=e^x}$

2. $\ln x$

这个函数同样要利用到 $e=\lim_{x \rightarrow0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ 来求导。

$$\begin{aligned}(\ln x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(x\cdot(1+\frac{\Delta x}{x}))-\ln x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})+\ln x-\ln x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \ln(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} \newline&=\frac{1}{x}\cdot \ln e \newline&=\frac{1}{x}\end{aligned}$$

3. $log_a x$

这个函数求导将用到换底公式 $log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$，以及$\ln x$ 导函数的性质。

$$\begin{aligned}(log_ax)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{log_a(x+\Delta x)-log_ax}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_a(x\cdot(1+\frac{\Delta x}{x}))-\log_a x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})+\log_a x-\log_a x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln(1+frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}\cdot \ln a}\end{aligned}$$

$\frac{\ln (1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}$当$\Delta x\rightarrow0$时，等于$(\ln 1)^{'}=1$ ，所以

$(log_a x)^{'}=\frac{1}{x\cdot\ln a}$

4. $a^x$

${(a^x)^{'} \newline=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x} \newline=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}a^x\cdot \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} }$

令 $t=a^{\Delta x}-1$,$log_a (t+1)=\Delta x$

${(a^x)^{'} \newline=\lim_{\Delta x\rightarrow0}a^x\cdot \frac{t}{log_a (t+1)} \newline=\lim_{\Delta x\rightarrow0}a^x\cdot \frac{t\cdot\ln a}{\ln (t+1)} }$

当 $\Delta x\rightarrow0$时$t\rightarrow 0$,$\frac{t}{\ln (t+1)}$是$\ln x$在$x=1$ 处导数的倒数。所以，

$(a^x)^{'}=a^x\cdot \ln a$

5. $x^n\quad x\in N^*$

它的导函数的推导将用到二项式定理： $(a+b)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r \cdot a^{n-r}\cdot b^r$

$$\begin{aligned}(x^n)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sum_{r=0}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^r-x^n}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sum_{r=1}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^r}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}{\sum_{r=1}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^{r-1}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}C_n^1\cdot x^{n-1}+{\sum_{r=2}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^{r-1}} \newline&=n\cdot x^{n-1}\end{aligned}$$

6. $x^n\quad x\in R$

如果把x扩充到实数域，依旧是成立的。

$$\begin{aligned}(x^n)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{[x\cdot(1+\frac{\Delta x}{x})]^n-x^n}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^n\cdot\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^n-1}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^{n-1}\cdot\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})-1}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^{n-1}\cdot\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^n-1}{log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}\cdot\frac{log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}\end{aligned}$$

令 $t=(1+\frac{\Delta x}{x})^n-1$ ,

$\Rightarrow\quad log_a(t+1)=n\cdot log_a(1+\frac{\Delta x}{x})\quad\Rightarrow\quad{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}=\frac{log_a(t+1)}{n}$所以

$$\begin{aligned}(x^n)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^{n-1}\cdot\frac{t}{\frac{log_a(t+1)}{n}}\cdot\frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}n\cdot x^{n-1}\cdot\frac{t}{ {log_a(t+1)}}\cdot\frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}\end{aligned}$$

当 $\Delta x\rightarrow0$时$t\rightarrow0$ ,可认为：

$\frac{t}{log_a(t+1)}=\frac{1}{(log_a1)^{'}}$，$\frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}=(log_a1)^{'}$ ，所以

$(x^n)^{'}=n\cdot x^{n-1}\quad x\in R$

7. $\sin x$

想要求这个函数的导函数，需要先了解一个重要的极限式 $\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{sin \Delta x}{\Delta x}=1$

当 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ 时，看看下面的三角函数图，我们尝试证明这个极限式。

根据弧度制当 $\alpha=x$时$GH=\sin x$，$GE=x$，$FE=\tan x$

显然： $\sin x\leq x\leq\tan x$

由 $\sin x\leq x$得$\frac{\sin x}{x}\leq1$，由$x\leq\tan x$得$\frac{\sin x}{x}\geq\cos x$

当 $x\rightarrow0$时$\cos x\rightarrow 1$

得到： $1\leq\frac{\sin x}{x}\leq1$ ，

即得证 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{sin x}{x}=1$

得到上述极限式，再结合三角函数和差化积的公式即可。

和差化积公式：

$$\begin{aligned}&\sin\alpha+\sin\beta=2\cdot\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \newline&\sin\alpha-\sin\beta=2\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \newline&\cos\alpha+\cos\beta=2\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \newline&\cos\alpha-\cos\beta=-2\cdot\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&(\sin x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\cdot\cos(\frac{x+\Delta x+x}{2})\cdot\sin(\frac{x+\Delta x-x}{2})}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\cdot\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \newline&=\cos x\end{aligned}$$

8. $\cos x$

$$\begin{aligned}&(\cos x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}-\frac{2\cdot\sin(\frac{x+\Delta x+x}{2})\cdot\sin(\frac{x+\Delta x-x}{2})}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}-\frac{\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\cdot\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \newline&=-\sin x\end{aligned}$$ $$ \#\# <font color=red>求导</font> \#\#\# 导数的运算法则与推导 $1. [f(x)\pm g(x)]^{'}=f(x)^{'}\pm g(x)^{'}$ $2.[f(x)\cdot g(x)]^{'}=f(x)^{'}\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x)$ $3.[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'}=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}$ 前导后不导，后导前不导可以当做乘法法则和除法法则的记忆口诀，注意加减号。 以下给出上面三个法则的推导 $$\begin{aligned}1.[f(x)+g(x)]^{'}\&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)}{\Delta x} \&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \&=f(x)^{'}+g(x)^{'}\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}2.[f(x)\cdot g(x)]^{'} \&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x )-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x} \&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-g(x)\cdot f(x+\Delta x)+g(x)\cdot f(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x} \&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)\cdot[f(x+\Delta x)-f(x)])}{\Delta x} \&=f(x)^{'}\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x)\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}3.[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'} \&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x} \&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-g(x+\Delta x)\cdot f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)\cdot f(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot[g(x)-g(x+\Delta x)]+g(x+\Delta x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]-f(x+\Delta x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \&=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}\end{aligned}$$ 还可以尝试对数求导法证明上面的公式，以 $[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'}$ 为例。 令 $y=[\frac{f(x)}{g(x)}]$ 两边同取 $e$的对数得：$\ln y=ln [\frac{f(x)}{g(x)}]\quad,\quad\ln y=\ln f(x)-\ln g(x)$ 两边同时求导： $\frac{1}{y}\cdot y^{'}=\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}$ 然后： $y^{'}=[\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}]*y\quad,\quad y^{'}=[\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}]\cdot [\frac{f(x)}{g(x)}]$ 得证： $y^{'}=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}$ 如果你想求导多个函数乘积，不妨试试对数求导法。 \text{---} 加减 $\begin{aligned} (u \pm v)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) \pm v(x + \Delta x)) - (u(x) \pm v(x))}{\Delta x} \newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x)) }{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x} \newline[2ex] &= u' \pm v' \end{aligned}$ 乘乘法和除法都是凑了一项，感觉很巧妙$\begin{aligned} (uv)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} \newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x + \Delta x)v(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x)}{\Delta x}\newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)[v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x)[u(x + \Delta x) - u(x)]}{\Delta x} \newline[2ex] &= u(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} + v(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \newline[2ex] &= uv' + vu' \end{aligned}$ 第三步到第四步，因为 $v(x)$与极限中的变量$\Delta x$无关，因此可以提到极限的外面，这样右边的式子容易看出就是​$v(x)u'(x)$ ，问题在于左边的部分。 根据连续的定义， $\lim_{\Delta x \to 0}u(x + \Delta x) = u(x)$ ​，这样就可以先计算这个因子的极限然后提到外面来，得到和右边相同的结构了。 除第二步到第三步同样用到了函数连续的定义 $\begin{aligned} (\frac{u}{v})' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - v(x + \Delta x)u(x)}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - v(x + \Delta x)u(x)}{\Delta x} \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} [\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x)}{\Delta x} + \frac{u(x)v(x) - v(x + \Delta x)u(x)}{\Delta x}] \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} [v(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + u(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x) - v(x + \Delta x)}{\Delta x}] \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} [v(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} - u(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}] \newline[2ex] &= \frac{vu' - uv'}{v^2} \end{aligned}$ \#\#\# 复合函数求导与链式法则的推导 对于一个复合函数，如 $h(x)=f(g(x))$ 如果它可导，则 $h^{'}(x)=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)$ $$ 如果有多个函数嵌套在一起，你只需要一层层递归下去用基本函数的求导公式乘在一起即可。

那，如何理解这个链式法则？

我们先用一个例子直观感受一下。

假如说 $x$变大$\Delta x$时,$g(x)$变大$3$倍，$g(x)$变大$\Delta x$时,$f(g(x))$变大$4$ 倍。

那么当 $x$变大$\Delta x$时，$f(g(x))$就变大$3\times 4=12$ 倍。

如果当 $\Delta x\rightarrow0$ 呢？

把上面的数字换成相应的导数，也就得到了 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

如果你觉得不够，下面给出稍微严谨一点的证明。

$\begin{aligned}[f(g(x))]^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \newline&=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)\end{aligned}$

常用求导公式速查

• 常数：$(C)'=0$。
• 幂函数：$(x^n)'=nx^{n-1}$，$n\in\mathbb{R}$（在定义域内）。
• 常数倍：$(C\cdot f(x))'=C\cdot f'(x)$。
• 和差：$(f\pm g)'=f'\pm g'$。
• 指数函数：$(e^{u(x)})'=e^{u(x)}\cdot u'(x)$；$(a^{u(x)})'=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x)$，$a>0$。
• 对数函数：$(\ln u(x))'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$（$u(x)>0$）。
• 三角函数：
  • $(\sin u)'=\cos u\cdot u'$，
  • $(\cos u)'=-\sin u\cdot u'$，
  • $(\tan u)'=\sec^2 u\cdot u'$。
• 反三角函数：
  • $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$（$|x|<1$），
  • $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$。
• 复合函数（链式法则）：$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$。
• 乘法：$(f\cdot g)'=f'g+fg'$。
• 除法：$\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$（$g\neq0$）。

进阶技巧与方法

• 对数求导（适用于含幂的乘积或变指数形式）
  • 适用情形：$y=\prod u_i(x)^{a_i(x)}$或$y=x^x$ 等。
  • 步骤：两边取 $\ln$，变乘积为和、幂为乘，然后求导再解出 $y'$。
  • 例：$y=x^x\Rightarrow \ln y=x\ln x\Rightarrow \dfrac{y'}{y}=\ln x+1\Rightarrow y'=x^x(\ln x+1)$。
• 隐函数求导
  • 当方程以 $F(x,y)=0$给出且无法显式解出$y$时，用全微分或两边对$x$求导并解出$y'$。
  • 例：$x^2+y^2=25\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$（$y\neq0$）。
• 参数方程求导
  • 若 $x=x(t),\ y=y(t)$，且 $dx/dt\neq0$，则 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$。
• 高阶导数与 Leibniz 公式
  • $f^{(n)}$表示第$n$ 阶导数。
  • Leibniz（乘积）公式：$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$。
• 反函数求导
  • 若 $y=f(x)$单调且可微，反函数$x=f^{-1}(y)$在对应点可微，且$(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$（其中 $x=f^{-1}(y)$）。
  • 例：$f(x)=e^x$，$f^{-1}(x)=\ln x$，$(\ln x)'=1/x$。

常见错误与注意点

• 链式法则中常忘记乘上内层导数 $u'(x)$。
• 对数求导时忘记最后把 $y$乘回去（即求出$y'/y$后需乘以$y$）。
• 隐函数求导时忘记对 $y$ 项使用链式法则（$d(y)/dx=y'$）。
• 在求导时必须注意函数的定义域（如 $\ln x$仅在$x>0$）。
• 使用幂规则 $nx^{n-1}$ 时，$n$ 可以为分数或负数，但要求原函数在当前点可导（定义域问题）。

典型例题（含步骤）

例 1（幂与链式混合）

• 题目：求 $f(x)=(3x^2+1)^{5}$ 的导数。
• 解：
  • 令 $u=3x^2+1$，$f=u^{5}$，因此 $f'=5u^4\cdot u'$。
  • $u'=6x$，所以 $f'=5(3x^2+1)^4\cdot 6x=30x(3x^2+1)^4$。

例 2（乘法与链式）

• 题目：求 $g(x)=e^{2x}\sin x$ 的导数。
• 解：
  • 用乘法法则：$g'= (e^{2x})' \sin x + e^{2x}(\sin x)'$。
  • $(e^{2x})'=e^{2x}\cdot2$，$(\sin x)'=\cos x$。
  • 因此 $g'=2e^{2x}\sin x + e^{2x}\cos x = e^{2x}(2\sin x+\cos x)$。

例 3（对数求导）

• 题目：求 $y=x^x$（$x>0$）的导数。
• 解：
  • $\ln y=x\ln x$。
  • 两边求导：$\dfrac{y'}{y}=1\cdot\ln x + x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1$。
  • 所以 $y'=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$。

例 4（隐函数求导）

• 题目：设 $x^2+xy+y^2=7$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
• 解：
  • 对两边关于 $x$ 求导：$2x + (x\cdot y)' + 2y y' = 0$。
  • $(x\cdot y)' = x y' + y$（乘积法则）。
  • 所以 $2x + x y' + y + 2y y' = 0$。
  • 合并 $y'$ 项：$(x+2y) y' + (2x + y)=0$。
  • 得到 $y' = -\dfrac{2x+y}{x+2y}$（当 $x+2y\neq0$）。

例 5（参数方程）

• 题目：$x=\cos t,\ y=\sin t$，求 $\dfrac{dy}{dx}$（$t$ 非特殊值时）。
• 解：
  • $dx/dt=-\sin t$，$dy/dt=\cos t$。
  • 因此 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t$（当 $\sin t\neq0$）。

例 6（Leibniz 公式示例 n=3）

• 题目：求 $(fg)^{(3)}$ 的一般展开形式。
• 解（应用公式）：
  • $(fg)^{(3)}=f^{(3)}g+3f''g'+3f'g''+fg^{(3)}$。

例 7（反函数导数）

• 题目：已知 $y=e^{x}+x$，求其反函数在点 $y_0=e^{0}+0=1$处的导数$(f^{-1})'(1)$。
• 解：
  • 对应的 $x$是 0（因为$f(0)=1$）。
  • $f'(x)=e^{x}+1$，所以 $f'(0)=2$。
  • 因此 $(f^{-1})'(1)=1/f'(0)=1/2$。

练习题（建议先做再看答案）

• 练 1：求 $h(x)=\sqrt{x^3+1}$ 的导数（写成简洁的幂形式）。
• 练 2：求 $p(x)=\ln(\sin x^2)$ 的导数（注意定义域）。
• 练 3：求 $y=\dfrac{x^2 e^{x}}{(1+x)^3}$ 的导数。
• 练 4：用隐函数求导：$x^3+y^3=6xy$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
• 练 5：求 $f(x)=(\sin x)^{\cos x}$在$x=\pi/4$ 处的导数（提示用对数求导）。
• 练 6（Leibniz 应用）：已知 $f(x)=x^2$，$g(x)=e^x$，求 $(fg)^{(3)}(x)$。
• 练 7（参数）：设 $x=t^2+1,\ y=t^3- t$，求 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$（二阶导数，先求 dy/dx，再对 t 求导并除以 dx/dt）。

练习答案（简要）

• 练 1：
  • $h(x)=(x^3+1)^{1/2}\Rightarrow h'=\tfrac{1}{2}(x^3+1)^{-1/2}\cdot 3x^2=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}}$。
• 练 2：
  • $p(x)=\ln(\sin x^2)\Rightarrow p'=\dfrac{1}{\sin x^2}\cdot\cos x^2\cdot(2x)=\dfrac{2x\cos x^2}{\sin x^2}=2x\cot x^2$（定义域要求 $\sin x^2>0$ 或注意主值）。
• 练 3：
  • 写成乘商并用商法则或先对数求导也行。直接用商与乘规则可得：
  • $p'=\dfrac{(2x e^x + x^2 e^x)(1+x)^3 - x^2 e^x\cdot 3(1+x)^2}{(1+x)^6}$，可提取公因子进一步简化为
  • $p'=\dfrac{x e^x(2+ x)(1+x) - 3x^2 e^x}{(1+x)^4}$，可继续化简（根据需要再合并）。
• 练 4：
  • 对两边求导：$3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$。
  • 整理 $y'$ 项：$3y^2 y' - 6x y' = 6y - 3x^2$。
  • 得到 $y' = \dfrac{6y-3x^2}{3y^2-6x} = \dfrac{2y-x^2}{y^2-2x}$（当分母不为 0）。
• 练 5：
  • 令 $y=(\sin x)^{\cos x}$，$\ln y=\cos x\ln(\sin x)$。
  • 求导：$\dfrac{y'}{y}=-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}$。
  • 在 $x=\pi/4$ 代入：$\sin\pi/4=\cos\pi/4=\tfrac{\sqrt{2}}{2}$，得
  • $\dfrac{y'}{y}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\ln(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tfrac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\ln(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) + \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{\sqrt{2}} = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\ln(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) + \tfrac{1}{\sqrt{2}}$。
  • 最后 $y'=y\cdot$上式，且$y(\pi/4)=(\tfrac{\sqrt{2}}{2})^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}$。
• 练 6：
  • 先求一般 Leibniz 展开：$(fg)^{(3)}=f^{(3)}g+3f''g'+3f'g''+fg^{(3)}$。
  • 对于 $f=x^2$，$f'=2x,\ f''=2,\ f^{(3)}=0$；$g=e^x$，所有阶导数均为 $e^x$。
  • 代入：$(fg)^{(3)}=0\cdot e^x + 3\cdot 2\cdot e^x + 3\cdot 2x\cdot e^x + x^2 e^x = e^x(6 + 6x + x^2)$。
• 练 7（提示解法）：
  • 先求 $dx/dt=2t$，$dy/dt=3t^2-1$，所以 $dy/dx=(3t^2-1)/(2t)$。
  • 二阶导数（链式/链商写法）： $$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) =\frac{\dfrac{d}{dt}\negthinspace\left(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\right)}{dx/dt} =\frac{\dfrac{d}{dt}\negthinspace\left(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}. $$ 更常用且已化简的显式公式（用到对 t 的二阶导数）为： $$ \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{\bigl(d^2y/dt^2\bigr)\thinspace(dx/dt)-\bigl(dy/dt\bigr)\thinspace(d^2x/dt^2)}{(dx/dt)^3}, $$ 前提仍然是 $dx/dt\neq0$。

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偏导与拉格朗日乘数法（要点、证明与例题）

一、偏导数的定义与计算规则

• 多元函数的偏导：对 $f(x_1,\dots,x_n)$固定除第$i$个变量外的其余变量，把$f$看作关于$x_i$ 的函数，偏导定义为 $$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a_1,\dots,a_i+h,\dots,a_n)-f(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)}{h}. $$
• 常用规则与性质（与一元求导类似，但每次只对一个变量求导）：
  • 线性：$\partial(\alpha f+\beta g)/\partial x_i=\alpha f_{x_i}+\beta g_{x_i}$。
  • 积的偏导：$(fg)_{x_i}=f_{x_i}g+f g_{x_i}$（固定其余变量）。
  • 复合链式法则：若 $z=f(u_1(t),\dots,u_n(t))$，则 $$ \frac{dz}{dt}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial u_i}\frac{du_i}{dt}. $$
  • 混合二阶偏导：若 $f_{x_i x_j}$与$f_{x_j x_i}$在邻域连续，则$f_{x_i x_j}=f_{x_j x_i}$（Clairaut / Schwarz 定理）。

二、方向导数与梯度

• 方向导数沿单位向量 $u=(u_1,\dots,u_n)$： $$ D_{u}f(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+hu)-f(a)}{h}=\sum_{i=1}^n f_{x_i}(a)u_i. $$
• 梯度（gradient）：$\nabla f=(f_{x_1},\dots,f_{x_n})$。方向导数可写为内积 $D_u f=\nabla f\cdot u$。
• 几何意义：梯度方向是函数在该点增长最快的方向，梯度的模是该最大增长率。

三、多元极值的必要条件与 Hessian

• 若 $f$在内部点$a$可微且在该点取得无约束极值，则$\nabla f(a)=0$（驻点条件）。
• Hessian 矩阵 $H_f(a)=(\partial^2 f/\partial x_i\partial x_j)$用于二阶判别。对于$n=2$，
  • 若 $H$ 在点为正定，则极小；若负定则极大；若既非正定也非负定则为鞍点。
• 注意：若 $\nabla f(a)=0$ 只是必要条件，不保证极值（还需二阶信息或更高阶）。

四、约束极值问题与拉格朗日乘数法（直观与证明）

• 问题形式（单约束）：在约束 $g(x)=0$ 下求极值，$f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 可微。
• 直观几何解释：
  • 约束 $g(x)=0$ 定义了一个曲面（或曲线）$S$，在满足约束的点上取极值时，沿曲面任意切向量方向的函数变化为零。
  • 切空间的所有向量都与 $\nabla g$正交（因为$\nabla g$指向等高面法向），所以$\nabla f$必也与所有切向量正交，故$\nabla f$与$\nabla g$ 平行。
  • 因此存在 $\lambda$ 使得 $$ \nabla f(x)=\lambda \nabla g(x). $$
  • 这就是拉格朗日乘数条件（必要条件）。
• 严格推导（利用隐函数定理或约化到一元）：若在解点 $a$有$\nabla g(a)\neq0$，可局部以 $x_n$表示为$x_n=h(x_1,\dots,x_{n-1})$，把约束代入得到一元无约束极值问题，对其它变量求偏导并归结出上式。于是得到方程组： $$ \nabla f(x)=\lambda \nabla g(x),\qquad g(x)=0. $$
• 对于多约束（$g_1(x)=0,\dots,g_m(x)=0$），同理有存在乘子 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 使得 $$ \nabla f(x)=\sum_{j=1}^m \lambda_j \nabla g_j(x),\qquad g_j(x)=0,\ j=1,\dots,m. $$ 即梯度 $\nabla f$ 在受限点属于由约束梯度张成的线性子空间（线性组合）。

五、二阶充分条件（简要）

• 构造拉格朗日函数 $L(x,\lambda)=f(x)-\sum_{j=1}^m\lambda_j g_j(x)$。在满足一阶条件的点，判断极值要考察 $f$在约束的切空间上的二阶变化，即考察$H_f$ 在切空间上的限制。常用方法包括用边界 Hessian（bordered Hessian）或检验二次型在切空间上的正定性。
• 这里不展开详细判别式（高维略复杂），通常课程中给出边界 Hessian 的表述或直接把问题化为无约束（消元）再用二阶导数判断。

六、典型例题（逐步计算）

例 1（单约束，几何直观）

• 问：在单位圆 $x^2+y^2=1$上求$f(x,y)=xy$ 的最大值与最小值。
• 解（拉格朗日法）：
  • 构造 $L(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x^2+y^2-1)$。
  • 对 $x,y,\lambda$ 求偏导并解： $$ L_x=y-2\lambda x=0,\quad L_y=x-2\lambda y=0,\quad x^2+y^2-1=0. $$
  • 若 $x$或$y$为 0，则由约束得另一为 ±1，计算得$f=0$（不是极值的候选最大值）。
  • 假设 $xy\neq0$，解前三式：由前两式得 $y=2\lambda x$与$x=2\lambda y$，代入得 $x=(2\lambda)^2 x$，若 $x\neq0$则$(2\lambda)^2=1\Rightarrow 2\lambda=\pm1$。
    • 若 $2\lambda=1$，则 $y=x$，代入约束得 $2x^2=1\Rightarrow x=y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，此时 $f=\pm\frac12$。
    • 若 $2\lambda=-1$，则 $y=-x$，代入得 $x=-y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，此时 $f=\mp\frac12$（与上互换符号）。
  • 结论：最大值 $1/2$（在 $(1/\sqrt2,1/\sqrt2)$），最小值 $-1/2$（在 $(1/\sqrt2,-1/\sqrt2)$ 等点）。

例 2（带两个变量与线性约束，消元对比）

• 问：在直线 $x+2y=8$上，求使$f(x,y)=x^2+y^2$ 最小的点（即距离原点最近点）。
• 解（拉格朗日）：
  • $L=x^2+y^2-\lambda(x+2y-8)$。
  • 方程： $2x-\lambda=0,\ 2y-2\lambda=0,\ x+2y-8=0$。
  • 得到 $x=\lambda/2,\ y=\lambda$，代入约束： $\lambda/2+2\lambda=8\Rightarrow (5/2)\lambda=8\Rightarrow\lambda=16/5$。
  • 因此点 $(x,y)=(8/5,16/5)$，最小值 $f= (8/5)^2+(16/5)^2= (64+256)/25=320/25=64/5$。
• （可用代数消元得同样结果：把 $x=8-2y$ 代入并求一元函数最小值。）

例 3（三元变量与平面约束，距离到平面的最短点）

• 问：求点 $(1,2,3)$到平面$x+y+z=1$ 的最近点。
• 解（最小化平方距离）：令 $f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2$，约束 $g(x,y,z)=x+y+z-1=0$。
  • 构造 $L=f-\lambda g$，偏导得到 $2(x-1)-\lambda=0,\ 2(y-2)-\lambda=0,\ 2(z-3)-\lambda=0$，与约束联立。
  • 从前三式得到 $x-1=y-2=z-3=\lambda/2$，所以 $x=y-1,\ z=y+1$ 等关系（或直接求差）。联立约束并解得具体值，最后得到投影点（此处略去中间代数，按需可写出完整计算）。

七、拉格朗日乘数法证明的另一种说明（线性代数视角）

• 在点 $a$上，约束定义的可微曲面$S$的切空间$T_a S$由所有满足$\nabla g_j(a)\cdot v=0$的向量$v$张成（对所有约束 j）。若$f$在约束上有极值，则对任一$v\in T_a S$，方向导数为 0，即 $\nabla f(a)\cdot v=0$。因此 $\nabla f(a)$与$T_a S$的每个向量正交，故$\nabla f(a)$落在由$\lbrace \nabla g_j(a)\rbrace $张成的子空间中，即存在$\lambda_j$使得$\nabla f(a)=\sum_j\lambda_j\nabla g_j(a)$。此即一阶必要条件。
• 该证法既直观又严谨，适用于约束梯度线性无关（约束正则点）的情形。

八、常见应用场景

• 几何：投影、最近点、等距离问题。
• 物理/工程：约束下的最优化（比如能量最小化、最短路线等）。
• 经济学：在预算约束下效用最大化，拉格朗日乘子常解释为“影子价格”或“边际效用/影子价值”。
• 数学：在变分原理、最小二乘法与最优化理论中广泛出现。

九、练习题（建议先做再看答案）

• 练 1：在约束 $x^2+y^2=4$下求最大化$f(x,y)=x+2y$。
• 练 2：利用拉格朗日乘数法求函数 $f(x,y,z)=xyz$在约束$x+y+z=1$下的极值（假设$x,y,z\ge0$）。
• 练 3：求点 $(1,1)$到椭圆$x^2+4y^2=4$上最近点（用最小化$f=(x-1)^2+(y-1)^2$）。
• 练 4（多约束）：在约束 $x+y+z=3$与$x^2+y^2+z^2=5$下，求使$f(x,y,z)=x$ 取得极值的点（提示：使用两个乘子）。
• 练 5：解释拉格朗日乘子 $\lambda$ 在经济学“预算约束最大化”问题中的经济含义。

十、练习答案提示

• 练 1 提示：解方程组 $1=\lambda 2x,\ 2=\lambda 2y,\ x^2+y^2=4$，得到临界点并比较边界（这里边界即圆本身已包含）。
• 练 2 提示：构造 $L=xyz-\lambda(x+y+z-1)$，对 $x,y,z$求偏导得到$yz=\lambda,\ xz=\lambda,\ xy=\lambda$，解得 $x=y=z=1/3$（在非负条件下为极大），极大值 $1/27$。
• 练 3 提示：构造 $L=(x-1)^2+(y-1)^2-\lambda(x^2+4y^2-4)$，解出临界点并选最近点。
• 练 4 提示：建立两个乘子 $\lambda,\mu$，得到方程组 $\nabla f=\lambda \nabla g_1+\mu\nabla g_2$，联立约束解出 $x,y,z$（过程略）。
• 练 5 提示：$\lambda$ 表示在约束边界允许微小松弛时目标函数增加的速率（边际价值）。

三大微分中值定理(简)

1. 罗尔中值定理 设函数满足以下三个条件：

   • $f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续
   • $f(x)$ 在开区间$(a,b)$ 上可导
   • $f(a)=f(b)$ 则存在$\xi \in (a,b)$ ，使得$f'(\xi)=0$，$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 连续是必须的，否则有可能没有。

   可能有的同学觉得，定理中的条件“$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 连续、在$\color{ForestGreen}{开区间(a,b)}$ 可导”比较古怪，为什么不是“$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 连续、在$\color{Magenta}{闭区间[a,b]}$ 可导”？大概有两个原因，首先，“开区间可导”条件更弱，包含了“闭区间可导”；其次，”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”，比如：$f(x)= \begin{cases} x(1-x)\sin\frac{1}{x(1-x)},x\in(0,1)\neq 0\newline 0, &x=0,1 \end{cases}$

2. 拉格朗日中值定理 设函数满足以下两个条件：

   • $f(x)$ 在闭区间 上连续
   • $f(x)$ 在开区间$(a,b)$ 上可导 则存在$\xi\in (a,b)$ ，使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

3. 柯西中值定理 设函数$f(x),g(x)$满足以下条件：

   • $f(x),g(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续
   • $f(x),g(x)$ 在开区间$(a,b)$ 上可导
   • $\forall x\in(a,b)$ 有：$g'(x)\neq 0$ 则存在$\xi \in (a,b)$ ，使等式$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$成立。

罗尔：闭连开导两端平，必有导数等于零  
拉格：闭连开导连端点，必有切线平行弦
柯西：两函区间落差比，必为某点导数比

洛必达法则(简)

洛必达法则其实是微分中值定理一个经典的应用。

定义

洛必达法则的本质是一个定理，它规定，如果一个形如$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}$的极限，如果它满足：

1. x趋向于常数a时，函数$f(x)$和$F(x)$都趋向于0
2. 在点a的去心邻域内，$f(x)$和$F(x)$的导数都存在，并且$F'(x) \neq 0$
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{F'(x)}$存在

那么：

$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$

证明

由于函数在a点的去心邻域可导，也就是说函数在这个a的去心邻域内连续。那么我们套用柯西中值定理，在x趋向于a时，可以得到在区间(a, x)内找到一个点$\xi$，使得：

$\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

到这里还差一点，因为还少了一个条件，书上的解释是由于函数比值的极限与函数值无关，所以可以假设f(a)和F(a)等于0。我个人觉得这样有些不厚道，就和证明过程里写易证、易得是一样的。其实我们只要将这两做差，证明一下差值等于0即可。

$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}-\frac{f(x)}{F(x)}$

通分之后，可以得到：

$\lim_{x\to a}f(x)F(a)-f(a)F(x)$

到这里，不难看出来，当x趋向于a的时候，上面的差值趋向于0，所以：

$\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}=\frac{f(x)}{F(x)}$

由于x趋向于a的时候，$\xi$也趋向于a，那么我们就得到了：

$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$

尝试

我们学会了洛必达法则之后就可以活学活用来解决一些比较棘手的极限问题了。比如刚才我们举的例子就再也不是问题了。

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$

再来看一个：

$\lim_{x\to 1}\frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 -x +1}=\lim_{x\to 1}\frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}$

到这里我们还是无法得到结果，看样子是卡壳了。但是别着急，洛必达法则是可以嵌套使用的。原因很简单，只要我们把$f'(x)$看成是新的$f(x)$，$F'(x)$看成是新的$F(x)$，那么我们可以继续使用洛必达法则。也就是说，我们可以得到：

$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}=\frac{f''(x)}{F''(x)}$

当然使用嵌套也存在前提，前提就是二阶导数存在，并且$F''(x)\neq 0$。同样的道理，只要高阶导数存在，并且分母不为0，我们可以一直嵌套下去。所以洛必达法则也可以称为套娃法则[狗头]。有了套娃之后，问题就简单了，上面的问题我们只要往下套就行了：

$\lim_{x\to 1}\frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}=\lim_{x\to 1}\frac{6x}{6x - 2}=\frac{3}{2}$

变形

除了套娃之外，洛必达法则还存在一个著名的变形。前面讨论的使用范畴都是在x趋向于一个常数的情况下的，其实在一些特殊的情况下，当x趋向于正无穷时，我们一样可以套用洛必达法则。和基础版本一样，同样需要函数f(x)和F(x)满足一些条件：

1. x趋向于正无穷时，f(x)和F(x)同时趋向于0或者无穷
2. 存在N使得当|x| > N时，f'(x)和F'(x)都存在，并且F'(x)不等于0
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{F'(x)}$存在

我们来看个例子：$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x^2}$

我们可以看出来，当x趋向于无穷的时候，分子分母都趋向于无穷。所以我们可以使用洛必达法则：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x^2}=0$

总结

洛必达法则在高数当中非常重要，尤其是在计算极限的时候，很多看起来很麻烦的极限在经过洛必达法则的转换之后说不定就简单得多。

但是关于洛必达法则使用的限制看起来有些麻烦，其实我们只需要牢记两点即可。第一点是不管x趋向于什么值，只要保证分子分母同时趋向于0或者是无穷，并且导数存在，且分母的导数不为0即可。也就是说如果分子分母的极限不同时为0或者无穷大，则不能使用洛必达法则。这一点一定要牢记，因为在我们多次使用洛必达法则的过程当中，很有可能出现分子分母不在满足这个条件的情况，我们在使用的时候一定要铭记。

泰勒公式(简)

函数 $f(x)$在$x_0$处的$n$ 阶泰勒多项式为：

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x) $$

其中 $R_n(x)$ 是余项，代表了多项式近似与原函数之间的误差。

---

泰勒中值定理1：如果函数$f(x)$在$x_0$处有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任一$x$，有

$f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''(x_0)}}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$

公式（1-1）称为函数$f(x)$在$x_0$处（或按$(x-x_0)$的幂展开）的带有佩亚诺余项的$n$阶泰勒公式,$R_n(x)$的表达式（1-2）称为佩亚诺余项.

泰勒中值定理2：如果函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内有$（n+1）$阶导数，那么对任一$x\in U(x_0)$,有

$f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''(x_0)}}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$（其中 $\xi$介于$x$与$x_0$ 之间）

公式（2-1）称为函数$f(x)$在$x_0$处（或按$(x-x_0)$的幂展开）的带有拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式,$R_n(x)$的表达式（2-2）称为拉格朗日余项.

当$n=0$时，公式（2-1）变为拉格朗日中值定理公式：

$f(x)=f(x_0)+f^{'}(\xi)(x-x_0)\newline(\xi介于x,x_0之间)$

在公式(1-1)(2-1)中分别令$x_0=0$,则可得

带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$

带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} (0<\theta<1)$

由公式(3-1)(3-2)可得:

$f(x)\approx f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

误差估计式为

$|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}(x)^{n+1}$

常用的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$ $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ $(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+o(x^3)$ $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$ $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3)$ $\sin x=x-\frac{x^3}{3！}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$ $\arcsin x=x+\frac{1}{2}\times\frac{x^3}{3}+\frac{1\times3}{2\times4}\times\frac{x^5}{5}+\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\times\frac{x^7}{7}+o(x^7)$ $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$ $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)$ $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$ $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$

常见函数的泰勒展开

几个常见的泰勒公式 $(x\rightarrow0)$ ：

$sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

$cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad \begin{aligned} \arccos x&=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\end{aligned}$

$tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)$

$\begin{aligned} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \newline &\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{，则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \newline &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+o\left( x^2 \right) \end{aligned}$

习题中常见 $(x \rightarrow 0)$ ：

$\begin{aligned} tanx - sinx &= \frac{1}{2}x^3+o(x^3)\newline x - sinx &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\newline arcsinx - x &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\newline tanx - x &= \frac{1}{3}x^3+o(x^3)\newline x-arctanx &=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{aligned}$

即有

$\begin{aligned} tanx - sinx &\sim \frac{1}{2}x^3\newline x - sinx &\sim \frac{1}{6}x^3\newline arcsinx - x &\sim \frac{1}{6}x^3\newline tanx - x &\sim \frac{1}{3}x^3\newline x-arctanx &\sim\frac{1}{3}x^3 \end{aligned}$

还可以得到 $(x\rightarrow0)$ ：

$\begin{aligned} x-\ln \left( 1+x \right) \thinspace&\sim \frac{x^2}{2} \newline e^x-1-x\thinspace&\sim \frac{x^2}{2} \newline 1-\cos ^ax\ &\sim \frac{ax^2}{2} \newline f\left( x \right) ^{g\left( x \right)}-1 &\sim g\left( x \right) \left[ f\left( x \right) -1 \right] \qquad \left( 当f\left( x \right) \rightarrow 1\text{且}f\left( x \right) ^{g\left( x \right)}\rightarrow 1 \right) \end{aligned}$

有时还会用到

$\left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}{x^2}+o\left( x^2 \right)$

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一般地

$$\begin{aligned} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^{2}}{2 !} +\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots \newline \ sin x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{x^{3}}{3 !} +\frac{x^{5}}{5!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+\cdots\newline \ cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}=1-\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{4}}{4!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}+\cdots \newline \ ln (1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}+\cdots, x \in(-1,1] \newline \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \newline \frac{1}{1+x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} = 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \newline (1+x)^{\alpha} &= 1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n} = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \newline \arctan x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 \pi+1} = x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5} x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots, x \in[-1,1] \newline \end{aligned}$$

$${\begin{aligned} \arcsin x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n!)x^{2n+1}}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)} = x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40} x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152} x^{2}+\cdots+\frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)} x^{2 n+1}+\cdots, x \in(-1,1) \newline \tan x &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2 n) !} x^{2 n-1} = x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15} x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835} x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{638512875} x^{15}+\cdots ,x \in(-1,1) \newline \sec x &= \sum_{\pi = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n} x^{2 n}}{(2 n) !} = 1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+\cdots, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\newline \csc x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2\left(2^{2 \mathrm{n}-1}-1\right) B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 x-1} = \frac{1}{x}+\frac{1}{6} x+\frac{7}{360} x^{3}+\frac{31}{15120} x^{5}+\frac{127}{604800} x^{7}+\frac{73}{3421440} x^{2}+\frac{1414477}{65383718400} x^{11}+\cdots, x \in(0, \pi)\newline \cot x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 n-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{3} x-\frac{1}{45} x^{3}-\frac{2}{945} x^{5}-\cdots, x \in(0, \pi) \end{aligned}}$$

复数

1. 复数与负数的四则运算

定义与基本记号

• 复数的一般形式：$z=a+bi$，其中 $a,b\in\mathbb{R}$，$i^2=-1$。
• 实部与虚部：$\operatorname{Re}(z)=a,\ \operatorname{Im}(z)=b$。
• 负数是复数的特例：实数 $-5$可表示为$-5+0i$。
• 共轭复数：$\overline{z}=a-bi$。
• 模（绝对值）：$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。

加法与减法（逐项相加／相减）

• 规则：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$。
• 例：$(3+2i)+(-5+4i)=(-2)+6i$。
• 减法：$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$。
• 例：$(3+2i)-(-5+4i)=8-2i$。
• 性质：加法满足交换律、结合律；有加法单位元 $0+0i$。

乘法（分配律与 $i^2=-1$）

• 规则：$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$。
• 例：$(2+3i)(4-5i)=8-10i+12i-15i^2=(8+2i)+15=23+2i$（因为 $-15i^2=+15$）。
• 性质：乘法满足交换律、结合律，与加法满足分配律。

共轭与乘积

• 重要恒等：$z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2$。
• 共轭的运算规则：$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$，$\overline{zw}=\overline{z}\thinspace\overline{w}$。

除法（用共轭“去虚”）

• 目的：把分母化成实数。
• 公式：$\displaystyle\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$。
• 进一步化简得到实部与虚部：$\displaystyle\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$。
• 例：$\displaystyle\frac{3+2i}{1-4i}=\frac{(3+2i)(1+4i)}{1+16}=\frac{3+12i+2i+8i^2}{17}=\frac{-5+14i}{17}$。

倒数（乘法逆元）

• 若 $z=a+bi\neq0$，则 $z^{-1}=\displaystyle\frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$。
• 例：$\displaystyle\frac{1}{2+3i}=\frac{2-3i}{13}$。

取负号（相反数）

• 规则：$-(a+bi)=(-a)+(-b)i$，负实数是此规则的特例。

常见计算技巧与注意点

• 牢记 $i^2=-1$，遇到 $i^2$要替换为$-1$。
• 除法时一定要乘以分母的共轭，而不是分子共轭或随意取符号。
• 化简时注意合并实部与虚部，别把 $i$ 当成变量与实数混合相加。
• 检查步骤：化分母后分子是否已用 $i^2=-1$ 变为实数与虚数部分。

典型例题（含步骤）

• 例 1：计算 $(1-2i)+(4+5i)$。
  • 解：$(1+4)+(-2+5)i=5+3i$。
• 例 2：计算 $(3+4i)(2-i)$。
  • 解：$=6-3i+8i-4i^2=6+5i+4=10+5i$。
• 例 3：计算 $\displaystyle\frac{5+3i}{2+4i}$。
  • 解：乘共轭得 $\frac{(5+3i)(2-4i)}{4+16}=\frac{10-20i+6i-12i^2}{20}=\frac{10-14i+12}{20}=\frac{22-14i}{20}=\frac{11-7i}{10}$。

练习题（建议先做再看答案）

• 练 1：$( -2+3i ) + ( 5-7i )$。
• 练 2：$(4+3i)-(1+6i)$。
• 练 3：$(1+2i)(1-3i)$。
• 练 4：$\displaystyle\frac{2+5i}{3-i}$。
• 练 5：求 $(3-4i)^{-1}$。

练习答案（供对照）

• 练 1 答：$3-4i$。
• 练 2 答：$3-3i$。
• 练 3 答：$(1+2i)(1-3i)=1-3i+2i-6i^2=1-i+6=7-i$。
• 练 4 答：$\displaystyle\frac{2+5i}{3-i}=\frac{(2+5i)(3+i)}{10}=\frac{6+2i+15i+5i^2}{10}=\frac{1+17i}{10}$。
• 练 5 答：$(3-4i)^{-1}=\displaystyle\frac{3+4i}{3^2+4^2}=\frac{3+4i}{25}$。

小结（速查）

• 加法/减法：逐项相加/相减。
• 乘法：展开并用 $i^2=-1$化简，结果$=(ac-bd)+(ad+bc)i$。
• 除法：乘分母共轭，分母变为 $c^2+d^2$，然后分子化简。
• 共轭与模：$z\overline{z}=|z|^2$，倒数 $z^{-1}=\overline{z}/|z|^2$。

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2. 复数的几何意义

概念与基本对应

• 复数 $z=a+bi$在复平面（Argand 平面）上对应点$(a,b)$，其中横轴表示实部，纵轴表示虚部。
• 把复数看成从原点到点 $(a,b)$ 的向量（有向线段），称为复数的向量表示。
• 模（绝对值）$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 表示点到原点的距离。
• 幅角（辐角、幅值）$\arg z$表示向量与正实轴的夹角，通常可写为$\theta$，但幅角有多值性质：$\arg z=\theta+2k\pi$。主值记作 $\mathrm{Arg}\thinspace{}z\in(-\pi,\pi]$（或 $[0,2\pi)$，依教材而定）。

极坐标与指数形式

• 极坐标形式：$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中 $r=|z|,\ \theta=\arg z$。
• 指数形式（Euler 公式）：$z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$。
• 由此可方便地进行乘除与幂运算。

几何解释的核心结论

• 加法/减法：$z_1+z_2$ 对应向量的平行四边形法则（矢量和）；$z_1-z_2$对应从$z_2$指向$z_1$ 的向量。
• 乘法：若 $z_1=r_1e^{i\theta_1}$，$z_2=r_2e^{i\theta_2}$，则 $$ z_1z_2=(r_1r_2)e^{i(\theta_1+\theta_2)}. $$ 几何含义：乘法等于“先按模放大（或缩小）再旋转”——将向量缩放 $r_2$倍并逆时针旋转$\theta_2$（或相反顺序，乘法交换律保证次序无关）。
• 除法：$z_1/z_2=(r_1/r_2)e^{i(\theta_1-\theta_2)}$，即缩放模比并旋转角差（或旋转相反方向）。
• 共轭：$\overline{z}=a-bi$ 在平面上是关于实轴的对称（镜像）点。
• 倒数：$z^{-1}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$，模为 $1/|z|$，幅角为 $-\arg z$，几何上等于将点关于单位圆作反演并再关于实轴镜像（或直接：模取倒数，角取相反数）。
• 单位复数 $e^{i\theta}$仅表示旋转：乘以$e^{i\theta}$把所有点绕原点逆时针旋转$\theta$。

典型几何性质（常用于题型）

• 距离公式：两复数对应点距离 $|z_1-z_2|$。
• 圆的表示：$|z-a|=R$表示以复数$a$ 为圆心、$R$ 为半径的圆。
• 垂直平分线：$|z-z_1|=|z-z_2|$表示点到$z_1$与$z_2$ 等距的直线（两点中垂线）。
• 角平分线：$\arg\frac{z-z_1}{z-z_2}=\text{常数}$表示以$z_1,z_2$ 为端点的某些角的相关射线或弧。
• n 次方与根的几何分布：若 $z=r e^{i\theta}$，则
  • $z^n=r^n e^{in\theta}$，幅角被放大 $n$ 倍（De Moivre 公式）。
  • $n$次方根：解$w^n=z$的$n$个根为$w_k=r^{1/n}e^{i(\theta+2k\pi)/n}$，在以原点为中心、半径 $r^{1/n}$的圆上等角分布（角差$2\pi/n$）。

举例（直观与计算结合）

• 例 1：$z_1=1+i$，$z_2=1-i$。在平面上，$z_1$与$z_2$ 关于实轴对称；$|z_1|=\sqrt{2}$，$\arg z_1=\pi/4$，所以乘以 $z_1$等于放大$\sqrt{2}$倍并旋转$\pi/4$。
• 例 2：$(1+i)^2$：$1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$，平方得 $2e^{i\pi/2}=2i$（几何上为先放大到 2，再旋转到正虚轴）。
• 例 3（位势/轨迹）：求满足 $|z-1|=2$的几何图形：以$1$ 为圆心、半径 2 的圆。

常见习题（建议先做）

• 练 1：将 $z= -1+\sqrt{3}i$写成极坐标形式（求$r,\theta$，并给出指数形式）。
• 练 2：解释复数乘法如何把复平面上的图形（例如三角形或多边形）进行旋转与放缩。
• 练 3：求方程 $w^3=8i$ 的所有复根，并在复平面上画出这些根的位置。
• 练 4：求满足 $|z-2i|=|z+2i|$ 的点的几何位置描述。
• 练 5：若 $|z|=1$，证明 $|z-1|=|z^{-1}-1|$ 并给出几何解释。

习题答案（对照）

• 练 1 答：$r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=2$，$\theta=\arg(-1+\sqrt{3}i)=2\pi/3$（主值）。因此 $z=2e^{i2\pi/3}$。
• 练 3 答：$8i=8e^{i\pi/2}$，三次根为 $w_k=2e^{i(\pi/6+2k\pi/3)}$，$k=0,1,2$，三点在半径 2 的圆上等角分布，起始角为 $\pi/6$。
• 练 4 答：$|z-2i|=|z+2i|$等价于点到$2i$与$-2i$ 等距，几何上是两点中垂线，即实轴（x 轴）。

解题技巧与注意点

• 需要判断时常在实轴、虚轴、单位圆等特殊位置作图辅助理解。
• 把复数转成极坐标可简化乘除与求幂问题；相反，做几何判断（距离、垂直、公切等）用直角坐标更直观。
• 幅角注意多值问题，尤其在求根时需加上 $2k\pi$。
• 画图时标注模与角，分清主幅角与其他可能值。

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3. 实系数一元二次方程（与复数的联系）

定义与基本形式

• 一元二次方程的一般实系数形式：$ax^2+bx+c=0$，其中 $a,b,c\in\mathbb{R}$，且 $a\neq0$。
• 求根公式（求解公式）：$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中判别式为 $\Delta=b^2-4ac$。

判别式与根的分类

• 若 $\Delta>0$：有两个不同的实根。
• 若 $\Delta=0$：有重根（两个相等的实根）$x=-\dfrac{b}{2a}$。
• 若 $\Delta<0$：没有实根，但有一对共轭复根： $x=\dfrac{-b}{2a}\pm i\dfrac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$， 可写成 $x=\alpha\pm i\beta$（$\alpha,\beta\in\mathbb{R},\ \beta>0$）。

共轭根定理（实系数多项式）

• 对于系数全为实数的多项式，若 $z$为根，则其共轭$\overline{z}$ 也是根。因此实系数二次方程在复数域内的两个根要么都是实数，要么成共轭复数对。

与 Viète 关系（根与系数）

• 若方程两根为 $x_1,x_2$，则
  • $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，
  • $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
• 该关系在复数根情况下仍然成立（用复数代数）。

因式分解（复数域）

• 在复数域中，$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$对任意根$x_1,x_2$ 恒成立。
• 当 $\Delta<0$ 时，可用共轭根写成实系数的二次因子（即原式本身）或在复域展开。

配方法与几何解释

• 配方：$ax^2+bx+c=a\Bigl(x+\dfrac{b}{2a}\Bigr)^2+\Bigl(c-\dfrac{b^2}{4a}\Bigr)$。
• 顶点坐标（抛物线 $y=ax^2+bx+c$）：顶点在 $x=-\dfrac{b}{2a}$，对应的最小/最大值为 $y=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。
• 与复数的几何联系：当 $\Delta<0$时，抛物线与实轴无交点，对应方程没有实根；复根的实部为顶点的横坐标$-\dfrac{b}{2a}$，虚部大小与顶点处函数值绝对值有关（$\beta=\dfrac{\sqrt{4ac-b^2}}{2|a|}$）。

常用技巧与注意点

• 在计算平方根时，注意 $\sqrt{b^2-4ac}$在$\Delta<0$时为纯虚数，可写成$i\sqrt{4ac-b^2}$。
• 利用 Viète 快速检查：若已知两个复数互为共轭，可直接由和与积求出 $b,c$。
• 解题时区分实根、重根与共轭根三种情况，书写时标明实部与虚部分别是多少。

典型例题（含步骤）

• 例 1：解方程 $x^2+4x+13=0$。
  • 计算判别式：$\Delta=4^2-4\cdot1\cdot13=16-52=-36<0$。
  • 根：$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}=\dfrac{-4\pm6i}{2}=-2\pm3i$。
• 例 2：解方程 $2x^2-4x+5=0$。
  • $\Delta=(-4)^2-4\cdot2\cdot5=16-40=-24$。
  • $x=\dfrac{4\pm\sqrt{-24}}{4}=\dfrac{4\pm2i\sqrt{6}}{4}=1\pm\dfrac{i\sqrt{6}}{2}$。
• 例 3（用 Viète 验证）：已知方程 $x^2-4x+13=0$的两根为$x_1,x_2$。则 $x_1+x_2=4,\ x_1x_2=13$。若已求得 $x_1=2+3i$，则 $x_2=2-3i$，符合共轭根定理。

练习题（建议先做再看答案）

• 练 1：解方程 $x^2+2x+5=0$。
• 练 2：已知方程 $x^2+px+16=0$的两根为共轭复数，且实部为$-3$，求 $p$ 与方程的两根。
• 练 3：判断方程 $3x^2-6x+10=0$ 的根的类型，并写出根的具体形式。
• 练 4：若二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的两根为 $1+2i$与$1-2i$，求比值 $\dfrac{b}{a}$与$\dfrac{c}{a}$。

练习答案（对照）

• 练 1 答：$\Delta=4-20=-16$，$x=-1\pm2i$。
• 练 2 答：实部 $-3$即$-\dfrac{p}{2}=-3\Rightarrow p=6$。根为 $-3\pm ki$，由积 $(-3+ki)(-3-ki)=9+k^2=16\Rightarrow k^2=7\Rightarrow k=\sqrt{7}$，根为 $-3\pm i\sqrt{7}$。
• 练 3 答：$\Delta=(-6)^2-4\cdot3\cdot10=36-120=-84<0$，两根为 $x=\dfrac{6\pm i\sqrt{84}}{6}=1\pm i\dfrac{\sqrt{21}}{3}$。
• 练 4 答：由 Viète，$x_1+x_2=2\Rightarrow -\dfrac{b}{a}=2\Rightarrow \dfrac{b}{a}=-2$；$x_1x_2=(1+2i)(1-2i)=1+4=5\Rightarrow \dfrac{c}{a}=5$。

常见错误与提醒

• 把 $\sqrt{b^2-4ac}$在$\Delta<0$时当作实数处理，忘记乘$i$。
• 忽略共轭根对：写出一个复根后应同时写出其共轭（若系数为实数）。
• 在配方法中忘记系数 $a$的影响（应先提取$a$ 再配方）。

小结（速查）

• 判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 决定根的实虚性：$\Delta>0$（两实根）、$\Delta=0$（重根）、$\Delta<0$（一对共轭复根）。
• 对实系数方程，复根必成共轭对；Viète 关系在复域仍然适用。
• 复数形式的根可写成 $x=\dfrac{-b}{2a}\pm i\dfrac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$，实部为 $-\dfrac{b}{2a}$，与抛物线顶点横坐标一致。

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4. 复数的三角形式（三角形式 / 极坐标形式）

概念与基本表示

• 三角形式（极坐标形式）：若 $z=a+bi$，则可写成 $$ z=r(\cos\theta+i\sin\theta), $$ 其中 $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，$\theta=\arg z$（幅角）。
• 指数形式（Euler 公式）：$z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，常用于简化乘幂与开根运算。
• 幅角注意多值性：$\arg z=\theta+2k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）。主值记作 $\mathrm{Arg}\thinspace{}z$（通常取 $(-\pi,\pi]$或$[0,2\pi)$，按习惯而定）。
• 求角度时应注意象限，可用 $\theta=\operatorname{atan2}(b,a)$ 避免象限错误。

三角形式的运算规律（几何意义清晰）

• 乘法：
  • 若 $z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$，$z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$，则 $$ z_1z_2=(r_1r_2)\bigl(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\bigr). $$
  • 几何上：模相乘（缩放），角相加（旋转）。
• 除法： -$$ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\bigl(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\bigr). $$
• 幂（De Moivre 公式）：
  • 对整数 $n$，$$ z^n=r^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr). $$
• 开 n 次方（n 次根）：
  • 若 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，则方程 $w^n=z$的$n$ 个根为 $$ w_k=r^{1/n}\Bigl(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\Bigr),\quad k=0,1,\dots,n-1. $$
  • 几何上：这些根位于以原点为中心、半径 $r^{1/n}$的圆上，等角间隔$2\pi/n$。

典型例子（计算与几何结合）

• 例 1：把 $z=1+i$写成三角形式并用 De Moivre 计算$(1+i)^5$。
  • $r=\sqrt{2}$，$\theta=\pi/4$，所以 $1+i=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$。
  • $(1+i)^5=(\sqrt{2})^5\bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\bigr)=4\sqrt{2}\bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=-4-4i$。
• 例 2：解 $z^4=16$。
  • 写为 $16=16(\cos0+i\sin0)=16e^{i0}$，$r^{1/4}=2$。
  • 根为 $2\bigl(\cos\frac{2k\pi}{4}+i\sin\frac{2k\pi}{4}\bigr)=2e^{i k\pi/2}$，$k=0,1,2,3$，四个根分别为 $2,\thinspace2i,\thinspace-2,\thinspace-2i$（在圈上等间隔）。

常见题型与解题技巧

• 将代数形式转为三角形式：先求 $r=\sqrt{a^2+b^2}$，再判象限求 $\theta$（注意加上 $2k\pi$）。
• 利用 De Moivre 快速计算高次幂或高次根，避免直接展开。
• 求根时注意写出全部 $n$ 个不同解（$k=0,\dots,n-1$），并画出在复平面上的位置，帮助理解等角分布。
• 处理角度时尽量把最后角度化到主区间或按题目要求给出通解（加上 $2k\pi$ 或分母里的分步）。

常见错误与提醒

• 忽略幅角的象限信息（例如把 $\arctan(b/a)$当作最终$\theta$，导致角度错 \pi）。
• 忽略角度的多值性（开根时只写一个根）。
• 幂运算后忘记将角模 $2\pi$ 化简或检查化简结果的象限。

练习题（建议先做）

• 练 1：把 $z=-1+\sqrt{3}i$ 写成三角形式与指数形式。
• 练 2：用 De Moivre 公式计算 $(\sqrt{3}+i)^6$。
• 练 3：求方程 $w^3=-8$ 的所有复根，并在复平面上画出它们。
• 练 4：已知 $z=2e^{i\pi/3}$，求所有满足 $w^4=z$的$w$ 并画出位置。
• 练 5：证明：若 $|z|=1$，则 $z^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$（若 $z=\cos\theta+i\sin\theta$），并解释几何意义。

练习答案（对照）

• 练 1 答：$r=2$，$\theta=2\pi/3$，所以 $z=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})=2e^{i2\pi/3}$。
• 练 2 答：先写 $\sqrt{3}+i=2(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$，则 $(\sqrt{3}+i)^6=2^6(\cos\pi+i\sin\pi)=64(-1)= -64$。
• 练 3 答：$-8=8(\cos\pi+i\sin\pi)$，三次根为 $2\bigl(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\bigr)$，$k=0,1,2$，三个根等角分布在半径 2 的圆上，角度分别为 $\pi/3,\ \pi,\ 5\pi/3$（或化为对应的负角）。
• 练 4 答：$z=2e^{i\pi/3}$，$w_k=2^{1/4}e^{i(\pi/12+k\pi/2)}$，$k=0,1,2,3$，四个根在半径 $2^{1/4}$ 的圆上等

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拓展（高级与延伸主题）

1. 欧拉公式与复指数的深入

• 要点：
  • 欧拉公式：$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，可用于将三角函数与指数联系起来。
  • 复指数的运算：$e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$（对复数也成立）。
  • 复对数与多值性：$\ln(re^{i\theta})=\ln r+i(\theta+2k\pi)$。
• 例题：证明 $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$。
• 练习：用复指数形式推导和差化积公式（提示：把 $\sin$、$\cos$ 写成指数形式再计算）。
• 答案提示：按定义代入并合并指数项即可。

2. 单位根（n 次单位根）与根的几何分布

• 要点：
  • $n$次单位根为解$z^n=1$的复数，通式$e^{2k\pi i/n}\ (k=0,\dots,n-1)$。
  • 单位根对应复平面上以原点为心、半径 1 的正 n 边形顶点，等角分布。
  • 根与多项式：$x^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(x-e^{2k\pi i/n})$，并引出本原根与循环群概念。
• 例题：求 $x^6-1$ 的因式分解（复系数/实系数形式）。
• 练习：计算 $\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{2k\pi i/n})$（提示与绝对值有关）。
• 答案提示：用已知恒等与对称性（该积与 n 有关，常为 n）。

3. 复数方法解几何题（旋转与相似变换）

• 要点：
  • 乘以 $re^{i\theta}$对应将平面图形放缩$r$倍并绕原点逆时针旋转$\theta$。
  • 复数可用于表示点与向量，便于处理旋转、相似与对称问题（例如：旋转中心非原点可用平移+旋转+再平移）。
  • 利用复数表示证明几何关系（共线、共圆、角度相等等）常比矢量/坐标更简洁。
• 例题：已知三角形 ABC 的复数坐标，写出旋转 $\pi/2$ 关于 A 的变换表达式并求 B 的像。
• 练习：用复数证明：四点共圆当且仅当 $(z_1-z_3)(z_2-z_4)/((z_1-z_4)(z_2-z_3))$ 是实数。
• 答案提示：通过交叉比（cross ratio）与共轭关系判断共圆条件。

4. 复数与三角恒等式、和角积化

• 要点：
  • 用复数或单位根技巧推导常见三角和差、倍角、和的求和公式（例如：$\sum_{k=0}^{n-1}\sin(\alpha+k\beta)$）。
  • 利用根的对称性快速计算复杂三角和与乘积。
• 例题：求 $\sum_{k=0}^{n-1}\cos(\theta+2k\pi/n)$。
• 练习：利用单位根证明 $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$。
• 答案提示：将三角函数写成指数形式或把多项式 $x^n-1$在$x=1$ 附近展开相关式子。

5. 复系数多项式与代数基本定理（引导）

• 要点：
  • 代数基本定理：非常数复系数多项式在复数域中至少有一个根，因而可以完全线性因式分解。
  • 实系数多项式的复根成共轭对，因而可以分解为一次与二次实多项式因子。
• 例题：说明为什么任意实系数三次多项式至少有一个实根（中间值定理 + 实系数性质）。
• 练习：把 $x^4+1$ 在实数域与复数域分别分解。
• 答案提示：复域为 $(x-e^{i\pi/4})(x-e^{3i\pi/4})(x-e^{5i\pi/4})(x-e^{7i\pi/4})$，实域可写成两个不可约二次多项式乘积。

6. 复映射（线性映射、仿射与莫比乌斯变换简介）

• 要点：
  • 线性复映射 $w=az$（$a\in\mathbb{C}$）为放缩+旋转。
  • 仿射映射 $w=az+b$ 为平移后再放缩旋转，可表示一般相似变换。
  • 莫比乌斯变换（分式线性变换）$w=\dfrac{az+b}{cz+d}$ 把复平面（加无穷远点）映射到自身，保交叉比，常把圆/直线映成圆/直线。
• 例题：求把单位圆映到实轴的某个典型莫比乌斯变换（提示：构造把三点映为指定三点）。
• 练习：证明莫比乌斯变换把圆和直线映为圆或直线。
• 答案提示：利用复共轭与交叉比不变性。

7. 复变函数入门（概念性、适合进一步学习）

• 要点：
  • 复变函数 $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 的可微性比实函数更强，引出 Cauchy-Riemann 方程为判断解析（holomorphic）的条件。
  • 简单结论：解析函数在连通域上若处处可导，则具有幂级数展开等强性质。
• 例题（兴趣导向）：给出 $f(z)=\overline{z}$，验证其不满足 Cauchy-Riemann 方程（因此不可解析）。
• 练习（拓展）：写出 Cauchy-Riemann 方程并用它判断 $f(z)=z^2$与$f(z)=\overline{z}$ 的可解析性。
• 答案提示：$z^2$ 可解析，$\overline{z}$ 不可解析。

8. 其他有趣方向（简短提示）

• 复数在物理中的应用：交流电路（phasor 表示）、波动与振动、量子力学（相位）。
• 分形与复动力学：如 Julia 集与 Mandelbrot 集（更高阶的课外拓展）。
• 复数与矩阵表示：将复乘视为 2×2 实矩阵乘法关系（与线性代数连接）。

练习题汇总（选若干）

• 练 A：求 $1+e^{2\pi i/3}+e^{4\pi i/3}$ 的值。
• 练 B：求方程 $z^5=32$ 的所有根并画出位置。
• 练 C（几何）：已知三角形 ABC 的复数坐标为 $a,b,c$，证明其重心对应点为 $(a+b+c)/3$，并用复数表示把三角形绕 A 点逆时针旋转 $60^\circ$ 的像坐标。
• 练 D（恒等式）：证明 $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$（提示：考虑 $x^n-1$在$x=1$ 的因式与导数值）。
• 练 E（莫比乌斯）：求一个莫比乌斯变换，把点 $1,i,-1$分别映为$0,1,\infty$。

简要答案提示

• A 答：0（单位根和为 0）。
• B 答：写成 $32=2^5 e^{i0}$，根为 $2e^{2k\pi i/5},\ k=0,\dots,4$。
• C 答：重心 $(a+b+c)/3$；旋转关于 A：$a+(b-a)e^{i\pi/3},\ a+(c-a)e^{i\pi/3}$。
• D 答：由单位根与多项式性质可得（省略长推导，可给出完整证明如需）。
• E 答：可解方程组或构造：一种解为 $w=\dfrac{(z-1)}{(z+i)}\cdot k$，再调整常数使映射满足三点对应（需要解常数 k）。

$$ \# 数列 \#\# 等差与等比数列的求和公式：不同已知条件下的灵活应用

摘要

数列求和是代数中的基础问题。实际场景中，已知条件并不总是首项、项数和公差（公比）的标准组合。本笔记系统梳理等差数列与等比数列在各种已知条件下的**显式求和公式**，涵盖从基本形式到变形推导的完整逻辑，并借助实例与 Callout 标注强调边界条件和易错点。所有公式均按严格数学标准给出，确保可直接应用于解题或编程。

\#\#\# 1. 符号约定与基本概念

符号	含义
$a_1$	数列首项
$a_n$	数列第$n$ 项（通项）
$n$	项数（正整数）
$d$	等差数列公差（常数）
$q$	等比数列公比（非零常数）
$S_n$	前$n$ 项和

• **等差数列**：$a_{k+1} - a_k = d$对所有$k \ge 1$成立，通项$a_n = a_1 + (n-1)d$。
• **等比数列**：$\frac{a_{k+1}}{a_k} = q$对所有$k \ge 1$成立，通项$a_n = a_1 q^{n-1}$，且 $a_1 \neq 0$。 \#\#\# 2. 等差数列求和公式 \#\#\#\# 2.1 基本公式与推导

倒序相加法

将 $S_n$ 正序与倒序写出相加： $$ \begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1+d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \ S_n &= a_n + (a_n-d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \end{aligned} $$ 两式相加得 $2S_n = n(a_1 + a_n)$，故： $$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$

代入通项 $a_n = a_1 + (n-1)d$，得到另一常用形式： $$ \boxed{S_n = \frac{n}{2}\bigl[2a_1 + (n-1)d\bigr]} $$ \#\#\#\# 2.2 不同已知条件下的 $S_n$ 表达式 \#\#\#\# 情形 1：已知 $a_1, d, n$ 直接使用： $$ S_n = \frac{n}{2}\bigl[2a_1 + (n-1)d\bigr] $$

示例

$a_1=3,\ d=4,\ n=10$，则 $S_{10} = \frac{10}{2}[2\times3 + 9\times4] = 5 \times 42 = 210$。

\#\#\#\# 情形 2：已知 $a_1, a_n, n$ 使用首末项形式： $$ \boxed{S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}} $$ 此公式**不依赖公差**，最为直接。

示例

$a_1=5,\ a_{20}=83,\ n=20$，则 $S_{20} = \frac{20(5+83)}{2} = 10\times88 = 880$。

\#\#\#\# 情形 3：已知 $a_1, d, a_n$ 先通过 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 反解项数： $$ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 $$ **约束**：$a_n - a_1$必须被$d$整除，且所得$n \ge 1$ 为整数。然后代入： $$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$ 或等价地消去 $n$： $$ S_n = \frac{(a_1 + a_n)\bigl[(a_n - a_1)/d + 1\bigr]}{2} $$

注意

若 $d=0$（常数列），则所有项相等 $a_n = a_1$，此时 $n$ 不能由该式确定，$S_n = n a_1$，$n$ 需额外给出。

\#\#\#\# 情形 4：已知 $d, n, a_n$ 先求首项 $a_1 = a_n - (n-1)d$，再代入标准公式： $$ S_n = \frac{n}{2}\bigl[2a_n - (n-1)d\bigr] $$

示例

$d= -2,\ n=7,\ a_7=10$，则 $a_1 = 10 - 6\times(-2) = 22$，$S_7 = \frac{7}{2}[2\times22 + 6\times(-2)] = \frac{7}{2}\times32 = 112$。

\#\#\#\# 情形 5：已知 $a_1, n, S_n$ （求末项或公差，虽非求和但常用） 求末项：$a_n = \frac{2S_n}{n} - a_1$。
求公差：$d = \frac{2(S_n - n a_1)}{n(n-1)}$ （$n \ge 2$）。 \#\#\# 3. 等比数列求和公式 \#\#\#\# 3.1 基本公式与推导

错位相减法

设 $S_n = a_1 + a_1 q + \cdots + a_1 q^{n-1}$。
乘 $q$：$qS_n = a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n}$。
相减：$(1-q)S_n = a_1 - a_1 q^{n} \implies S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}$（当 $q \neq 1$）。

当 $q = 1$时，数列为常数列$a_n \equiv a_1$，此时： $$ S_n = n a_1 $$ 汇总： $$ \boxed{S_n = \begin{cases} a_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}, & q \neq 1 \[8pt] n a_1, & q = 1 \end{cases}} $$ \#\#\# 3.2 不同已知条件下的 $S_n$ 表达式 \#\#\#\# 情形 1：已知 $a_1, q, n$ （标准情况） 直接代入基本公式即可。若 $q=1$则用$S_n = n a_1$。

示例

$a_1=2,\ q=3,\ n=4$：$S_4 = 2\cdot\frac{1-3^4}{1-3} = 2\cdot\frac{-80}{-2}=80$。

\#\#\#\# 情形 2：已知 $a_1, q, a_n$ 由通项 $a_n = a_1 q^{n-1} \implies q^{n} = q \cdot \frac{a_n}{a_1}$（当$a_1 \neq 0$）。代入求和公式消去 $n$： $$ \boxed{S_n = \frac{a_1 - a_n q}{1-q}} \quad (q \neq 1) $$ 此式**不含项数 $n$**，非常高效。

• 若 $q = 1$，则必 $a_n = a_1$，$S_n = n a_1$，此时 $n$无法由$a_1,q,a_n$ 确定，需要额外给出。

示例

$a_1=81,\ q=\frac{1}{3},\ a_n=1$。
$S_n = \frac{81 - 1\times\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{81 - \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{242}{3}}{\frac{2}{3}} = 121$。
验证：$a_n = 81(\frac13)^{n-1}=1 \Rightarrow n=5$，$S_5 = 81+27+9+3+1=121$。

\#\#\#\# 情形 3：已知 $a_1, n, a_n$ （求公比与和） 由 $a_n = a_1 q^{n-1}$得$q^{n-1} = \frac{a_n}{a_1}$。

• 若 $\frac{a_n}{a_1} > 0$且$n-1$为偶数，则$q = \pm \left(\frac{a_n}{a_1}\right)^{\frac{1}{n-1}}$，有两个可能的实公比，对应两个可能的和。
• 若 $\frac{a_n}{a_1} < 0$且$n-1$ 为偶数，则无实数公比。
• 其他情况，实公比唯一。 求出 $q$后代入基本公式。当$q=1$时要求$a_n = a_1$。

多解情况

例如 $a_1=1, n=3, a_n=4$，得 $q^2=4$，$q=2$或$q=-2$。
若 $q=2$：数列 $1,2,4$，$S_3=7$；
若 $q=-2$：数列 $1,-2,4$，$S_3=3$。两者皆合理。

若只需求 $S_n$而不关心$q$

可利用恒等式：$S_n = a_1\frac{1-(a_n/a_1)\cdot q}{1-q}$仍含$q$，无法绕过求公比。

\#\#\#\# 情形 4：已知 $q, n, a_n$ 先求首项 $a_1 = \frac{a_n}{q^{n-1}}$（要求$q \neq 0$），再代入基本公式： $$ S_n = \frac{a_n}{q^{n-1}} \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \neq 1) $$ 若 $q=1$，则 $a_n = a_1$，$S_n = n a_n$。

示例

$q=-\frac{1}{2},\ n=4,\ a_4=3$。$a_1 = \frac{3}{(-1/2)^3} = \frac{3}{-1/8}=-24$。
$S_4 = -24\cdot\frac{1-(-1/2)^4}{1-(-1/2)} = -24\cdot\frac{1-1/16}{3/2} = -24\cdot\frac{15/16}{3/2} = -24\cdot\frac{5}{8} = -15$。

$$

情形 5：已知 $a_1, q, S_n$ （求项数，涉及对数）

由 $S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}$解出$q^n = 1 - \frac{S_n(1-q)}{a_1}$，则 $n = \log_{|q|}\left|1 - \frac{S_n(1-q)}{a_1}\right|$（需讨论符号）。这通常用于反解$n$，已超出直接求和范畴。

4. 综合对比与易错点

4.1 等差数列求和公式速查

已知条件	求和公式	备注
$a_1, d, n$	$S_n = \frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$	基本形式
$a_1, a_n, n$	$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$	不含公差，首选
$a_1, d, a_n$	$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\bigl(\frac{a_n-a_1}{d}+1\bigr)$	要求$d \neq 0$，$n$ 为整数
$d, n, a_n$	$S_n = \frac{n}{2}[2a_n-(n-1)d]$	由末项反推

4.2 等比数列求和公式速查

已知条件	求和公式 ($q \neq 1$)	$q=1$ 时
$a_1, q, n$	$S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}$	$S_n = n a_1$
$a_1, q, a_n$	$S_n = \frac{a_1 - a_n q}{1-q}$	$S_n = n a_1$(需额外知$n$)
$a_1, n, a_n$	先求$q^{n-1}=a_n/a_1$，得 $q$再代入标准公式	$a_n=a_1$，$S_n=n a_1$
$q, n, a_n$	$S_n = \frac{a_n}{q^{n-1}}\frac{1-q^n}{1-q}$	$S_n = n a_n$

常见错误

• 等比求和分母 $1-q$写错符号：差号是$1-q$而非$q-1$。
• 忘记 $q=1$ 的情形，导致分母为零。
• 已知 $a_1, n, a_n$ 求等比和时忽略公比的多解问题（尤其负公比）。
• 等差数列已知 $a_1, d, a_n$时未检验$n$ 是否为正整数。

5. 结语

核心原则

无论已知条件如何变化，数列求和始终可归结为两个步骤：

1. 确定关键参数：设法求出首项 $a_1$、项数 $n$和公差$d$（或公比 $q$）。
2. 选用合适形式：根据已求出的参数选择不含未知中间量的求和公式。

熟记首末项形式（等差）和消 $n$ 形式（等比）能极大简化计算。

历史注记

高斯幼年时使用“首尾配对”思想迅速求出 $1+2+\cdots+100=5050$，正是等差数列求和公式的最早应用之一。等比数列求和公式则在古希腊时期即已为欧几里得所知。

数列中 aₙ, aₙ₊₁, Sₙ, Sₙ₊₁ 之间关系的系统解析

本文定位

本笔记适合放在「数列」「高中数学」「竞赛基础」等文件夹，系统整理：

• aₙ 与 aₙ₊₁ 的递推关系
• Sₙ 与 Sₙ₊₁ 的关系
• Sₙ 与 aₙ 的关系与互相转化
  并配合典型例题，形成一套“数列差分思维”的工具箱。

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1. 基本记号与差分思想

• 数列：$\lbrace a_n\rbrace $
• 前 $n$ 项和：
  $$ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n $$

差分的核心关系

$$ S_n - S_{n-1} = a_n \quad (n \ge 2) $$ 这是所有 “Sₙ 与 aₙ 互相转化” 的起点。

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2. aₙ 与 aₙ₊₁ 关联：递推数列

2.1 一般形式

常见递推形式： $$ a_{n+1} = f(n, a_n),\quad n \ge 1. $$ 特别重要的一类：线性递推： $$ a_{n+1} = p a_n + q,\quad p, q 为常数. $$

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2.2 线性递推的通项求解（经典模型）

考虑： $$ a_{n+1} = p a_n + q,\quad n \ge 1. $$

解法思路

1. 先解齐次方程：$a_{n+1} = p a_n$
2. 再找一个特解
3. 叠加得到通解

2.2.1 齐次部分

$$ a_{n+1}^{(h)} = p a_n^{(h)} \Rightarrow a_n^{(h)} = C p^{n-1}. $$

2.2.2 特解部分

若 $p \neq 1$，可设常数特解 $a_n^{(p)} = A$，代入： $$ A = pA + q \Rightarrow A(1 - p) = q \Rightarrow A = \frac{q}{1 - p}. $$

2.2.3 通解

$$ a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)} = C p^{n-1} + \frac{q}{1 - p}. $$ 由初值 $a_1$确定$C$： $$ a_1 = C + \frac{q}{1 - p} \Rightarrow C = a_1 - \frac{q}{1 - p}. $$ 最终： $$ \boxed{ a_n = \left(a_1 - \frac{q}{1 - p}\right)p^{n-1} + \frac{q}{1 - p} } $$

特殊情况 $p = 1$

此时递推为： $$ a_{n+1} = a_n + q \Rightarrow a_n = a_1 + (n-1)q $$ 即等差数列。

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2.3 例题 1：简单线性递推

例 1

已知数列 $\lbrace a_n\rbrace $ 满足
$$ a_{n+1} = 2a_n + 3,\quad a_1 = 1. $$ 求通项 $a_n$。

解： 这里 $p = 2, q = 3$。 $$ a_n = \left(a_1 - \frac{q}{1 - p}\right)p^{n-1} + \frac{q}{1 - p} = \left(1 - \frac{3}{1 - 2}\right)2^{n-1} + \frac{3}{1 - 2}. $$ 注意： $$ \frac{3}{1 - 2} = -3,\quad 1 - (-3) = 4. $$ 所以： $$ a_n = 4\cdot 2^{n-1} - 3. $$

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3. Sₙ 与 Sₙ₊₁ 关联：和的递推

3.1 基本关系：Sₙ₊₁ 与 Sₙ

由定义： $$ S_{n+1} = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + a_{n+1} = S_n + a_{n+1}. $$ 因此： $$ \boxed{ S_{n+1} - S_n = a_{n+1} } $$

反向使用

若题目给出 $S_{n+1}$与$S_n$ 的关系，可以通过 $$ a_{n+1} = S_{n+1} - S_n $$ 先求出 $a_{n+1}$，再分析 $\lbrace a_n\rbrace $。

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3.2 例题 2：由 Sₙ 的递推求 aₙ

例 2

已知数列 $\lbrace S_n\rbrace $ 满足
$$ S_{n+1} = 2S_n + 1,\quad S_1 = 1. $$ 设 $S_n$为某数列$\lbrace a_n\rbrace $的前$n$项和，求$a_n$。

解：

1. 先把 $\lbrace S_n\rbrace $ 看作一个数列，求其通项。
   递推： $$ S_{n+1} = 2S_n + 1 $$ 这是与前面同型的线性递推，得到： $$ S_n = \left(S_1 - \frac{1}{1 - 2}\right)2^{n-1} + \frac{1}{1 - 2} = (1 + 1)2^{n-1} - 1 = 2^n - 1. $$
2. 利用 $$ a_n = S_n - S_{n-1} $$ 得： $$ a_n = (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) = 2^{n-1}. $$

关键步骤

• 把 $S_n$ 当作一个普通数列，先求通项
• 再用差分：$a_n = S_n - S_{n-1}$

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4. Sₙ 与 aₙ 关联：差分与求和

4.1 从 Sₙ 求 aₙ

最基本公式： $$ \boxed{ a_n = S_n - S_{n-1},\quad n \ge 2;\quad a_1 = S_1. } $$

这是“求通项”的常用套路

题目给出 $S_n$的表达式，往往是为了让你用差分求$a_n$。

例题 3：已知 Sₙ 求 aₙ

例 3

已知
$$ S_n = n^2,\quad n \ge 1. $$ 求数列 $\lbrace a_n\rbrace $ 的通项。

解： $$ a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1. $$

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4.2 从 aₙ 求 Sₙ：求和与构造

若已知 $a_n$的通项，求$S_n$ 就是求和问题： $$ S_n = \sum_{k=1}^n a_k. $$ 常见技巧：

• 拆项、配方
• 利用已知求和公式（如 $\sum k, \sum k^2, \sum k^3$）
• 构造差分（“错位相减”）

例题 4：构造差分求和

例 4

已知
$$ a_n = \frac{1}{n(n+1)},\quad n \ge 1. $$ 求 $S_n$。

解： 拆项： $$ a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}. $$ 于是： $$ S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}. $$

这是典型的“错位相减”/“望远镜求和”结构。

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5. aₙ 与 Sₙ 的混合关系：常见题型

5.1 题型 A：给出 aₙ 与 Sₙ 的关系，求 aₙ

常见形式： $$ S_n = f(n)a_n \quad \text{或} \quad a_n = g(n)S_n. $$

核心思路

利用 $$ S_n - S_{n-1} = a_n $$ 把关系转化为关于 $a_n$ 的递推。

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5.2 例题 5：Sₙ 与 aₙ 的线性关系

例 5

已知数列 $\lbrace a_n\rbrace $ 满足
$$ S_n = 2a_n,\quad n \ge 1. $$ 求 $\lbrace a_n\rbrace $ 的通项。

解： 由定义： $$ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n. $$ 已知： $$ S_n = 2a_n. $$ 对 $n-1$ 也成立： $$ S_{n-1} = 2a_{n-1}. $$ 利用差分： $$ a_n = S_n - S_{n-1} = 2a_n - 2a_{n-1}. $$ 整理： $$ 2a_{n-1} = a_n \Rightarrow a_n = 2a_{n-1}. $$ 这是一个等比数列递推，设 $a_1 = c$，则： $$ a_n = c\cdot 2^{n-1}. $$ 再用 $S_1 = 2a_1$ 检查： $$ S_1 = a_1 = 2a_1 \Rightarrow a_1 = 0. $$ 于是： $$ \boxed{a_n = 0,\quad S_n = 0.} $$

说明

这个例子告诉你：

• 关系 $S_n = 2a_n$对所有$n$ 成立时，可能只允许零解。
• 遇到这类题要注意用初值检验。

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5.3 例题 6：更有趣的关系 Sₙ = n·aₙ

例 6

已知数列 $\lbrace a_n\rbrace $ 满足
$$ S_n = n a_n,\quad n \ge 1. $$ 求通项 $a_n$。

解： 对 $n$与$n-1$ 分别写出： $$ S_n = n a_n,\quad S_{n-1} = (n-1)a_{n-1}. $$ 利用差分： $$ a_n = S_n - S_{n-1} = n a_n - (n-1)a_{n-1}. $$ 整理： $$ n a_n - a_n = (n-1)a_{n-1} \Rightarrow (n-1)a_n = (n-1)a_{n-1}. $$ 若 $n > 1$，则： $$ a_n = a_{n-1}. $$ 所以 $\lbrace a_n\rbrace $为常数列，设$a_n = c$。 代回原式： $$ S_n = nc,\quad n a_n = nc. $$ 恒成立，对 $c$ 无限制。

结论

$$ \boxed{a_n = c,\quad S_n = nc,\quad c 为常数} $$

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6. 三类关系的统一视角：差分算子 Δ

这一节偏抽象，可作为进阶阅读

若你只关心解题技巧，可以先跳过。

定义差分算子： $$ \Delta a_n = a_{n+1} - a_n. $$ 则：

• 已知 $a_{n+1}$与$a_n$的关系 → 关于$\Delta a_n$ 的方程
• 已知 $S_n$与$S_{n+1}$ 的关系：
  $$ \Delta S_n = S_{n+1} - S_n = a_{n+1} $$
• 已知 $S_n$与$a_n$ 的关系：
  常常可以通过 $$ a_n = S_n - S_{n-1} $$ 转化为关于 $\Delta S_n$ 的方程

类比微积分

• $a_n$类似“导数” → 是$S_n$ 的差分
• $S_n$类似“积分” → 是$a_n$ 的累加

这就是“离散微积分”的基本思想。

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7. 小结

核心公式与套路

1. aₙ 与 aₙ₊₁：递推
   • 线性递推：$a_{n+1} = p a_n + q$ → 特征法/叠加法
2. Sₙ 与 Sₙ₊₁：差分
   • $S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$
   • 若给出 $S_{n+1}$与$S_n$的递推，可先求$S_n$，再差分求 $a_n$
3. Sₙ 与 aₙ：互相转化
   • $a_n = S_n - S_{n-1}$
   • $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$
4. 常见题型套路：
   • 已知 $S_n$→ 差分求$a_n$
   • 已知 $a_{n+1}$与$a_n$ → 递推求通项，再求和
   • 已知 $S_n$与$a_n$的关系 → 用$S_n - S_{n-1} = a_n$ 构造递推

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8. 思考题（可加入你的题库）

1. 已知数列 $\lbrace a_n\rbrace $ 满足
   $$ a_{n+1} = 3a_n + 2,\quad a_1 = 1. $$ （1）求 $a_n$；（2）求 $S_n$。

2. 已知某数列的前 $n$ 项和为
   $$ S_n = 3n^2 - n. $$ 求 $a_n$。

3. 已知数列 $\lbrace a_n\rbrace $ 满足
   $$ S_n = 2n + 1,\quad n \ge 1. $$ 求 $a_n$，并判断 $\lbrace a_n\rbrace $ 是否为等差数列。

4. 已知数列 $\lbrace a_n\rbrace $ 满足
   $$ S_n = a_n^2,\quad n \ge 1. $$ 尝试写出关于 $a_n$ 的递推关系，并讨论是否能求出通项。

可以怎么继续扩展？

• 写一篇「差分与离散积分的系统笔记」
• 写一篇「竞赛中常见的数列递推与求和技巧」
• 写一篇「用生成函数处理递推数列」

数列与微分方程核心方法：原理、推导及线性代数本质

本文系统梳理不动点法、特征根法、桥函数法、积分因子法、分部积分法的使用、推导及其内在联系，突出线性代数的统一视角，并将离散方法与连续方法进行类比。

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一、不动点法 (数列递推)

1. 适用类型

• 一阶分式线性递推：$a_{n+1} = \dfrac{p a_n + q}{r a_n + s}$，$ps - qr \neq 0$。
• 某些非线性递推可通过不动点转化为线性或易求形式。

2. 方法步骤

1. 解不动点方程 $x = \dfrac{px + q}{rx + s}$，得不动点 $\lambda_1, \lambda_2$。
2. 情况：
   • 两不等实根 $\lambda_1 \neq \lambda_2$：递推化为 $\dfrac{a_{n+1} - \lambda_1}{a_{n+1} - \lambda_2} = k \cdot \dfrac{a_n - \lambda_1}{a_n - \lambda_2}$，成等比数列。
   • 重根 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$：取倒数 $\dfrac{1}{a_{n+1} - \lambda} = \dfrac{1}{a_n - \lambda} + c$，成等差数列。
3. 求出 $\lbrace a_n\rbrace $ 通项。

3. 推导示例

设 $a_{n+1} = \dfrac{2a_n + 3}{a_n + 4}$，不动点 $x = \dfrac{2x+3}{x+4}$→$x^2+2x-3=0$→$x_1=1, x_2=-3$。 分别减不动点： $$ a_{n+1}-1 = \frac{a_n-1}{a_n+4},\quad a_{n+1}+3 = \frac{5(a_n+3)}{a_n+4}. $$ 两式相除得 $\dfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+3} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{a_n-1}{a_n+3}$，故 $\left\lbrace \dfrac{a_n-1}{a_n+3} \right\rbrace $是以$\dfrac{1}{5}$ 为公比的等比数列，通项可解。

线性代数原理

分式线性递推等价于二维射影变换。令 $\mathbf{v}_n = \begin{pmatrix} x_n \newline y_n \end{pmatrix}$满足$a_n = \dfrac{x_n}{y_n}$，则 $$\begin{pmatrix} x_{n+1} \newline y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & q \newline r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \newline y_n \end{pmatrix}.$$ 矩阵 $M = \begin{pmatrix} p & q \newline r & s \end{pmatrix}$的特征值即不动点对应比例系数。相除构造出的等比数列本质上是在求$M$ 的特征向量方向上的投影比，从而将非线性递推线性化。

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二、特征根法 (常系数线性递推)

1. 适用类型

$k$ 阶齐次线性递推：$a_{n+k} = c_1 a_{n+k-1} + c_2 a_{n+k-2} + \cdots + c_k a_n$。

2. 方法与推导

设解形如 $a_n = \lambda^n$，代入得特征方程： $$ \lambda^k - c_1 \lambda^{k-1} - c_2 \lambda^{k-2} - \cdots - c_k = 0. $$

• 单实根 $\lambda$：对应通解项 $A \lambda^n$。
• $m$重实根$\lambda$：对应 $(A_0 + A_1 n + \cdots + A_{m-1} n^{m-1}) \lambda^n$。
• 共轭复根 $re^{\pm i\theta}$：对应 $r^n (B_1 \cos n\theta + B_2 \sin n\theta)$。

与线性常微分方程的平行

特征根法与常系数线性微分方程 $y^{(k)} = c_1 y^{(k-1)} + \cdots + c_k y$的解法完全平行：设$y = e^{\lambda x}$得特征方程，单根给$e^{\lambda x}$，重根给 $x^m e^{\lambda x}$，复根给 $e^{\alpha x}\cos\beta x$等。离散的$n^k \lambda^n$对应连续的$x^k e^{\lambda x}$。

3. 线性代数本质：矩阵对角化

将 $k$ 阶递推写为一阶向量递推： $$ \mathbf{X}_n = \begin{pmatrix} a_{n+k-1} \newline a_{n+k-2} \newline \vdots \newline a_n \end{pmatrix},\quad \mathbf{X}_{n+1} = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_k \newline 1 & 0 & \cdots & 0 \newline 0 & 1 & \cdots & 0 \newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \mathbf{X}_n = C \mathbf{X}_n. $$ 矩阵 $C$称为友矩阵，其特征多项式正是$\lambda^k - c_1 \lambda^{k-1} - \cdots - c_k$。 若 $C$可对角化$C = PDP^{-1}$，则 $\mathbf{X}_n = PD^n P^{-1} \mathbf{X}_0$，$D$的对角元为特征值，从而$a_n$ 为特征值的线性组合。重根情形对应若尔当标准型，产生多项式因子。

4. 非齐次情况

使用待定系数法或常数变易法，与微分方程完全平行。

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三、桥函数法 (代换法与线性化)

“桥函数”指通过一个映射 $\varphi$，将非线性递推转化为线性递推的共轭方法。

若存在可逆函数 $\varphi$，使得新数列 $b_n = \varphi(a_n)$满足$b_{n+1} = k b_n + d$，则原递推可解。这等价于寻找 $f$ 的拓扑共轭： $$ \varphi(f(x)) = k \varphi(x) + d. $$

常见桥函数：

原递推形式	桥函数 $\varphi$	转化后
$a_{n+1} = a_n^p$	$\ln x$	$b_{n+1} = p b_n$
$a_{n+1} = \dfrac{a_n}{c a_n + d}$	$\dfrac{1}{x}$	$b_{n+1} = d b_n + c$
$a_{n+1} = \sqrt{c a_n + d}$	三角或双曲代换	倍角公式
$a_{n+1} = \dfrac{p a_n + q}{r a_n + s}$	分式线性变换$\dfrac{x - \lambda_1}{x - \lambda_2}$	$b_{n+1} = k b_n$

线性代数视角

桥函数本质是找到一个坐标系，使非线性映射 $f$表现为线性映射（即$\varphi \circ f \circ \varphi^{-1}$ 为线性函数）。这与特征根法中通过特征向量基底将矩阵对角化思路一致。

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四、积分因子法 (微分方程) 及其离散类比

1. 一阶线性微分方程

对于 $y' + P(x) y = Q(x)$，积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\thinspace{}dx}$，则 $$ (\mu y)' = \mu Q \thickspace\Longrightarrow\thickspace y = \frac{1}{\mu} \int \mu Q \thinspace{}dx. $$

推导：希望左端变成某函数导数，即要求 $\mu y' + \mu P y = (\mu y)' = \mu y' + \mu' y$，故 $\mu' = \mu P$，解得 $\mu = e^{\int P dx}$。

2. 离散类比：求和因子

一阶线性递推：$a_{n+1} = p_n a_n + q_n$。 改写为 $a_{n+1} - p_n a_n = q_n$。寻找求和因子 $\mu_n$，使左端可写成差分形式。设 $\mu_{n+1} a_{n+1} - \mu_n p_n a_n = \Delta(\mu_n a_n)$，应满足 $\mu_n = \mu_{n+1} p_n$，即 $\mu_{n} = \mu_1 \prod_{k=1}^{n-1} \frac{1}{p_k}$。取 $\mu_n = \prod_{k=1}^{n-1} p_k^{-1}$，则原递推化为 $$ \Delta(\mu_n a_n) = \mu_{n+1} q_n, $$ 两边求和即得通解。这与积分因子法结构完全相同：乘积求导变成差分乘积，积分因子变为离散乘积。

统一思想

将“非恰当”方程乘上一个因子化为“恰当”形式（全导数/全差分），背后是一阶线性算子的可积性。

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五、分部积分法 (连续) 与分部求和法 (离散)

1. 分部积分公式

由 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边积分： $$ \int u \thinspace{}dv = uv - \int v \thinspace{}du. $$ 常用于被积函数为两类函数乘积，且 $\int v\thinspace{}du$ 更易求的情形。

策略：按照“反对幂指三”（反三角函数、对数、幂、指数、三角）优先选为 $u$。

2. 离散类比：阿贝尔分部求和公式 (Abel变换)

设 $\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$，则 $$ \sum_{k=m}^{n} a_k \Delta b_k = (a_{n+1} b_{n+1} - a_m b_m) - \sum_{k=m}^{n} b_{k+1} \Delta a_k. $$ 对应关系：积分 $\int$↔ 求和$\sum$，微分 $du$↔ 差分$\Delta b_k$，$u$↔$a_k$，$v$↔$b_k$。 阿贝尔变换是级数收敛性判别（Dirichlet、Abel判别法）和数列求和的重要工具，体现了离散与连续的深刻平行。

3. 表格积分法 (分部积分的快速技巧)

当需要多次分部积分（例如 $\int x^n e^{ax} \thinspace{}dx$）时，列 $u$ 逐次求导，$dv$ 逐次积分，交叉相乘并加符号。

表格积分法操作规则

• 左列 D：对 $u$ 反复求导直至为 0；
• 右列 I：对 $dv$ 反复积分，行数与 D 列匹配（比 D 列多一行，用于最后一项积分）；
• 符号列：从 + 开始交替 +、-、+、-、…；
• 结果：沿斜线相乘，符号对应的项相加，最后一项是 $\pm\int (\text{D末项} \cdot \text{I末项})\thinspace{}dx$（若 D 末项为 0 则此项消失）。

示例：$\int x^2 e^x \thinspace{}dx$，取 $u=x^2$, $dv=e^x dx$。

求导列 (D)	积分列 (I)	符号
$x^2$	$e^x$	$+$
$2x$	$e^x$	$-$
$2$	$e^x$	$+$
$0$	$e^x$	$-$

结果： $$ \begin{aligned} \int x^2 e^x \thinspace{}dx &= + (x^2)(e^x) - (2x)(e^x) + (2)(e^x) - \int 0 \cdot e^x \thinspace{}dx \newline &= x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C. \end{aligned} $$

对数函数的表格处理

若 $u=\ln x$ 无法求导至 0，可将其放入 D 列，$dv$ 放入 I 列，直至 I 列出现与原积分相同的形式，再移项求解（递归积分）。这与分部积分的循环技巧一致。

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六、方法总览与线性代数统一

方法	适用对象	核心操作	线性代数本质
不动点法	一阶分式递推	寻找不动点，构造比例	射影变换下的特征向量投影
特征根法	高阶线性递推	解特征方程，指数叠加	友矩阵对角化/若尔当标准型
桥函数法	可线性化的非线性递推	寻找共轭映射	非线性映射的线性共轭
积分因子法	一阶线性微分方程	乘因子化全导数	一阶线性算子的恰当化
分部积分法	乘积函数积分	交换微分与积分	伴随算子（离散：Abel变换）

共同灵魂

这些方法共同的灵魂是：通过适当的变换（基底变换、映射共轭、乘因子），将困难问题转化为简单或可解的标准形式。 线性代数提供了理解这些变换的最清晰语言——特征值、特征向量、对角化、若尔当标准型，以及线性算子的分解。

七、例题精选与详解

7.1 不动点法

例1（两不等实根） 已知数列 $\lbrace a_n\rbrace $满足$a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n+3}{a_n+4}$，求通项公式。

- 详解

第一步：求不动点
解方程 $x=\dfrac{2x+3}{x+4}$，去分母得 $x(x+4)=2x+3$，整理为 $x^2+2x-3=0$，
解得 $x_1=1,\thickspace{}x_2=-3$。

第二步：构造等比形式
分别用 $a_{n+1}$和$a_n$ 减去两个不动点： $$ a_{n+1}-1=\frac{2a_n+3}{a_n+4}-1=\frac{a_n-1}{a_n+4}, $$ $$ a_{n+1}+3=\frac{2a_n+3}{a_n+4}+3=\frac{5(a_n+3)}{a_n+4}. $$ 两式相除： $$ \frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+3}=\frac{1}{5}\cdot\frac{a_n-1}{a_n+3}. $$ 因此数列 $\left\lbrace \dfrac{a_n-1}{a_n+3}\right\rbrace $是首项为$\dfrac{a_1-1}{a_1+3}=\dfrac{2-1}{2+3}=\dfrac{1}{5}$，公比为 $\dfrac{1}{5}$ 的等比数列。

第三步：求通项
$$ \frac{a_n-1}{a_n+3}=\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{5}\right)^n. $$ 解出 $a_n$： $$ a_n-1=\left(\frac{1}{5}\right)^n(a_n+3) \thickspace\Longrightarrow\thickspace a_n\left[1-\left(\frac{1}{5}\right)^n\right]=1+3\left(\frac{1}{5}\right)^n, $$ $$ a_n=\frac{1+3\cdot5^{-n}}{1-5^{-n}}=\frac{5^n+3}{5^n-1}. $$

例2（重根情形） 已知 $a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{3a_n-1}{a_n+1}$，求通项公式。

- 详解

第一步：求不动点
解 $x=\dfrac{3x-1}{x+1}$，得 $x^2+x=3x-1\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}x^2-2x+1=0$，
重根 $\lambda=1$。

第二步：构造等差数列
$$ a_{n+1}-1=\frac{3a_n-1}{a_n+1}-1=\frac{2a_n-2}{a_n+1}=\frac{2(a_n-1)}{a_n+1}. $$ 取倒数： $$ \frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{a_n+1}{2(a_n-1)}=\frac{(a_n-1)+2}{2(a_n-1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_n-1}. $$ 即 $\dfrac{1}{a_{n+1}-1}-\dfrac{1}{a_n-1}=\dfrac{1}{2}$。

第三步：求解
数列 $\left\lbrace \dfrac{1}{a_n-1}\right\rbrace $是等差数列，首项$\dfrac{1}{a_1-1}=1$，公差 $\dfrac12$。
$$ \frac{1}{a_n-1}=1+(n-1)\cdot\frac12=\frac{n+1}{2}, $$ 故 $$ a_n=1+\frac{2}{n+1}=\frac{n+3}{n+1}. $$

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7.2 特征根法

例3（单实根：斐波那契数列）
数列 $\lbrace a_n\rbrace $：$a_1=1,\thickspace{}a_2=1,\thickspace{}a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，求通项 $a_n$。

- 详解

特征方程 $\lambda^2-\lambda-1=0$，解得 $\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$。
通解 $a_n = A\lambda_1^n + B\lambda_2^n$。
代入初值： $$ \begin{cases} A\lambda_1 + B\lambda_2 = 1,\newline A\lambda_1^2 + B\lambda_2^2 = 1. \end{cases} $$ 解得 $A=\dfrac{1}{\sqrt5},\thickspace{}B=-\dfrac{1}{\sqrt5}$。故 $$ a_n = \frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]. $$

例4（重实根）
$a_1=0,\thickspace{}a_2=1,\thickspace{}a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$，求通项。

- 详解

特征方程 $\lambda^2-4\lambda+4=0$，得重根 $\lambda=2$。
通解 $a_n=(A+Bn)\cdot2^n$。
代入初值： $$ \begin{cases} (A+B)\cdot2 = 0,\newline (A+2B)\cdot4 = 1. \end{cases} \Longrightarrow A=-B,\thickspace4(-B+2B)=1 \Rightarrow B=\frac14,\thickspace{}A=-\frac14. $$ 故 $$ a_n = \frac{n-1}{4}\cdot2^n = (n-1)2^{n-2}. $$

例5（共轭复根）
$a_1=1,\thickspace{}a_2=1,\thickspace{}a_{n+2}=2a_{n+1}-2a_n$，求通项。

- 详解

特征方程 $\lambda^2-2\lambda+2=0$，得 $\lambda=1\pm i = \sqrt2\thinspace{}e^{\pm i\frac\pi4}$。
通解 $a_n = (\sqrt2)^n\thinspace(C_1\cos\frac{n\pi}{4}+C_2\sin\frac{n\pi}{4})$。
代入初值： $$ \begin{aligned} n=1&:\thickspace\sqrt2\thinspace(C_1\cos\frac\pi4+C_2\sin\frac\pi4)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}C_1+\frac{\sqrt2}{2}C_2\right)=C_1+C_2=1,\newline n=2&:\thickspace2\thinspace(C_1\cos\frac\pi2+C_2\sin\frac\pi2)=2(0+C_2)=2C_2=1 \thickspace\Longrightarrow\thickspace C_2=\frac12. \end{aligned} $$ 则 $C_1=\frac12$。故 $$ a_n = (\sqrt2)^n\left(\frac12\cos\frac{n\pi}{4}+\frac12\sin\frac{n\pi}{4}\right) = 2^{\frac n2 -1}\left(\cos\frac{n\pi}{4}+\sin\frac{n\pi}{4}\right). $$

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7.3 桥函数法

例6（倒数代换）
数列 $\lbrace a_n\rbrace $：$a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2a_n+1}$，求通项。

- 详解

两边取倒数（易见 $a_n\neq0$）： $$ \frac1{a_{n+1}} = \frac{2a_n+1}{a_n} = 2 + \frac1{a_n}. $$ 令 $b_n=\dfrac1{a_n}$，则 $b_1=1$，$b_{n+1}=b_n+2$。
$\lbrace b_n\rbrace $是首项$1$、公差 $2$的等差数列，故$b_n=1+2(n-1)=2n-1$。
于是 $a_n = \dfrac1{2n-1}$。

例7（三角代换）
数列 $\lbrace a_n\rbrace $：$a_1=\dfrac12$，$a_{n+1}=2a_n^2-1$，求通项。

- 详解

注意到形式与倍角公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta -1$ 相同。
设 $a_n = \cos\theta_n$，则 $\cos\theta_{n+1} = 2\cos^2\theta_n-1 = \cos 2\theta_n$。
可取 $\theta_{n+1}=2\theta_n$，于是 $\theta_n = 2^{n-1}\theta_1$。
由 $a_1=\dfrac12=\cos\frac{\pi}{3}$，令 $\theta_1=\frac{\pi}{3}$。
则 $a_n = \cos\left(2^{n-1}\cdot\frac{\pi}{3}\right)$。
（注：此处未考虑符号分支，递推式本身保证唯一确定的值，$\cos$ 表达式在该定义下成立。）

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7.4 积分因子法

例8 求微分方程 $\dfrac{dy}{dx} + 2xy = x$的通解，并求满足$y(0)=1$ 的特解。

- 详解

这是一阶线性方程 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x)=2x,\thickspace{}Q(x)=x$。
积分因子 $\mu(x)=e^{\int P\thinspace{}dx}=e^{\int 2x\thinspace{}dx}=e^{x^2}$。
两边同乘 $\mu$： $$ e^{x^2}y' + 2x e^{x^2} y = x e^{x^2} \thickspace\Longrightarrow\thickspace \frac{d}{dx}\left(e^{x^2}y\right) = x e^{x^2}. $$ 两边积分： $$ e^{x^2}y = \int x e^{x^2}\thinspace{}dx = \frac12 e^{x^2} + C \thickspace\Longrightarrow\thickspace y = \frac12 + C e^{-x^2}. $$ 代入 $y(0)=1$：$1 = \frac12 + C \thickspace\Rightarrow\thickspace C=\frac12$。
故特解为 $y = \dfrac12(1+e^{-x^2})$。

例9 求解 $y' - y = e^x$。

- 详解

方程写为 $y' + (-1)y = e^x$，积分因子 $\mu(x)=e^{\int -1\thinspace{}dx}=e^{-x}$。
两边乘 $e^{-x}$： $$ (e^{-x}y)' = e^{-x}\cdot e^x = 1. $$ 积分得 $e^{-x}y = x + C \thickspace\Longrightarrow\thickspace y = (x+C)e^x$。

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7.5 分部积分法 & 表格积分法

例10 计算 $I = \int x\sin x\thinspace{}dx$。

- 详解

使用分部积分：令 $u=x,\thickspace{}dv=\sin x\thinspace{}dx$，则 $du=dx,\thickspace{}v=-\cos x$。
$$ I = -x\cos x - \int (-\cos x)\thinspace{}dx = -x\cos x + \sin x + C. $$

例11 用表格积分法计算 $\int x^2 e^x\thinspace{}dx$。

- 详解

令 $u=x^2,\thickspace{}dv=e^x\thinspace{}dx$。构造表格：

求导列 (D)	积分列 (I)	符号
$x^2$	$e^x$	$+$
$2x$	$e^x$	$-$
$2$	$e^x$	$+$
$0$	$e^x$	$-$

结果 = 符号对应的斜线乘积之和，最后一项为 $\int (0\cdot e^x)dx=0$（可省略）： $$ \int x^2 e^x\thinspace{}dx = +(x^2)(e^x) - (2x)(e^x) + (2)(e^x) + C = e^x(x^2-2x+2)+C. $$

例12 计算 $\int \arctan x\thinspace{}dx$。

- 详解

令 $u=\arctan x,\thickspace{}dv=dx$，则 $du=\dfrac{1}{1+x^2}dx,\thickspace{}v=x$。
$$ \int \arctan x\thinspace{}dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\thinspace{}dx. $$ 第二个积分用凑微分：$\int \frac{x}{1+x^2}dx = \frac12\ln(1+x^2)$。
故原式 $= x\arctan x - \frac12\ln(1+x^2) + C$。

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7.6 阿贝尔分部求和（离散分部）

例13 求 $S_n = \sum_{k=1}^{n} k\thinspace2^k$。

- 详解（Abel变换）

令 $a_k = k$，$\Delta b_k = 2^k$，需构造 $b_k$使得$\Delta b_k = b_{k+1}-b_k = 2^k$。
可令 $b_k = 2^k$（则 $\Delta b_k = 2^{k+1}-2^k = 2^k$，满足）。
Abel 和差变换公式： $$ \sum_{k=1}^{n} a_k \Delta b_k = (a_{n+1}b_{n+1} - a_1 b_1) - \sum_{k=1}^{n} b_{k+1} \Delta a_k. $$ 这里 $\Delta a_k = a_{k+1}-a_k = 1$，$a_1=1,\thickspace{}a_{n+1}=n+1$。
$b_1=2$，$b_{k+1}=2^{k+1}$。
代入： $$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n k\thinspace2^k = \sum_{k=1}^n a_k\Delta b_k \newline &= \big[(n+1)\cdot 2^{n+1} - 1\cdot 2\big] - \sum_{k=1}^n 2^{k+1}\cdot 1 \newline &= (n+1)2^{n+1} - 2 - \sum_{k=1}^n 2^{k+1}. \end{aligned} $$ 而 $\sum_{k=1}^n 2^{k+1} = 4\cdot\frac{2^n-1}{2-1}=2^{n+2}-4$。
因此 $$ S_n = (n+1)2^{n+1} - 2 - (2^{n+2}-4) = (n+1)2^{n+1} - 2^{n+2} + 2 = (n-1)2^{n+1} + 2. $$ 此结果与错位相减法一致。

技巧提示

• 不动点法中，若两根相等，取倒数往往化为等差数列；
• 特征根法中，注意 $n^k\lambda^n$与连续情形$x^k e^{\lambda x}$ 的对应；
• 桥函数的选择依赖敏锐观察，对数/三角/倒数是最常用的桥梁；
• 分部积分时，遵循“反对幂指三”的顺序选择 $u$；
• 离散分部（Abel变换）处理乘积型级数求和十分强大。

幂和公式及推导

有限和记号

记 $S_a(n) = \sum_{k=1}^{n} k^a = 1^a + 2^a + \cdots + n^a$，其中 $a$ 为非负整数。

常用幂和公式

$a$	$S_a(n) = \sum_{k=1}^{n} k^a$
$0$	$n$
$1$	$\dfrac{n(n+1)}{2}$
$2$	$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$3$	$\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$
$4$	$\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
$5$	$\dfrac{n^2 (n+1)^2 (2n^2 + 2n - 1)}{12}$
$6$	$\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1)}{42}$
$7$	$\dfrac{n^2 (n+1)^2 (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2)}{24}$

一般公式 (Faulhaber 公式)

设伯努利数 $B_j$ 定义为： $$ \frac{t}{e^t - 1} = \sum_{j=0}^{\infty} B_j \frac{t^j}{j!}, $$ 且约定 $B_1 = +\dfrac{1}{2}$，则前几项为： $B_0 = 1,\ B_1 = \dfrac{1}{2},\ B_2 = \dfrac{1}{6},\ B_3 = 0,\ B_4 = -\dfrac{1}{30},\ B_5 = 0,\ B_6 = \dfrac{1}{42},\ B_7 = 0,\ B_8 = -\dfrac{1}{30},\ \dots$

对于 $a \geq 1$，有 $$ \sum_{k=1}^{n} k^a = \frac{1}{a+1} \sum_{j=0}^{a} \binom{a+1}{j} B_j \thinspace n^{a+1-j}. $$

注：若采用现代常用约定 $B_1 = -\dfrac{1}{2}$，则求和上限需改为 $n-1$或在公式中添加$(-1)^j$ 因子。

推导方法

1. 裂项相消法（递推法）

利用二项式展开： $$ (k+1)^{a+1} - k^{a+1} = \sum_{i=0}^{a} \binom{a+1}{i} k^i. $$ 对 $k$从$1$到$n$ 求和，左边裂项相消： $$ \sum_{k=1}^{n} \left[(k+1)^{a+1} - k^{a+1}\right] = (n+1)^{a+1} - 1. $$ 右边为 $\sum_{i=0}^{a} \binom{a+1}{i} S_i(n)$，于是得到递推关系： $$ (n+1)^{a+1} - 1 = \sum_{i=0}^{a} \binom{a+1}{i} S_i(n). $$ 由此可从低次和推出高次和。

推导 $S_2(n)$ 示例： 取 $a=2$，有 $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$，求和： $$ (n+1)^3 - 1 = 3\sum k^2 + 3\sum k + n. $$ 已知 $\sum k = \dfrac{n(n+1)}{2}$，代入得： $$ n^3 + 3n^2 + 3n = 3S_2(n) + \frac{3n(n+1)}{2} + n. $$ 整理可解出 $S_2(n) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

推导 $S_3(n)$ 示例： 取 $a=3$，$(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$，求和： $$ (n+1)^4 - 1 = 4S_3(n) + 6S_2(n) + 4S_1(n) + n. $$ 代入已知的 $S_1, S_2$，可解得 $S_3(n) = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$.

2. 待定系数法

因为 $S_a(n)$是$n$的$a+1$次多项式，且常数项为$0$，可设 $$ S_a(n) = c_{a+1} n^{a+1} + c_a n^a + \cdots + c_1 n. $$ 取 $a+1$个不同的$n$值（如$n=1,2,\dots,a+1$）代入求出具体和，解线性方程组确定系数。

3. 数学归纳法

利用递推关系或已知公式，直接验证 $n=1$成立，并假设$n=m$时成立，证明$n=m+1$ 时成立。归纳步骤中需用到恒等变形，如平方和归纳： 假设 $S_2(m) = \dfrac{m(m+1)(2m+1)}{6}$，则 $$ S_2(m+1) = S_2(m) + (m+1)^2 = \cdots = \frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6}. $$

数列中 aₙ, aₙ₊₁, Sₙ, Sₙ₊₁ 之间关系的系统解析

核心目标

在数列问题中，我们经常需要处理通项 $a_n$与前$n$项和$S_n$之间的相互关系，以及相邻项的递推。本笔记从基本恒等式出发，系统阐述如何将含$a_n$、$a_{n+1}$、$S_n$、$S_{n+1}$ 的方程转化为标准递推，并按齐次线性、非齐次线性、指数驱动、一般非线性等类型给出通解方法与严格推导。每个方法均配以例题，标注易错点，力求达到教科书严密程度。

1. 核心关系与转化工具

设数列 $\lbrace a_n\rbrace $的前$n$项和为$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$。对于所有 $n \ge 1$，下列基本关系恒成立：

基本恒等式

$$ \boxed{a_1 = S_1} $$ $$ \boxed{a_n = S_n - S_{n-1}} \quad (n \ge 2) $$ 将上式的 $n$替换为$n+1$，得到含 $a_{n+1}$ 的版本： $$ \boxed{a_{n+1} = S_{n+1} - S_n} \quad (n \ge 1) $$

这些关系是消除 $S$或$a$ 的核心工具。

消元策略

• 欲消去 $S$，保留 $a$：用 $S_n = S_{n-1} + a_n$或$S_n = S_{n+1} - a_{n+1}$ 代换。
• 欲消去 $a$，保留 $S$：用 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 代换。
• 当条件同时含 $a_n$、$a_{n+1}$、$S_n$、$S_{n+1}$时，常通过升降角标再作差，建立仅含$a$或仅含$S$ 的递推。

2. 由 $S_n$直接求$a_n$

若已知 $S_n = f(n)$，则通项可通过分段形式严格写出：

$$ a_n = \begin{cases} S_1, & n = 1 \newline[4pt] S_n - S_{n-1}, & n \ge 2 \end{cases} $$

示例

已知 $S_n = n^2 + 3n$，求 $a_n$。

• $a_1 = S_1 = 4$。
• $n \ge 2$：$a_n = (n^2+3n) - [(n-1)^2+3(n-1)] = 2n+2$。
• 验证 $n=1$时$2\times1+2=4$，故通项可统一为 $a_n = 2n+2$（$n\in\mathbb{N}^*$）。

必须验证首项

分段求出的 $n\ge2$公式不一定对$n=1$ 成立。务必检验，若成立才可合并。

3. 含 $a_n$与$S_n$ 的混合关系 → 递推

3.1 类型Ⅰ：条件给出 $S_n = g(a_n)$或$a_n = h(S_n)$

解法：写出 $S_{n} = g(a_n)$与$S_{n-1} = g(a_{n-1})$（$n\ge2$），相减： $$ a_n = g(a_n) - g(a_{n-1}) \quad (n\ge 2) $$ 从而得到仅含 $a_n$与$a_{n-1}$ 的递推。

示例

已知 $S_n = 2a_n - 1$，求 $a_n$。

• $n=1$：$S_1 = a_1 = 2a_1 - 1 \Rightarrow a_1 = 1$。
• $n\ge2$：$S_{n-1} = 2a_{n-1} - 1$，与 $S_n = 2a_n - 1$ 相减： $a_n = (2a_n - 1) - (2a_{n-1} - 1) = 2a_n - 2a_{n-1} \Rightarrow a_n = 2a_{n-1}$。
• 故 $\lbrace a_n\rbrace $为首项$1$、公比 $2$ 的等比数列，$a_n = 2^{n-1}$。

3.2 类型Ⅱ：条件同时含 $a_{n+1}$与$S_n$

常见形式：$S_n = k a_{n+1} + \dots$。利用 $a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$可化为$S$的递推，或利用$S_n$与$S_{n-1}$的关系转化为$a$ 的递推。

示例

已知 $S_n = 2a_{n+1}$，且 $a_1=1$。

• 法一（保留 $a$）：由 $S_n - S_{n-1} = a_n$，且 $S_{n-1} = 2a_n$（$n\ge2$），两式相减得 $a_n = 2a_{n+1} - 2a_n \Rightarrow 2a_{n+1} = 3a_n$，即 $a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n$。
• 法二（保留 $S$）：$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$，代入得 $S_n = 2(S_{n+1}-S_n) \Rightarrow 2S_{n+1}=3S_n$。再求 $S_1=a_1=1$，得 $S_n=(\frac{3}{2})^{n-1}$，进而 $a_n=S_n-S_{n-1}$。

4. 递推关系求解方法分类（核心）

从混合关系中化出递推后，我们需要对递推类型进行系统求解。以下按“齐次 $\to$非齐次常数$\to$指数驱动$\to$ 一般情况”展开。

4.1 一阶线性齐次递推（等比型）

形如： $$ a_{n+1} = p\thinspace a_n \quad (p \neq 0) $$ 这是最简单的递推，可直接迭代： $$ a_n = a_1 \cdot p^{\thinspace{}n-1} $$

齐次的含义

等式右侧仅含 $a_n$ 的一次项，无外加常数或函数项，称为齐次递推。

4.2 一阶线性非齐次递推（常数项）

形如： $$ a_{n+1} = p\thinspace a_n + q \quad (p \neq 0,\thickspace q \neq 0) $$ 求解思路：通过待定常数或“不动点”构造等比数列。

若 $p = 1$，则 $\lbrace a_n\rbrace $是公差为$q$ 的等差数列。
若 $p \neq 1$，设待定常数 $\lambda$，使 $a_{n+1} - \lambda = p(a_n - \lambda)$。展开比较得 $\lambda = \frac{q}{1-p}$。于是新数列 $b_n = a_n - \frac{q}{1-p}$满足$b_{n+1} = p b_n$，为等比数列。

示例

$a_1=1$，$a_{n+1} = 2a_n + 3$。 由不动点方程 $x = 2x+3 \Rightarrow x=-3$，构造 $b_n = a_n + 3$。递推化为 $b_{n+1}=2b_n$，$b_1=4$，故 $b_n = 4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}$，$a_n = 2^{n+1}-3$。

4.3 一阶线性非齐次递推（指数型驱动项）

形如： $$ a_{n+1} = p\thinspace a_n + c \cdot r^{\thinspace{}n} \quad (p, r \neq 0) $$ 其中 $c$为非零常数。这类递推的非齐次项含指数函数$r^n$。

解法：根据 $p$与$r$ 是否相等，分为两种情形。

情形1：$p \neq r$ （待定系数法）

设特解形式为 $a_n^* = A \cdot r^{\thinspace{}n-1}$（或 $A r^n$），代入递推定出 $A$，再叠加齐次通解。
齐次通解为 $C \cdot p^{\thinspace{}n-1}$，故通解： $$ a_n = C \cdot p^{\thinspace{}n-1} + A \cdot r^{\thinspace{}n-1} $$ 待定系数：将 $a_n = A r^{n-1}$代入$a_{n+1} = p a_n + c r^n$： $$ A r^{n} = p A r^{n-1} + c r^{n} \Rightarrow A r = p A + c r \Rightarrow A = \frac{c r}{r - p} $$ 利用初值确定 $C$。

示例

$a_1 = 2$，$a_{n+1} = 3a_n + 4 \cdot 2^n$。（$p=3, r=2, c=4$） 齐次通解：$C\cdot 3^{n-1}$。特解：设 $A\cdot 2^{n-1}$，代入得 $A\cdot 2^n = 3A\cdot 2^{n-1} + 4\cdot 2^n$，约去 $2^{n-1}$：$2A = 3A + 8 \Rightarrow A = -8$。
通解：$a_n = C\cdot 3^{n-1} - 8\cdot 2^{n-1}$。由 $a_1=2$得$C - 8 = 2 \Rightarrow C=10$。
故 $a_n = 10\cdot 3^{n-1} - 8\cdot 2^{n-1}$。

情形2：$p = r$ （倍乘型）

此时非齐次项与齐次解“共振”。解法：设特解为 $a_n^* = A \cdot n \cdot p^{\thinspace{}n-1}$（多乘一个 $n$）。代入求得 $A = c p^{-1}$。通解： $$ a_n = C \cdot p^{\thinspace{}n-1} + c \cdot n \cdot p^{\thinspace{}n-2} \quad (\text{注意调整指数}) $$ 或者更整齐的形式，可将原方程两边同除以 $p^{n+1}$，得到等差数列。

示例

$a_{n+1} = 2a_n + 3 \cdot 2^n$，$a_1=1$。
两边除以 $2^{n+1}$：$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{3}{2}$。令 $b_n = \frac{a_n}{2^n}$，则 $b_{n+1} = b_n + 1.5$，等差数列。$b_1 = a_1/2 = 0.5$，$b_n = 0.5 + 1.5(n-1) = 1.5n - 1$，故 $a_n = 2^n (1.5n - 1)$。

普适方法：除以 $p^{n+1}$或$r^{n+1}$

当 $p=r$时，除以$p^{n+1}$化为等差数列最为简洁；当$p \neq r$时，除以$r^{n+1}$可化为$b_{n+1} = \frac{p}{r} b_n + \frac{c}{r}$，化为一阶线性常数非齐次型。

4.4 一阶线性变系数递推与构造法（更一般情况）

形如： $$ a_{n+1} = f(n)\thinspace a_n + g(n) $$ 其中 $f(n), g(n)$ 为已知函数。无通用显式解，但可借助累加或累乘。

• 若 $f(n) \equiv 1$：$a_{n+1} = a_n + g(n)$，累加得 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} g(k)$。
• 若 $g(n) \equiv 0$：$a_{n+1} = f(n) a_n$，累乘得 $a_n = a_1 \prod_{k=1}^{n-1} f(k)$。
• 一般情形：可用积分因子法。寻找 $h(n)$使得$h(n+1) = f(n) h(n)$，通常取 $h(n) = \prod_{k=1}^{n-1} f(k)$的倒数。令$b_n = \frac{a_n}{h(n)}$，则方程可化为可求和形式。

示例（累加型）

$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + 2n$。累加：$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + n(n-1)$。

示例（积分因子法）

$a_{n+1} = \frac{n}{n+1} a_n + 1$，$a_1=1$。
同乘以 $n+1$：$(n+1)a_{n+1} = n a_n + (n+1)$。令 $b_n = n a_n$，则 $b_{n+1} = b_n + n+1$。累加得 $b_n$，再得 $a_n$。

4.5 非线性递推与不动点（更一般情况）

若递推为非线性，特别是分式线性： $$ a_{n+1} = \frac{p a_n + q}{r a_n + s} 可利用不动点 $\alpha = \frac{p\alpha + q}{r\alpha + s}$进行变换。对两不同实根，构造$\frac{a_{n+1}-\alpha_1}{a_{n+1}-\alpha_2} = k \frac{a_n-\alpha_1}{a_n-\alpha_2}$，化为等比。当有重根时，倒置化为等差数列。

更多类型

包括 $a_{n+1} = p a_n^r$ 可通过取对数化为线性；$a_{n+1} = p a_n + q a_{n-1}$是二阶线性递推，需特征方程。这些均属更一般情况，但主题$a_n,S_n$ 关系中，最终常化为一阶。

\#\#\# 5. 综合应用：含 $a_n, a_{n+1}, S_n, S_{n+1}$ 的方程组

典型题

已知数列 $\lbrace a_n\rbrace $满足$S_n + S_{n+1} = 2a_{n+1} + 3n - 1$，且 $a_1 = 1$。求通项 $a_n$。 **分析**：方程中有 $S_n, S_{n+1}, a_{n+1}$，消去 $S$。 解：由 $S_n = S_{n+1} - a_{n+1}$，代入得 $(S_{n+1} - a_{n+1}) + S_{n+1} = 2a_{n+1} + 3n - 1$，即 $2S_{n+1} = 3a_{n+1} + 3n - 1$。 降角标：$2S_n = 3a_n + 3(n-1) - 1$（$n\ge2$）。两式相减： $2a_{n+1} = 3a_{n+1} - 3a_n + 3 \implies -a_{n+1} = -3a_n + 3 \implies a_{n+1} = 3a_n - 3$。 这是一阶线性常数非齐次型，用不动点法得 $a_n - \frac{3}{2}$等比，结合$a_1=1$求得$a_n$。

步骤小结

1. 将已知等式变形，尽量写成 $S_{n} = \dots$或直接消$S$。
2. 作差 $S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$或$S_n - S_{n-1} = a_n$，得到仅含 $a$ 的递推。
3. 判定递推类型，选择对应解法。
4. 不要忘记求 $a_1$，并验证首项兼容性。

\#\#\# 6. 易错点与注意事项

常见错误

• **忘记 $n=1$ 的单独验证**：$S_0$ 无定义，$a_n = S_n - S_{n-1}$仅对$n\ge2$ 有效。
• **混淆齐次与非齐次**：$a_{n+1} = 2a_n$ 是齐次，$a_{n+1} = 2a_n + 1$ 是非齐次，解法不同。
• **指数非齐次项直接套用常数公式**：$a_{n+1} = p a_n + c r^n$不能直接用$a_{n+1} = p a_n + q$的常数解，需要区分$p=r$与$p\neq r$。
• **忽略多解情况**：当递推中出现平方或分式时，可能引入增根或丢失合理分支。
• **下标混乱**：解题过程中要时刻注意 $n$的取值范围，尤其是将$S_n$表示为$a_n$ 函数后相减时，需确保角标不越界。

验算习惯

求出通项后，建议代入原混合关系（如 $S_n$ 的表达式）验证前几项，确保推导无误。

\#\#\# 7. 总结与速查表

已知条件形式	转化手段	最终递推类型	关键解法
$S_n = g(n)$解析式	$a_n = S_n - S_{n-1}$	直接公式	分段检验首项
$S_n = g(a_n)$	作差消$S$	$a_n$间递推	根据$g$ 形式确定类型
$a_{n+1} = p a_n$	—	一阶齐次线性	$a_n = a_1 p^{n-1}$
$a_{n+1} = p a_n + q$	—	一阶常系数非齐次	不动点构造等比
$a_{n+1} = p a_n + c r^n$	—	指数驱动	待定系数或除以$r^{n+1}$
$a_{n+1} = f(n)a_n + g(n)$	—	一阶变系数	累加/累乘/积分因子
$$
含 $S_n, S_{n+1}, a_{n+1}$	消$S$留$a$	同前	综合应用

核心思想

一切技巧归于两个基本动作：消元（$S$与$a$ 的互化）和降阶（化归为等比、等差或可求和形式）。掌握这两点，$a_n, a_{n+1}, S_n, S_{n+1}$ 的混合问题便不再神秘。