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设计与编码理论初步
概览
设计理论（Design Theory）研究满足特定相交条件的子集族结构；编码理论（Coding Theory）研究在噪声信道中如何可靠地传输与纠错。二者在数学上联系紧密——许多编码可视为某种区组设计，而设计亦可视为 0/1 码字集合。本笔记面向 CMO / TST / IMO 级别竞赛，聚焦构造性方法与基本计数不等式。
引言
组合设计理论与编码理论是组合数学中两个深度交织的分支：
- 设计理论：给定一个有限点集 $X$，研究 $X$的子集族$\mathcal{B}$（称为区组，block），使其满足某些均衡的相交条件。例如"每对点恰出现在 $\lambda$ 个区组中"。
- 编码理论：研究 $\mathbb{F}_q^n$中码字集合$C$ 的构造，使得任意两个码字之间有足够大的 Hamming 距离以支撑纠错。
二者的对应
若把区组设计的关联矩阵行视为码字，则一个 $(v, k, \lambda)$-设计的关联矩阵给出了一个等距的二进制码。反之，许多线性码的对偶码与某种设计同构（例如 Hamming 码与 Steiner 系统）。
竞赛中，设计理论与编码理论常以构造题形式出现：要求构造满足某种性质的对象，或证明其存在/不存在性。前置阅读建议先熟悉 组合极值与构造 与 对称群与Pólya计数。
一、区组设计
1.1 平衡不完全区组设计 BIBD
定义
一个 平衡不完全区组设计（Balanced Incomplete Block Design），记为 $(v, k, \lambda)$-BIBD，是一个二元组 $(X, \mathcal{B})$，其中 $X$为$v$ 个点的集合，$\mathcal{B}$为$X$的若干$k$-子集（区组）构成的族，满足：
- 每个区组恰含 $k$ 个不同点（$k < v$）；
- $X$的任意一对点恰出现在$\lambda$ 个区组中。
设 $b = |\mathcal{B}|$ 为区组总数，$r$ 为每个点所属的区组数。通过二计数可得：
参数关系
$$bk = vr, \qquad \lambda(v-1) = r(k-1).$$
第一式：双向计数 (点, 区组) 的关联对。第二式：固定一点 $x$，计数含 $x$的对$\lbrace x, y\rbrace $ 出现的次数。
由此推出 $r = \dfrac{\lambda(v-1)}{k-1}$，$b = \dfrac{\lambda v(v-1)}{k(k-1)}$，二者均须为整数，这是 BIBD 存在的必要条件（但非充分）。
1.2 Fisher 不等式
定理（Fisher 不等式）
对任意 $(v, k, \lambda)$-BIBD（$k < v$），有 $$b \ge v.$$
证明思路：设 $A$为$b \times v$关联矩阵。计算$A^T A$：其对角元为 $r$，非对角元为 $\lambda$，故 $$A^T A = (r - \lambda) I_v + \lambda J_v,$$ 其中 $J_v$为全 1 矩阵。当$k < v$时$r > \lambda$，故 $A^T A$ 正定，$\operatorname{rank}(A^T A) = v$，从而 $\operatorname{rank}(A) \ge v$，但 $\operatorname{rank}(A) \le b$，故 $b \ge v$。$\square$
1.3 对称设计
定义
若 $(v, k, \lambda)$-BIBD 满足 $b = v$（由 Fisher 不等式取等号），则称之为对称设计，此时亦有 $r = k$。对称设计具有性质：任意两个区组恰交于 $\lambda$ 个点。
例题：验证 Fano 平面是 $(7, 3, 1)$-BIBD
Fano 平面有 $v = 7$ 个点、$b = 7$ 条线，每线 3 点，每点在 3 条线上，每对点恰在 1 条线上。
验证参数：$r = \dfrac{\lambda(v-1)}{k-1} = \dfrac{1 \cdot 6}{2} = 3$；$b = \dfrac{vr}{k} = \dfrac{7 \cdot 3}{3} = 7$。 由于 $b = v = 7$，这是对称设计。
- 详细参数验证
- $bk = 7 \cdot 3 = 21 = vr = 7 \cdot 3$ ✓
- $\lambda(v-1) = 1 \cdot 6 = 6 = r(k-1) = 3 \cdot 2$ ✓
- $r = k = 3$，对称设计 ✓
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二、Steiner 系统
2.1 定义
定义
Steiner 系统 $S(t, k, v)$是一个$(X, \mathcal{B})$，其中 $|X| = v$，每个区组大小为 $k$，且 $X$的任意$t$元子集恰出现在一个区组中。它对应于$\lambda = 1$的$t$-设计。
常见特例：
| 名称 | 记号 | 存在条件 |
|---|---|---|
| Steiner 三元系 | $S(2, 3, v)$ | $v \equiv 1, 3 \pmod{6}$ |
| Steiner 四元系 | $S(3, 4, v)$ | $v \equiv 2, 4 \pmod{6}$ |
| Fano 平面 | $S(2, 3, 7)$ | $v = 7$ |
| Witt 设计 | $S(5, 8, 24)$ | $v = 24$ |
存在性条件推导（三元系）
$S(2, 3, v)$存在当且仅当$v \equiv 1, 3 \pmod{6}$。必要条件：
- $r = \dfrac{v-1}{2}$为整数$\Rightarrow v$ 为奇数；
- $b = \dfrac{v(v-1)}{6}$为整数$\Rightarrow v(v-1) \equiv 0 \pmod{6}$。
二者结合即 $v \equiv 1, 3 \pmod{6}$。Bose（1939）与 Skolem 给出了充分性构造。
2.2 Fano 平面
Fano 平面 $S(2, 3, 7)$ 是最简单的非平凡 Steiner 系统，也是最小阶射影平面。其 7 条线可表示为：
$$\lbrace 1,2,3\rbrace ,\ \lbrace 3,4,5\rbrace ,\ \lbrace 5,6,1\rbrace ,\ \lbrace 1,7,4\rbrace ,\ \lbrace 3,7,6\rbrace ,\ \lbrace 5,7,2\rbrace ,\ \lbrace 2,4,6\rbrace .$$
mermaid
graph TD
subgraph Fano["Fano 平面 S(2,3,7) 示意"]
P1((1)) --- P2((2)) --- P3((3)) --- P1
P3 --- P4((4)) --- P5((5)) --- P3
P5 --- P6((6)) --- P1
P1 --- P7((7)) --- P4
P3 --- P7 --- P6
P5 --- P7 --- P2
P2 --- P6 --- P4 --- P2
end例题：构造 Fano 平面
取 $\mathbb{F}_2^3$的 7 个非零向量作为点，将模 2 加法为 0 的三元组$\lbrace x, y, x+y\rbrace $作为线。共有$\binom{7}{2}/3 = 7$ 条线。
- 完整构造
点集 $\lbrace 1,\dots,7\rbrace $对应$\mathbb{F}_2^3 \setminus \lbrace 0\rbrace $： $$001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.$$ 三元组 $\lbrace a, b, c\rbrace $为线当且仅当$a \oplus b \oplus c = 0$。例如 $\lbrace 001, 010, 011\rbrace $，$\lbrace 001, 100, 101\rbrace $ 等。 任意两个不同非零向量 $x, y$唯一确定第三点$x \oplus y \ne 0$，故每对点恰在一条线上。
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2.3 Witt 设计
Witt 设计 $S(5, 8, 24)$
这是与 Mathieu 群 $M_{24}$相关的高度对称设计，是$t = 5$的 Steiner 系统。其自同构群$M_{24}$是散在单群（sporadic simple group）。Witt 设计的构造依赖 Golay 码$[24, 12, 8]_2$——其重量为 8 的码字恰好对应区组。这揭示了设计与编码的深层统一。
三、有限射影平面
3.1 定义与参数
定义
一个 $n$ 阶有限射影平面是点与线的集合，满足：
- 任意两不同点恰在一条线上；
- 任意两不同线恰交于一点；
- 存在 4 个一般位置点（无三点共线）。
它有 $n^2 + n + 1$个点与$n^2 + n + 1$条线，每条线含$n + 1$个点，每点在$n + 1$ 条线上。
有限射影平面与 $(n^2+n+1,\thinspace n+1,\thinspace 1)$-BIBD 等价（点作设计点，线作区组）。因此 $n$ 阶射影平面等价于一个对称 BIBD。
3.2 Bruck–Ryser–Chowla 定理
定理（BRC）
若 $n \equiv 1, 2 \pmod 4$且$n$阶有限射影平面存在，则$n$ 可表为两个整数的平方和：$n = x^2 + y^2$。
注意
BRC 定理给出的是必要条件，非充分条件。它通过考察对称设计的关联矩阵在 $\mathbb{Q}$ 上的二次型表示，得到数论约束，与 二次型理论 紧密相关。
已知结果：
| 阶数 $n$ | 存在性 | 备注 |
|---|---|---|
| $n = 2$ | 存在 | Fano 平面 |
| $n = 3$ | 存在 | 13 点 |
| $n = 4, 5, 7, 8, 9$ | 存在 | 经典构造 |
| $n = 6$ | 不存在 | BRC 排除（$6 \equiv 2 \pmod 4$，$6 \ne x^2 + y^2$） |
| $n = 10$ | 不存在 | Lam 等 1989 计算机证 |
| $n = 12$ | 开放 | 至今未决 |
例题：构造 3 阶射影平面
取 $\mathbb{F}_3 = \lbrace 0, 1, 2\rbrace $上的 4 维齐次坐标$(x_0 : x_1 : x_2 : x_3)$模等价类，但更简洁地用$\mathbb{F}_3$上的射影平面$PG(2, 3)$：点为 $\mathbb{F}_3^3$的 1 维子空间，共$\dfrac{3^3 - 1}{3 - 1} = 13$ 个。
- 构造细节
点：所有非零向量 $(a, b, c) \in \mathbb{F}_3^3$ 的射影等价类，共 13 个。 线：所有非零线性型 $\alpha x + \beta y + \gamma z = 0$ 的射影等价类，共 13 条。 每线含 $n + 1 = 4$ 点，每点在 4 条线上。 任两点的连线和任两线的交点均唯一确定（由线性代数），满足射影平面公理。
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四、Hadamard 矩阵与设计
4.1 Hadamard 矩阵
定义
Hadamard 矩阵 $H_n$是$n \times n$的$\pm 1$ 矩阵，满足 $$H_n H_n^T = n I_n.$$ 即各行两两正交。
Hadamard 不等式
对任意 $n \times n$实矩阵$A$，$|\det A| \le \prod_{i=1}^n \Vert{}r_i\Vert$，其中 $r_i$为行向量。若$|a_{ij}| \le 1$，则 $|\det A| \le n^{n/2}$，等号成立当且仅当 $A$ 为 Hadamard 矩阵（差一个符号）。
4.2 阶数限制
阶数定理
若 $n$阶 Hadamard 矩阵存在且$n \ge 4$，则 $n$ 为 4 的倍数。
证明：标准化使首行首列全为 $+1$。考察前三行，在某个非首列位置考察 $(h_{1j}, h_{2j}, h_{3j})$的取值。由正交性，4 种模式$(+,+,+), (+,-,-), (-,+,-), (-,-,+)$出现次数相等，故$n - 1$为 4 的倍数，即$n \equiv 1 \pmod 4$，结合 $n$偶数得$4 \mid n$。$\square$
Hadamard 猜想
对所有 $n = 4k$，$n$阶 Hadamard 矩阵存在。此猜想至今未解决，已验证至很大的$n$。
4.3 Hadamard 设计
从 Hadamard 矩阵到设计
设 $H_{4u}$为标准化的 Hadamard 矩阵（首行首列全$+1$）。删去首行首列，将剩余 $-1$替换为$1$，$+1$替换为$0$，所得 $0/1$矩阵的行构成一个对称$(4u - 1,\thinspace 2u - 1,\thinspace u - 1)$-设计的关联矩阵。
mermaid
graph LR
H["Hadamard 矩阵 H_4u<br/>标准化"] --> R["删首行首列"]
R --> S["符号替换 -1→1, +1→0"]
S --> D["对称设计<br/>(4u-1, 2u-1, u-1)"]例题：构造 $H_4$ 与对应设计
$H_4$ 的 Sylvester 构造：$H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \newline 1 & -1 \end{pmatrix}$，递推 $H_{2n} = \begin{pmatrix} H_n & H_n \newline H_n & -H_n \end{pmatrix}$。
- 完整推导
$$H_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \newline 1 & -1 & 1 & -1 \newline 1 & 1 & -1 & -1 \newline 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$ 删首行首列，将 $-1 \to 1$，$+1 \to 0$： $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \newline 1 & 0 & 1 \newline 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{（修正后）}$$ 实际操作：剩余矩阵 $\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \newline 1 & -1 & -1 \newline -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$映射为$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \newline 0 & 1 & 1 \newline 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。 区组：$\lbrace 1, 3\rbrace , \lbrace 2, 3\rbrace , \lbrace 1, 2\rbrace $，对应 $(3, 2, 1)$-设计（这里 $4u - 1 = 3$，$2u - 1 = 1$，$u - 1 = 0$，需 $u = 1$退化情形，更典型的$u = 2$给出$(7, 3, 1)$-设计即 Fano 平面）。
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五、纠错码基础
5.1 基本概念
定义
码 $C$是$\mathbb{F}_q^n$ 的非空子集，元素称为码字。Hamming 距离定义为 $$d(x, y) = |\lbrace i : x_i \ne y_i\rbrace |.$$ 码 $C$的最小距离$d = \min_{x \ne y \in C} d(x, y)$。
纠错能力
最小距离为 $d$的码可检测$d - 1$个错误，可纠正$\left\lfloor \dfrac{d-1}{2} \right\rfloor$ 个错误。
理由：以每个码字为中心、半径 $t = \lfloor (d-1)/2 \rfloor$ 的 Hamming 球两两不相交。
5.2 基本界
Singleton 界
$$|C| \le q^{n - d + 1}.$$ 达到此界的码称为 MDS 码（Maximum Distance Separable）。例如 Reed–Solomon 码。
证明：将每个码字截断前 $d - 1$位，所得$n - d + 1$元组仍互不相同（因任意两码字距离$\ge d$，前 $d - 1$位不足以区分则后位必不同）。故$|C| \le q^{n - d + 1}$。$\square$
Hamming 界（球包界）
记 $t = \lfloor (d-1)/2 \rfloor$，则 $$|C| \cdot \sum_{i=0}^{t} \binom{n}{i} (q - 1)^i \le q^n.$$ 等号成立时称 $C$ 为完美码。
5.3 线性码
定义
$C \subseteq \mathbb{F}_q^n$为$\mathbb{F}_q$-线性子空间，维数 $k$，最小距离 $d$，记为 $[n, k, d]_q$ 码。
线性码的最小距离等于其非零码字的最小 Hamming 重量： $$d = \min_{0 \ne c \in C} w(c), \quad w(c) = |\lbrace i : c_i \ne 0\rbrace |.$$
线性码可用生成矩阵 $G \in \mathbb{F}_q^{k \times n}$（行空间为 $C$）或校验矩阵 $H \in \mathbb{F}_q^{(n-k) \times n}$（$C = \ker H$）描述。最小距离 $d$等于$H$中任意$d - 1$列线性无关而存在$d$ 列线性相关的最小列数。
5.4 Hamming 码
Hamming 码 $[7, 4, 3]_2$
取 $\mathbb{F}_2^3$的所有 7 个非零向量作为校验矩阵$H$ 的列： $$H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \newline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \newline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ 此为 $[7, 4, 3]_2$ 码，$|C| = 2^4 = 16$，是完美码。
验证 Hamming 码是完美码
$t = 1$，球体积 $\sum_{i=0}^{1} \binom{7}{i} 1^i = 1 + 7 = 8$。 $|C| \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128 = 2^7 = q^n$，等号成立。✓
- 与 Fano 平面的联系
Hamming 码 $[7, 4, 3]_2$的校验矩阵$H$ 的列恰为 Fano 平面的 7 个点（$\mathbb{F}_2^3 \setminus \lbrace 0\rbrace $）。 重量为 4 的码字对应 Fano 平面中"线的补集"——8 个这样的码字对应 7 条线 + 全 1 向量。 Hamming 码的对偶码 $[7, 3, 4]_2$（Simplex 码）的 7 个非零码字恰为 Fano 平面 7 条线的关联向量。 这是编码即设计的最美范例。
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六、设计、编码与图论的联系
6.1 完全图分解与 Steiner 系统
关键观察
$K_v$的边分解为三角形等价于$S(2, 3, v)$ 的存在。
理由：每个三角形 $\lbrace a, b, c\rbrace $对应一个区组$\lbrace a, b, c\rbrace $。$K_v$的每条边$\lbrace a, b\rbrace $ 恰属于一个三角形 ⇔ 每对点恰属于一个区组。
由此立即得到 $S(2, 3, v)$ 存在的必要条件：$K_v$的边数$\dfrac{v(v-1)}{2}$必须被 3 整除，且每个顶点的度$v - 1$必须被 2 整除（每个三角形贡献 2 度），即$v \equiv 1, 3 \pmod{6}$。
6.2 编码与图覆盖
码 $C \subseteq \mathbb{F}_q^n$可看作$q$部图$\mathbb{F}_q^n$ 的子图。覆盖问题等价于码覆盖：$C$覆盖半径$R$的 Hamming 球当且仅当$\bigcup_{c \in C} B(c, R) = \mathbb{F}_q^n$。
6.3 设计与差集
差集
$v$阶 Abel 群$G$中的$(v, k, \lambda)$-差集是 $G$的$k$元子集$D$，使得 $G$中每个非零元恰有$\lambda$种方式表为$D$ 中两元素之差。
差集通过平移 $g + D$（$g \in G$）自然生成对称 $(v, k, \lambda)$-设计。这是构造对称设计最经典的方法。
此主题与 组合数论与加法组合 中的差集、Singer 差集等紧密呼应。
例题：用完全图分解构造 Steiner 三元系
构造 $S(2, 3, 9)$（不存在，因 $9 \equiv 3 \pmod 6$，应存在——但更典型例子是 $S(2, 3, 9)$）。
- $S(2, 3, 9)$ 的构造
$v = 9 \equiv 3 \pmod 6$，存在。取 $X = \mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3$（9 个点）。区组为所有"仿射直线" $\lbrace (x, y) : ax + by = c\rbrace $（$a, b$ 不全为 0），每条线恰含 3 点，共 12 条线。 任两不同点恰在一条仿射直线上，故为 $S(2, 3, 9)$。 这是将 $\mathbb{F}_q^2$ 的射影几何与 Steiner 系统结合的标准技巧。
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七、竞赛题精选
题目 1：IMO 1998 第 2 题（棋盘染色与覆盖）
题目
在一个 $1998 \times 1998$棋盘上，每格染$1$至$n$中某色。问$n$ 最小为多少，使得存在一种染色使每个形如"I 型三连格"的覆盖都包含三种不同颜色？
- 解答要点（BIBD 思想）
此题实际考察的是棋盘格的"相邻关系"能否用 $n$ 色染色使每条相邻三元组均含三色。
关键观察：将棋盘的格子抽象为图 $G$ 的顶点，相邻的"三连格"对应三角形。要求每个三角形为彩虹三角形。
由 Ramsey 与设计思想：考虑 $\mathbb{Z}_n$上的循环结构。当$n = 2$时不可能（鸽巢）；当$n = 3$时取$c(i, j) = (i + 2j) \bmod 3$，则水平/垂直/对角三连格均含三色。
答案：$n_{\min} = 3$。
证明 $n = 3$可行：取染色$c(i, j) = (i + j) \bmod 3$，则任意水平三连格 $(i, j), (i, j+1), (i, j+2)$颜色为$i+j, i+j+1, i+j+2$（模 3）三色；垂直类似。
证明 $n = 2$不可行：任取一个$2 \times 2$ 块的 4 格，由鸽巢必有两格同色，可构造一个三连格含两同色。
题目 2：CMO 风格——对称设计的构造
题目
设 $p$ 为素数，$p \equiv 3 \pmod 4$。证明存在一个 $(p, \dfrac{p-1}{2}, \dfrac{p-3}{4})$-对称设计。
- 解答（二次剩余差集）
取 $G = \mathbb{Z}_p$，$D = \lbrace x^2 : x \in \mathbb{Z}_p^*\rbrace $为模$p$ 的二次剩余集合，$|D| = \dfrac{p-1}{2}$。
关键引理（与 二次型理论、组合数论与加法组合 相关）：当 $p \equiv 3 \pmod 4$ 时，$D$是$\mathbb{Z}_p$中的$(p, \dfrac{p-1}{2}, \dfrac{p-3}{4})$-差集。
证明：对每个 $a \ne 0 \in \mathbb{Z}_p$，方程 $x - y = a$在$D \times D$ 中的解数为 $$N(a) = \#\lbrace (x, y) : x, y \in D,\thinspace x - y \equiv a \pmod p\rbrace .$$ 由 Legendre 符号的性质，当 $p \equiv 3 \pmod 4$时$N(a) = \dfrac{p-3}{4}$对所有$a \ne 0$恒成立（用$\sum_{t} \chi(t)\chi(t+a) = -1$）。
故 $D$为差集，由$\lbrace D + g : g \in \mathbb{Z}_p\rbrace $给出$(p, \dfrac{p-1}{2}, \dfrac{p-3}{4})$-对称设计。$\square$
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题目 3：USAMO / TST 风格——码字计数
题目
求最大的二进制码 $C \subseteq \lbrace 0, 1\rbrace ^n$ 的大小，使得任意两码字的 Hamming 距离为偶数。
- 解答
设 $C$中所有码字 Hamming 重量同奇偶（必要条件：若$x, y \in C$，则 $d(x, y) = w(x) + w(y) - 2w(x \cap y) \equiv w(x) + w(y) \pmod 2$，要 $d(x, y)$偶，须$w(x) \equiv w(y) \pmod 2$）。
实际上更强的结论成立：$C$是$\mathbb{F}_2^n$ 中偶重量向量的子集或奇重量向量子集。
构造：取 $C = \lbrace x \in \mathbb{F}_2^n : w(x) \equiv 0 \pmod 2\rbrace $，$|C| = 2^{n-1}$。 任意两偶重量字的距离为偶数（因 $w(x \oplus y) = w(x) + w(y) - 2w(x \cap y)$ 为偶）。
最优性：将 $C$视为$\mathbb{F}_2^n$中向量，要求$x \oplus y$总有偶重量。设$C$的仿射包为$V + c$，则 $V \subseteq \lbrace x : w(x) \text{ 偶}\rbrace = \ker(\mathbf{1}^T)$，$\dim V \le n - 1$，故 $|C| \le 2^{n-1}$。
答案：$|C|_{\max} = 2^{n-1}$。
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八、综合例题
综合题：从射影平面到完美码
题目
设 $\mathcal{P}$为$n$ 阶射影平面（$n = q$ 为素数幂）。
- 证明 $\mathcal{P}$的关联矩阵$A$满足$A A^T = q I + J$；
- 由 $A$构造一个二进制线性码$C$，确定其参数 $[N, K, D]$；
- 当 $q = 2$时验证$C$与 Hamming 码$[7, 4, 3]_2$ 的关系。
- 综合解答
(1) 关联矩阵 $A$为$v \times v$（$v = q^2 + q + 1$），行对应线、列对应点。
- 对角元 $a_{ii} = 1$（每线含自身）；
- 由于每两线恰交于一点，非对角元 $a_{ij} = 1$（点 $j$在线$i$上当$i \ne j$ 时恰对应交点）。
等等——更准确地：$A A^T$的$(i, j)$元为线$i$与线$j$的公共点数。当$i = j$时为$q + 1$；当 $i \ne j$时为$1$（射影平面两线相交于一点）。 故 $A A^T = q I_v + J_v$。$\square$
(2) 将 $A$视为$\mathbb{F}_2$上矩阵，构造$C$为$A$的行空间（生成矩阵$G = A$）。
- $N = v = q^2 + q + 1$；
- 由 $A A^T = qI + J$，在 $\mathbb{F}_2$上$q$ 模 2 化简；
- 当 $q$ 为偶（$q = 2^m$）时，$A A^T = J$在$\mathbb{F}_2$上，秩$1$，故 $\dim C = v - 1$或$v$。
更精细：参数为 $[q^2+q+1,\thinspace q^2+q,\thinspace 3]_2$（$q$ 偶）的码——这是扩展 Hamming 码或其等价形式。
(3) $q = 2$：$v = 7$，$A$为$7 \times 7$ 关联矩阵。$C = \operatorname{rowspan}(A) \subseteq \mathbb{F}_2^7$。 由 Fano 平面对称性，$A$的行恰为 7 个重量为 3 的码字，且任两行内积为$1$（模 2）。 $C$的参数为$[7, 4, 3]_2$——即 Hamming 码（的对偶 Simplex 码 $[7, 3, 4]$ 的扩展对偶）。
这统一了三件事：射影平面对称性 → 关联矩阵 → 线性码参数，体现了群作用（对称群与Pólya计数）、线性代数（矩阵与线性代数初步）与设计理论的协同。
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