柯西不等式：对于任意的 $a, b, c, d \in \mathbf{R}$恒有不等式$(a c+b d)^{2} \leqslant\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) .$

对柯西不等式变形：易得 $\left(\dfrac{a^{2}}{x}+\dfrac{b^{2}}{y}\right)(x+y) \geqslant(a+b)^{2} .$

在 $a, b, x, y>0$时， 我们就有了：$\color {Red}{\dfrac{a^{2}}{x}+\dfrac{b^{2}}{y} \geqslant \dfrac{(a+b)^{2}}{x+y}}$当 $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ 时， 等号成立.

这就是我们今天要讲的权方和不等式。

当然，柯西不等式有多维形式，同理权方和也可以拓展成多维形式：

若 $a_{i}>0, b_{i}>0$, 则$\color {Red}{\dfrac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\cdots+\dfrac{a_{n}^{2}}{b_{n}} \geqslant \dfrac{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}\right)^{2}}{\left(b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n}\right)}}$成立, 当$a_{i}=\lambda b_{i}$ 时, 等号成立.

权方和不等式还可以推广为如下形式:

若 $a_{i}>0, b_{i}>0, m>0$, 则$\color {Red}{\dfrac{a_{1}^{m+1}}{b_{1}^{m}}+\dfrac{a_{2}^{m+1}}{b_{2}^{m}}+\cdots+\dfrac{a_{n}^{m+1}}{b_{n}^{m}} \geqslant \dfrac{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}\right)^{m+1}}{\left(b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n}\right)^{m}}}$成立，当$a_{i}=\lambda b_{i}$ 的时, 等号成立.。

观察特征, $m$成为该不等式的权, 它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高$1$ 次.

利用权方和不等式可以巧妙的解决一些多元最值问题。下面就从一些我们常见的模拟题中举例说明权方和在求最值中的应用。

[!小补充] 赫尔德( Hölder) 不等式:若 $a_{i} 、 b_{i} \in \mathbf{R}_{+} (i=1,2, \cdots, n), p>0, p \neq 1, \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ , 则 $$\begin{array}{l}\color {Red}{\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}\qquad(p>1) \tag 1} \end{array}$$ $$\begin{array}{l}\color {Red}{\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \geqslant\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{q}\right)^{\frac{1}{q}}\qquad(0<p<1) \tag 2}\end{array}$$

当且仅当 $\dfrac{a_{1}^{p}}{b_{1}^{q}}=\dfrac{a_{2}^{p}}{b_{2}^{q}}=\cdots=\dfrac{a_{n}^{p}}{b_{n}^{q}}$ 时, 以上两式等号成立. 详见 赫尔德不等式 #代数 #不等式