纵观高考导数命题，我们发现命题思路很多是从高等数学中初等化下放而来。因此掌握一些高等数学的结论可以启发我们构造函数、找到突破口等。本文集中给出一些高等数学中的导数技巧及其初等化证明。同样地，为了高中生的理解，舍去了一些特例以及繁琐的证明。

目录： 1、琴生不等式

2、洛必达法则

3、通过泰勒公式（麦克劳林展开式）构造函数

4、ALG不等式

1、琴生不等式

概念：首先我们先来看“凹函数”这个概念。如果一个连续函数 $f(x)$总有$f''(x)>0$恒成立（当然，可以有有限个的$f''(x)=0$的点）（例如$f(x)=x^2$就是一个凹函数，就如字面意思，图形是凹下去的），就称它为“凹函数”。此时凹函数上任意两点$x_1$、$x_2$总能满足$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f(\frac{x_1+x_2}{2})$ 。

如果用数学语言则可以表述为 $\forall x\in R,f''(x)\geq0\Leftrightarrow \forall x_1,x_2\in R,\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\geq f(\frac{x_1+x_2}{2})$

（将>符号改为 $\geq$ 可以让这个性质变为充分必要条件，更便于表述，虽然一般高中使用的话等号取不取是无所谓的）

几何证明：从几何意义上看，我们会发现，这个的几何意义是，一个二次导>0的函数总有任意两点函数值的平均值大于中点的函数值。这样看是显然的。但是，我们需要把这个想法用严格的数学语言表述出来，这就启发我们——

构造中间函数 $g(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$

这时g(x)的几何意义就是连接点 $(x_1,f(x_1))$，$(x_2,f(x_2))$ 的直线。

我们观察到，此时问题转化为了f(x)和g(x)的大小关系

那么我们就令 $h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)-f(x_1)$

那么 $h'(x)=f'(x)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

$h''(x)=f''(x)\geq0$

因此 $h'(x)$ 是单调递增的

又因为 $h(x_1)=h(x_2)$

由反证法得到 $h'(x_1)<0<h'(x_2)$

由介值定理，存在 $x_0\in(x_1,x_2)$满足$h'(x_0)=0$。由单调性，显然存在且唯一存在一个$x_0$

$x\in[x_1,x_0)$，$h(x)$单调递减，$h(x)\leq h(x_1)=0$

$x\in[x_0,x_2]$，$h(x) $单调递增，$h(x)\leq h(x_2)=0$

因此 $\forall x\in [x_1,x_2],h(x)\leq0$

因此 $f(x)\leq\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$

将 $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ 代入，得证。

在该证明中，我用到了几何意义代数化的方法，这是一个重要的方法，在今后的证明中也有重要的作用。

代数证明（虚设函数构造）：令 $m=x_1+x_2$

令 $h(x)=f(x)+f(m-x)(x\ne\frac m2)$

则 $h'(x)=f'(x)-f'(m-x)$

$h''(x)=f''(x)+f''(m-x)\geq0$

又 $h'(\frac m2)=0$

因此 $x<\frac m2,h'(x)<0$，$h(x)$ 单调递减。

$x>\frac m2,h'(x)>0$，$h(x)$ 单调递增。

因此 $h(x)\geq h(\frac m2)$

令 $x=x_1$ ，得证。

我们注意到，代数证明不仅更严谨、简洁，还能得到更强的性质—— $x_1,x_2$越靠近中点，$f(x_1)+f(x_2)$ 越小。那么为什么我还要贴出几何证明呢？因为通过几何证明，我们能更深刻地理解这个定理。

类比：若将>改为<符号，此时称这个函数为凸函数，类似地有 $\forall x\in R,f''(x)\leq0\Leftrightarrow \forall x_1,x_2\in R,\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\leq f(\frac{x_1+x_2}{2})$

证明方法类似，读者自证 。

例题：证明 $\sqrt3+\sqrt7\leq2\sqrt5$

2、洛必达法则

①若 $f(x_0)\rightarrow0$，$g(x_0)\rightarrow0$，则$\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

②若 $f(x_0)\rightarrow∞$，$g(x_0)\rightarrow∞$，则$\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

证明①： $\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}}$

由导数定义： $f'(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，$g'(x_0)=\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$

则 $\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

证明②： $\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{\frac1{g(x)}}{\frac1{f(x)}}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{\frac1{g(x)}-\frac1{g(x_0)}}{\frac1{f(x)}-\frac1{f(x_0)}}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{\frac{\frac1{g(x)}-\frac1{g(x_0)}}{x-x_0}}{\frac{\frac1{f(x)}-\frac1{f(x_0)}}{x-x_0}}}$

由导数定义： $\frac{\frac1{g(x)}-\frac1{g(x_0)}}{x-x_0}=[\frac1{g(x)}]'=\frac{-g'(x)}{[g(x)]^2}$

$\frac{\frac1{f(x)}-\frac1{f(x_0)}}{x-x_0}=[\frac1{f(x)}]'=\frac{-f'(x)}{[f(x)]^2}$

则 $\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\frac{-g'(x)}{[g(x)]^2}}{\frac{-f'(x)}{[f(x)]^2}}$

则 $\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{g'(x)}{f'(x)}\frac{[f(x)]^2}{[g(x)]^2}}$

化简可得 $\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

3、通过泰勒公式（麦克劳林展开式）构造函数

先给出泰勒公式，但不予证明，而且高中不会直接运用到泰勒公式，只会通过泰勒公式获得构造函数的思路

$f(x)=\sum_{0}^{n}{\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}}+R_n(x)$

其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，$\xi$是$x_0$ 和x之间的某个值

由于高考难度要求不到真正的泰勒公式的运用，而高考题往往通过泰勒展开来构造函数

往往高考程度的泰勒公式运用在于通过以下两个公式构造函数

$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

或 $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2}$

例如看到 $e^x$，就应该想到$x_0=0$构造$f(x)\approx f(0)+f'(0)x$

即构造 $e^x\geq x+1$

或者 $f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)x^2}{2}$即构造$e^x\leq1+x+\frac{x^2}{2}(x\leq0)$且$e^x\geq1+x+\frac{x^2}{2}(x\geq0)$

再例如 $\ln x$就应该想到$x_0=1$ 构造$\ln x\leq x-1$

4、ALG不等式

概念： $\frac{x_1+x_2}{2}>\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}>\sqrt{x_1x_2}$

分析：对于① $\frac{x_1+x_2}{2}>\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}$

不妨假设 $x_1>x_2$，则$t=\frac{x_1}{x_2}>1$

变形为 $\ln x_1-\ln x_2>\frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2}$

化简为齐次式 $\ln (\frac{x_1}{x_2})>\frac{2(\frac{x_1}{x_2}-1)}{\frac{x_1}{x_2}+1}$

这就启发我们通过证明 $\ln t>\frac{2(t-1)}{t+1}$ 来证明不等式

同理，对于 $\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}>\sqrt{x_1x_2}$

变形为 $\frac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1x_2}}>\ln x_1-\ln x_2$

化简为齐次式 $\ln \frac{x_1}{x_2}<\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}-\frac1{\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}}$

这就启发我们通过证明 $\ln t<\sqrt{t}-\frac1{\sqrt{t}}$ 来证明不等式

证明：令 $f(t)=\ln t-\frac{2(t-1)}{t+1}(t>1)$，$g(t)=\ln t-\sqrt{t}+\frac1{\sqrt{t}}(t>1)$

那么 $f'(t)=\frac{(t-1)^2}{t(t+1)^2}>0$，$g(t)=-\frac{(\sqrt t-1)^2}{2t\sqrt t}<0$

那么 $f(t)>f(1)=0$，$g(t)<g(1)=0$

令 $t=\frac{x_1}{x_2}>1$ ，代入化简，原不等式得证。

我们注意到，这样做的前提条件是 $x_1>x_2$，但根据该不等式的对称性，$x_1<x_2$ 也成立，证明方法类似，留作习题，读者自证。

补充：

仿此证明 $\mathrm e^{\frac{x_1+x_2}2}<\frac{\mathrm e^{x_1}-\mathrm e^{x_2}}{x_1-x_2}\Leftrightarrow\frac{x_1+x_2}2<\ln\frac{\mathrm e^{x_1}-\mathrm e^{x_2}}{x_1-x_2}$ 也是不困难的

大致提示一下思路：

可利用 $\ln\frac{\mathrm e^{x_1}-\mathrm e^{x_2}}{x_1-x_2}=x_2+\ln\frac{\mathrm e^{x_1-x_2}-1}{x_1-x_2}$将原命题转化为证明$\frac{x_1-x_2}2<\ln\frac{\mathrm e^{x_1-x_2}-1}{x_1-x_2}$ 。

也可以利用间宫羽咲sama：高中导数最后一弹——n阶导恒正的几何意义的三阶导数性质代入f(x)=e^x直接得出。

例题：若 $f(x)=x-\ln x-m$有两不同零点$x_1$、$x_2$（不妨设$x_1<x_2$），求证：$x_1+x_2>3-e^{1-m}$

易证当且仅当 $m>1$时$f(x)$有两不同零点$x_1$、$x_2$

设 $x_0=e^{1-m}$，则$f(x_0)<0$，那么$x_1<x<x_2$

对 $x_0$、$x_2$使用ALG不等式：$\frac{x_0+x_2}{2}>\frac{x_2-x_0}{\ln x_2-\ln x_0}$

由 $f(x_2)=0$ ，那么$\ln x_2=x_2-m$，又$\ln x_0=1-m$

将$\ln x_2=x_2-m$，$\ln x_0=1-m$ 代入不等式

通分后 $(x_0+x_2)(x_2-1)>2(x_2-x_0)$

化简可得 $x_2^2-(3-x_0)x_2+x_0>0①$

同理，对 $x_0$、$x_1$使用ALG不等式可得$x_1^2-(3-x_0)x_1+x_0<0②$

①-②： $x_2^2-x_1^2-(3-x_0)(x_2-x_1)>0$

同时除以 $x_2-x_1$可得$x_1+x_2>3-x_0=3-e^{1-m}$

当然，利用「补充」部分内容的 $\frac{x_1+x_2}2<\ln\frac{\mathrm e^{x_1}-\mathrm e^{x_2}}{x_1-x_2}$

结合题目的 $\mathrm e^{x_1-m}=x_1,\mathrm e^{x_2-m}=x_2$

立即有 $\frac{(x_1-m)+(x_2-m)}2<\ln\frac{\mathrm e^{x_1-m}-\mathrm e^{x_2-m}}{(x_1-m)-(x_2-m)}=0$

也可以推出一个很弱的上界： $x_1+x_2<2m$ ，这个上界很弱，还可以放得更紧很多，不过这里不属于本文要讲的内容，所以就不写了。

虽然之前说不写了但现在还是再写了一篇，但这篇真的是导数篇的第二篇也是最后一篇了，后面即使再更其它的肯定没有导数篇了