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数论函数与欧拉定理（Number Theoretic Functions & Euler's Theorem）
核心定位
数论函数是定义在正整数上的函数，反映数的算术结构。欧拉函数、莫比乌斯函数是两类最重要的数论函数。欧拉定理将费马小定理从素数推广到任意模，是 RSA 加密的数学基础；莫比乌斯反演则提供了处理求和与因子关系的强大工具。本笔记建立完整的知识链，与 求和式的计算方式、整除与同余基础 紧密关联。
一、欧拉函数 $\varphi(n)$
1.1 定义
欧拉函数（Euler's Totient Function）
$\varphi(n)$表示$1$到$n$中与$n$ 互素的正整数的个数。即： $$\varphi(n) = \#\lbrace k \in \mathbb{Z} \mid 1 \le k \le n,\thickspace \gcd(k, n) = 1 \rbrace $$
1.2 计算公式
乘积公式
设 $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$为$n$ 的素数幂分解，则： $$\varphi(n) = n \prod_{i=1}^{k} \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i - 1}(p_i - 1)$$
推导思路：利用容斥原理（包含排除原理），从 $1$到$n$中减去所有$p_i$ 的倍数，加上两两交集的倍数，依此类推。
特殊值：
- $\varphi(p) = p - 1$（$p$ 为素数）
- $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p - 1)$
1.3 欧拉函数的性质
性质一：积性（Multiplicativity）
若 $\gcd(m, n) = 1$，则 $\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n)$。
证明：由中国剩余定理，$x$与$mn$互素当且仅当$x$分别与$m$和$n$互素，而模$mn$的完全剩余系可一一对应到模$m$与模$n$ 的笛卡尔积上。
性质二：除数求和恒等式
$$\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$$
证明思路：考虑有理数 $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{n}{n}$。将每个约分到最简分数 $\frac{a}{d}$（其中 $\gcd(a, d) = 1$，$d \mid n$），分母为 $d$的最简分数恰有$\varphi(d)$个。所有分数的分母$d$遍历$n$的正因子，而分数总数为$n$。
二、欧拉定理
2.1 定理陈述
欧拉定理（Euler's Theorem）
若 $\gcd(a, n) = 1$，则： $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$$
证明：设 $r_1, r_2, \dots, r_{\varphi(n)}$是模$n$的缩剩余系（即所有与$n$互素且模$n$两两不同余的数）。考虑$\lbrace a r_1, a r_2, \dots, a r_{\varphi(n)}\rbrace $，由于 $\gcd(a, n) = 1$，该集合也是模 $n$ 的一个缩剩余系。将两组缩剩余系中的元素分别相乘： $$a^{\varphi(n)} \prod_{i=1}^{\varphi(n)} r_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)} r_i \pmod n$$ 由于每个 $r_i$与$n$互素，乘积$\prod r_i$也与$n$ 互素，可约去，即得欧拉定理。
2.2 费马小定理作为特例
当 $n = p$ 为素数时，$\varphi(p) = p - 1$，欧拉定理退化为： $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p \quad (\gcd(a, p) = 1)$$ 这正是费马小定理。
2.3 扩展欧拉定理
扩展欧拉定理（处理指数取模）
若 $b \ge \varphi(m)$，则： $$a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m) + \varphi(m)} \pmod m$$ 当 $\gcd(a, m) = 1$时，可直接用$a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m)} \pmod m$。
应用场景
当指数 $b$极大时（如$b$本身也是幂的形式），扩展欧拉定理可以将指数降到$\varphi(m)$ 量级，使计算可行。详见例题 2。
三、RSA 加密原理简介
RSA 是最经典的非对称加密算法，其数学核心就是欧拉定理。
密钥生成：
- 选择两个大素数 $p, q$，计算 $n = pq$，$\varphi(n) = (p-1)(q-1)$
- 选择 $e$满足$\gcd(e, \varphi(n)) = 1$（即公钥指数）
- 计算 $d \equiv e^{-1} \pmod{\varphi(n)}$（即私钥指数）
加密解密：明文 $m$（$0 \le m < n$）：
- 加密：$c \equiv m^e \pmod n$
- 解密：$m \equiv c^d \pmod n$
正确性验证：$c^d \equiv m^{ed} \equiv m^{1 + k\varphi(n)} \equiv m \pmod n$（由欧拉定理 $m^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$当$\gcd(m, n) = 1$；即使不互素，由中国剩余定理也可验证）。
四、莫比乌斯函数 $\mu(n)$
4.1 定义
莫比乌斯函数（Möbius Function）
设 $n$ 为正整数： $$\mu(n) = \begin{cases} 1 & \text{若 } n = 1 \newline (-1)^k & \text{若 } n \text{ 是 } k \text{ 个不同素数的乘积（无平方因子）} \newline 0 & \text{若 } n \text{ 含有平方因子（即存在素数 } p \text{ 使 } p^2 \mid n\text{）} \end{cases}$$
4.2 基本性质
除数求和的「开关」性质
$$\sum_{d \mid n} \mu(d) = \begin{cases} 1 & \text{若 } n = 1 \newline 0 & \text{若 } n > 1 \end{cases}$$
证明：$n > 1$时，设$n$有$k$个不同素因子，则$\sum_{d \mid n} \mu(d) = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} (-1)^i = (1 - 1)^k = 0$。
为什么这很关键？
这个「开关」性质使得莫比乌斯函数成为反演的核心——它可以将关于因子的求和转化回原函数。
五、莫比乌斯反演
莫比乌斯反演公式（Möbius Inversion）
设 $f, g$ 为定义在正整数上的函数： $$g(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \quad \Longleftrightarrow \quad f(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \thinspace g\negthinspace\left(\frac{n}{d}\right)$$
证明：若 $g(n) = \sum_{d \mid n} f(d)$，则： $$\sum_{d \mid n} \mu(d) \thinspace g\negthinspace\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \sum_{e \mid (n/d)} f(e) = \sum_{k \mid n} f(k) \sum_{d \mid (n/k)} \mu(d)$$ 内层和由 $\mu$的开关性质，仅当$n/k = 1$（即 $k = n$）时为 $1$，其余为 $0$。故整个和等于 $f(n)$。
经典应用
利用 $\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$和莫比乌斯反演，可得$\varphi(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \cdot \frac{n}{d}$，这提供了欧拉函数的另一种表达式。
六、积性函数
积性函数（Multiplicative Function）
数论函数 $f$称为积性函数，如果对任意互素的正整数$a, b$（即 $\gcd(a, b) = 1$），有： $$f(ab) = f(a) f(b)$$
常见的积性函数：
| 函数 | 定义 | 积性 |
|---|---|---|
| $\varphi(n)$ | 欧拉函数 | ✅ |
| $\mu(n)$ | 莫比乌斯函数 | ✅ |
| $d(n)$ | 正因子的个数 | ✅ |
| $\sigma(n)$ | 正因子之和 | ✅ |
| $\operatorname{Id}(n) = n$ | 恒等函数 | ✅ |
积性函数的重要性质：只需知道其在素数幂处的值，即可确定函数在所有正整数处的值（由算术基本定理）。两个积性函数的狄利克雷卷积 $(f * g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) g(n/d)$ 也是积性函数。
七、典型例题
例 1：计算欧拉函数
计算 $\varphi(2024)$。
解：$2024 = 2^3 \times 11 \times 23$。 $$\varphi(2024) = 2024 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{11}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{23}\right) = 2024 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{11} \cdot \frac{22}{23} = 1012 \cdot \frac{10}{11} \cdot \frac{22}{23}$$ $$= 920 \cdot \frac{22}{23} = 880$$
例 2：扩展欧拉定理求大指数
求 $7^{222} \bmod 10$。
解：$\varphi(10) = 4$，$\gcd(7, 10) = 1$。由欧拉定理 $7^4 \equiv 1 \pmod{10}$。$222 = 4 \times 55 + 2$，故 $7^{222} \equiv (7^4)^{55} \cdot 7^2 \equiv 1^{55} \cdot 49 \equiv 9 \pmod{10}$。
例 3：莫比乌斯函数求和
计算 $\sum_{d \mid 30} \mu(d)$。
解：$30 = 2 \times 3 \times 5$，无平方因子。由 $\mu$ 的开关性质，$\sum_{d \mid 30} \mu(d) = 0$（因为 $30 > 1$）。直接验证：因子为 $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$，对应的 $\mu$分别为$1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1$，求和确实为 $0$。
例 4：莫比乌斯反演
已知 $g(n) = \sum_{d \mid n} f(d)$且$g(1) = 1, g(2) = 3, g(4) = 7, g(8) = 15$，求 $f(8)$。
解：由莫比乌斯反演， $$f(8) = \sum_{d \mid 8} \mu(d) \thinspace g\negthinspace\left(\frac{8}{d}\right)$$ $8$ 的因子：$d = 1, 2, 4, 8$，$\mu(1)=1, \mu(2)=-1, \mu(4)=0, \mu(8)=0$。故 $$f(8) = 1 \cdot g(8) + (-1) \cdot g(4) + 0 \cdot g(2) + 0 \cdot g(1) = 15 - 7 = 8$$
例 5：除数求和恒等式检验
验证 $\sum_{d \mid 12} \varphi(d) = 12$。
解：$12$ 的因子：$1, 2, 3, 4, 6, 12$。$\varphi(1)=1$，$\varphi(2)=1$，$\varphi(3)=2$，$\varphi(4)=2$，$\varphi(6)=\varphi(2)\varphi(3)=2$，$\varphi(12)=\varphi(3)\varphi(4)=4$。求和：$1+1+2+2+2+4=12$。✅
例 6：RSA 类型的同余计算
已知 $n = 33$（$p = 3, q = 11$），$\varphi(33) = 20$，公钥 $e = 7$，私钥 $d = 3$（验证：$7 \times 3 = 21 \equiv 1 \pmod{20}$）。明文 $m = 5$，求密文 $c$ 并验证解密。
解：加密 $c \equiv 5^7 \pmod{33}$。$5^2=25$，$5^4 \equiv 25^2 = 625 \equiv 625 - 33 \times 18 = 625 - 594 = 31 \pmod{33}$。$5^7 = 5^4 \cdot 5^2 \cdot 5 \equiv 31 \cdot 25 \cdot 5 = 775 \cdot 5 = 3875$。$3875 = 33 \times 117 + 14$，故 $c \equiv 14 \pmod{33}$。解密：$14^3 \equiv 14^2 \cdot 14 \equiv 196 \cdot 14$，$196 \equiv 196 - 33 \times 5 = 196 - 165 = 31 \pmod{33}$，$31 \cdot 14 = 434$，$434 = 33 \times 13 + 5$，故 $m = 5$。✅
八、狄利克雷卷积
狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution）
设 $f, g$ 为数论函数，定义其狄利克雷卷积为： $$(f * g)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \thinspace g\negthinspace\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{de = n} f(d) g(e)$$
关键性质：
- 交换律：$f * g = g * f$
- 结合律：$(f * g) * h = f * (g * h)$
- 分配律：$f * (g + h) = f * g + f * h$
- 单位元：$\varepsilon(n) = [n = 1]$（即 $\varepsilon(1) = 1$，$\varepsilon(n) = 0$当$n > 1$），满足 $f * \varepsilon = f$
- 积性保持：两个积性函数的卷积仍为积性函数
- 逆元：若 $f(1) \neq 0$，则存在唯一的 $f^{-1}$使$f * f^{-1} = \varepsilon$
重要卷积：
- $\varphi * \mathbf{1} = \operatorname{Id}$，即 $\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$（其中 $\mathbf{1}(n) = 1$，$\operatorname{Id}(n) = n$）
- $\mu * \mathbf{1} = \varepsilon$，即 $\sum_{d \mid n} \mu(d) = [n = 1]$
- $\mu * \operatorname{Id} = \varphi$，即 $\varphi(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \cdot \frac{n}{d}$
- $\mathbf{1} * \mathbf{1} = d$，即 $d(n) = \sum_{d \mid n} 1$
- $\mathbf{1} * \operatorname{Id} = \sigma$，即 $\sigma(n) = \sum_{d \mid n} d$
九、约数函数 $d(n)$与$\sigma(n)$
约数个数函数 $d(n)$
$d(n) = \sum_{d \mid n} 1$，即 $n$的正因子个数。若$n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$，则： $$d(n) = \prod_{i=1}^{k} (\alpha_i + 1)$$
约数和函数 $\sigma(n)$
$\sigma(n) = \sum_{d \mid n} d$，即 $n$的所有正因子之和。若$n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$，则： $$\sigma(n) = \prod_{i=1}^{k} \frac{p_i^{\alpha_i + 1} - 1}{p_i - 1} = \prod_{i=1}^{k} (1 + p_i + p_i^2 + \cdots + p_i^{\alpha_i})$$
特殊值：
- 若 $p$ 为素数：$d(p) = 2$，$\sigma(p) = p + 1$
- $d(p^k) = k + 1$，$\sigma(p^k) = \frac{p^{k+1} - 1}{p - 1}$
- $n$完全数$\iff \sigma(n) = 2n$（如 $6 = 1+2+3$，$28 = 1+2+4+7+14$）
完全数与梅森素数的关系
偶完全数均可表为 $2^{p-1}(2^p - 1)$，其中 $2^p - 1$ 为梅森素数。所有已知完全数均为偶数，是否存在奇完全数是数论中的著名未解问题。
欧几里得-欧拉定理：$n$为偶完全数$\iff n = 2^{p-1}(2^p - 1)$且$2^p - 1$ 为素数（梅森素数）。
十、曼戈尔特函数 $\Lambda(n)$
曼戈尔特函数
$$\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{若 } n = p^k \text{（$p$ 素数，$k \ge 1$）} \newline 0 & \text{否则} \end{cases}$$
核心性质： $$\sum_{d \mid n} \Lambda(d) = \log n$$
即 $\Lambda * \mathbf{1} = \log$，由此 $\Lambda = \mu * \log$，给出： $$\Lambda(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \log \frac{n}{d} = -\sum_{d \mid n} \mu(d) \log d$$
与素数定理的关系
$\Lambda(n)$是素数计数函数$\pi(x)$的对数导数的核心，由$\psi(x) = \sum_{n \le x} \Lambda(n)$给出第二切比雪夫函数，与素数定理$\pi(x) \sim x / \log x$ 等价（详见 素数分布与解析数论初步）。
十一、刘维尔函数 $\lambda(n)$
刘维尔函数
$$\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$$ 其中 $\Omega(n)$为$n$的素因子总个数（含重数）。即若$n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$，则 $\lambda(n) = (-1)^{\alpha_1 + \cdots + \alpha_k}$。
关键性质：$\lambda$是完全积性函数（对任意$m, n$都有$\lambda(mn) = \lambda(m)\lambda(n)$），且： $$\sum_{d \mid n} \lambda(d) = \begin{cases} 1 & n \text{ 为完全平方数} \newline 0 & \text{否则} \end{cases}$$
与莫比乌斯函数的关系
$\lambda(n) = \sum_{d^2 \mid n} \mu(n/d^2)$，反之 $\mu(n) = \sum_{d^2 \mid n} \mu(d) \lambda(n/d^2)$。刘维尔函数与黎曼猜想相关：$\sum_{n \le x} \lambda(n) = o(x)$ 等价于 RH。
十二、约数函数的渐近估计
约数函数的均值
- 平均阶：$\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} d(k) \sim \log n + 2\gamma - 1$（其中 $\gamma \approx 0.5772$ 为欧拉常数）
- 最大阶：$\limsup_{n \to \infty} \dfrac{\log d(n) \log \log n}{\log n} = \log 2$
$\sigma(n)$ 的均值
$\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \sigma(k) \sim \dfrac{\pi^2}{12} n$
例题：$d(n)$是奇数当且仅当$n$ 为完全平方数
证：$d(n) = \prod (\alpha_i + 1)$为奇数$\iff$每个$\alpha_i + 1$为奇数$\iff$每个$\alpha_i$为偶数$\iff n$ 为完全平方数。
十三、欧拉函数的进一步性质
欧拉函数的均值
$\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \varphi(k) \sim \dfrac{3}{\pi^2} n = \dfrac{6}{\pi^2} \cdot \dfrac{n}{2}$
欧拉函数的极值
- 下界：$\varphi(n) \ge \sqrt{n/2}$对所有$n \ge 1$成立（仅当$n = 2$或$6$时取等）；更精确地$\varphi(n) > \dfrac{n}{e^\gamma \log \log n + 3/(\log \log n)}$
- 最大值：$\varphi(n) \le n - 1$（仅素数取等）
- $\varphi(n) \mid n - 1$：若 $n$为合数且$\varphi(n) \mid (n-1)$，则 $n$为 Lehmer 数（已知无小于$10^{30}$ 的 Lehmer 数，存在性未决）
$\varphi$ 的整除性
若 $n \ge 2$，则 $\varphi(n) \mid (n!)$。
证明：$n$的每个素因子$p$都不超过$n$，从而 $p$出现在$n!$ 的素因子分解中。$\varphi(n) = \prod p_i^{\alpha_i - 1}(p_i - 1)$，每个 $p_i - 1 \le n - 1 < n$，$p_i - 1$的素因子也都$\le p_i - 1 < n$，故出现在 $n!$ 中。
十四、常见数论函数表
| 函数名 | 符号 | 定义 | 性质 |
|---|---|---|---|
| 恒等函数 | $\mathbf{1}(n)$ | $1$ | 完全积性 |
| 单位函数 | $\varepsilon(n)$ | $[n = 1]$ | $\varepsilon * f = f$ |
| 恒等映射 | $\operatorname{Id}(n)$ | $n$ | 完全积性 |
| 欧拉函数 | $\varphi(n)$ | 与$n$ 互素的数个数 | 积性 |
| 莫比乌斯函数 | $\mu(n)$ | $(-1)^k$或$0$ | 积性 |
| 约数个数 | $d(n)$或$\tau(n)$ | $\sum_{d \mid n} 1$ | 积性 |
| 约数和 | $\sigma(n)$ | $\sum_{d \mid n} d$ | 积性 |
| 曼戈尔特 | $\Lambda(n)$ | $\log p$若$n = p^k$ | 非积性 |
| 刘维尔 | $\lambda(n)$ | $(-1)^{\Omega(n)}$ | 完全积性 |
| 欧米伽 | $\omega(n)$ | 不同素因子个数 | 加性 |
| 大欧米伽 | $\Omega(n)$ | 素因子总个数（含重数） | 完全加性 |
十五、典型例题（进阶）
例 7：卷积应用
求 $\sum_{d \mid 360} \varphi(d)$ 的值。
解：由 $\varphi * \mathbf{1} = \operatorname{Id}$，$\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$。故 $\sum_{d \mid 360} \varphi(d) = 360$。
例 8：完全数判定
验证 $496$ 是完全数。
解：$496 = 2^4 \times 31 = 16 \times 31$。$\sigma(496) = \sigma(2^4) \sigma(31) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16)(1 + 31) = 31 \times 32 = 992 = 2 \times 496$。✓ 同时 $496 = 2^{p-1}(2^p - 1)$对应$p = 5$，$2^5 - 1 = 31$ 为素数。
例 9：莫比乌斯反演求 $d(n)$
已知 $d = \mathbf{1} * \mathbf{1}$，求 $d$与$\mu$ 的关系。
解：$d * \mu = (\mathbf{1} * \mathbf{1}) * \mu = \mathbf{1} * (\mathbf{1} * \mu) = \mathbf{1} * \varepsilon = \mathbf{1}$。故 $d * \mu = \mathbf{1}$，即 $\sum_{d \mid n} d(d) \mu(n/d) = 1$。这给出 $d(n) = \sum_{e \mid n} 1 = \sum_{e \mid n} \mu(e) \cdot d * \mu$的逆向，即$d(n) = \sum_{e \mid n} \mu(e) \tau(n/e)$ 等。
例 10：$\sigma$ 的计算
计算 $\sigma(2024)$。
解：$2024 = 2^3 \times 11 \times 23$。$\sigma(2024) = \sigma(2^3)\sigma(11)\sigma(23) = 15 \cdot 12 \cdot 24 = 4320$。
例 11：欧拉函数均值
估计 $\sum_{k=1}^{1000} \varphi(k)$ 的值。
解：$\sum_{k=1}^{n} \varphi(k) \approx \dfrac{3}{\pi^2} n^2 \approx 0.304 \cdot n^2$。$n = 1000$时约$0.304 \times 10^6 = 304000$。实际值 $\sum_{k=1}^{1000} \varphi(k) = 304192$，与估计非常接近。
例 12：$\Lambda$ 函数求和
求 $\sum_{d \mid 12} \Lambda(d)$。
解：由 $\Lambda * \mathbf{1} = \log$，$\sum_{d \mid 12} \Lambda(d) = \log 12$。直接计算：$12 = 2^2 \times 3$，因子为 $1, 2, 3, 4, 6, 12$。$\Lambda(1) = 0$，$\Lambda(2) = \log 2$，$\Lambda(3) = \log 3$，$\Lambda(4) = \log 2$，$\Lambda(6) = 0$，$\Lambda(12) = 0$。和 $= 2\log 2 + \log 3 = \log 4 + \log 3 = \log 12$。✓
十六、积性函数的反演公式
广义莫比乌斯反演（一般形式）
若 $g(n) = \sum_{d \mid n} f(d)$，则 $f(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \thinspace g(n/d)$。 若 $g(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \thinspace h(n/d)$（其中 $h$可逆），则$f(n) = \sum_{d \mid n} (h^{-1})(d) \thinspace g(n/d)$，其中 $h^{-1}$是$h$ 在狄利克雷卷积下的逆。
单位根反演（Number Theoretic Transform 雏形）
设 $p$ 为素数，$\omega$为模$p$的$\varphi(p)$ 次单位根（即原根），则： $$\sum_{i=0}^{p-2} \omega^{ij} = \begin{cases} p - 1 & j \equiv 0 \pmod{p-1} \newline 0 & \text{否则}\end{cases}$$ 这是中国剩余定理与原根理论结合的产物，是 NTT（数论变换）的基础。
十七、知识链接
- 求和式的计算方式 — 莫比乌斯反演中的双重求和换序技巧
- 整除与同余基础 — 费马小定理与逆元、欧拉定理的前置知识
- 二次剩余与阶 — 从欧拉定理到阶与原根的进阶内容
- 集合 — 容斥原理与欧拉函数计算公式的推导
- 复数与向量方法 — 单位根与莫比乌斯反演的类比（离散傅里叶变换思想）
- 对称多项式与牛顿恒等式深化 — Dirichlet 卷积的代数结构与对称函数环
- 素数分布与解析数论初步 — $\varphi, \mu, \Lambda$ 的解析性质是素数定理的核心
- 数论不等式与估计 — $\varphi, d, \sigma$ 的上界与平均阶估计
- 计数原理与方法 — 偏序集上的 Möbius 反演统一容斥原理
- 组合恒等式与生成函数 — Dirichlet 生成函数与 OGF/EGF 的对比
- 组合数论与加法组合 — Dirichlet 卷积在加法组合中的应用
- 对称群与Pólya计数 — 欧拉函数 $\varphi$ 在 Burnside 引理项链计数中的应用