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导数的运算法则与推导
$1. [f(x)\pm g(x)]^{'}=f(x)^{'}\pm g(x)^{'}$
$2.[f(x)\cdot g(x)]^{'}=f(x)^{'}\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x)$
$3.[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'}=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}$
前导后不导，后导前不导可以当做乘法法则和除法法则的记忆口诀，注意加减号。
以下给出上面三个法则的推导
$$ \begin{aligned}1.[f(x)+g(x)]^{'}\newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \newline&=f(x)^{'}+g(x)^{'}\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}2.[f(x)\cdot g(x)]^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x )-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-g(x)\cdot f(x+\Delta x)+g(x)\cdot f(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)\cdot[f(x+\Delta x)-f(x)])}{\Delta x} \newline&=f(x)^{'}\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x)\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}3.[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-g(x+\Delta x)\cdot f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)\cdot f(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot[g(x)-g(x+\Delta x)]+g(x+\Delta x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]-f(x+\Delta x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \newline&=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}\end{aligned} $$
令 $y=[\frac{f(x)}{g(x)}]$
两边同取 $e$的对数得：$\ln y=ln [\frac{f(x)}{g(x)}]\quad,\quad\ln y=\ln f(x)-\ln g(x)$
两边同时求导： $\frac{1}{y}\cdot y^{'}=\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}$
然后： $y^{'}=[\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}]*y\quad,\quad y^{'}=[\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}]\cdot [\frac{f(x)}{g(x)}]$
得证： $y^{'}=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}$
如果你想求导多个函数乘积，不妨试试对数求导法。
加减 $\begin{aligned} (u \pm v)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) \pm v(x + \Delta x)) - (u(x) \pm v(x))}{\Delta x} \newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x)) }{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x} \newline[2ex] &= u' \pm v' \end{aligned}$
乘乘法和除法都是凑了一项，感觉很巧妙$\begin{aligned} (uv)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} \newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x + \Delta x)v(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x)}{\Delta x}\newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)[v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x)[u(x + \Delta x) - u(x)]}{\Delta x} \newline[2ex] &= u(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} + v(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \newline[2ex] &= uv' + vu' \end{aligned}$
第三步到第四步，因为 $v(x)$与极限中的变量$\Delta x$无关，因此可以提到极限的外面，这样右边的式子容易看出就是$v(x)u'(x)$ ，问题在于左边的部分。
根据连续的定义， $\lim_{\Delta x \to 0}u(x + \Delta x) = u(x)$ ，这样就可以先计算这个因子的极限然后提到外面来，得到和右边相同的结构了。
除第二步到第三步同样用到了函数连续的定义
$\begin{aligned} (\frac{u}{v})' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - v(x + \Delta x)u(x)}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - v(x + \Delta x)u(x)}{\Delta x} \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} [\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x)}{\Delta x} + \frac{u(x)v(x) - v(x + \Delta x)u(x)}{\Delta x}] \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} [v(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + u(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x) - v(x + \Delta x)}{\Delta x}] \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} [v(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} - u(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}] \newline[2ex] &= \frac{vu' - uv'}{v^2} \end{aligned}$
复合函数求导与链式法则的推导
对于一个复合函数，如 $h(x)=f(g(x))$
如果它可导，则 $h^{'}(x)=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)$
如果有多个函数嵌套在一起，你只需要一层层递归下去用基本函数的求导公式乘在一起即可。
那，如何理解这个链式法则？
我们先用一个例子直观感受一下。
假如说 $x$变大$\Delta x$时,$g(x)$变大$3$倍，$g(x)$变大$\Delta x$时,$f(g(x))$变大$4$ 倍。
那么当 $x$变大$\Delta x$时，$f(g(x))$就变大$3\times 4=12$ 倍。
如果当 $\Delta x\rightarrow0$ 呢？
把上面的数字换成相应的导数，也就得到了 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
如果你觉得不够，下面给出稍微严谨一点的证明。
$\begin{aligned}[f(g(x))]^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \newline&=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)\end{aligned}$
常用求导公式速查
- 常数：$(C)'=0$。
- 幂函数：$(x^n)'=nx^{n-1}$，$n\in\mathbb{R}$（在定义域内）。
- 常数倍：$(C\cdot f(x))'=C\cdot f'(x)$。
- 和差：$(f\pm g)'=f'\pm g'$。
- 指数函数：$(e^{u(x)})'=e^{u(x)}\cdot u'(x)$；$(a^{u(x)})'=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x)$，$a>0$。
- 对数函数：$(\ln u(x))'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$（$u(x)>0$）。
- 三角函数：
- $(\sin u)'=\cos u\cdot u'$，
- $(\cos u)'=-\sin u\cdot u'$，
- $(\tan u)'=\sec^2 u\cdot u'$。
- 反三角函数：
- $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$（$|x|<1$），
- $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$。
- 复合函数（链式法则）：$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$。
- 乘法：$(f\cdot g)'=f'g+fg'$。
- 除法：$\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$（$g\neq0$）。
进阶技巧与方法
- 对数求导（适用于含幂的乘积或变指数形式）
- 适用情形：$y=\prod u_i(x)^{a_i(x)}$或$y=x^x$ 等。
- 步骤：两边取 $\ln$，变乘积为和、幂为乘，然后求导再解出 $y'$。
- 例：$y=x^x\Rightarrow \ln y=x\ln x\Rightarrow \dfrac{y'}{y}=\ln x+1\Rightarrow y'=x^x(\ln x+1)$。
- 隐函数求导
- 当方程以 $F(x,y)=0$给出且无法显式解出$y$时，用全微分或两边对$x$求导并解出$y'$。
- 例：$x^2+y^2=25\Rightarrow 2x+2y\frac{dy}{dx}=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$（$y\neq0$）。
- 参数方程求导
- 若 $x=x(t),\ y=y(t)$，且 $dx/dt\neq0$，则 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$。
- 高阶导数与 Leibniz 公式
- $f^{(n)}$表示第$n$ 阶导数。
- Leibniz（乘积）公式：$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$。
- 反函数求导
- 若 $y=f(x)$单调且可微，反函数$x=f^{-1}(y)$在对应点可微，且$(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$（其中 $x=f^{-1}(y)$）。
- 例：$f(x)=e^x$，$f^{-1}(x)=\ln x$，$(\ln x)'=1/x$。
常见错误与注意点
- 链式法则中常忘记乘上内层导数 $u'(x)$。
- 对数求导时忘记最后把 $y$乘回去（即求出$y'/y$后需乘以$y$）。
- 隐函数求导时忘记对 $y$ 项使用链式法则（$d(y)/dx=y'$）。
- 在求导时必须注意函数的定义域（如 $\ln x$仅在$x>0$）。
- 使用幂规则 $nx^{n-1}$ 时，$n$ 可以为分数或负数，但要求原函数在当前点可导（定义域问题）。
典型例题（含步骤）
例 1（幂与链式混合）
- 题目：求 $f(x)=(3x^2+1)^{5}$ 的导数。
- 解：
- 令 $u=3x^2+1$，$f=u^{5}$，因此 $f'=5u^4\cdot u'$。
- $u'=6x$，所以 $f'=5(3x^2+1)^4\cdot 6x=30x(3x^2+1)^4$。
例 2（乘法与链式）
- 题目：求 $g(x)=e^{2x}\sin x$ 的导数。
- 解：
- 用乘法法则：$g'= (e^{2x})' \sin x + e^{2x}(\sin x)'$。
- $(e^{2x})'=e^{2x}\cdot2$，$(\sin x)'=\cos x$。
- 因此 $g'=2e^{2x}\sin x + e^{2x}\cos x = e^{2x}(2\sin x+\cos x)$。
例 3（对数求导）
- 题目：求 $y=x^x$（$x>0$）的导数。
- 解：
- $\ln y=x\ln x$。
- 两边求导：$\dfrac{y'}{y}=1\cdot\ln x + x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1$。
- 所以 $y'=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$。
例 4（隐函数求导）
- 题目：设 $x^2+xy+y^2=7$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
- 解：
- 对两边关于 $x$ 求导：$2x + (x\cdot y)' + 2y y' = 0$。
- $(x\cdot y)' = x y' + y$（乘积法则）。
- 所以 $2x + x y' + y + 2y y' = 0$。
- 合并 $y'$ 项：$(x+2y) y' + (2x + y)=0$。
- 得到 $y' = -\dfrac{2x+y}{x+2y}$（当 $x+2y\neq0$）。
例 5（参数方程）
- 题目：$x=\cos t,\ y=\sin t$，求 $\dfrac{dy}{dx}$（$t$ 非特殊值时）。
- 解：
- $dx/dt=-\sin t$，$dy/dt=\cos t$。
- 因此 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t$（当 $\sin t\neq0$）。
例 6（Leibniz 公式示例 n=3）
- 题目：求 $(fg)^{(3)}$ 的一般展开形式。
- 解（应用公式）：
- $(fg)^{(3)}=f^{(3)}g+3f''g'+3f'g''+fg^{(3)}$。
例 7（反函数导数）
- 题目：已知 $y=e^{x}+x$，求其反函数在点 $y_0=e^{0}+0=1$处的导数$(f^{-1})'(1)$。
- 解：
- 对应的 $x$是 0（因为$f(0)=1$）。
- $f'(x)=e^{x}+1$，所以 $f'(0)=2$。
- 因此 $(f^{-1})'(1)=1/f'(0)=1/2$。
练习题（建议先做再看答案）
- 练 1：求 $h(x)=\sqrt{x^3+1}$ 的导数（写成简洁的幂形式）。
- 练 2：求 $p(x)=\ln(\sin x^2)$ 的导数（注意定义域）。
- 练 3：求 $y=\dfrac{x^2 e^{x}}{(1+x)^3}$ 的导数。
- 练 4：用隐函数求导：$x^3+y^3=6xy$，求 $\dfrac{dy}{dx}$。
- 练 5：求 $f(x)=(\sin x)^{\cos x}$在$x=\pi/4$ 处的导数（提示用对数求导）。
- 练 6（Leibniz 应用）：已知 $f(x)=x^2$，$g(x)=e^x$，求 $(fg)^{(3)}(x)$。
- 练 7（参数）：设 $x=t^2+1,\ y=t^3- t$，求 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$（二阶导数，先求 dy/dx，再对 t 求导并除以 dx/dt）。
练习答案（简要）
- 练 1：
- $h(x)=(x^3+1)^{1/2}\Rightarrow h'=\tfrac{1}{2}(x^3+1)^{-1/2}\cdot 3x^2=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}}$。
- 练 2：
- $p(x)=\ln(\sin x^2)\Rightarrow p'=\dfrac{1}{\sin x^2}\cdot\cos x^2\cdot(2x)=\dfrac{2x\cos x^2}{\sin x^2}=2x\cot x^2$（定义域要求 $\sin x^2>0$ 或注意主值）。
- 练 3：
- 写成乘商并用商法则或先对数求导也行。直接用商与乘规则可得：
- $p'=\dfrac{(2x e^x + x^2 e^x)(1+x)^3 - x^2 e^x\cdot 3(1+x)^2}{(1+x)^6}$，可提取公因子进一步简化为
- $p'=\dfrac{x e^x(2+ x)(1+x) - 3x^2 e^x}{(1+x)^4}$，可继续化简（根据需要再合并）。
- 练 4：
- 对两边求导：$3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$。
- 整理 $y'$ 项：$3y^2 y' - 6x y' = 6y - 3x^2$。
- 得到 $y' = \dfrac{6y-3x^2}{3y^2-6x} = \dfrac{2y-x^2}{y^2-2x}$（当分母不为 0）。
- 练 5：
- 令 $y=(\sin x)^{\cos x}$，$\ln y=\cos x\ln(\sin x)$。
- 求导：$\dfrac{y'}{y}=-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}$。
- 在 $x=\pi/4$ 代入：$\sin\pi/4=\cos\pi/4=\tfrac{\sqrt{2}}{2}$，得
- $\dfrac{y'}{y}=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\ln(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \tfrac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\ln(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) + \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{\sqrt{2}} = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\ln(\tfrac{\sqrt{2}}{2}) + \tfrac{1}{\sqrt{2}}$。
- 最后 $y'=y\cdot$上式，且$y(\pi/4)=(\tfrac{\sqrt{2}}{2})^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}$。
- 练 6：
- 先求一般 Leibniz 展开：$(fg)^{(3)}=f^{(3)}g+3f''g'+3f'g''+fg^{(3)}$。
- 对于 $f=x^2$，$f'=2x,\ f''=2,\ f^{(3)}=0$；$g=e^x$，所有阶导数均为 $e^x$。
- 代入：$(fg)^{(3)}=0\cdot e^x + 3\cdot 2\cdot e^x + 3\cdot 2x\cdot e^x + x^2 e^x = e^x(6 + 6x + x^2)$。
- 练 7（提示解法）：
- 先求 $dx/dt=2t$，$dy/dt=3t^2-1$，所以 $dy/dx=(3t^2-1)/(2t)$。
- 二阶导数（链式/链商写法）： $$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) =\frac{\dfrac{d}{dt}\negthinspace\left(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\right)}{dx/dt} =\frac{\dfrac{d}{dt}\negthinspace\left(\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}. $$ 更常用且已化简的显式公式（用到对 t 的二阶导数）为： $$ \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{\bigl(d^2y/dt^2\bigr)\thinspace(dx/dt)-\bigl(dy/dt\bigr)\thinspace(d^2x/dt^2)}{(dx/dt)^3}, $$ 前提仍然是 $dx/dt\neq0$。
偏导与拉格朗日乘数法（要点、证明与例题）
一、偏导数的定义与计算规则
- 多元函数的偏导：对 $f(x_1,\dots,x_n)$固定除第$i$个变量外的其余变量，把$f$看作关于$x_i$ 的函数，偏导定义为 $$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a_1,\dots,a_i+h,\dots,a_n)-f(a_1,\dots,a_i,\dots,a_n)}{h}. $$
- 常用规则与性质（与一元求导类似，但每次只对一个变量求导）：
- 线性：$\partial(\alpha f+\beta g)/\partial x_i=\alpha f_{x_i}+\beta g_{x_i}$。
- 积的偏导：$(fg)_{x_i}=f_{x_i}g+f g_{x_i}$（固定其余变量）。
- 复合链式法则：若 $z=f(u_1(t),\dots,u_n(t))$，则 $$ \frac{dz}{dt}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial u_i}\frac{du_i}{dt}. $$
- 混合二阶偏导：若 $f_{x_i x_j}$与$f_{x_j x_i}$在邻域连续，则$f_{x_i x_j}=f_{x_j x_i}$（Clairaut / Schwarz 定理）。
二、方向导数与梯度
- 方向导数沿单位向量 $u=(u_1,\dots,u_n)$： $$ D_{u}f(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+hu)-f(a)}{h}=\sum_{i=1}^n f_{x_i}(a)u_i. $$
- 梯度（gradient）：$\nabla f=(f_{x_1},\dots,f_{x_n})$。方向导数可写为内积 $D_u f=\nabla f\cdot u$。
- 几何意义：梯度方向是函数在该点增长最快的方向，梯度的模是该最大增长率。
三、多元极值的必要条件与 Hessian
- 若 $f$在内部点$a$可微且在该点取得无约束极值，则$\nabla f(a)=0$（驻点条件）。
- Hessian 矩阵 $H_f(a)=(\partial^2 f/\partial x_i\partial x_j)$用于二阶判别。对于$n=2$，
- 若 $H$ 在点为正定，则极小；若负定则极大；若既非正定也非负定则为鞍点。
- 注意：若 $\nabla f(a)=0$ 只是必要条件，不保证极值（还需二阶信息或更高阶）。
四、约束极值问题与拉格朗日乘数法（直观与证明）
- 问题形式（单约束）：在约束 $g(x)=0$ 下求极值，$f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 可微。
- 直观几何解释：
- 约束 $g(x)=0$ 定义了一个曲面（或曲线）$S$，在满足约束的点上取极值时，沿曲面任意切向量方向的函数变化为零。
- 切空间的所有向量都与 $\nabla g$正交（因为$\nabla g$指向等高面法向），所以$\nabla f$必也与所有切向量正交，故$\nabla f$与$\nabla g$ 平行。
- 因此存在 $\lambda$ 使得 $$ \nabla f(x)=\lambda \nabla g(x). $$
- 这就是拉格朗日乘数条件（必要条件）。
- 严格推导（利用隐函数定理或约化到一元）：若在解点 $a$有$\nabla g(a)\neq0$，可局部以 $x_n$表示为$x_n=h(x_1,\dots,x_{n-1})$，把约束代入得到一元无约束极值问题，对其它变量求偏导并归结出上式。于是得到方程组： $$ \nabla f(x)=\lambda \nabla g(x),\qquad g(x)=0. $$
- 对于多约束（$g_1(x)=0,\dots,g_m(x)=0$），同理有存在乘子 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 使得 $$ \nabla f(x)=\sum_{j=1}^m \lambda_j \nabla g_j(x),\qquad g_j(x)=0,\ j=1,\dots,m. $$ 即梯度 $\nabla f$ 在受限点属于由约束梯度张成的线性子空间（线性组合）。
五、二阶充分条件（简要）
- 构造拉格朗日函数 $L(x,\lambda)=f(x)-\sum_{j=1}^m\lambda_j g_j(x)$。在满足一阶条件的点，判断极值要考察 $f$在约束的切空间上的二阶变化，即考察$H_f$ 在切空间上的限制。常用方法包括用边界 Hessian（bordered Hessian）或检验二次型在切空间上的正定性。
- 这里不展开详细判别式（高维略复杂），通常课程中给出边界 Hessian 的表述或直接把问题化为无约束（消元）再用二阶导数判断。
六、典型例题（逐步计算）
例 1（单约束，几何直观）
- 问：在单位圆 $x^2+y^2=1$上求$f(x,y)=xy$ 的最大值与最小值。
- 解（拉格朗日法）：
- 构造 $L(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x^2+y^2-1)$。
- 对 $x,y,\lambda$ 求偏导并解： $$ L_x=y-2\lambda x=0,\quad L_y=x-2\lambda y=0,\quad x^2+y^2-1=0. $$
- 若 $x$或$y$为 0，则由约束得另一为 ±1，计算得$f=0$（不是极值的候选最大值）。
- 假设 $xy\neq0$，解前三式：由前两式得 $y=2\lambda x$与$x=2\lambda y$，代入得 $x=(2\lambda)^2 x$，若 $x\neq0$则$(2\lambda)^2=1\Rightarrow 2\lambda=\pm1$。
- 若 $2\lambda=1$，则 $y=x$，代入约束得 $2x^2=1\Rightarrow x=y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，此时 $f=\pm\frac12$。
- 若 $2\lambda=-1$，则 $y=-x$，代入得 $x=-y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，此时 $f=\mp\frac12$（与上互换符号）。
- 结论：最大值 $1/2$（在 $(1/\sqrt2,1/\sqrt2)$），最小值 $-1/2$（在 $(1/\sqrt2,-1/\sqrt2)$ 等点）。
例 2（带两个变量与线性约束，消元对比）
- 问：在直线 $x+2y=8$上，求使$f(x,y)=x^2+y^2$ 最小的点（即距离原点最近点）。
- 解（拉格朗日）：
- $L=x^2+y^2-\lambda(x+2y-8)$。
- 方程： $2x-\lambda=0,\ 2y-2\lambda=0,\ x+2y-8=0$。
- 得到 $x=\lambda/2,\ y=\lambda$，代入约束： $\lambda/2+2\lambda=8\Rightarrow (5/2)\lambda=8\Rightarrow\lambda=16/5$。
- 因此点 $(x,y)=(8/5,16/5)$，最小值 $f= (8/5)^2+(16/5)^2= (64+256)/25=320/25=64/5$。
- （可用代数消元得同样结果：把 $x=8-2y$ 代入并求一元函数最小值。）
例 3（三元变量与平面约束，距离到平面的最短点）
- 问：求点 $(1,2,3)$到平面$x+y+z=1$ 的最近点。
- 解（最小化平方距离）：令 $f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2$，约束 $g(x,y,z)=x+y+z-1=0$。
- 构造 $L=f-\lambda g$，偏导得到 $2(x-1)-\lambda=0,\ 2(y-2)-\lambda=0,\ 2(z-3)-\lambda=0$，与约束联立。
- 从前三式得到 $x-1=y-2=z-3=\lambda/2$，所以 $x=y-1,\ z=y+1$ 等关系（或直接求差）。联立约束并解得具体值，最后得到投影点（此处略去中间代数，按需可写出完整计算）。
七、拉格朗日乘数法证明的另一种说明（线性代数视角）
- 在点 $a$上，约束定义的可微曲面$S$的切空间$T_a S$由所有满足$\nabla g_j(a)\cdot v=0$的向量$v$张成（对所有约束 j）。若$f$在约束上有极值，则对任一$v\in T_a S$，方向导数为 0，即 $\nabla f(a)\cdot v=0$。因此 $\nabla f(a)$与$T_a S$的每个向量正交，故$\nabla f(a)$落在由$\lbrace \nabla g_j(a)\rbrace $张成的子空间中，即存在$\lambda_j$使得$\nabla f(a)=\sum_j\lambda_j\nabla g_j(a)$。此即一阶必要条件。
- 该证法既直观又严谨，适用于约束梯度线性无关（约束正则点）的情形。
八、常见应用场景
- 几何：投影、最近点、等距离问题。
- 物理/工程：约束下的最优化（比如能量最小化、最短路线等）。
- 经济学：在预算约束下效用最大化，拉格朗日乘子常解释为“影子价格”或“边际效用/影子价值”。
- 数学：在变分原理、最小二乘法与最优化理论中广泛出现。
九、练习题（建议先做再看答案）
- 练 1：在约束 $x^2+y^2=4$下求最大化$f(x,y)=x+2y$。
- 练 2：利用拉格朗日乘数法求函数 $f(x,y,z)=xyz$在约束$x+y+z=1$下的极值（假设$x,y,z\ge0$）。
- 练 3：求点 $(1,1)$到椭圆$x^2+4y^2=4$上最近点（用最小化$f=(x-1)^2+(y-1)^2$）。
- 练 4（多约束）：在约束 $x+y+z=3$与$x^2+y^2+z^2=5$下，求使$f(x,y,z)=x$ 取得极值的点（提示：使用两个乘子）。
- 练 5：解释拉格朗日乘子 $\lambda$ 在经济学“预算约束最大化”问题中的经济含义。
十、练习答案提示
- 练 1 提示：解方程组 $1=\lambda 2x,\ 2=\lambda 2y,\ x^2+y^2=4$，得到临界点并比较边界（这里边界即圆本身已包含）。
- 练 2 提示：构造 $L=xyz-\lambda(x+y+z-1)$，对 $x,y,z$求偏导得到$yz=\lambda,\ xz=\lambda,\ xy=\lambda$，解得 $x=y=z=1/3$（在非负条件下为极大），极大值 $1/27$。
- 练 3 提示：构造 $L=(x-1)^2+(y-1)^2-\lambda(x^2+4y^2-4)$，解出临界点并选最近点。
- 练 4 提示：建立两个乘子 $\lambda,\mu$，得到方程组 $\nabla f=\lambda \nabla g_1+\mu\nabla g_2$，联立约束解出 $x,y,z$（过程略）。
- 练 5 提示：$\lambda$ 表示在约束边界允许微小松弛时目标函数增加的速率（边际价值）。