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立体几何与空间向量
立体几何是平面几何向三维空间的自然延伸。在数学竞赛中，立体几何题通常考察空间想象能力、向量运算能力和几何关系的转化能力。空间向量方法是解决立体几何问题的最有力工具。
一、空间直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
空间中直线 $l$与平面$\alpha$ 的关系分为三种：
| 关系 | 判定条件 | 交点个数 |
|---|---|---|
| 平行 $l \parallel \alpha$ | $l$的方向向量$\vec{v}$与$\alpha$的法向量$\vec{n}$ 垂直（$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$），且 $l$不在$\alpha$ 内 | 0 |
| 相交 | $\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0$ | 1 |
| $l$在$\alpha$内 | $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$且$l$上有点在$\alpha$ 内 | 无穷多 |
直线与平面垂直的判定
[!定理] 线面垂直判定定理 若一条直线垂直于平面内两条相交直线，则该直线垂直于该平面。
向量表示：若 $\vec{v} \cdot \vec{u}_1 = 0$且$\vec{v} \cdot \vec{u}_2 = 0$，且 $\vec{u}_1$与$\vec{u}_2$不共线，则$\vec{v} \perp \alpha$。
平面与平面的位置关系
两平面 $\alpha$和$\beta$的法向量分别为$\vec{n}_1$和$\vec{n}_2$：
- 平行：$\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$（即 $\vec{n}_1 = \lambda \vec{n}_2$）
- 垂直：$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$
- 相交：其他情况，交线方向 $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$
二、二面角的计算
二面角是立体几何中的核心概念，有三种常用计算方法。
方法一：定义法
在棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，这两条垂线的夹角即为二面角的平面角。
方法二：面积射影定理
[!定理] 面积射影定理 若平面 $\alpha$上的图形面积为$S$，它在平面 $\beta$上的投影面积为$S'$，则： $$\cos\theta = \frac{S'}{S}$$ 其中 $\theta$ 为两平面的二面角。
这是计算二面角最快捷的方法之一，避免了直接作平面角的麻烦。
方法三：向量法（法向量法）
设两平面 $\alpha$和$\beta$的法向量分别为$\vec{n}_1$和$\vec{n}_2$，则二面角 $\theta$ 满足： $$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$
注意：此处取绝对值是因为二面角通常取锐角或直角。若需区分锐二面角和钝二面角，则需根据方向判断。
例题 1：二面角计算
正四面体 $ABCD$的棱长为$a$，求相邻两个面的二面角。
取 $BC$中点$M$，连接 $AM$、$DM$。 在等边 $\triangle ABC$ 中，$AM \perp BC$且$AM = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。 同理在等边 $\triangle DBC$ 中，$DM \perp BC$且$DM = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。 $\angle AMD$即为二面角$A-BC-D$ 的平面角。 在 $\triangle AMD$ 中，$AD = a$，$AM = DM = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。 由余弦定理：$\cos\angle AMD = \frac{AM^2 + DM^2 - AD^2}{2 \cdot AM \cdot DM} = \frac{\frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{4}a^2 - a^2}{2 \cdot \frac{3}{4}a^2} = \frac{\frac{1}{2}a^2}{\frac{3}{2}a^2} = \frac{1}{3}$。 故二面角 $\theta = \arccos\frac{1}{3}$。
三、四面体的体积公式
[!公式] 四面体体积（向量混合积） 对于四面体 $ABCD$，以 $A$ 为顶点： $$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$$
其中 $\vec{AB} \times \vec{AC}$ 是向量外积，$(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}$ 是三个向量的混合积（标量三重积）。
混合积的几何意义
$|\vec{AB} \times \vec{AC}|$是以$AB$、$AC$为边的平行四边形的面积（即$\triangle ABC$ 面积的两倍）。 $(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}$是以$AB$、$AC$、$AD$ 为棱的平行六面体的体积。
因此四面体 $ABCD$的体积等于以$AB$、$AC$、$AD$为棱的平行六面体体积的$\frac{1}{6}$。
坐标形式的混合积
若 $A(x_1,y_1,z_1)$、$B(x_2,y_2,z_2)$、$C(x_3,y_3,z_3)$、$D(x_4,y_4,z_4)$，则： $$V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \newline x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \newline x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1 \end{vmatrix} \right|$$
四、空间向量方法
平面的方程
[!定义] 平面的一般方程 $$Ax + By + Cz + D = 0$$ 其中 $\vec{n} = (A, B, C)$ 是平面的法向量。
点到平面的距离
[!公式] 点到平面的距离 点 $P(x_0, y_0, z_0)$到平面$Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离： $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
异面直线的距离
[!公式] 异面直线距离 设两异面直线 $l_1$（过点 $P_1$，方向 $\vec{v}_1$）和 $l_2$（过点 $P_2$，方向 $\vec{v}_2$），则它们的距离为： $$d = \frac{|(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$$
分子是 $\vec{v}_1$、$\vec{v}_2$、$\overrightarrow{P_1P_2}$的混合积的绝对值，分母是$\vec{v}_1$和$\vec{v}_2$ 外积的模。
例题 2：异面直线距离
正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$，求异面直线 $A_1B$和$B_1C$ 的距离。
建系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$A_1(0,0,1)$，$B_1(1,0,1)$。
直线 $A_1B$：过 $A_1(0,0,1)$，方向 $\vec{v}_1 = B - A_1 = (1,0,-1)$。 直线 $B_1C$：过 $B_1(1,0,1)$，方向 $\vec{v}_2 = C - B_1 = (0,1,-1)$。
$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \newline 1 & 0 & -1 \newline 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (1, 1, 1)$
$\overrightarrow{A_1B_1} = (1,0,0)$
距离 $d = \frac{|(1,1,1) \cdot (1,0,0)|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
直线与平面夹角的向量求法
设直线 $l$的方向向量$\vec{v}$，平面 $\alpha$的法向量$\vec{n}$，则 $l$与$\alpha$的夹角$\theta$ 满足： $$\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$$
五、多面体的体积与表面积
棱柱
- 体积：$V = S_{\text{底}} \cdot h$（底面积 × 高）
- 表面积：$S = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}$
棱锥
- 体积：$V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} \cdot h$
- 正棱锥的侧面积：$S_{\text{侧}} = \frac{1}{2} \cdot \text{底面周长} \cdot \text{斜高}$
棱台
- 体积：$V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$
- 其中 $S_1$、$S_2$ 分别为上、下底面积
例题 3：棱锥体积
正三棱锥 $S-ABC$的底面边长为$a$，侧棱长为 $b$，求其体积。
底面 $\triangle ABC$是等边三角形，面积$S_{\text{底}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。 底面中心 $O$到顶点$A$的距离$OA = \frac{a}{\sqrt{3}}$。 高 $h = SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}$。 体积 $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}} = \frac{\sqrt{3}a^2}{12}\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}$。
六、球与多面体的内切球、外接球
外接球
[!定义] 外接球 多面体的所有顶点都在球面上，该球称为多面体的外接球。
对于正多面体，外接球球心在几何中心。对于一般四面体，外接球球心是四个顶点到某点距离相等的点。
例题 4：正方体的外接球
棱长为 $a$的正方体，其外接球半径$R = \frac{\sqrt{3}}{2}a$（体对角线的一半）。
内切球
[!定义] 内切球 球与多面体的所有面相切，该球称为多面体的内切球。
对于正四面体，若棱长为 $a$，内切球半径 $r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$。
[!公式] 正四面体的内切球与外接球半径关系 对于正四面体：$R = 3r$（外接球半径 = 3 × 内切球半径）
例题 5：四面体与球综合
四面体 $ABCD$ 中，$AB=CD=5$，$AC=BD=6$，$AD=BC=7$。求其外接球半径。
这种对棱相等的四面体称为等腰四面体（或等面四面体），它可以内接于一个长方体。 设长方体的三边长为 $x$、$y$、$z$，则： $x^2 + y^2 = AB^2 = 25$，$x^2 + z^2 = AC^2 = 36$，$y^2 + z^2 = AD^2 = 49$。 解得 $x^2 = 6$，$y^2 = 19$，$z^2 = 30$。 外接球半径 $R = \frac{1}{2}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{1}{2}\sqrt{55} = \frac{\sqrt{55}}{2}$。
例题 6：点到平面距离
已知 $A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$，$D(1,1,1)$。求： (1) 平面 $ABC$ 的方程； (2) 点 $D$到平面$ABC$ 的距离； (3) 四面体 $ABCD$ 的体积。
(1) 平面 $ABC$过三点，法向量$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-1,1,0) \times (-1,0,1) = (1,1,1)$。 方程为 $x + y + z - 1 = 0$。
(2) $d = \frac{|1+1+1-1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(3) $\triangle ABC$面积$= \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{3}$。 $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$。 或用混合积验证：$V = \frac{1}{6}|(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}| = \frac{1}{6}|(1,1,1) \cdot (0,1,1)| = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3}$。
例题 7：线面夹角
在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，求直线$A_1C$与平面$AB_1D_1$ 的夹角。
建系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,1)$，$B_1(1,0,1)$，$C_1(1,1,1)$，$D_1(0,1,1)$。
$\vec{A_1C} = (1,1,-1)$。 平面 $AB_1D_1$的法向量$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = (1,0,1) \times (0,1,1) = (-1,-1,1)$。
$\sin\theta = \frac{|\vec{A_1C} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1C}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1,1,-1) \cdot (-1,-1,1)|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{|-1-1-1|}{3} = \frac{3}{3} = 1$。
$\theta = 90^\circ$？等等，$\sin\theta = 1$意味着$\theta = 90^\circ$，即直线与平面垂直。检查：$\vec{A_1C} = (1,1,-1)$与$\vec{n} = (-1,-1,1)$平行，确实$A_1C \perp$平面$AB_1D_1$。这是正方体的一个重要性质。