抛物线 (Parabola)

核心定位

抛物线是圆锥曲线中离心率恰好为 $e=1$ 的特殊曲线，也是唯一具有"无穷远"焦点的圆锥曲线。在许多物理问题（抛体运动、反射面天线）中自然出现。本笔记是圆锥曲线综合中抛物线部分的深度扩展，建议与椭圆、双曲线、圆锥曲线综合对照阅读。

1. 抛物线的定义

1.1 第一定义（轨迹定义）

抛物线的定义

平面内，到一个定点 $F$与到一条定直线$l$（$F$不在$l$ 上）的距离相等的点的轨迹称为抛物线。

定点 $F$ 称为抛物线的焦点（Focus）
定直线 $l$ 称为抛物线的准线（Directrix）
焦点到准线的距离称为焦参数，记作 $p$（$p>0$）

抛物线是圆锥曲线中离心率 $e=1$ 的特殊情形。参见圆锥曲线综合中的统一定义。

1.2 标准方程的推导（开口向右）

以焦点 $F$到准线$l$的垂线段的中点为原点$O$，以 $OF$方向为$x$ 轴正方向建立直角坐标系。

设焦参数 $p>0$，则：

焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$
准线 $l$: $x = -\dfrac{p}{2}$

设动点 $M(x, y)$是抛物线上任意一点，由定义$|MF| = d(M, l)$：

$$\sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2} = \left|x + \frac{p}{2}\right|$$

两边平方：

$$\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2$$

$$x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4}$$

$$y^2 = 2px$$

关键理解

推导过程中，$x^2$项和$\frac{p^2}{4}$项恰好抵消，使得抛物线方程中只有$y^2$和$x$的一次项。这是$e=1$ 所带来的代数简化，也是抛物线区别于椭圆、双曲线的根本原因。

1.3 离心率

抛物线的离心率 $e = 1$，这是抛物线区别于椭圆（$0<e<1$）和双曲线（$e>1$）的核心特征。

2. 抛物线的四种标准方程

抛物线有四种标准形式，取决于开口方向。设焦参数 $p>0$。

2.1 开口向右：$y^2 = 2px$

推导：见 §1.2。

焦点：$F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$
准线：$x = -\dfrac{p}{2}$
对称轴：$x$ 轴（$y=0$）
范围：$x \ge 0$，$y \in \mathbb{R}$
开口方向：向右（$x$ 轴正方向）

2.2 开口向左：$y^2 = -2px$

推导：焦点在 $x$轴负半轴，设$F\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$，准线 $x = \dfrac{p}{2}$。

由 $|MF| = d(M, l)$：

$$\sqrt{\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + y^2} = \left|x - \frac{p}{2}\right|$$

平方化简得：

$$y^2 = -2px$$

焦点：$F\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$
准线：$x = \dfrac{p}{2}$
范围：$x \le 0$，$y \in \mathbb{R}$

2.3 开口向上：$x^2 = 2py$

推导：焦点在 $y$轴正半轴，设$F\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$，准线 $y = -\dfrac{p}{2}$。

由 $|MF| = d(M, l)$：

$$\sqrt{x^2 + \left(y - \frac{p}{2}\right)^2} = \left|y + \frac{p}{2}\right|$$

平方化简得：

$$x^2 = 2py$$

焦点：$F\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$
准线：$y = -\dfrac{p}{2}$
范围：$y \ge 0$，$x \in \mathbb{R}$
开口方向：向上（$y$ 轴正方向）

2.4 开口向下：$x^2 = -2py$

推导：焦点在 $y$轴负半轴，设$F\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$，准线 $y = \dfrac{p}{2}$。

由 $|MF| = d(M, l)$：

$$\sqrt{x^2 + \left(y + \frac{p}{2}\right)^2} = \left|y - \frac{p}{2}\right|$$

平方化简得：

$$x^2 = -2py$$

焦点：$F\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$
准线：$y = \dfrac{p}{2}$
范围：$y \le 0$，$x \in \mathbb{R}$

2.5 四种形式对比表

标准方程	开口方向	焦点坐标	准线方程	对称轴	范围
$y^2 = 2px$	向右	$\left(\frac{p}{2}, 0\right)$	$x = -\frac{p}{2}$	$x$轴	$x \ge 0$
$y^2 = -2px$	向左	$\left(-\frac{p}{2}, 0\right)$	$x = \frac{p}{2}$	$x$轴	$x \le 0$
$x^2 = 2py$	向上	$\left(0, \frac{p}{2}\right)$	$y = -\frac{p}{2}$	$y$轴	$y \ge 0$
$x^2 = -2py$	向下	$\left(0, -\frac{p}{2}\right)$	$y = \frac{p}{2}$	$y$轴	$y \le 0$

记忆口诀

一次项决定对称轴：$y^2$型对称轴为$x$ 轴，$x^2$型对称轴为$y$ 轴
一次项系数的符号决定开口方向：正号向正方向开口，负号向负方向开口
焦参数 $p$ 永远是正值：$p$ 代表焦点到准线的距离

2.6 例题

例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

(1) $y^2 = 12x$　　(2) $x^2 = -8y$　　(3) $y^2 = -6x$

[!success]- 解析 (1) $2p = 12 \Rightarrow p = 6$，焦点 $\left(3, 0\right)$，准线 $x = -3$。 (2) $2p = 8 \Rightarrow p = 4$，开口向下，焦点 $\left(0, -2\right)$，准线 $y = 2$。 (3) $2p = 6 \Rightarrow p = 3$，开口向左，焦点 $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$，准线 $x = \frac{3}{2}$。

例2：已知抛物线的焦点为 $F(0, -2)$，准线为 $y = 2$，求标准方程。

[!success]- 解析焦点在 $y$轴负半轴，准线在上方，开口向下。焦点到准线距离$p = 4$，$2p = 8$。方程为 $x^2 = -8y$。

例3：求焦点为 $F(2, 0)$，准线为 $x = -2$ 的抛物线方程。

[!success]- 解析 $p = 4$，$2p = 8$，开口向右，方程为 $y^2 = 8x$。

3. 抛物线的几何性质

以 $y^2 = 2px\thickspace(p>0)$ 为基准，讨论抛物线的几何性质。

3.1 范围

由 $y^2 = 2px \ge 0$，$p>0$，得 $x \ge 0$。抛物线上的点都在 $y$轴右侧（含$y$ 轴），$y$ 可取任意实数。抛物线向右上方和右下方无限延伸。

3.2 对称性

以 $-y$代$y$，方程 $(-y)^2 = 2px$即$y^2 = 2px$不变，故抛物线关于$x$ 轴对称。$x$ 轴是抛物线的对称轴。

3.3 顶点

抛物线与对称轴的交点称为顶点。$y^2 = 2px$中，令$y=0$得$x=0$，故顶点为 $O(0, 0)$。

3.4 离心率

$e = 1$，这是抛物线的本质特征。

3.5 通径

定义

过焦点且垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径（Latus Rectum）。

对 $y^2 = 2px$，焦点 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$，过焦点垂直于 $x$轴的直线为$x = \frac{p}{2}$。代入抛物线方程：

$$y^2 = 2p \cdot \frac{p}{2} = p^2$$

得 $y = \pm p$，弦端点为 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$和$\left(\frac{p}{2}, -p\right)$。

通径长 $= 2p$。通径是抛物线中过焦点的最短弦（见 §5.10）。

3.6 焦半径

定义

抛物线上一点 $M(x_0, y_0)$到焦点$F$的距离称为焦半径，记作$r = |MF|$。

对 $y^2 = 2px$，由定义 $|MF| = d(M, l) = x_0 + \frac{p}{2}$。

$$\boxed{r = |MF| = x_0 + \frac{p}{2}}$$

这是抛物线定义的直接应用，利用这一关系可以将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，是解决许多问题的关键技巧。

四种标准方程下的焦半径公式：

标准方程	焦半径 $r$
$y^2 = 2px$	$x_0 + \frac{p}{2}$
$y^2 = -2px$	$-x_0 + \frac{p}{2}$
$x^2 = 2py$	$y_0 + \frac{p}{2}$
$x^2 = -2py$	$-y_0 + \frac{p}{2}$

4. 抛物线焦点弦的深入性质

本节是抛物线最核心的内容

焦点弦性质是抛物线区别于椭圆、双曲线的最丰富部分，也是高考和竞赛的高频考点。以下以 $y^2 = 2px\thickspace(p>0)$为基准，设焦点弦$AB$过焦点$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$，$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$。

4.1 设焦点弦的常用方法

设焦点弦 $AB$ 的方程为：

$$x = my + \frac{p}{2} \quad \text{或} \quad y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$

其中 $x = my + \frac{p}{2}$ 形式（斜截式）在联立时更为方便，因为它避免了斜率不存在的情况（$m=0$ 对应通径，$m \to \infty$时退化为$x$ 轴）。

联立 $\begin{cases} y^2 = 2px \newline x = my + \frac{p}{2} \end{cases}$，消去 $x$：

$$y^2 = 2p\left(my + \frac{p}{2}\right) = 2pmy + p^2$$

$$y^2 - 2pmy - p^2 = 0$$

由韦达定理：

$$\boxed{y_1 + y_2 = 2pm,\quad y_1y_2 = -p^2}$$

4.2 性质1：坐标之积为定值

性质1

设焦点弦 $AB$，$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $$y_1y_2 = -p^2,\quad x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$$

证明：

$y_1y_2 = -p^2$ 已由韦达定理直接得出。

对于 $x_1x_2$：因 $x_1 = \dfrac{y_1^2}{2p}$，$x_2 = \dfrac{y_2^2}{2p}$，故

$$x_1x_2 = \frac{y_1^2y_2^2}{4p^2} = \frac{(-p^2)^2}{4p^2} = \frac{p^4}{4p^2} = \frac{p^2}{4}$$

注意

这两个定值与焦点弦的斜率无关，只要弦过焦点，乘积必为定值。这是抛物线焦点弦最基本的定值性质。

4.3 性质2：焦半径倒数之和为定值

性质2

$$\frac{1}{|FA|} + \frac{1}{|FB|} = \frac{2}{p}$$

证明：

由焦半径公式 $|FA| = x_1 + \frac{p}{2}$，$|FB| = x_2 + \frac{p}{2}$。

$$\frac{1}{|FA|} + \frac{1}{|FB|} = \frac{1}{x_1 + \frac{p}{2}} + \frac{1}{x_2 + \frac{p}{2}} = \frac{x_1 + x_2 + p}{\left(x_1 + \frac{p}{2}\right)\left(x_2 + \frac{p}{2}\right)}$$

由韦达定理，$x_1 + x_2 = \dfrac{y_1^2 + y_2^2}{2p} = \dfrac{(y_1 + y_2)^2 - 2y_1y_2}{2p} = \dfrac{4p^2m^2 + 2p^2}{2p} = 2pm^2 + p$。

分母： $$\left(x_1 + \frac{p}{2}\right)\left(x_2 + \frac{p}{2}\right) = x_1x_2 + \frac{p}{2}(x_1 + x_2) + \frac{p^2}{4} = \frac{p^2}{4} + \frac{p}{2}(2pm^2 + p) + \frac{p^2}{4}$$ $$= \frac{p^2}{4} + p^2m^2 + \frac{p^2}{2} + \frac{p^2}{4} = p^2m^2 + p^2 = p^2(m^2 + 1)$$

分子： $$x_1 + x_2 + p = 2pm^2 + p + p = 2p(m^2 + 1)$$

故： $$\frac{1}{|FA|} + \frac{1}{|FB|} = \frac{2p(m^2 + 1)}{p^2(m^2 + 1)} = \frac{2}{p}$$

更简洁的证法（利用定义）

作 $AA_1 \perp$准线于$A_1$，$BB_1 \perp$准线于$B_1$。由定义 $|FA| = |AA_1|$，$|FB| = |BB_1|$。设 $AB$的倾斜角为$\alpha$，则 $|FA| = \dfrac{p}{1 - \cos\alpha}$，$|FB| = \dfrac{p}{1 + \cos\alpha}$（极坐标形式）。代入可直接得到 $\frac{1}{|FA|} + \frac{1}{|FB|} = \frac{2}{p}$。

4.4 性质3：以焦点弦为直径的圆与准线相切

性质3

以焦点弦 $AB$ 为直径的圆与准线相切。

证明：

设 $AB$中点$M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$。作 $MM_1 \perp$准线于$M_1$，$AA_1 \perp$准线于$A_1$，$BB_1 \perp$准线于$B_1$。

在直角梯形 $AA_1B_1B$ 中，$MM_1$ 是中位线，故

$$|MM_1| = \frac{|AA_1| + |BB_1|}{2}$$

由抛物线定义，$|AA_1| = |FA|$，$|BB_1| = |FB|$。

$$\therefore |MM_1| = \frac{|FA| + |FB|}{2} = \frac{|AB|}{2}$$

而 $\frac{|AB|}{2}$正是以$AB$为直径的圆的半径$R$。又 $MM_1 \perp$ 准线，故圆心到准线的距离等于半径，圆与准线相切。

关键

这个证明完全基于抛物线的定义，没有用到任何坐标计算，体现了抛物线定义的几何威力。

tikz

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[gray,->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
  \draw[gray,->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$};
  \draw[domain=-2.5:2.5,smooth,thick,blue] plot ({\x},{\x*\x/2});
  \fill (0,0.5) circle (0.04) node[left] {$F$};
  \draw[thick,dashed] (-3,-0.5) -- (3,-0.5) node[right] {准线};
  \fill[red] (-1.5,1.125) circle (0.04) node[below left] {$A$};
  \fill[red] (1.5,1.125) circle (0.04) node[below right] {$B$};
  \draw[thick,red] (-1.5,1.125) -- (1.5,1.125);
  \fill (0,1.125) circle (0.03) node[above] {$M$};
  \draw[dashed,red] (0,1.125) -- (0,-0.5);
  \draw[dashed] (-1.5,1.125) -- (0,0.5);
  \draw[dashed] (1.5,1.125) -- (0,0.5);
\end{tikzpicture}

4.5 性质4：以焦半径为直径的圆与 $y$ 轴相切

性质4

以焦半径 $FA$为直径的圆与$y$ 轴相切。

证明：

设 $A(x_1, y_1)$在$y^2 = 2px$ 上，$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$。$FA$中点$N\left(\dfrac{x_1 + \frac{p}{2}}{2}, \dfrac{y_1}{2}\right)$。

$N$到$y$轴的距离为$d = \dfrac{x_1 + \frac{p}{2}}{2}$。

圆的半径 $R = \dfrac{|FA|}{2} = \dfrac{x_1 + \frac{p}{2}}{2}$。

$d = R$，且 $y$轴方向竖直，故圆与$y$ 轴相切。

4.6 性质5：焦点弦两端切线的交点在准线上且两切线垂直

性质5

过焦点弦两端 $A$、$B$的切线互相垂直，且交点$T$ 在准线上。

证明：

抛物线 $y^2 = 2px$在$A(x_1, y_1)$处的切线方程为$y_1y = p(x + x_1)$。

同理在 $B(x_2, y_2)$处的切线为$y_2y = p(x + x_2)$。

联立解交点 $T$：

$$\begin{cases} y_1y = p(x + x_1) \newline y_2y = p(x + x_2) \end{cases}$$

两式相减：$(y_1 - y_2)y = p(x_1 - x_2)$

$$\therefore y = p \cdot \frac{x_1 - x_2}{y_1 - y_2} = p \cdot \frac{\frac{y_1^2}{2p} - \frac{y_2^2}{2p}}{y_1 - y_2} = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

代入第一式： $$\frac{y_1(y_1 + y_2)}{2} = p(x + x_1)$$

$$x = \frac{y_1(y_1 + y_2)}{2p} - x_1 = \frac{y_1^2 + y_1y_2}{2p} - \frac{y_1^2}{2p} = \frac{y_1y_2}{2p}$$

由性质1，$y_1y_2 = -p^2$，故 $x = -\dfrac{p^2}{2p} = -\dfrac{p}{2}$。

交点 $T\left(-\dfrac{p}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$，横坐标 $-\dfrac{p}{2}$ 即为准线方程。

验证两切线垂直：切线斜率分别为 $k_1 = \dfrac{p}{y_1}$，$k_2 = \dfrac{p}{y_2}$。

$$k_1k_2 = \frac{p^2}{y_1y_2} = \frac{p^2}{-p^2} = -1$$

故两切线互相垂直。

几何意义

这一性质说明：焦点弦两端切线的交点必在准线上，且两切线垂直。这两条性质是抛物线独有的，椭圆和双曲线没有类似结论。

4.7 性质6：焦点弦两端切线的交点轨迹

性质6

过焦点弦两端所作切线的交点轨迹是准线。

这正是性质5的推论——对于任意过焦点的弦 $AB$，两切线交点始终在准线上。反过来说，准线上任意一点向抛物线作两条切线，切点连线必过焦点。

4.8 性质7：焦点弦中点与对称轴平行线

性质7

过焦点弦 $AB$的中点$M$作对称轴的平行线，交抛物线于$P$，则 $P$ 是线段在抛物线上的截点，且与该平行线被抛物线截得的线段中点重合。

证明：

设 $AB$中点$M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$。过 $M$作$x$轴的平行线（即$y = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$），交抛物线于 $P$。

代入 $y^2 = 2px$： $$\left(\frac{y_1 + y_2}{2}\right)^2 = 2px_P$$

由韦达定理 $y_1 + y_2 = 2pm$，$y_1y_2 = -p^2$。

$$x_P = \frac{(y_1 + y_2)^2}{8p} = \frac{4p^2m^2}{8p} = \frac{pm^2}{2}$$

而 $x_M = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{2pm^2 + p}{2} = pm^2 + \dfrac{p}{2}$。

$P$不是$M$——但注意 $P$的$y$坐标就是$M$的$y$坐标，而$M$ 是该平行线与弦的交点，$P$ 是该平行线与抛物线的交点。$M$是线段$P$ 到某点的中点。

4.9 性质8：焦点弦长公式

性质8

设焦点弦 $AB$的倾斜角为$\alpha$（$0 < \alpha < \pi$），则 $$|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{2p}{\sin^2\alpha}$$ 当 $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$ 时，$|AB| = 2p$（通径）。

证明：

由焦半径公式： $$|AB| = |FA| + |FB| = \left(x_1 + \frac{p}{2}\right) + \left(x_2 + \frac{p}{2}\right) = x_1 + x_2 + p$$

由韦达定理，$x_1 + x_2 = 2pm^2 + p$（其中 $m = \dfrac{1}{\tan\alpha}$，即 $x = my + \frac{p}{2}$ 形式）。

$$|AB| = 2pm^2 + 2p = 2p(m^2 + 1) = 2p\left(\frac{1}{\tan^2\alpha} + 1\right) = 2p \cdot \frac{1 + \tan^2\alpha}{\tan^2\alpha} = 2p \cdot \frac{\sec^2\alpha}{\tan^2\alpha} = \frac{2p}{\sin^2\alpha}$$

极坐标推导（更简洁）

以 $F$ 为极点，$x$轴正方向为极轴，抛物线极坐标方程为$\rho = \dfrac{p}{1 - \cos\theta}$。设 $A(\rho_1, \alpha)$，$B(\rho_2, \alpha + \pi)$，则 $$|AB| = \rho_1 + \rho_2 = \frac{p}{1 - \cos\alpha} + \frac{p}{1 + \cos\alpha} = \frac{2p}{\sin^2\alpha}$$

4.10 性质9：焦点弦长的最小值

性质9

抛物线焦点弦中，以通径为最短，最小值为 $2p$。

证明：

由性质8，$|AB| = \dfrac{2p}{\sin^2\alpha}$。当 $\sin\alpha = 1$（即 $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$，弦垂直于对称轴）时，$|AB|_{\min} = 2p$。

4.11 性质10：$A$、$O$、$B'$ 三点共线

性质10

设 $A(x_1, y_1)$ 为抛物线上一点，$B$为准线上一点，且$AB$过焦点。设$B'$为$B$在$x$轴上的投影，则$A$、$O$、$B'$ 三点共线。

更常见的表述：

性质10（等价表述）

设焦点弦 $AB$，过 $A$作准线的垂线，垂足为$A_1$，则 $O$、$A_1$、$B$ 三点共线。

证明：

$A(x_1, y_1)$，$A_1\left(-\dfrac{p}{2}, y_1\right)$。$B(x_2, y_2)$。

要证 $O$、$A_1$、$B$共线，即证$k_{OA_1} = k_{OB}$。

$$k_{OA_1} = \frac{y_1}{-p/2} = -\frac{2y_1}{p}$$

$$k_{OB} = \frac{y_2}{x_2} = \frac{y_2}{y_2^2/(2p)} = \frac{2p}{y_2}$$

由 $y_1y_2 = -p^2$，得 $y_2 = -\dfrac{p^2}{y_1}$。

$$k_{OB} = \frac{2p}{-p^2/y_1} = -\frac{2y_1}{p} = k_{OA_1}$$

故 $O$、$A_1$、$B$共线。同理$O$、$B_1$、$A$ 也共线。

4.12 性质11：$\angle A_1FB_1 = 90^\circ$

性质11

设焦点弦 $AB$，过 $A$、$B$分别作准线的垂线，垂足为$A_1$、$B_1$，则 $\angle A_1FB_1 = 90^\circ$。

证明：

$A_1\left(-\dfrac{p}{2}, y_1\right)$，$B_1\left(-\dfrac{p}{2}, y_2\right)$，$F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$。

$$\overrightarrow{FA_1} = \left(-p, y_1\right),\quad \overrightarrow{FB_1} = \left(-p, y_2\right)$$

$$\overrightarrow{FA_1} \cdot \overrightarrow{FB_1} = (-p)(-p) + y_1y_2 = p^2 - p^2 = 0$$

故 $\overrightarrow{FA_1} \perp \overrightarrow{FB_1}$，即 $\angle A_1FB_1 = 90^\circ$。

4.13 性质12：$\triangle A_1FB_1$ 的面积

性质12

$\triangle A_1FB_1$的面积$S = \dfrac{p^2}{2|\sin\alpha|}$。

证明：

$S = \dfrac{1}{2}|FA_1| \cdot |FB_1|$（因为 $\angle A_1FB_1 = 90^\circ$）。

$|FA_1| = \sqrt{p^2 + y_1^2}$，$|FB_1| = \sqrt{p^2 + y_2^2}$。

利用 $y_1y_2 = -p^2$可化简得$S = \dfrac{p^2}{2|\sin\alpha|}$，其中 $\alpha$为弦$AB$ 的倾斜角。

4.14 焦点弦性质总结表

性质	内容	关键公式
坐标积	$y_1y_2 = -p^2$，$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$	定值
焦半径倒数	$\frac{1}{\Vert{}FA\Vert} + \frac{1}{\Vert{}FB\Vert} = \frac{2}{p}$	定值
以弦为直径的圆	与准线相切	几何性质
以焦半径为直径的圆	与 $y$ 轴相切	几何性质
两端切线交点	在准线上，且两切线垂直	$T(-\frac{p}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
弦长公式	$\Vert{}AB\Vert = \frac{2p}{\sin^2\alpha}$	$\alpha$ 为倾斜角
最短弦	通径 $2p$（$\alpha = \frac{\pi}{2}$）	最小值
$O$、$A_1$、$B$ 共线	准线垂足与原点共线	几何性质
$\angle A_1FB_1$	$= 90^\circ$	几何性质

4.15 焦点弦例题

例4：已知抛物线 $y^2 = 4x$的焦点为$F$，过 $F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，若$|AF| = 3$，求 $|BF|$。

[!success]- 解析 $p=2$。由性质2，$\frac{1}{\Vert{}AF\Vert} + \frac{1}{\Vert{}BF\Vert} = \frac{2}{p} = 1$。 $\frac{1}{3} + \frac{1}{\Vert{}BF\Vert} = 1 \Rightarrow \frac{1}{\Vert{}BF\Vert} = \frac{2}{3} \Rightarrow |BF| = \frac{3}{2}$。

例5：抛物线 $y^2 = 2px$的焦点弦$AB$的倾斜角为$60^\circ$，求 $\dfrac{|AF|}{|BF|}$。

[!success]- 解析由极坐标形式，$|AF| = \dfrac{p}{1 - \cos 60^\circ} = \dfrac{p}{1 - \frac{1}{2}} = 2p$， $|BF| = \dfrac{p}{1 - \cos 240^\circ} = \dfrac{p}{1 + \frac{1}{2}} = \dfrac{2p}{3}$。 $\dfrac{|AF|}{|BF|} = \dfrac{2p}{2p/3} = 3$。

例6：过抛物线 $y^2 = 4x$焦点$F$作弦$AB$，若 $|AB| = 8$，求 $AB$ 所在直线的方程。

[!success]- 解析 $p=2$，由弦长公式 $|AB| = \dfrac{2p}{\sin^2\alpha} = \dfrac{4}{\sin^2\alpha} = 8$。 $\sin^2\alpha = \dfrac{1}{2}$，$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\alpha = 45^\circ$或$135^\circ$。斜率 $k = \tan\alpha = \pm 1$。焦点 $F(1, 0)$，直线方程为 $y = \pm (x - 1)$，即 $y = x - 1$或$y = -x + 1$。

例7：设 $AB$是抛物线$y^2 = 2px$ 的焦点弦，$O$为原点，求证$\triangle OAB$的面积$S = \dfrac{p^2}{2|\sin\alpha|}$。

[!success]- 证明 $S = \dfrac{1}{2} \cdot |OF| \cdot |y_1 - y_2| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{p}{2} \cdot |y_1 - y_2|$。由韦达定理，$y_1 + y_2 = 2pm$，$y_1y_2 = -p^2$。 $|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1y_2} = \sqrt{4p^2m^2 + 4p^2} = 2p\sqrt{m^2 + 1}$。又 $m = \cot\alpha$，故 $\sqrt{m^2 + 1} = \dfrac{1}{|\sin\alpha|}$。 $S = \dfrac{p}{4} \cdot 2p \cdot \dfrac{1}{|\sin\alpha|} = \dfrac{p^2}{2|\sin\alpha|}$。

5. 抛物线的切线

5.1 过抛物线上一点的切线方程

定理

抛物线 $y^2 = 2px$在点$M(x_0, y_0)$（$y_0 \neq 0$）处的切线方程为： $$\boxed{y_0y = p(x + x_0)}$$

推导方法一（判别式法）：

设切线斜率为 $k$，则切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。与 $y^2 = 2px$ 联立：

$$(y_0 + k(x - x_0))^2 = 2px$$

整理为关于 $x$的二次方程。由于切线与抛物线只有一个公共点（二重根），判别式$\Delta = 0$。

由 $y_0^2 = 2px_0$，可解得 $k = \dfrac{p}{y_0}$。

代入得切线方程：$y - y_0 = \dfrac{p}{y_0}(x - x_0)$，即 $y_0y = p(x + x_0)$。

推导方法二（导数法）：

对 $y^2 = 2px$两边关于$x$ 求导（隐函数求导）：

$$2y \cdot y' = 2p \thickspace\Longrightarrow\thickspace y' = \frac{p}{y}$$

在点 $(x_0, y_0)$处，切线斜率$k = \dfrac{p}{y_0}$。

切线方程：$y - y_0 = \dfrac{p}{y_0}(x - x_0)$，化简得 $y_0y = p(x + x_0)$。

记忆技巧

切线方程可通过"替换法"记忆：将 $y^2 = 2px$中的$y^2$替换为$y_0y$，$x$替换为$\dfrac{x + x_0}{2}$，即 $y_0y = 2p \cdot \dfrac{x + x_0}{2} = p(x + x_0)$。

5.2 四种标准方程下的切线方程

标准方程	切点 $(x_0, y_0)$	切线方程
$y^2 = 2px$	$(x_0, y_0)$	$y_0y = p(x + x_0)$
$y^2 = -2px$	$(x_0, y_0)$	$y_0y = -p(x + x_0)$
$x^2 = 2py$	$(x_0, y_0)$	$x_0x = p(y + y_0)$
$x^2 = -2py$	$(x_0, y_0)$	$x_0x = -p(y + y_0)$

5.3 已知斜率的切线方程

定理

斜率为 $k$（$k \neq 0$）的直线与抛物线 $y^2 = 2px$ 相切时，切线方程为： $$\boxed{y = kx + \frac{p}{2k}}$$

推导：

设切线为 $y = kx + b$，代入 $y^2 = 2px$：

$$(kx + b)^2 = 2px \thickspace\Longrightarrow\thickspace k^2x^2 + (2kb - 2p)x + b^2 = 0$$

相切条件 $\Delta = 0$：

$$(2kb - 2p)^2 - 4k^2b^2 = 0$$ $$4k^2b^2 - 8kbp + 4p^2 - 4k^2b^2 = 0$$ $$-8kbp + 4p^2 = 0$$ $$b = \frac{p}{2k}$$

故切线方程为 $y = kx + \dfrac{p}{2k}$。

5.4 过抛物线外一点的切线

方法

过抛物线外一点 $P(x_0, y_0)$ 作抛物线的切线，一般有两条。

方法一（判别式法）：设切线 $y - y_0 = k(x - x_0)$，代入抛物线方程，由 $\Delta = 0$解出$k$。

方法二（切点弦法）：设切点为 $T(x_1, y_1)$，则切线方程为 $y_1y = p(x + x_1)$。由切线过 $P(x_0, y_0)$：

$$y_1y_0 = p(x_0 + x_1)$$

又 $y_1^2 = 2px_1$，联立消去 $x_1$解出$y_1$ 即得切点坐标。

5.5 抛物线的法线方程

过 $y^2 = 2px$上一点$M(x_0, y_0)$的法线斜率为$-\dfrac{y_0}{p}$（切线斜率的负倒数）。

法线方程为：

$$y - y_0 = -\frac{y_0}{p}(x - x_0)$$

5.6 切点弦方程

定理

过抛物线 $y^2 = 2px$外一点$P(x_0, y_0)$作两条切线，切点分别为$A$、$B$，则直线 $AB$（切点弦）的方程为： $$\boxed{y_0y = p(x + x_0)}$$

推导：

设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$。切线 $PA$：$y_1y = p(x + x_1)$，切线 $PB$：$y_2y = p(x + x_2)$。

$P(x_0, y_0)$ 在两条切线上：

$$\begin{cases} y_1y_0 = p(x_0 + x_1) \newline y_2y_0 = p(x_0 + x_2) \end{cases}$$

这说明 $A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$都满足方程$y_0y = p(x + x_0)$，故 $AB$的方程为$y_0y = p(x + x_0)$。

注意

切点弦方程在形式上与过切点的切线方程完全相同！区别在于 $(x_0, y_0)$ 的含义：

切线方程中 $(x_0, y_0)$ 是切点
切点弦方程中 $(x_0, y_0)$ 是抛物线外的点

5.7 切线例题

例8：求抛物线 $y^2 = 8x$在点$(2, 4)$ 处的切线方程。

[!success]- 解析 $2p = 8 \Rightarrow p = 4$。切线方程：$4y = 4(x + 2)$，即 $y = x + 2$。

例9：求斜率为 $2$且与抛物线$y^2 = 4x$ 相切的直线方程，并求切点坐标。

[!success]- 解析 $p = 2$，切线方程：$y = 2x + \dfrac{2}{2 \cdot 2} = 2x + \dfrac{1}{2}$。联立 $\begin{cases} y^2 = 4x \newline y = 2x + \frac{1}{2} \end{cases}$，代入得 $(2x + \frac{1}{2})^2 = 4x$。 $4x^2 + 2x + \frac{1}{4} = 4x \Rightarrow 4x^2 - 2x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow 16x^2 - 8x + 1 = 0$。 $(4x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$，$y = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1$。切点为 $\left(\frac{1}{4}, 1\right)$。

例10：过点 $P(-2, 1)$作抛物线$y^2 = 4x$ 的切线，求切线方程。

[!success]- 解析设切线为 $y - 1 = k(x + 2)$，即 $y = kx + (2k + 1)$。代入 $y^2 = 4x$：$(kx + 2k + 1)^2 = 4x$。 $k^2x^2 + 2k(2k+1)x + (2k+1)^2 - 4x = 0$。 $k^2x^2 + [2k(2k+1) - 4]x + (2k+1)^2 = 0$。 $\Delta = [2k(2k+1) - 4]^2 - 4k^2(2k+1)^2 = 0$。令 $t = 2k+1$，则 $2k = t-1$，$k = \frac{t-1}{2}$。化简得 $4k^2 + 4k - 1 = 0$，解得 $k = \dfrac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$。切线方程为 $y - 1 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}(x + 2)$。

例11：已知抛物线 $y^2 = 4x$外一点$P(2, -1)$，求过 $P$ 的切点弦方程。

[!success]- 解析 $p = 2$，切点弦方程：$y_0y = p(x + x_0)$，即 $(-1) \cdot y = 2(x + 2)$。化简得 $2x + y + 4 = 0$。

6. 抛物线的光学性质

6.1 光学性质陈述

抛物线的光学性质

从焦点发出的光线，经抛物线反射后，平行于对称轴射出。
平行于对称轴射入的光线，经抛物线反射后，汇聚于焦点。

tikz

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[gray,->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
  \draw[gray,->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$};
  \draw[domain=-2.5:2.5,smooth,thick,blue] plot ({\x},{\x*\x/2});
  \fill (0,0.5) circle (0.04) node[left] {$F$};
  \fill[red] (1.5,1.125) circle (0.04) node[below right] {$P$};
  \draw[thick,red,->] (0,0.5) -- (1.5,1.125);
  \draw[thick,red,->] (1.5,1.125) -- (1.5,2.5);
  \draw[thick,green!60!black] (0.5,0.75) -- (2.5,1.5);
  \node[green!60!black] at (2.2,1.0) {切线};
  \node[red] at (1.8,2.3) {平行于轴};
  \draw[thick,dashed,green!60!black] (0.5,0.75) -- (2.5,0.75);
  \draw[thick,->] (-2,0.5) -- (1.5,1.125);
  \node at (-1.5,0.8) {平行入射};
  \draw[thick,->] (1.5,1.125) -- (0,0.5);
  \node at (0.8,0.3) {反射到焦点};
\end{tikzpicture}

6.2 切线法证明

以 $y^2 = 2px$为例。设抛物线上一点$M(x_0, y_0)$，$y_0 > 0$。

过 $M$的切线斜率为$k = \dfrac{p}{y_0}$，切线倾斜角为 $\beta$（$\tan\beta = \dfrac{p}{y_0}$）。

焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$。$FM$的倾斜角为$\gamma$，$\tan\gamma = \dfrac{y_0}{x_0 - \frac{p}{2}}$。

由 $y_0^2 = 2px_0$，有 $x_0 = \dfrac{y_0^2}{2p}$。

$$\tan\gamma = \frac{y_0}{\frac{y_0^2}{2p} - \frac{p}{2}} = \frac{y_0}{\frac{y_0^2 - p^2}{2p}} = \frac{2py_0}{y_0^2 - p^2}$$

现在验证：法线 $MN$平分$\angle FMG$（其中 $MG$平行于$x$ 轴）。

过 $M$作平行于$x$轴的直线（即对称轴方向），证$FM$ 与该直线的夹角等于反射角。

设 $FM$与切线夹角为$\theta_1$，$x$轴正方向与切线夹角为$\theta_2$。

由反射定律，只需证 $\theta_1 = \theta_2$，即切线与 $FM$的夹角等于切线与$x$ 轴的夹角。

用斜率来证：切线斜率 $k_t = \dfrac{p}{y_0}$，$FM$斜率$k_{FM} = \dfrac{y_0}{x_0 - \frac{p}{2}}$。

$x$轴方向斜率为$0$。

$\tan\theta_1 = \left|\dfrac{k_t - k_{FM}}{1 + k_t k_{FM}}\right|$，$\tan\theta_2 = \left|\dfrac{k_t - 0}{1 + 0}\right| = |k_t| = \dfrac{p}{|y_0|}$。

代入 $k_{FM}$和$k_t$可验证$\tan\theta_1 = \tan\theta_2$，即入射角等于反射角，得证。

6.3 应用举例

抛物面天线（卫星接收天线）：平行于对称轴的电磁波经抛物面反射后汇聚于焦点处的接收器，信号强度大幅增强。
汽车前灯：将光源置于抛物面反射镜的焦点处，发出的光线经反射后平行射出，形成远距离光束。
太阳能聚光器：平行入射的太阳光经抛物面反射后汇聚于焦点，产生高温用于发电或加热。
探照灯、手电筒：利用抛物线反射面将点光源变为平行光。

例12：已知抛物线 $y^2 = 2px$的焦点为$F$，$M$ 为抛物线上一点，$FM$的延长线交准线于$N$。过 $M$作切线交$y$轴于$T$。求证：$MN \perp FT$。

[!success]- 证明设 $M(x_0, y_0)$，$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$。

切线 $MT$：$y_0y = p(x + x_0)$，令 $x = 0$得$T\left(0, \frac{px_0}{y_0}\right)$。

$FM$ 方程：$y = \dfrac{y_0}{x_0 - \frac{p}{2}}(x - \frac{p}{2})$。准线 $x = -\frac{p}{2}$，代入得 $N\left(-\frac{p}{2}, \dfrac{y_0(-\frac{p}{2} - \frac{p}{2})}{x_0 - \frac{p}{2}}\right) = \left(-\frac{p}{2}, \dfrac{-py_0}{x_0 - \frac{p}{2}}\right)$。

计算 $\overrightarrow{FT} \cdot \overrightarrow{MN}$ 可证垂直。这是光学性质的直接推论。

7. 抛物线的参数方程

7.1 参数方程

对于抛物线 $y^2 = 2px$，引入参数 $t$：

$$\boxed{\begin{cases} x = 2pt^2 \newline y = 2pt \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})}$$

验证：$y^2 = (2pt)^2 = 4p^2t^2 = 2p \cdot 2pt^2 = 2px$，满足方程。

7.2 参数 $t$ 的几何意义

参数 $t$表示抛物线上点$(2pt^2, 2pt)$ 与原点连线的斜率的倒数：$t = \dfrac{y}{2p} = \dfrac{x}{y}$（当 $y \neq 0$）。

更直观地，$t = \tan\theta$，其中 $\theta$是$OM$与$x$ 轴的夹角的一半。

7.3 参数方程的优势

利用参数方程设点，可以将抛物线上点的两个坐标用单一参数 $t$ 表示，大大简化计算。

设 $A(2pt_1^2, 2pt_1)$，$B(2pt_2^2, 2pt_2)$，则：

$AB$ 的斜率：$k = \dfrac{2p(t_2 - t_1)}{2p(t_2^2 - t_1^2)} = \dfrac{1}{t_1 + t_2}$
$AB$ 的方程：$x - (t_1 + t_2)y + 2pt_1t_2 = 0$

7.4 参数方程下的切线

在参数方程 $x = 2pt^2$，$y = 2pt$ 下，切线斜率：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2p}{4pt} = \frac{1}{2t}$$

切线方程为 $y - 2pt = \dfrac{1}{2t}(x - 2pt^2)$，即 $x - 2ty + 2pt^2 = 0$。

7.5 参数方程例题

例13：已知抛物线 $y^2 = 4x$，$A$、$B$ 是抛物线上两点，$OA \perp OB$（$O$为原点），求证直线$AB$ 过定点。

[!success]- 证明设 $A(4t_1^2, 4t_1)$，$B(4t_2^2, 4t_2)$（这里 $p=2$，参数方程 $x=4t^2, y=4t$）。

$OA \perp OB \Rightarrow \dfrac{4t_1}{4t_1^2} \cdot \dfrac{4t_2}{4t_2^2} = -1 \Rightarrow \dfrac{1}{t_1t_2} = -1 \Rightarrow t_1t_2 = -1$。

直线 $AB$：$x - (t_1 + t_2)y + 2pt_1t_2 = x - (t_1 + t_2)y + 4(-1) = 0$。即 $x - (t_1 + t_2)y - 4 = 0$，过定点 $(4, 0)$。

例14：抛物线 $y^2 = 2px$上两点$A$、$B$，若 $AB$过焦点$F$，求证 $t_1t_2 = -\dfrac{1}{4}$（用参数 $x = 2pt^2, y = 2pt$）。

[!success]- 证明 $A(2pt_1^2, 2pt_1)$，$B(2pt_2^2, 2pt_2)$，$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$。

$A$、$F$、$B$ 共线：$\dfrac{2pt_1 - 0}{2pt_1^2 - \frac{p}{2}} = \dfrac{2pt_2 - 0}{2pt_2^2 - \frac{p}{2}}$。

$\dfrac{2t_1}{2t_1^2 - \frac{1}{2}} = \dfrac{2t_2}{2t_2^2 - \frac{1}{2}} \Rightarrow \dfrac{4t_1}{4t_1^2 - 1} = \dfrac{4t_2}{4t_2^2 - 1}$。

化简得 $4t_1t_2 = -1$，即 $t_1t_2 = -\dfrac{1}{4}$。

此时 $y_1y_2 = 4p^2t_1t_2 = 4p^2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -p^2$，与性质1一致。

例15：抛物线 $y^2 = 2px$上两点$A$、$B$，若 $OA \perp OB$，求 $\triangle OAB$ 面积的最小值。

[!success]- 解析设 $A(2pt_1^2, 2pt_1)$，$B(2pt_2^2, 2pt_2)$。 $OA \perp OB \Rightarrow \dfrac{1}{t_1} \cdot \dfrac{1}{t_2} = -1 \Rightarrow t_1t_2 = -1$。

$S = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1| = \dfrac{1}{2}|2pt_1^2 \cdot 2pt_2 - 2pt_2^2 \cdot 2pt_1| = 2p^2|t_1t_2(t_1 - t_2)|$。 $= 2p^2|t_1 - t_2|$（因为 $t_1t_2 = -1$）。

$|t_1 - t_2| = \left|t_1 + \dfrac{1}{t_1}\right| \ge 2$，当 $t_1 = \pm 1$ 时取等。 $S_{\min} = 2p^2 \cdot 2 = 4p^2$。

8. 直线与抛物线的位置关系

8.1 判别式法

直线 $y = kx + m$（$k \neq 0$）与抛物线 $y^2 = 2px$ 联立：

$$(kx + m)^2 = 2px \thickspace\Longrightarrow\thickspace k^2x^2 + (2km - 2p)x + m^2 = 0$$

判别式 $\Delta = (2km - 2p)^2 - 4k^2m^2 = 4p^2 - 8kmp$。

$\Delta > 0$：直线与抛物线相交（两个交点）
$\Delta = 0$：直线与抛物线相切（一个交点）
$\Delta < 0$：直线与抛物线相离（无交点）

特别注意

当 $k = 0$（直线平行于对称轴，即 $y = m$）时，代入 $y^2 = 2px$得$m^2 = 2px$。

若 $m \neq 0$，$x = \dfrac{m^2}{2p}$，只有一个交点，但不是相切！直线与对称轴平行（或重合）时，与抛物线只有一个交点但并非切线。
若 $m = 0$，$x = 0$，直线 $y=0$（对称轴）与抛物线交于顶点。

8.2 弦长公式

直线 $y = kx + m$与抛物线交于$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则：

$$\boxed{|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|k^2|}}$$

其中 $\Delta = 4p^2 - 8kmp$（基于 $k^2x^2 + (2km - 2p)x + m^2 = 0$）。

也可用 $y$ 坐标表示：

$$|AB| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} \cdot |y_1 - y_2| \quad (k \neq 0)$$

8.3 中点弦问题（点差法）

点差法在抛物线中的应用

设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$是抛物线$y^2 = 2px$上两点，弦$AB$的中点为$M(x_0, y_0)$，斜率为 $k$。

由 $\begin{cases} y_1^2 = 2px_1 \newline y_2^2 = 2px_2 \end{cases}$，两式相减：

$$y_1^2 - y_2^2 = 2p(x_1 - x_2)$$ $$(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 2p(x_1 - x_2)$$

$$\therefore k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{2p}{y_1 + y_2} = \frac{p}{y_0}$$

抛物线的中点弦斜率公式

$$\boxed{k = \frac{p}{y_0}}$$ 其中 $M(x_0, y_0)$是弦$AB$ 的中点，$k$是弦$AB$ 的斜率。

弦所在直线方程：$y - y_0 = \dfrac{p}{y_0}(x - x_0)$，即 $y_0y - y_0^2 = p(x - x_0)$。

8.4 例题

例16：直线 $y = x + 1$与抛物线$y^2 = 4x$交于$A$、$B$两点，求弦$AB$ 的长。

[!success]- 解析联立：$(x + 1)^2 = 4x \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0$。 $x = 1$（二重根），$y = 2$。只有一个交点，直线与抛物线相切。弦长为 $0$。

例17：直线 $y = 2x - 1$与抛物线$y^2 = 4x$交于$A$、$B$两点，求$|AB|$。

[!success]- 解析联立：$(2x - 1)^2 = 4x \Rightarrow 4x^2 - 4x + 1 = 4x \Rightarrow 4x^2 - 8x + 1 = 0$。 $x_1 + x_2 = 2$，$x_1x_2 = \frac{1}{4}$。 $\Delta = 64 - 16 = 48$。 $|AB| = \sqrt{1 + 4} \cdot \dfrac{\sqrt{48}}{4} = \sqrt{5} \cdot \dfrac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{15}$。

例18：已知抛物线 $y^2 = 8x$的弦$AB$被点$M(4, 2)$平分，求弦$AB$ 所在直线的方程。

[!success]- 解析 $p = 4$，中点 $M(4, 2)$，$y_0 = 2$。由中点弦斜率公式 $k = \dfrac{p}{y_0} = \dfrac{4}{2} = 2$。直线 $AB$：$y - 2 = 2(x - 4)$，即 $2x - y - 6 = 0$。

例19：直线 $y = kx + 2$与抛物线$y^2 = 8x$交于$A$、$B$两点，且$AB$中点的横坐标为$2$，求 $k$ 的值。

[!success]- 解析联立：$(kx + 2)^2 = 8x \Rightarrow k^2x^2 + (4k - 8)x + 4 = 0$。 $x_1 + x_2 = \dfrac{8 - 4k}{k^2}$。中点横坐标 $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = 2 \Rightarrow \dfrac{8 - 4k}{k^2} = 4$。 $8 - 4k = 4k^2 \Rightarrow 4k^2 + 4k - 8 = 0 \Rightarrow k^2 + k - 2 = 0$。 $(k + 2)(k - 1) = 0$，$k = -2$或$k = 1$。检验：$k = -2$时$\Delta = (4(-2) - 8)^2 - 4(-2)^2 \cdot 4 = 256 - 64 = 192 > 0$，成立。 $k = 1$时$\Delta = (4-8)^2 - 16 = 16 - 16 = 0$，相切（只有一个交点，不是弦），舍去。故 $k = -2$。

9. 抛物线中的定点定值问题

9.1 解题策略

抛物线中的定点定值问题通常采用以下策略：

设参法：将动点坐标用参数 $t$ 表示，通过条件建立参数间的关系，最终消去参数得到定值。
韦达定理法：设直线方程，联立抛物线，利用韦达定理进行整体代入。
几何转化法：利用抛物线的定义（到焦点距离等于到准线距离）将距离问题转化为几何问题。

9.2 定值问题——焦点弦中的定值

焦点弦中的定值已在 §4 中详细讨论，这里总结：

定值类型	定值表达式	定值
坐标积	$y_1y_2$	$-p^2$
坐标积	$x_1x_2$	$\dfrac{p^2}{4}$
焦半径倒数之和	$\frac{1}{\Vert{}FA\Vert} + \frac{1}{\Vert{}FB\Vert}$	$\dfrac{2}{p}$
弦长最小值	$\Vert{}AB\Vert_{\min}$	$2p$
$\triangle OAB$面积	$S$（以 $\alpha$表示）	$\dfrac{p^2}{2\Vert\sin\alpha\Vert}$

9.3 定点问题

例20：已知抛物线 $y^2 = 2px$，$A$、$B$是抛物线上两点，且$OA \perp OB$（$O$为原点）。求证：直线$AB$ 过定点。

[!success]- 证明设 $A(2pt_1^2, 2pt_1)$，$B(2pt_2^2, 2pt_2)$。 $OA \perp OB \Rightarrow \dfrac{2pt_1}{2pt_1^2} \cdot \dfrac{2pt_2}{2pt_2^2} = -1 \Rightarrow t_1t_2 = -1$。直线 $AB$：$x - (t_1 + t_2)y + 2pt_1t_2 = 0$。代入 $t_1t_2 = -1$：$x - (t_1 + t_2)y - 2p = 0$。不论 $t_1 + t_2$取何值，当$y = 0$时$x = 2p$ 恒成立。故直线 $AB$过定点$(2p, 0)$。

例21：已知抛物线 $y^2 = 4x$，过点 $P(1, 2)$作直线交抛物线于$A$、$B$ 两点，$M$为$AB$中点。求证：直线$PM$ 过定点。

[!success]- 证明设 $AB$：$y - 2 = k(x - 1)$，即 $y = kx + (2 - k)$。联立 $y^2 = 4x$：$(kx + 2 - k)^2 = 4x$。 $k^2x^2 + [2k(2 - k) - 4]x + (2 - k)^2 = 0$。 $x_1 + x_2 = \dfrac{4 - 2k(2 - k)}{k^2}$。 $M$ 坐标：$x_M = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{2 - k(2 - k)}{k^2}$，$y_M = kx_M + 2 - k$。直线 $PM$ 的方程可求，化简后过定点。具体计算略。

例22：抛物线 $y^2 = 2px$上两点$A$、$B$，若 $k_{OA} \cdot k_{OB} = \lambda$（$\lambda$为非零常数），求证直线$AB$ 过定点。

[!success]- 证明设 $A(2pt_1^2, 2pt_1)$，$B(2pt_2^2, 2pt_2)$。 $k_{OA} \cdot k_{OB} = \dfrac{1}{t_1} \cdot \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{t_1t_2} = \lambda \Rightarrow t_1t_2 = \dfrac{1}{\lambda}$。直线 $AB$：$x - (t_1 + t_2)y + 2pt_1t_2 = 0$。代入 $t_1t_2 = \frac{1}{\lambda}$：$x - (t_1 + t_2)y + \dfrac{2p}{\lambda} = 0$。过定点 $\left(-\dfrac{2p}{\lambda}, 0\right)$。

9.4 面积定值

例23：已知抛物线 $y^2 = 4x$的焦点为$F$，过 $F$作两条互相垂直的弦$AB$、$CD$，求四边形 $ACBD$ 面积的最小值。

[!success]- 解析设 $AB$倾斜角为$\alpha$，则 $CD$倾斜角为$\alpha + \dfrac{\pi}{2}$。 $|AB| = \dfrac{2p}{\sin^2\alpha} = \dfrac{4}{\sin^2\alpha}$，$|CD| = \dfrac{4}{\sin^2(\alpha + \frac{\pi}{2})} = \dfrac{4}{\cos^2\alpha}$。 $S = \dfrac{1}{2}|AB| \cdot |CD| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{\sin^2\alpha} \cdot \dfrac{4}{\cos^2\alpha} = \dfrac{8}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \dfrac{32}{\sin^2 2\alpha}$。当 $\sin 2\alpha = 1$（即 $\alpha = 45^\circ$）时，$S_{\min} = 32$。

10. 抛物线中的最值问题

10.1 距离最值问题

利用抛物线定义 $|MF| = d(M, l)$，将"抛物线上点到焦点的距离"转化为"到准线的距离"，或将"到准线的距离"转化为"到焦点的距离"，是解决距离最值问题的核心技巧。

核心策略

抛物线定义是距离最值问题的"翻译器"：将一种距离转化为另一种距离，从而简化问题。

例24：已知抛物线 $y^2 = 4x$，点 $P$ 在抛物线上，$A(3, 2)$，求 $|PA| + |PF|$ 的最小值。

[!success]- 解析 $p = 2$，焦点 $F(1, 0)$，准线 $x = -1$。由定义 $|PF| = d(P, l)$，故 $|PA| + |PF| = |PA| + d(P, l)$。过 $A$作准线$x = -1$的垂线，垂足为$A'(-1, 2)$。 $|PA| + d(P, l) \ge |AA'| = 3 - (-1) = 4$。当 $P$、$A$、$A'$共线（即$P$在$AA'$上）时取等，此时$P$的$y$坐标为$2$，代入 $y^2 = 4x$得$x = 1$，$P(1, 2)$。最小值为 $4$。

例25：抛物线 $y^2 = 2x$上一点$P$到直线$x + y + 3 = 0$ 的距离的最小值。

[!success]- 解析设 $P(2t^2, 2t)$（$p=1$，参数方程 $x=2t^2, y=2t$）。 $d = \dfrac{|2t^2 + 2t + 3|}{\sqrt{2}} = \dfrac{2t^2 + 2t + 3}{\sqrt{2}}$（分子恒正，因 $2t^2 + 2t + 3 = 2(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{2} > 0$）。 $d = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(2t^2 + 2t + 3) = \sqrt{2}\left(t^2 + t + \frac{3}{2}\right) = \sqrt{2}\left[(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}\right]$。当 $t = -\frac{1}{2}$ 时，$d_{\min} = \sqrt{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$。此时 $P\left(\frac{1}{2}, -1\right)$。

10.2 面积最值问题

例26：已知抛物线 $y^2 = 4x$，$A$、$B$ 是抛物线上两点，$OA \perp OB$（$O$为原点），求$\triangle OAB$ 面积的最小值。

[!success]- 解析在例15中已得 $S_{\min} = 4p^2$。这里 $p = 2$，故 $S_{\min} = 16$。

例27：已知抛物线 $y^2 = 4x$，过焦点 $F$的直线交抛物线于$A$、$B$，求 $\triangle OAB$ 面积的最小值。

[!success]- 解析由例7，$S_{\triangle OAB} = \dfrac{p^2}{2|\sin\alpha|} = \dfrac{4}{2|\sin\alpha|} = \dfrac{2}{|\sin\alpha|}$。当 $|\sin\alpha| = 1$（即 $\alpha = 90^\circ$，弦为通径）时，$S_{\min} = 2$。

10.3 弦长最值问题

例28：已知 $M(2, 0)$，过 $M$的直线交抛物线$y^2 = 4x$于$A$、$B$，求 $\triangle AOB$ 面积的最大值。

[!success]- 解析设 $AB$：$x = my + 2$。联立 $y^2 = 4x$：$y^2 = 4(my + 2) \Rightarrow y^2 - 4my - 8 = 0$。 $y_1 + y_2 = 4m$，$y_1y_2 = -8$。 $|y_1 - y_2| = \sqrt{16m^2 + 32} = 4\sqrt{m^2 + 2}$。 $S = \dfrac{1}{2} \cdot |OM| \cdot |y_1 - y_2| = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4\sqrt{m^2 + 2} = 4\sqrt{m^2 + 2}$。当 $m = 0$（即 $AB \perp x$ 轴）时，$S_{\min} = 4\sqrt{2}$。但 $S$随$|m|$ 增大而增大，无最大值。等等——这里 $S$随$|m|$增大而增大，在$m \to \infty$时$S \to \infty$，故无最大值。

11. 抛物线与其他圆锥曲线的综合

11.1 异同对比表

特征	椭圆	双曲线	抛物线
离心率 $e$	$0 < e < 1$	$e > 1$	$e = 1$
第一定义	距离之和为常数	距离之差的绝对值为常数	到焦点和准线距离相等
焦点数	2	2	1
准线数	2	2	1
顶点数	4	2	1
是否为封闭曲线	是	否	否
有无渐近线	无	有（两条）	无
通径长	$\dfrac{2b^2}{a}$	$\dfrac{2b^2}{a}$	$2p$
标准方程项数	三项（$x^2$、$y^2$、常数）	三项（$x^2$、$y^2$、常数）	两项（一个平方项、一个一次项）
焦点弦性质	较少	较少	非常丰富
光学性质	一个焦点发出的光汇聚于另一焦点	一个焦点发出的光反射后反向延长线过另一焦点	焦点发出的光反射后平行于对称轴

11.2 抛物线的独特性质

抛物线是三种圆锥曲线中最为"特殊"的：

只有一个焦点，一条准线：椭圆和双曲线都有两个焦点，抛物线只有一个。
离心率恰好为 1：这是抛物线的"临界"状态，介于椭圆和双曲线之间。
方程中缺少一个二次项：$y^2 = 2px$中只有$y^2$项而没有$x^2$项，这是$e=1$ 的代数表现。
焦点弦性质最丰富：抛物线焦点弦的定值性质远多于椭圆和双曲线。
与二次函数的关系：$y = ax^2 + bx + c$ 的图像是抛物线（开口向上或向下），这是解析几何与函数的重要交汇点。

11.3 二次函数与抛物线

二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图像是一条开口向上（$a>0$）或向下（$a<0$）的抛物线。

配方得 $y = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a}$。

令 $X = x + \dfrac{b}{2a}$，$Y = y - \dfrac{4ac - b^2}{4a}$，则 $Y = aX^2$，即 $X^2 = \dfrac{1}{a}Y$。

若 $a > 0$，$X^2 = \dfrac{1}{a}Y$，$2p = \dfrac{1}{a}$，$p = \dfrac{1}{2a}$，开口向上。若 $a < 0$，$X^2 = \dfrac{1}{a}Y$（$a$为负），即$X^2 = -\dfrac{1}{|a|}Y$，开口向下。

二次函数与抛物线的对应

二次函数 $y = ax^2$（$a \neq 0$）对应抛物线 $x^2 = \dfrac{1}{a}y$，焦参数 $p = \dfrac{1}{2|a|}$。

11.4 综合例题

例29：已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的右焦点与抛物线 $y^2 = 8x$的焦点重合，且椭圆的离心率为$\dfrac{1}{2}$，求椭圆方程。

[!success]- 解析抛物线 $y^2 = 8x$：$2p = 8$，$p = 4$，焦点 $(2, 0)$。椭圆右焦点 $(c, 0) = (2, 0)$，故 $c = 2$。椭圆离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$，故 $a = 4$。 $b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 4 = 12$。椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{12} = 1$。

例30：已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的一条渐近线与抛物线$y = x^2 + 1$ 相切，求双曲线的离心率。

[!success]- 解析双曲线渐近线：$y = \pm \dfrac{b}{a}x$。抛物线 $y = x^2 + 1$。联立 $x^2 + 1 = \dfrac{b}{a}x$，即 $x^2 - \dfrac{b}{a}x + 1 = 0$。相切条件 $\Delta = \dfrac{b^2}{a^2} - 4 = 0$，故 $\dfrac{b}{a} = 2$。 $e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$。

12. 相关链接

圆锥曲线综合 — 圆锥曲线总览，包含椭圆、双曲线、抛物线的对比
椭圆 — 椭圆深度解析
双曲线 — 双曲线深度解析
曲线与方程 — 曲线与方程的一般理论
圆 — 圆的相关性质
极坐标与参数方程 — 极坐标和参数方程下的圆锥曲线表示
圆锥曲线综合 — 圆锥曲线综合问题

13. 方法总结

13.1 抛物线问题的核心方法

定义转化法：利用 $|MF| = d(M, l)$ 将焦点距离与准线距离互相转化，这是抛物线的"独门武器"。
参数设点法：用参数 $t$ 表示抛物线上点（$x = 2pt^2, y = 2pt$），将两个坐标用一个参数统一，简化计算。
韦达定理法：设直线方程联立抛物线，利用韦达定理进行整体代入，避免单独求坐标。
点差法：处理中点弦问题，利用 $k = \dfrac{p}{y_0}$ 快速求弦斜率。
极坐标法：焦点弦问题中用极坐标 $\rho = \dfrac{p}{1 - \cos\theta}$ 最为简洁。

13.2 常见陷阱

常见错误

混淆 $p$与$2p$：标准方程中是 $y^2 = 2px$，焦参数是 $p$（焦点到准线的距离），通径是 $2p$。做题时务必分清。
混淆四种标准方程：开口方向不同，焦点坐标、准线方程、焦半径公式都不同，注意区分。
忽略 $p>0$ 的条件：$p$ 是距离，永远是正值。
平行于对称轴的直线只有一个交点但不是切线：这是抛物线区别于一般二次曲线的重要特征。
焦点弦设方程时忘记过焦点：设 $x = my + \frac{p}{2}$时注意常数项必须是$\frac{p}{2}$。

总结

抛物线是圆锥曲线中最"不对称"但性质最丰富的一种。它只有一个焦点、一条准线，离心率恰好为 $1$，方程中缺少一个二次项。这些特征使得抛物线在焦点弦性质、切线性质、光学性质等方面有着椭圆和双曲线无法比拟的丰富结论。掌握抛物线的核心是理解定义和熟练运用参数方程，这两把钥匙能打开绝大多数抛物线问题的大门。

抛物线 (Parabola) ​

1. 抛物线的定义 ​

1.1 第一定义（轨迹定义） ​

1.2 标准方程的推导（开口向右） ​

1.3 离心率 ​

2. 抛物线的四种标准方程 ​

2.1 开口向右：$y^2 = 2px$ ​

2.2 开口向左：$y^2 = -2px$ ​

2.3 开口向上：$x^2 = 2py$ ​

2.4 开口向下：$x^2 = -2py$ ​

2.5 四种形式对比表 ​

2.6 例题 ​

3. 抛物线的几何性质 ​

3.1 范围 ​

3.2 对称性 ​

3.3 顶点 ​

3.4 离心率 ​

3.5 通径 ​

3.6 焦半径 ​

4. 抛物线焦点弦的深入性质 ​

4.1 设焦点弦的常用方法 ​

4.2 性质1：坐标之积为定值 ​

4.3 性质2：焦半径倒数之和为定值 ​

4.4 性质3：以焦点弦为直径的圆与准线相切 ​

4.5 性质4：以焦半径为直径的圆与 $y$ 轴相切 ​

4.6 性质5：焦点弦两端切线的交点在准线上且两切线垂直 ​

4.7 性质6：焦点弦两端切线的交点轨迹 ​

4.8 性质7：焦点弦中点与对称轴平行线 ​

4.9 性质8：焦点弦长公式 ​

4.10 性质9：焦点弦长的最小值 ​

4.11 性质10：$A$、$O$、$B'$ 三点共线 ​

4.12 性质11：$\angle A_1FB_1 = 90^\circ$ ​

4.13 性质12：$\triangle A_1FB_1$ 的面积 ​

4.14 焦点弦性质总结表 ​

4.15 焦点弦例题 ​

5. 抛物线的切线 ​

5.1 过抛物线上一点的切线方程 ​

5.2 四种标准方程下的切线方程 ​

5.3 已知斜率的切线方程 ​

5.4 过抛物线外一点的切线 ​

5.5 抛物线的法线方程 ​

5.6 切点弦方程 ​

5.7 切线例题 ​

6. 抛物线的光学性质 ​

6.1 光学性质陈述 ​

6.2 切线法证明 ​

6.3 应用举例 ​

7. 抛物线的参数方程 ​

7.1 参数方程 ​

7.2 参数 $t$ 的几何意义 ​

7.3 参数方程的优势 ​

7.4 参数方程下的切线 ​

7.5 参数方程例题 ​

8. 直线与抛物线的位置关系 ​

8.1 判别式法 ​

8.2 弦长公式 ​

8.3 中点弦问题（点差法） ​

8.4 例题 ​

9. 抛物线中的定点定值问题 ​

9.1 解题策略 ​

9.2 定值问题——焦点弦中的定值 ​

9.3 定点问题 ​

9.4 面积定值 ​

10. 抛物线中的最值问题 ​

10.1 距离最值问题 ​

10.2 面积最值问题 ​

10.3 弦长最值问题 ​

11. 抛物线与其他圆锥曲线的综合 ​

11.1 异同对比表 ​

11.2 抛物线的独特性质 ​

11.3 二次函数与抛物线 ​

11.4 综合例题 ​

12. 相关链接 ​

13. 方法总结 ​

13.1 抛物线问题的核心方法 ​

13.2 常见陷阱 ​

抛物线 (Parabola)

1. 抛物线的定义

1.1 第一定义（轨迹定义）

1.2 标准方程的推导（开口向右）

1.3 离心率

2. 抛物线的四种标准方程

2.1 开口向右：$y^2 = 2px$

2.2 开口向左：$y^2 = -2px$

2.3 开口向上：$x^2 = 2py$

2.4 开口向下：$x^2 = -2py$

2.5 四种形式对比表

2.6 例题

3. 抛物线的几何性质

3.1 范围

3.2 对称性

3.3 顶点

3.4 离心率

3.5 通径

3.6 焦半径

4. 抛物线焦点弦的深入性质

4.1 设焦点弦的常用方法

4.2 性质1：坐标之积为定值

4.3 性质2：焦半径倒数之和为定值

4.4 性质3：以焦点弦为直径的圆与准线相切

4.5 性质4：以焦半径为直径的圆与 $y$ 轴相切

4.6 性质5：焦点弦两端切线的交点在准线上且两切线垂直

4.7 性质6：焦点弦两端切线的交点轨迹

4.8 性质7：焦点弦中点与对称轴平行线

4.9 性质8：焦点弦长公式

4.10 性质9：焦点弦长的最小值

4.11 性质10：$A$、$O$、$B'$ 三点共线

4.12 性质11：$\angle A_1FB_1 = 90^\circ$

4.13 性质12：$\triangle A_1FB_1$ 的面积

4.14 焦点弦性质总结表

4.15 焦点弦例题

5. 抛物线的切线

5.1 过抛物线上一点的切线方程

5.2 四种标准方程下的切线方程

5.3 已知斜率的切线方程

5.4 过抛物线外一点的切线

5.5 抛物线的法线方程

5.6 切点弦方程

5.7 切线例题

6. 抛物线的光学性质

6.1 光学性质陈述

6.2 切线法证明

6.3 应用举例

7. 抛物线的参数方程

7.1 参数方程

7.2 参数 $t$ 的几何意义

7.3 参数方程的优势

7.4 参数方程下的切线

7.5 参数方程例题

8. 直线与抛物线的位置关系

8.1 判别式法

8.2 弦长公式

8.3 中点弦问题（点差法）

8.4 例题

9. 抛物线中的定点定值问题

9.1 解题策略

9.2 定值问题——焦点弦中的定值

9.3 定点问题

9.4 面积定值

10. 抛物线中的最值问题

10.1 距离最值问题

10.2 面积最值问题

10.3 弦长最值问题

11. 抛物线与其他圆锥曲线的综合

11.1 异同对比表

11.2 抛物线的独特性质

11.3 二次函数与抛物线

11.4 综合例题

12. 相关链接

13. 方法总结

13.1 抛物线问题的核心方法

13.2 常见陷阱