Appearance
斐波那契数列的通项公式推导（Binet 公式）
定位本笔记
本笔记适合放在「数列」「递推关系」「特征方程」等主题下，目标是完整、严谨地推导斐波那契数列的通项公式，并配合例题与常见错误分析。
1. 斐波那契数列的定义与基本性质
1.1 定义
斐波那契数列 $\lbrace F_n\rbrace $ 定义为：
$$ \begin{cases} F_1 = 1,\newline F_2 = 1,\newline F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n \ge 3. \end{cases} $$
即从第三项开始，每一项等于前两项之和：
$$ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ \dots $$
记忆方式
只要记住「前两项都是 1，之后每项等于前两项之和」，就能从头把数列重新算出来。
2. 从递推关系到通项公式的思路
我们希望找到一个显式公式：
$$ F_n = f(n), $$
使得不需要从前往后递推，也能直接算出第 $n$ 项。
关键思想
斐波那契数列满足一个线性齐次常系数递推关系：
$$
F_n - F_{n-1} - F_{n-2} = 0. $$
对于这类递推，一般可以用「特征方程法」来求通项。
3. 特征方程法推导 Binet 公式
3.1 假设解的形式
考虑递推关系：
$$ F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n \ge 3. $$
我们假设存在形如
$$ F_n = r^n $$
的解（这里 $r$ 是常数，$n$ 是正整数）。
将 $F_n = r^n$ 代入递推式：
$$ r^n = r^{n-1} + r^{n-2}. $$
两边同时除以 $r^{n-2}$（假设 $r \neq 0$）：
$$ r^2 = r + 1. $$
于是得到特征方程：
$$ r^2 - r - 1 = 0. $$
3.2 求特征根
解二次方程：
$$ r^2 - r - 1 = 0. $$
判别式：
$$ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5. $$
两根为：
$$ r_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. $$
记：
$$ \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}. $$
黄金分割
$\alpha = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$就是著名的黄金分割数，约为$1.618\ldots$。
3.3 一般解的线性组合形式
对于线性齐次递推关系
$$ F_n - F_{n-1} - F_{n-2} = 0 $$
且特征方程有两个不相等的实根 $\alpha, \beta$，其通解一般为：
$$ F_n = A \alpha^n + B \beta^n, $$
其中 $A, B$ 为常数，由初始条件确定。
结构记忆
- 二阶线性齐次递推 → 二次特征方程；
- 两个不同根 $\alpha, \beta$→ 通解是$A\alpha^n + B\beta^n$。
4. 利用初始条件求常数 $A, B$
4.1 代入初始条件
斐波那契数列的初始条件为：
$$ F_1 = 1,\quad F_2 = 1. $$
通解：
$$ F_n = A \alpha^n + B \beta^n. $$
代入 $n = 1$：
$$ F_1 = A \alpha + B \beta = 1. $$
代入 $n = 2$：
$$ F_2 = A \alpha^2 + B \beta^2 = 1. $$
于是得到方程组：
$$ \begin{cases} A \alpha + B \beta = 1,\newline A \alpha^2 + B \beta^2 = 1. \end{cases} $$
4.2 利用特征方程简化
注意到 $\alpha, \beta$ 都满足特征方程：
$$ x^2 = x + 1. $$
因此：
$$ \alpha^2 = \alpha + 1,\quad \beta^2 = \beta + 1. $$
将其代入第二个方程：
$$ A(\alpha + 1) + B(\beta + 1) = 1. $$
展开：
$$ A\alpha + A + B\beta + B = 1. $$
利用第一个方程 $A\alpha + B\beta = 1$，可得：
$$ 1 + A + B = 1 \quad \Rightarrow \quad A + B = 0. $$
于是：
$$ B = -A. $$
将 $B = -A$ 代入第一个方程：
$$ A\alpha + (-A)\beta = 1 \quad \Rightarrow \quad A(\alpha - \beta) = 1. $$
所以：
$$ A = \frac{1}{\alpha - \beta},\quad B = -\frac{1}{\alpha - \beta}. $$
计算 $\alpha - \beta$：
$$ \alpha - \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}. $$
因此：
$$ A = \frac{1}{\sqrt{5}},\quad B = -\frac{1}{\sqrt{5}}. $$
4.3 得到通项公式（Binet 公式）
将 $A, B$ 代回通解：
$$ F_n = A \alpha^n + B \beta^n = \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\beta^n. $$
即：
$$ \boxed{ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right] } $$
这就是斐波那契数列的通项公式，也称为 Binet 公式。
推导主线小结
- 写出递推：$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$；
- 假设解 $F_n = r^n$，得到特征方程 $r^2 - r - 1 = 0$；
- 求根 $\alpha, \beta$，写出通解 $F_n = A\alpha^n + B\beta^n$；
- 用初始条件 $F_1 = 1, F_2 = 1$解出$A, B$；
- 得到 Binet 公式。
5. 数值验证与近似性质
5.1 用通项公式计算具体项
例 1：计算 $F_5$
根据递推：
$$ F_1 = 1,\ F_2 = 1,\ F_3 = 2,\ F_4 = 3,\ F_5 = 5. $$
用通项公式：
$$ F_5 = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^5 - \beta^5\right), $$
其中
$$ \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2},\quad \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}. $$
由于 $|\beta| < 1$，$\beta^5$ 很小，数值上：
- $\alpha \approx 1.618$，$\alpha^5 \approx 11.090$；
- $\beta \approx -0.618$，$\beta^5 \approx -0.090$。
于是：
$$ F_5 \approx \frac{1}{\sqrt{5}}(11.090 - (-0.090)) = \frac{11.180}{\sqrt{5}} \approx \frac{11.180}{2.236} \approx 5. $$
与递推结果一致。
计算时的实用技巧
在实际计算中，$|\beta| < 1$，当 $n$ 较大时，$\beta^n$ 的绝对值非常小，往往可以近似忽略，从而得到：
$$
F_n \approx \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n. $$
5.2 斐波那契数与黄金分割的关系
由通项公式：
$$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^n - \beta^n\right). $$
当 $n$ 很大时，$|\beta| < 1$，$\beta^n \to 0$，于是：
$$ F_n \approx \frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n. $$
因此：
$$ \frac{F_{n+1}}{F_n} \approx \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^{n+1}}{\frac{1}{\sqrt{5}}\alpha^n} = \alpha. $$
即：
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. $$
重要极限
斐波那契数列相邻两项之比的极限是黄金分割数：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. $$
6. 另一种视角：生成函数（可选进阶）
这一节是进阶内容
如果你对「生成函数」感兴趣，可以把这一节当作扩展阅读；如果暂时只关心通项公式本身，可以先跳过。
6.1 定义生成函数
定义斐波那契数列的生成函数：
$$ G(x) = \sum_{n=1}^{\infty} F_n x^n. $$
根据递推关系：
$$ F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\quad n \ge 3. $$
我们尝试把递推关系转化为关于 $G(x)$ 的代数方程。
6.2 利用递推构造方程
写出：
$$ G(x) = F_1 x + F_2 x^2 + F_3 x^3 + F_4 x^4 + \cdots $$
根据递推：
$$ F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\quad n \ge 3. $$
考虑：
$$ xG(x) = F_1 x^2 + F_2 x^3 + F_3 x^4 + \cdots $$
$$ x^2 G(x) = F_1 x^3 + F_2 x^4 + F_3 x^5 + \cdots $$
于是：
$$ G(x) - xG(x) - x^2 G(x) = (F_1 x + F_2 x^2 + F_3 x^3 + \cdots)
- (F_1 x^2 + F_2 x^3 + F_3 x^4 + \cdots)
- (F_1 x^3 + F_2 x^4 + F_3 x^5 + \cdots). $$
观察系数，可以发现从 $x^3$ 开始，各项系数都变成：
$$ F_n - F_{n-1} - F_{n-2} = 0. $$
因此只剩下前两项的贡献：
$$ G(x) - xG(x) - x^2 G(x) = F_1 x + (F_2 - F_1)x^2. $$
代入 $F_1 = 1, F_2 = 1$：
$$ G(x) - xG(x) - x^2 G(x) = x. $$
整理：
$$ G(x)(1 - x - x^2) = x. $$
于是：
$$ G(x) = \frac{x}{1 - x - x^2}. $$
6.3 部分分式与通项公式
注意到分母：
$$ 1 - x - x^2 = -(x^2 + x - 1). $$
其根为：
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}. $$
与前面特征方程的根密切相关。通过部分分式分解，可以把 $G(x)$ 写成两个几何级数之差，从而再次得到：
$$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^n - \beta^n\right). $$
生成函数的意义
生成函数把「递推关系」转化为「代数方程」，再通过代数操作还原出通项公式，是一种非常系统的工具。
7. 常见错误与易混点
常见错误 1：初始条件搞错
有些教材把斐波那契数列定义为：
$$
F_0 = 0,\ F_1 = 1,\ F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2},\ n \ge 2. $$
这时通项公式会变成：
$$
F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^n - \beta^n\right),\quad n \ge 0, $$
但注意此处的 $F_0 = 0$，与本笔记开头的定义略有不同。做题时要看清题目采用的是哪一种约定。
常见错误 2：特征方程写错
递推是 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$，假设 $F_n = r^n$ 后应得到：
$$
r^n = r^{n-1} + r^{n-2} \Rightarrow r^2 = r + 1 \Rightarrow r^2 - r - 1 = 0. $$
有时会误写成 $r^2 + r - 1 = 0$或$r^2 - r + 1 = 0$，要特别小心符号。
常见错误 3：忘记用初始条件解 $A, B$
写出通解 $F_n = A\alpha^n + B\beta^n$后，如果不代入$F_1, F_2$求$A, B$，通项公式就不完整，只是「通解形式」，不是具体的斐波那契数列。
8. 小结与思考题
8.1 本文小结
- 定义： 斐波那契数列满足 $F_1 = 1, F_2 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$；
- 特征方程： 假设 $F_n = r^n$，得到 $r^2 - r - 1 = 0$；
- 特征根： $\alpha = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2},\ \beta = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$；
- 通解形式： $F_n = A\alpha^n + B\beta^n$；
- 利用初始条件： 解得 $A = \dfrac{1}{\sqrt{5}}, B = -\dfrac{1}{\sqrt{5}}$；
- Binet 公式：
$$ F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right]. $$
8.2 思考题（可作为后续笔记）
- 思考题 1：
若数列 $\lbrace a_n\rbrace $ 满足：
$$ a_1 = 2,\ a_2 = 3,\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2},\ n \ge 3, $$
请仿照本文方法，求出 $\lbrace a_n\rbrace $ 的通项公式。
- 思考题 2：
证明：
$$ F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1. $$
提示：可以用数学归纳法，也可以尝试用通项公式直接求和。