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伯努利不等式 (Bernoulli's Inequality)
伯努利不等式是数学分析中一个基础且极为有用的不等式，由雅各布·伯努利 (Jacob Bernoulli) 于 1689 年提出。它是许多重要不等式的出发点，也是研究极限 $e$ 的关键工具。
基本形式
设 $x > -1$且$x \neq 0$，$n \in \mathbb{N}$且$n \geq 2$，则有：
$$ \color{Red}{(1 + x)^n \geq 1 + nx} $$
当且仅当 $x = 0$或$n = 1$ 时等号成立。
[!直观理解] 伯努利不等式说明：指数增长（左边）不慢于线性增长（右边），只要底数大于 $0$（即 $x > -1$）。从几何上看，曲线 $y = (1+x)^n$位于其$x=0$处切线$y = 1 + nx$ 的上方。
数学归纳法证明
这是伯努利不等式的标准证明方法，简洁而优美。参见 数学归纳法。
证明：对 $n$ 进行归纳。
- 奠基 ($n = 1$)：$(1+x)^1 = 1 + x$，等号成立。
- 奠基 ($n = 2$)：$(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 \geq 1 + 2x$，成立。
- 归纳递推：假设 $n = k$时不等式成立，即$(1+x)^k \geq 1 + kx$。 由于 $x > -1$，有 $1 + x > 0$，两边同乘 $(1+x)$ 不改变不等号方向： $$ \begin{aligned} (1+x)^{k+1} &= (1+x)^k \cdot (1+x) \newline &\geq (1 + kx)(1 + x) \newline &= 1 + (k+1)x + kx^2 \newline &\geq 1 + (k+1)x \end{aligned} $$ 故 $n = k+1$ 时也成立。
由数学归纳法，对任意正整数 $n$，$(1+x)^n \geq 1 + nx$ 成立。$\square$
扩展形式
当指数推广到实数范围时，伯努利不等式有更一般的形式：
- 指数 $r \geq 1$（实数）：对 $x > -1$，有 $$ (1+x)^r \geq 1 + rx $$
- 指数 $0 \leq r \leq 1$：对 $x > -1$，不等号反向 $$ (1+x)^r \leq 1 + rx $$
[!注记] 当 $r = 1$时等号恒成立；当$r \neq 1$时等号成立当且仅当$x = 0$。
与指数函数的联系
伯努利不等式与自然常数 $e$ 有着深刻的联系。经典极限： $$ \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x $$ 令 $x = \dfrac{t}{n}$ 代入伯努利不等式： $$ \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n \geq 1 + t $$ 这说明数列 $\left(1 + \dfrac{t}{n}\right)^n$是单调递增且有上界的，而伯努利不等式恰好给出了这个数列的下界——它是$e^t$ 逼近过程中的"第一层"估计。
例题
例1：$(1+\frac{1}{n})^n$ 的单调性
证明：数列 $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$单调递增，且对所有$n \in \mathbb{N}$有$a_n < e$。
证明（单调性）：
考虑比值 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$： $$ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^n} \newline &= \left(1+\frac{1}{n+1}\right) \cdot \frac{(1+\frac{1}{n+1})^n}{(1+\frac{1}{n})^n} \newline &= \left(1+\frac{1}{n+1}\right) \cdot \left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^n \newline &= \left(1+\frac{1}{n+1}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)^n \end{aligned} $$ 对 $\left(1 - \dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^n$应用伯努利不等式（取$x = -\dfrac{1}{(n+1)^2}$）： $$ \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)^n \geq 1 - \frac{n}{(n+1)^2} $$ 于是 $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1 - \frac{n}{(n+1)^2}\right) = 1 + \frac{1}{(n+1)^3} > 1 $$ 故 $a_{n+1} > a_n$，即数列 $\lbrace a_n\rbrace $ 严格单调递增。
再证上界：由二项式展开， $$ a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} < \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e $$ 综上，$a_n$单调递增且有上界$e$，故 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = e$。$\square$
例2：$2^n \geq n^2$（$n \geq 4$）
证明：当 $n \geq 4$ 时，$2^n \geq n^2$。
证明（利用伯努利不等式）：
当 $n \geq 4$时，令$x = 1$，由伯努利不等式： $$ 2^n = (1+1)^n \geq 1 + n $$ 但这不足以直接推出 $2^n \geq n^2$。我们采用更精细的处理方式：
对 $n \geq 4$，注意到 $$ 2^n = (1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \geq \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4} $$ 即 $$ 2^n \geq 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} $$ 当 $n = 4$ 时，$2^4 = 16 = 4^2$，等号成立。
当 $n \geq 5$时，可以验证$\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} \geq n^2 - \left(1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2} + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\right)$，从而 $2^n \geq n^2$。
更简洁的做法是用数学归纳法（参见 数学归纳法）：$n=4$时$2^4 = 16 = 4^2$；若 $2^k \geq k^2$（$k \geq 4$），则 $$ 2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \geq 2k^2 = k^2 + k^2 \geq k^2 + 4k > k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2 $$ 归纳得证。$\square$
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