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明可夫斯基不等式 (Minkowski Inequality)
明可夫斯基不等式是三角不等式（Triangle Inequality）在 $L^p$ 空间中的自然推广，由赫尔曼·明可夫斯基 (Hermann Minkowski) 提出。它是泛函分析和积分理论中的基本不等式之一。
[!核心思想] 在欧氏空间中，三角不等式告诉我们"两边之和大于第三边"。明可夫斯基不等式将这一几何直觉推广到 $p$-范数下的向量空间和函数空间，即：向量和的范数不超过向量范数之和。
离散形式
设 $a_i, b_i \in \mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$），$p \geq 1$，则有：
$$ \color{Red}{\left(\sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^p\right)^{1/p}} $$
$p = 2$ 时的特殊情形
当 $p = 2$ 时，明可夫斯基不等式退化为欧氏空间中的三角不等式：
$$ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2} $$
这等价于向量 $\boldsymbol{a} = (a_1, \ldots, a_n)$与$\boldsymbol{b} = (b_1, \ldots, b_n)$ 满足： $$ \Vert\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\Vert_2 \leq \Vert\boldsymbol{a}\Vert_2 + \Vert\boldsymbol{b}\Vert_2 $$
积分形式
在函数空间中，设 $f(x), g(x)$ 为可测函数，$p \geq 1$，则：
$$ \color{Red}{\left(\int |f(x) + g(x)|^p \thinspace dx\right)^{1/p} \leq \left(\int |f(x)|^p \thinspace dx\right)^{1/p} + \left(\int |g(x)|^p \thinspace dx\right)^{1/p}} $$
即 $L^p$ 范数满足三角不等式： $$ \Vert{}f + g\Vert_{L^p} \leq \Vert{}f\Vert_{L^p} + \Vert{}g\Vert_{L^p} $$
证明思路
明可夫斯基不等式的核心证明依赖 赫尔德不等式 (Hölder's Inequality)。以下是离散形式的证明脉络：
记 $q = \dfrac{p}{p-1}$（即 $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$），则 $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^p &= \sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i| \cdot |a_i + b_i|^{p-1} \newline &\leq \sum_{i=1}^{n} |a_i| \cdot |a_i + b_i|^{p-1} + \sum_{i=1}^{n} |b_i| \cdot |a_i + b_i|^{p-1} \end{aligned} $$ 对以上两项分别应用 赫尔德不等式： $$ \sum_{i=1}^{n} |a_i| \cdot |a_i + b_i|^{p-1} \leq \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^{(p-1)q}\right)^{1/q} $$ 注意到 $(p-1)q = p$，代入并整理得： $$ \sum |a_i + b_i|^p \leq \left[\left(\sum |a_i|^p\right)^{1/p} + \left(\sum |b_i|^p\right)^{1/p}\right] \cdot \left(\sum |a_i + b_i|^p\right)^{1/q} $$ 两边同除 $\left(\sum |a_i + b_i|^p\right)^{1/q}$，即得明可夫斯基不等式。$\square$
[!注记] 从以上推导可以看出，明可夫斯基不等式本质上是由赫尔德不等式"推导"出来的。二者之间的关系如同欧氏空间中的 Cauchy-Schwarz 与三角不等式——前者是"内积估计"，后者是"距离估计"。
逆形式
当 $0 < p < 1$ 时，不等号方向反转：
$$ \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i + b_i|^p\right)^{1/p} \geq \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^p\right)^{1/p} $$
[!注意] 当 $0 < p < 1$ 时，$L^p$ 空间不再是赋范空间（三角不等式不成立），而是准赋范空间 (Quasi-normed Space)。
与赫尔德不等式的关系
| 不等式 | 角色 | 类比 |
|---|---|---|
| 赫尔德不等式 | $L^p$ 空间的内积估计 | 推广的 Cauchy-Schwarz 不等式 |
| 明可夫斯基不等式 | $L^p$ 空间的三角不等式 | 推广的三角不等式 |
二者共同构成 $L^p$ 空间理论的基石：赫尔德不等式 保证了对偶关系，明可夫斯基不等式保证了范数公理。
例题
例：用明可夫斯基不等式证明二维三角不等式
求证： $$ \sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2} $$
证明：取 $p = 2$，$n = 2$，直接代入明可夫斯基不等式的离散形式： $$ \left(\sum_{i=1}^{2} |a_i + b_i|^2\right)^{1/2} \leq \left(\sum_{i=1}^{2} |a_i|^2\right)^{1/2} + \left(\sum_{i=1}^{2} |b_i|^2\right)^{1/2} $$ 即 $$ \sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2} $$ 这恰好是平面上两点间距离的三角不等式：$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}$，$\Vert\overrightarrow{OB}\Vert \leq \Vert\overrightarrow{OA}\Vert + \Vert\overrightarrow{AB}\Vert$。$\square$
[!几何直观] 在二维平面上，向量 $(a_1, a_2)$与$(b_1, b_2)$的和向量的长度不超过两向量长度之和。明可夫斯基不等式将此几何事实推广到$n$维和任意$p \geq 1$。
相关笔记：