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不等式与最值问题
竞赛不等式方法总论
不等式是数学竞赛中出题频率最高、方法最丰富的板块之一。从基础的均值不等式到高端的舒尔不等式，掌握各种不等式的适用场景是竞赛得分的关键。
竞赛不等式核心思路
不等式的本质是比较大小，而竞赛不等式的核心技巧在于：放缩。所有不等式方法归根结底都是"合理放缩"，关键在于找到恰当的放缩方向和力度。
AM-GM 不等式（均值不等式）
最基础也最常用。对于非负实数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$：
$$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$$
等号当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时成立。
均值不等式的竞赛用法
AM-GM 在竞赛中通常不是直接使用，而是进行变形：拆项（将一项拆成几项后使用）、加权（给各项分配不同权重）、多元组合。例如要证 $a^3+b^3+c^3 \ge 3abc$，直接用 AM-GM 即可。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）
$$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2$$
竞赛中最常用的柯西变体是恩格尔形式（分式柯西）：
$$\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{a_i} \ge \frac{(\sum x_i)^2}{\sum a_i}, \quad a_i > 0$$
排序不等式
若 $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n$且$b_1 \le b_2 \le \cdots \le b_n$，则：
$$\sum a_i b_{n+1-i} \le \sum a_i b_{\sigma(i)} \le \sum a_i b_i$$
即"顺序和 ≥ 乱序和 ≥ 逆序和"。
琴生不等式（Jensen）
若 $f$ 是凸函数，则：
$$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) \le \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}$$
若 $f$是凹函数，不等号反向。典型的凸函数有$x^2$（$x>0$ 时）、$e^x$、$\frac{1}{x}$（$x>0$）；典型的凹函数有 $\ln x$、$\sqrt{x}$、$\sin x$（$[0,\pi]$ 上）。
舒尔不等式（Schur）
对于非负实数 $a,b,c$和实数$r$：
$$a^r(a-b)(a-c) + b^r(b-c)(b-a) + c^r(c-a)(c-b) \ge 0$$
$r=1$ 是最常用的形式：$a^3+b^3+c^3+3abc \ge \sum_{sym} a^2b$。
权方和不等式
$$\frac{x_1^{p+1}}{y_1^p} + \frac{x_2^{p+1}}{y_2^p} + \cdots + \frac{x_n^{p+1}}{y_n^p} \ge \frac{(x_1+x_2+\cdots+x_n)^{p+1}}{(y_1+y_2+\cdots+y_n)^p}$$
其中 $x_i, y_i > 0$，$p>0$或$p<-1$。当 $p=1$ 时退化为恩格尔形式。
赫尔德不等式（Hölder）
$$\sum_{i=1}^n a_i b_i \le \left(\sum a_i^p\right)^{1/p} \left(\sum b_i^q\right)^{1/q}, \quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$
伯努利不等式（Bernoulli）
对 $x > -1$：$(1+x)^n \ge 1 + nx$（$n$ 为自然数）。
对实数 $r \ge 1$或$r \le 0$：$(1+x)^r \ge 1+rx$。
不等式的对称性与齐次性分析
核心技术
对称性：不等式在变量轮换或全排列下保持不变。对称不等式往往可利用"不妨设 $a \ge b \ge c$"先定序，再用排序法或切比雪夫不等式。 齐次性：若不等式两边是同次齐次式，可以施加归一化条件（如 $a+b+c=1$或$abc=1$），从而简化处理。
变量代换技巧
三角代换
当表达式中出现 $\sqrt{1-x^2}$型时，令$x=\sin\theta$（或 $x=\cos\theta$）；出现 $1+x^2$型时，令$x=\tan\theta$；出现 $\sqrt{x^2-1}$型时，令$x=\sec\theta$。
示例：证明 $\frac{x}{1+x^2} \le \frac{1}{2}$（$x \in \mathbb{R}$）。令 $x=\tan\theta$，则 $\frac{\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta \le \frac{1}{2}$。
均值代换
已知 $a+b$为定值时，设$a = \frac{S}{2}+t$，$b = \frac{S}{2}-t$。已知 $a+b+c$为定值时，可设$a=\frac{S}{3}+x$, $b=\frac{S}{3}+y$, $c=\frac{S}{3}-x-y$。
比值代换
对于齐次不等式，可以设 $\frac{b}{a}=x$, $\frac{c}{a}=y$ 等，将变量缩减。
增量代换
设 $b=a+x$, $c=b+y$（$x,y \ge 0$）将不等式转化为关于增量的不等式。
局部不等式法（SOS法）
平方和法（Sum of Squares）
SOS 法的核心是将一个不等式变形为若干个完全平方的非负组合： $$F(a,b,c) = \sum S_a(b-c)^2 \ge 0$$ 如果所有 $S_a$非负，不等式成立。但即使某些$S_a$ 为负，只要能证明整体非负即可。
SOS 法推广到 Schur 不等式：当 $r=1$ 时， $$a^3+b^3+c^3+3abc-\sum_{sym}a^2b = \frac{1}{2}\sum (a+b-c)(a-b)^2 \ge 0$$
精选例题
例题 1
题目：已知 $a,b,c>0$且$a+b+c=1$，求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 的最小值。
解析： 由柯西不等式（恩格尔形式）： $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{(1+1+1)^2}{a+b+c} = \frac{9}{1}=9$$
等号当 $a=b=c=\frac{1}{3}$ 时成立。亦可直接用 AM-GM：$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow \sqrt[3]{abc} \le \frac{1}{3}$， $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} \ge 3 \cdot 3 = 9$。
例题 2
题目：对于正实数 $a,b,c$，证明 $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$。
解析（这是著名的 Nesbitt 不等式）：
方法一：令 $x=b+c$, $y=c+a$, $z=a+b$，则 $a=\frac{y+z-x}{2}$ 等，代入左端： $$\frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z} = \frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}-3\right)$$
由 AM-GM，$\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \ge 2$等三项，故$\ge \frac{1}{2}(6-3)=\frac{3}{2}$。
方法二（最简证法）： $$\frac{a}{b+c}+\frac{1}{2} = \frac{2a+b+c}{2(b+c)}$$ 三式相加可转化为熟知的柯西形式直接得证。
等号当 $a=b=c$ 时成立。
例题 3
题目：设 $a,b,c>0$，证明 $a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$。
解析： 这是 Schur 不等式 $r=1$ 的标准形式。直接由 Schur 不等式：
$$a^3+b^3+c^3+3abc \ge \sum_{sym} a^2b = a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b$$
而右端的 $\sum_{sym} a^2b = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$，原式得证。
等号条件：$a=b=c$ 或其中一数为零另外两数相等。
例题 4
题目：已知 $a,b,c$为$\triangle ABC$的三边，证明$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c) \le 3abc$。
解析： 令 $x=b+c-a$, $y=c+a-b$, $z=a+b-c$，则 $x,y,z>0$（三角形存在条件），且 $a=\frac{y+z}{2}$ 等。
代入左端变形处理（利用 $x,y,z$的对称性），最终等价于$x^3+y^3+z^3+3xyz \ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$，即 Schur 不等式。
例题 5
题目：$a,b,c>0$，证明 $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge 1$。
解析： 由权方和不等式或 Hölder 不等式： $$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \ge \frac{(a+b+c)^{3/2}}{\sqrt{\sum a(a^2+8bc)}}$$
展开分母：$\sum a(a^2+8bc)=a^3+b^3+c^3+24abc$。
由均值不等式有 $\frac{a^3+b^3+c^3}{3} \ge abc$，代入化简可证 $\ge 1$。
（完整推导：利用 Hölder 不等式 $(\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}})^2 \cdot \sum a(a^2+8bc) \ge (a+b+c)^3$，然后证明 $(a+b+c)^3 \ge \sum a(a^2+8bc)$即$3\sum a^2b+3\sum ab^2+6abc \ge 8abc+8abc=16abc$，由 AM-GM $a^2b+ab^2 \ge 2a^{3/2}b^{3/2}$ 可证。）
例题 6
题目：$a,b,c \in \mathbb{R}^+$，$a+b+c=3$，求 $\frac{a}{b^3+2}+\frac{b}{c^3+2}+\frac{c}{a^3+2}$ 的最小值。
解析： 利用伯努利不等式或放缩技巧： $$\frac{a}{b^3+2} = \frac{a}{b^3+1+1} \le \frac{a}{3b} \text{ (错误方向！应慎用)}$$
正确做法是利用 $b^3+1+1 \ge 3b$（AM-GM），故 $\frac{a}{b^3+2} \ge \frac{a}{b^3+b^3+1} \ge \cdots$
更简洁：由 AM-GM，$b^3+2=b^3+1+1 \ge 3b$，所以 $\frac{a}{b^3+2} \le \frac{a}{3b}$（方向反了！需要证明的是最小值即下界。）
注意方向
AM-GM 给出 $b^3+2 \ge 3b$，故分母 $\ge 3b$，所以分数 $\le \frac{a}{3b}$。这是上界不是下界！因此此法不适用。正确做法需找其他途径。
正确方法：用 $\frac{a}{b^3+2} = \frac{a}{b^3+1+1} \ge \frac{a}{\frac{b^3+1+1}{?}}$...
实际上考虑 $\frac{a}{b^3+2} = a - \frac{ab^3}{b^3+2} \ge a - \frac{ab^3}{3b} = a - \frac{ab^2}{3}$。
同理，总和 $\ge a+b+c - \frac{1}{3}(ab^2+bc^2+ca^2)$。由已知条件可证 $ab^2+bc^2+ca^2 \le 3$，故总和 $\ge 3-1=2$。
方法总结
不等式证明的常用流程
- 判断对称性与齐次性，必要时归一化
- 尝试均值不等式（AM-GM）或柯西不等式
- 若均值/柯西不够，尝试排序不等式或琴生不等式
- 三元对称不等式首选 Schur + SOS
- 复杂分式型尝试权方和或恩格尔形式
- 必要时使用变量代换（三角、比值、增量）
| 不等式 | 关键特征 | 典型形式 |
|---|---|---|
| AM-GM | 积与和的转换 | $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ |
| Cauchy | 平方和的积 ≥ 积的平方 | 恩格尔形式 |
| Jensen | 凸函数 | $f(\frac{x+y}{2}) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$ |
| Schur | 三元对称 | $r=1$ 标准形式 |
| Hölder | 指数配对的 Cauchy | $p,q$ 共轭 |
Muirhead 不等式（均值控制）
Muirhead 不等式
设 $a_1, a_2, \ldots, a_n > 0$，对两组实数组 $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$与$\beta = (\beta_1, \ldots, \beta_n)$（按降序排列），若 $\alpha$控制$\beta$（majorization，记 $\alpha \succeq \beta$），即 $$\alpha_1 \ge \beta_1,\ \alpha_1+\alpha_2 \ge \beta_1+\beta_2,\ \ldots,\ \sum\alpha_i = \sum\beta_i$$ 则对称平均不等式成立： $$\sum_{\text{sym}} a_1^{\alpha_1}a_2^{\alpha_2}\cdots a_n^{\alpha_n} \ge \sum_{\text{sym}} a_1^{\beta_1}a_2^{\beta_2}\cdots a_n^{\beta_n}$$ 其中 $\sum_{\text{sym}}$ 表示对所有变量的不同排列求和。
Muirhead 控制关系图示
mermaid
graph TD
A["(3,0,0)"] --> B["(2,1,0)"]
B --> C["(1,1,1)"]
A --> D["(2,0,1)"]
D --> C
B --> E["(1,2,0)"]
E --> C
style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
style C fill:#afa,stroke:#333,stroke-width:2px经典应用
例：证明 $a^3+b^3+c^3 \ge a^2b+b^2c+c^2a$（$a,b,c>0$且$a\ge b\ge c$）。
由 $(3,0,0) \succeq (2,1,0)$，Muirhead 直接给出 $\sum_{\text{sym}} a^3 \ge \sum_{\text{sym}} a^2b$，即 $2(a^3+b^3+c^3) \ge a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b$。
Muirhead 与 Schur 的关系
Schur 不等式可由 Muirhead 推出：$a^r(a-b)(a-c)+\cdots \ge 0$等价于$\sum_{\text{sym}} a^{r+2} \ge \sum_{\text{sym}} a^{r+1}b$，即 $(r+2, 0, 0) \succeq (r+1, 1, 0)$，由控制关系显然成立。
Karamata 不等式（控制不等式）
Karamata 不等式
设 $f$是区间$I$ 上的凸函数，$a_1, \ldots, a_n$与$b_1, \ldots, b_n$是$I$上的两组实数。若$(a_1, \ldots, a_n) \succeq (b_1, \ldots, b_n)$（按降序排列后满足前缀和控制关系，且总和相等），则 $$\sum_{i=1}^n f(a_i) \ge \sum_{i=1}^n f(b_i)$$
Karamata 与 Jensen 的关系
Jensen 不等式是 Karamata 的特例：取 $a_1 = x_1$，$a_2 = \cdots = a_n = \bar{x}$（其中 $\bar{x}$是均值），则$(x_1, \bar{x}, \ldots, \bar{x}) \succeq (\bar{x}, \bar{x}, \ldots, \bar{x})$。
应用示例
例：证明对 $a,b,c > 0$且$a+b+c=3$，有 $a^4+b^4+c^4 \ge a^3+b^3+c^3$。
只需证 $(a,b,c)$在控制意义下不弱于自身幂次降低后的某种分布。具体地，若$a \ge b \ge c$，则 $(a,b,c) \succeq (a, b, c)$平凡，但当$f(x) = x^4 - x^3$在$[1, +\infty)$ 上凸时，由 Karamata 即得。
Maclaurin 不等式与 Newton 不等式
Maclaurin 不等式
对正实数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，定义第 $k$个初等对称平均$S_k = \dfrac{e_k}{\binom{n}{k}}$，其中 $e_k$是第$k$ 个初等对称多项式。则 $$S_1 \ge S_2^{1/2} \ge S_3^{1/3} \ge \cdots \ge S_n^{1/n}$$
Newton 不等式
对正实数 $a_1, \ldots, a_n$，初等对称多项式满足 $$S_k^2 \ge S_{k-1} \cdot S_{k+1}$$ 即 $e_k^2 \ge \dfrac{(k+1)(n-k+1)}{k(n-k)} e_{k-1} e_{k+1}$
这给出了 Maclaurin 不等式的基础——序列 $\lbrace S_k^{1/k}\rbrace $ 单调递减。
例：对 $a,b,c>0$，证明 $\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^2 \ge \left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)\negthinspace\left(\dfrac{abc}{1}\right)$，即 $S_2^2 \ge S_1 S_3$，由 Newton 不等式 $k=2$ 即得。
加权幂平均不等式
加权幂平均
设 $a_i > 0$，权重 $w_i > 0$且$\sum w_i = 1$。对实数 $r$，加权幂平均定义为 $M_r = \left(\sum w_i a_i^r\right)^{1/r}$（$r\neq 0$），$M_0 = \prod a_i^{w_i}$（加权几何平均）。则 $r > s$时$M_r \ge M_s$。
特例：
- $r=1,\ s=0$：加权 AM-GM
- $r=2,\ s=1$：$M_2 \ge M_1$ 即平方平均 ≥ 算术平均
- $r=1,\ s=-1$：$M_1 \ge M_{-1}$ 即算术平均 ≥ 调和平均
- $r\to +\infty$：$M_r \to \max\lbrace a_i\rbrace $
- $r\to -\infty$：$M_r \to \min\lbrace a_i\rbrace $
uvw 方法（pqr 方法）
uvw 方法核心原理
设 $u = a+b+c$，$v^2 = ab+bc+ca$，$w^3 = abc$。对于三元 $n$次齐次对称不等式$F(a,b,c) \ge 0$：
- 若 $F$关于$w^3$的次数$\le 2$，则不等式成立的充要条件是验证 $(a,b,c)$ 中有两个变量相等。
- 这是因为 $F$可表为$F(u, v^2, w^3)$的形式，当$u, v^2$ 固定时，$w^3$在$a=b$或某变量为$0$ 时取到极值。
uvw 方法操作步骤
- 判断类型：确认不等式为三元对称齐次式。
- 消元：将不等式用 $u, v^2, w^3$ 表示。
- 降次：若 $w^3$的次数$\le 2$，转化为关于 $w^3$ 的二次不等式。
- 验证：在 $b=c$和$c=0$ 两种边界情形下验证不等式。
uvw 方法示例
例：证明 $a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$（$a,b,c \ge 0$）。
由 uvw 法，只需验证 $b=c$情形。设$b=c=t$，$a=s$，不等式化为 $$s^4 + 2t^4 \ge s t^2(s+2t)$$ 即 $s^4 - s^2 t^2 - 2st^3 + 2t^4 \ge 0$。令 $x = s/t$，得 $x^4 - x^2 - 2x + 2 \ge 0$。
因式分解：$x^4 - x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2(x^2+2x+2) \ge 0$，成立。
混合变量法（Smoothing Method / Equal Variable Method）
混合变量法原理
对于对称不等式 $F(a_1, a_2, \ldots, a_n) \ge 0$，若能证明 $F$ 在"将两个变量替换为它们的某种平均（算术/几何/某种特殊组合）"后不增（或不减），则反复操作可将所有变量"光滑化"为相等情形，最终只需验证所有变量相等的边界情形。
混合变量法操作步骤
- 识别对称性：确认不等式关于所有变量对称。
- 选择混合方式：通常取两个变量 $a_i, a_j$，将它们替换为 $a_i+a_j$ 的某种分解。
- 证明单调性：证明替换后 $F$ 不增（或不减）。
- 归纳边界：将所有变量光滑化到相等，验证 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时不等式成立。
混合变量法与 uvw 方法关系
uvw 方法是混合变量法的特例：在三元对称齐次不等式中，固定 $u, v^2$，让 $w^3$ 变化相当于混合两个变量使其相等。
Schur 不等式深化与推广
Schur 不等式的多种形式
Schur 不等式 $r=1$：$a^3+b^3+c^3+3abc \ge \sum_{\text{sym}} a^2b$
Schur 不等式 $r=2$：$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge \sum_{\text{sym}} a^3b$
Schur 不等式一般形式：$\sum_{\text{cyc}} a^r(a-b)(a-c) \ge 0$（$a,b,c \ge 0$，$r \ge 0$）
Schur 不等式的 SOS 分解
Schur 的 SOS 表示
$$\sum_{\text{cyc}} a^r(a-b)(a-c) = \frac{1}{2}\sum_{\text{cyc}}(a-b)\left[a^r(a-b) - c^r(c-b)\right]$$ 当 $r$ 为奇数时可进一步分解为 $$\frac{1}{2}\sum_{\text{cyc}} (a-b)^2 \sum_{k=0}^{r-1} a^k b^{r-1-k} \cdot g(a,b,c)$$
Schur 的分数次推广
对 $r \in \mathbb{R}^+$，Schur 不等式仍成立。常见分数次形式：
- $r = \tfrac{1}{2}$：$\sum \sqrt{a}(a-b)(a-c) \ge 0$
- $r = -1$：$\sum \frac{(a-b)(a-c)}{a} \ge 0$（即 $\sum \frac{a^2-bc}{a} \ge 0$）
Schur 与 Jensen 的混合
Schur 与 Jensen 组合
处理三元分式对称不等式时，常见组合策略：
- 用 Schur 降次（消去高阶项）
- 用 Jensen（凸函数）转化分式部分
- 用 uvw 法判定边界
SOS-Schur 分解技巧
一般三元对称多项式的 SOS 分解
任一三元 $n$次对称多项式$f(a,b,c)$ 可写为：
$$f(a,b,c) = S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 + S_{ab}(a-b)^2(c-a)^2 + \cdots$$
其中 $S_a, S_b, S_c, S_{ab}, \ldots$是$a, b, c$ 的对称多项式，称为 SOS 系数。
SOS-Schur 组合判定
SOS-Schur 方法
若 $S_a, S_b, S_c \ge 0$，则 $f \ge 0$； 若不全是非负，但有 $S_a + S_b + S_c \ge 0$且 Schur 部分非负，则$f \ge 0$。
具体地，若 $f$可分解为$f = S_a(b-c)^2 + S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2$且$\min\lbrace S_a, S_b, S_c\rbrace \ge 0$ 即可。否则，需要借助 Schur 部分补足。
经典分解：
$$a^3+b^3+c^3+3abc-\sum_{\text{sym}}a^2b = \frac{1}{2}(a+b-c)(a-b)^2 + \frac{1}{2}(b+c-a)(b-c)^2 + \frac{1}{2}(c+a-b)(c-a)^2$$
当 $a,b,c$ 是三角形三边时，$a+b-c, b+c-a, c+a-b \ge 0$，故不等式成立。
Ravi 代换（三角形不等式的标准化）
Ravi 代换
对于 $\triangle ABC$三边$a, b, c$ 满足三角不等式，令 $$a = y+z,\quad b = z+x,\quad c = x+y \quad (x, y, z > 0)$$ 这一变换将三角形条件转化为 $x, y, z > 0$ 的代数条件，使许多三角形不等式化为标准对称不等式。
应用示例
例：对 $\triangle ABC$三边$a, b, c$，证明 $a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)$。
Ravi 代换：$a = y+z$, $b = z+x$, $c = x+y$。不等式化为 $$(y+z)^2+(z+x)^2+(x+y)^2 < 2[(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)+(x+y)(y+z)]$$ 展开整理后得 $0 < 4(xy+yz+zx)$，对 $x,y,z>0$ 显然成立。
重要竞赛不等式集锦
权方和不等式（分式 Hölder）
$$\sum_{i=1}^n \frac{a_i^r}{b_i^s} \ge \frac{\left(\sum a_i\right)^r}{n^{r-s-1}\left(\sum b_i\right)^s}$$ 其中 $r \ge s+1 > 0$，$a_i, b_i > 0$。
Chebyshev 不等式（和的乘积）
若 $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n$且$b_1 \le b_2 \le \cdots \le b_n$，则 $$\frac{1}{n}\sum a_i b_i \ge \left(\frac{1}{n}\sum a_i\right)\negthinspace\left(\frac{1}{n}\sum b_i\right)$$
Radon 不等式
$$\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{m+1}}{b_i^m} \ge \frac{\left(\sum a_i\right)^{m+1}}{\left(\sum b_i\right)^m}, \quad a_i, b_i > 0,\ m \ge 0$$
$m=1$ 即为 Cauchy-Schwarz 恩格尔形式。
Vasile 不等式
$$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}, \quad a,b,c>0$$
不等式的极限方法
Stolz-Cesaro 定理
Stolz 定理
若 $\lbrace b_n\rbrace $严格单调递增趋于$+\infty$，且 $\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L$，则 $\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = L$。
这是离散版 L'Hôpital 法则，在数列不等式极限分析中极为有用。
凹凸函数迭代法
若 $f$是凸函数，序列$x_{n+1} = f(x_n)$ 的极限分析常用 Jensen 不等式。
高级不等式题目精选
高级题 1
题目（IMO 2001 短期）：设 $a,b,c>0$，$abc=1$，证明 $$\frac{a^3-1}{a^2+a+1}+\frac{b^3-1}{b^2+b+1}+\frac{c^3-1}{c^2+c+1}\geq 0$$
解析：注意 $\dfrac{a^3-1}{a^2+a+1} = a-1$。原不等式等价于 $a+b+c \ge 3$，由 AM-GM 得证。
高级题 2
题目：设 $a,b,c>0$且$a+b+c=1$，证明 $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab} \le 2$。
解析：由 $a+bc = a(a+b+c)+bc = a^2+ab+ac+bc = (a+b)(a+c)$，故 $$\sqrt{a+bc} = \sqrt{(a+b)(a+c)} \le \frac{(a+b)+(a+c)}{2} = a + \frac{b+c}{2}$$ 三式相加得 $\le a+b+c + \frac{a+b+c}{2} = \frac{3}{2} < 2$。此证法给出更强估计。
高级题 3
题目：设 $x, y, z > 0$且$x+y+z = 1$，求 $\dfrac{xy}{x+y} + \dfrac{yz}{y+z} + \dfrac{zx}{z+x}$ 的最大值。
解析：由 $\dfrac{xy}{x+y} \le \dfrac{x+y}{4}$，求和得 $\le \dfrac{2(x+y+z)}{4} = \dfrac{1}{2}$。
等号当 $x=y=z=\dfrac{1}{3}$时成立，最大值为$\dfrac{1}{2}$。
高级题 4
题目（Schur 强化）：设 $a,b,c \ge 0$且$a+b+c=3$，证明 $$a^4+b^4+c^4+abc \ge a^3+b^3+c^3+1$$
解析：由 uvw 法只需验证 $b=c$。设 $b=c=t$，$a=3-2t$，$t\in[0,3/2]$。代入整理为关于 $t$的多项式不等式，可因式分解为$(t-1)^2 \cdot g(t) \ge 0$。
高级题 5
题目（ISL 2001）：设 $a,b,c>0$，$abc=1$，证明 $$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)} \ge \frac{3}{2}$$
解析：用 Cauchy-Schwarz 恩格尔形式： $$\sum \frac{1}{a^3(b+c)} = \sum \frac{(1/a)^2}{a(b+c)} \ge \frac{(\sum 1/a)^2}{\sum a(b+c)}$$
由 $abc=1$，$\sum 1/a = ab+bc+ca$。分母 $\sum a(b+c) = 2(ab+bc+ca)$。故 $$\ge \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)} = \frac{ab+bc+ca}{2} \ge \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2} = \frac{3}{2}$$
不等式与组合数论联系
与数论的联系
许多数论不等式（如 数论不等式与估计）依赖于代数不等式工具。例如：
- $\tau(n) \le 2\sqrt{n}$ 用 Cauchy-Schwarz
- $n!$ 的 Stirling 公式用 Jensen + 积分
- 素数定理中的 Chebyshev 估计用 Abel 求和 + Bernoulli
方法总结表（扩充版）
| 不等式 | 关键特征 | 典型形式 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| AM-GM | 积与和的转换 | $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ | 基础放缩 |
| Cauchy-Schwarz | 平方和的积 ≥ 积的平方 | 恩格尔形式 | 分式放缩 |
| Jensen | 凸函数 | $f(\frac{\sum x_i}{n}) \le \frac{\sum f(x_i)}{n}$ | 多元凸组合 |
| Schur | 三元对称 | $r=1$ 标准形式 | 三元高次对称 |
| Hölder | 指数配对 | $p,q$ 共轭 | 乘积型 |
| Muirhead | 对称均值控制 | $\sum_{\text{sym}} a^\alpha \ge \sum_{\text{sym}} a^\beta$ | 对称多项式 |
| Karamata | 凸函数 + 控制 | $\sum f(a_i) \ge \sum f(b_i)$ | 分布对比 |
| uvw | 三元降次 | 化为 $b=c$ 验证 | 三元对称齐次 |
| 混合变量法 | 光滑化 | 边界均匀化 | 对称高维 |
| Maclaurin | 初等对称平均 | $S_1 \ge S_2^{1/2} \ge \cdots$ | 对称均值递降 |
| Newton | 相邻对称多项式 | $e_k^2 \ge e_{k-1} e_{k+1}$ | 实根判定 |
| 加权幂平均 | $M_r$单调 | $r \uparrow \Rightarrow M_r \uparrow$ | 一般幂比较 |
竞赛备战清单
一试/二试/CMO/IMO 级别不等式
- 一试：AM-GM、Cauchy、Jensen、排序、权方和
- 二试：Schur、Hölder、SOS 法、Ravi 代换、uvw 入门
- CMO/IMO：Muirhead、Karamata、混合变量法、SOS-Schur 组合、uvw 高级应用
- TST/Putnam：Newton 不等式、Maclaurin、高级对称多项式理论、Stolz 极限法