$n^a$ 的求和公式及推导

有限和记号

记 $S_a(n) = \sum_{k=1}^{n} k^a = 1^a + 2^a + \cdots + n^a$，其中 $a$ 为非负整数。

常用幂和公式

$a$	$S_a(n) = \sum_{k=1}^{n} k^a$
$0$	$n$
$1$	$\dfrac{n(n+1)}{2}$
$2$	$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$3$	$\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$
$4$	$\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
$5$	$\dfrac{n^2 (n+1)^2 (2n^2 + 2n - 1)}{12}$
$6$	$\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1)}{42}$
$7$	$\dfrac{n^2 (n+1)^2 (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2)}{24}$

一般公式 (Faulhaber 公式)

设伯努利数 $B_j$ 定义为： $$ \frac{t}{e^t - 1} = \sum_{j=0}^{\infty} B_j \frac{t^j}{j!}, $$ 且约定 $B_1 = +\dfrac{1}{2}$，则前几项为： $B_0 = 1,\ B_1 = \dfrac{1}{2},\ B_2 = \dfrac{1}{6},\ B_3 = 0,\ B_4 = -\dfrac{1}{30},\ B_5 = 0,\ B_6 = \dfrac{1}{42},\ B_7 = 0,\ B_8 = -\dfrac{1}{30},\ \dots$

对于 $a \geq 1$，有 $$ \sum_{k=1}^{n} k^a = \frac{1}{a+1} \sum_{j=0}^{a} \binom{a+1}{j} B_j \thinspace n^{a+1-j}. $$

注：若采用现代常用约定 $B_1 = -\dfrac{1}{2}$，则求和上限需改为 $n-1$或在公式中添加$(-1)^j$ 因子。

推导方法

1. 裂项相消法（递推法）

利用二项式展开： $$ (k+1)^{a+1} - k^{a+1} = \sum_{i=0}^{a} \binom{a+1}{i} k^i. $$ 对 $k$从$1$到$n$ 求和，左边裂项相消： $$ \sum_{k=1}^{n} \left[(k+1)^{a+1} - k^{a+1}\right] = (n+1)^{a+1} - 1. $$ 右边为 $\sum_{i=0}^{a} \binom{a+1}{i} S_i(n)$，于是得到递推关系： $$ (n+1)^{a+1} - 1 = \sum_{i=0}^{a} \binom{a+1}{i} S_i(n). $$ 由此可从低次和推出高次和。

推导 $S_2(n)$ 示例： 取 $a=2$，有 $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$，求和： $$ (n+1)^3 - 1 = 3\sum k^2 + 3\sum k + n. $$ 已知 $\sum k = \dfrac{n(n+1)}{2}$，代入得： $$ n^3 + 3n^2 + 3n = 3S_2(n) + \frac{3n(n+1)}{2} + n. $$ 整理可解出 $S_2(n) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

推导 $S_3(n)$ 示例： 取 $a=3$，$(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$，求和： $$ (n+1)^4 - 1 = 4S_3(n) + 6S_2(n) + 4S_1(n) + n. $$ 代入已知的 $S_1, S_2$，可解得 $S_3(n) = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$.

2. 待定系数法

因为 $S_a(n)$是$n$的$a+1$次多项式，且常数项为$0$，可设 $$ S_a(n) = c_{a+1} n^{a+1} + c_a n^a + \cdots + c_1 n. $$ 取 $a+1$个不同的$n$值（如$n=1,2,\dots,a+1$）代入求出具体和，解线性方程组确定系数。

3. 数学归纳法

利用递推关系或已知公式，直接验证 $n=1$成立，并假设$n=m$时成立，证明$n=m+1$ 时成立。归纳步骤中需用到恒等变形，如平方和归纳： 假设 $S_2(m) = \dfrac{m(m+1)(2m+1)}{6}$，则 $$ S_2(m+1) = S_2(m) + (m+1)^2 = \cdots = \frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6}. $$

延伸阅读

求和式的计算方式 | 求积式的计算方式 | 混合大型运算的计算方式 | 数学归纳法