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模拟卷一·二试
考试信息
- 考试时间：180 分钟
- 满分：180 分
- 试卷结构：4 道解答题，每题 45 分
- 覆盖版块：代数、几何、数论、组合
- 难度：CMO / 省队级别
第 1 题（代数，45 分）
设 $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$为实系数多项式，已知$f$的四个根均为实数且成等差数列。若$f(1) = 10$，$f(2) = 20$，$f(3) = 30$，求 $f(4)$ 的所有可能值。
第 2 题（几何，45 分）
在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB > AC$，$O$ 为外心，$H$ 为垂心。$D$为$BC$ 中点，$E$为$AD$中点。直线$OH$交$BC$于$F$。证明：$EF \perp BC$当且仅当$\angle BAC = 60°$。
第 3 题（数论，45 分）
求所有正整数对 $(m, n)$，使得 $m^2 + n^2 = 2025(m + n)$。
第 4 题（组合，45 分）
平面上给定 2026 个点，任意三点不共线。证明：可以将这些点用线段连接成一条不自交的闭合折线（即一个简单多边形），使得所有 2026 个点都是折线的顶点。