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数列与微分方程核心方法：原理、推导及线性代数本质
本文系统梳理不动点法、特征根法、桥函数法、积分因子法、分部积分法的使用、推导及其内在联系，突出线性代数的统一视角，并将离散方法与连续方法进行类比。
一、不动点法 (数列递推)
1. 适用类型
- 一阶分式线性递推：$a_{n+1} = \dfrac{p a_n + q}{r a_n + s}$，$ps - qr \neq 0$。
- 某些非线性递推可通过不动点转化为线性或易求形式。
2. 方法步骤
- 解不动点方程 $x = \dfrac{px + q}{rx + s}$，得不动点 $\lambda_1, \lambda_2$。
- 情况：
- 两不等实根 $\lambda_1 \neq \lambda_2$：递推化为 $\dfrac{a_{n+1} - \lambda_1}{a_{n+1} - \lambda_2} = k \cdot \dfrac{a_n - \lambda_1}{a_n - \lambda_2}$，成等比数列。
- 重根 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$：取倒数 $\dfrac{1}{a_{n+1} - \lambda} = \dfrac{1}{a_n - \lambda} + c$，成等差数列。
- 求出 $\lbrace a_n\rbrace $ 通项。
3. 推导示例
设 $a_{n+1} = \dfrac{2a_n + 3}{a_n + 4}$，不动点 $x = \dfrac{2x+3}{x+4}$→$x^2+2x-3=0$→$x_1=1, x_2=-3$。 分别减不动点： $$ a_{n+1}-1 = \frac{a_n-1}{a_n+4},\quad a_{n+1}+3 = \frac{5(a_n+3)}{a_n+4}. $$ 两式相除得 $\dfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+3} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{a_n-1}{a_n+3}$，故 $\left\lbrace \dfrac{a_n-1}{a_n+3} \right\rbrace $是以$\dfrac{1}{5}$ 为公比的等比数列，通项可解。
线性代数原理
分式线性递推等价于二维射影变换。令 $\mathbf{v}_n = \begin{pmatrix} x_n \newline y_n \end{pmatrix}$满足$a_n = \dfrac{x_n}{y_n}$，则 $$\begin{pmatrix} x_{n+1} \newline y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & q \newline r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \newline y_n \end{pmatrix}.$$ 矩阵 $M = \begin{pmatrix} p & q \newline r & s \end{pmatrix}$的特征值即不动点对应比例系数。相除构造出的等比数列本质上是在求$M$ 的特征向量方向上的投影比，从而将非线性递推线性化。
二、特征根法 (常系数线性递推)
1. 适用类型
$k$ 阶齐次线性递推：$a_{n+k} = c_1 a_{n+k-1} + c_2 a_{n+k-2} + \cdots + c_k a_n$。
2. 方法与推导
设解形如 $a_n = \lambda^n$，代入得特征方程： $$ \lambda^k - c_1 \lambda^{k-1} - c_2 \lambda^{k-2} - \cdots - c_k = 0. $$
- 单实根 $\lambda$：对应通解项 $A \lambda^n$。
- $m$重实根$\lambda$：对应 $(A_0 + A_1 n + \cdots + A_{m-1} n^{m-1}) \lambda^n$。
- 共轭复根 $re^{\pm i\theta}$：对应 $r^n (B_1 \cos n\theta + B_2 \sin n\theta)$。
与线性常微分方程的平行
特征根法与常系数线性微分方程 $y^{(k)} = c_1 y^{(k-1)} + \cdots + c_k y$的解法完全平行：设$y = e^{\lambda x}$得特征方程，单根给$e^{\lambda x}$，重根给 $x^m e^{\lambda x}$，复根给 $e^{\alpha x}\cos\beta x$等。离散的$n^k \lambda^n$对应连续的$x^k e^{\lambda x}$。
3. 线性代数本质：矩阵对角化
将 $k$ 阶递推写为一阶向量递推： $$ \mathbf{X}_n = \begin{pmatrix} a_{n+k-1} \newline a_{n+k-2} \newline \vdots \newline a_n \end{pmatrix},\quad \mathbf{X}_{n+1} = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_k \newline 1 & 0 & \cdots & 0 \newline 0 & 1 & \cdots & 0 \newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \mathbf{X}_n = C \mathbf{X}_n. $$ 矩阵 $C$称为友矩阵，其特征多项式正是$\lambda^k - c_1 \lambda^{k-1} - \cdots - c_k$。 若 $C$可对角化$C = PDP^{-1}$，则 $\mathbf{X}_n = PD^n P^{-1} \mathbf{X}_0$，$D$的对角元为特征值，从而$a_n$ 为特征值的线性组合。重根情形对应若尔当标准型，产生多项式因子。
4. 非齐次情况
使用待定系数法或常数变易法，与微分方程完全平行。
三、桥函数法 (代换法与线性化)
“桥函数”指通过一个映射 $\varphi$，将非线性递推转化为线性递推的共轭方法。
若存在可逆函数 $\varphi$，使得新数列 $b_n = \varphi(a_n)$满足$b_{n+1} = k b_n + d$，则原递推可解。这等价于寻找 $f$ 的拓扑共轭： $$ \varphi(f(x)) = k \varphi(x) + d. $$
常见桥函数：
| 原递推形式 | 桥函数 $\varphi$ | 转化后 |
|---|---|---|
| $a_{n+1} = a_n^p$ | $\ln x$ | $b_{n+1} = p b_n$ |
| $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{c a_n + d}$ | $\dfrac{1}{x}$ | $b_{n+1} = d b_n + c$ |
| $a_{n+1} = \sqrt{c a_n + d}$ | 三角或双曲代换 | 倍角公式 |
| $a_{n+1} = \dfrac{p a_n + q}{r a_n + s}$ | 分式线性变换$\dfrac{x - \lambda_1}{x - \lambda_2}$ | $b_{n+1} = k b_n$ |
线性代数视角
桥函数本质是找到一个坐标系，使非线性映射 $f$表现为线性映射（即$\varphi \circ f \circ \varphi^{-1}$ 为线性函数）。这与特征根法中通过特征向量基底将矩阵对角化思路一致。
四、积分因子法 (微分方程) 及其离散类比
1. 一阶线性微分方程
对于 $y' + P(x) y = Q(x)$，积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\thinspace{}dx}$，则 $$ (\mu y)' = \mu Q \thickspace\Longrightarrow\thickspace y = \frac{1}{\mu} \int \mu Q \thinspace{}dx. $$
推导：希望左端变成某函数导数，即要求 $\mu y' + \mu P y = (\mu y)' = \mu y' + \mu' y$，故 $\mu' = \mu P$，解得 $\mu = e^{\int P dx}$。
2. 离散类比：求和因子
一阶线性递推：$a_{n+1} = p_n a_n + q_n$。 改写为 $a_{n+1} - p_n a_n = q_n$。寻找求和因子 $\mu_n$，使左端可写成差分形式。设 $\mu_{n+1} a_{n+1} - \mu_n p_n a_n = \Delta(\mu_n a_n)$，应满足 $\mu_n = \mu_{n+1} p_n$，即 $\mu_{n} = \mu_1 \prod_{k=1}^{n-1} \frac{1}{p_k}$。取 $\mu_n = \prod_{k=1}^{n-1} p_k^{-1}$，则原递推化为 $$ \Delta(\mu_n a_n) = \mu_{n+1} q_n, $$ 两边求和即得通解。这与积分因子法结构完全相同：乘积求导变成差分乘积，积分因子变为离散乘积。
统一思想
将“非恰当”方程乘上一个因子化为“恰当”形式（全导数/全差分），背后是一阶线性算子的可积性。
五、分部积分法 (连续) 与分部求和法 (离散)
1. 分部积分公式
由 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边积分： $$ \int u \thinspace{}dv = uv - \int v \thinspace{}du. $$ 常用于被积函数为两类函数乘积，且 $\int v\thinspace{}du$ 更易求的情形。
策略：按照“反对幂指三”（反三角函数、对数、幂、指数、三角）优先选为 $u$。
2. 离散类比：阿贝尔分部求和公式 (Abel变换)
设 $\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$，则 $$ \sum_{k=m}^{n} a_k \Delta b_k = (a_{n+1} b_{n+1} - a_m b_m) - \sum_{k=m}^{n} b_{k+1} \Delta a_k. $$ 对应关系：积分 $\int$↔ 求和$\sum$，微分 $du$↔ 差分$\Delta b_k$，$u$↔$a_k$，$v$↔$b_k$。 阿贝尔变换是级数收敛性判别（Dirichlet、Abel判别法）和数列求和的重要工具，体现了离散与连续的深刻平行。
3. 表格积分法 (分部积分的快速技巧)
当需要多次分部积分（例如 $\int x^n e^{ax} \thinspace{}dx$）时，列 $u$ 逐次求导，$dv$ 逐次积分，交叉相乘并加符号。
表格积分法操作规则
- 左列 D：对 $u$ 反复求导直至为 0；
- 右列 I：对 $dv$ 反复积分，行数与 D 列匹配（比 D 列多一行，用于最后一项积分）；
- 符号列：从
+开始交替+、-、+、-、…； - 结果：沿斜线相乘，符号对应的项相加，最后一项是 $\pm\int (\text{D末项} \cdot \text{I末项})\thinspace{}dx$（若 D 末项为 0 则此项消失）。
示例：$\int x^2 e^x \thinspace{}dx$，取 $u=x^2$, $dv=e^x dx$。
| 求导列 (D) | 积分列 (I) | 符号 |
|---|---|---|
| $x^2$ | $e^x$ | $+$ |
| $2x$ | $e^x$ | $-$ |
| $2$ | $e^x$ | $+$ |
| $0$ | $e^x$ | $-$ |
结果： $$ \begin{aligned} \int x^2 e^x \thinspace{}dx &= + (x^2)(e^x) - (2x)(e^x) + (2)(e^x) - \int 0 \cdot e^x \thinspace{}dx \newline &= x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C. \end{aligned} $$
对数函数的表格处理
若 $u=\ln x$ 无法求导至 0，可将其放入 D 列，$dv$ 放入 I 列，直至 I 列出现与原积分相同的形式，再移项求解（递归积分）。这与分部积分的循环技巧一致。
六、方法总览与线性代数统一
| 方法 | 适用对象 | 核心操作 | 线性代数本质 |
|---|---|---|---|
| 不动点法 | 一阶分式递推 | 寻找不动点，构造比例 | 射影变换下的特征向量投影 |
| 特征根法 | 高阶线性递推 | 解特征方程，指数叠加 | 友矩阵对角化/若尔当标准型 |
| 桥函数法 | 可线性化的非线性递推 | 寻找共轭映射 | 非线性映射的线性共轭 |
| 积分因子法 | 一阶线性微分方程 | 乘因子化全导数 | 一阶线性算子的恰当化 |
| 分部积分法 | 乘积函数积分 | 交换微分与积分 | 伴随算子（离散：Abel变换） |
共同灵魂
这些方法共同的灵魂是：通过适当的变换（基底变换、映射共轭、乘因子），将困难问题转化为简单或可解的标准形式。 线性代数提供了理解这些变换的最清晰语言——特征值、特征向量、对角化、若尔当标准型，以及线性算子的分解。
七、例题精选与详解
7.1 不动点法
例1（两不等实根） 已知数列 $\lbrace a_n\rbrace $满足$a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n+3}{a_n+4}$，求通项公式。
- 详解
第一步：求不动点
解方程 $x=\dfrac{2x+3}{x+4}$，去分母得 $x(x+4)=2x+3$，整理为 $x^2+2x-3=0$，
解得 $x_1=1,\thickspace{}x_2=-3$。
第二步：构造等比形式
分别用 $a_{n+1}$和$a_n$ 减去两个不动点： $$ a_{n+1}-1=\frac{2a_n+3}{a_n+4}-1=\frac{a_n-1}{a_n+4}, $$ $$ a_{n+1}+3=\frac{2a_n+3}{a_n+4}+3=\frac{5(a_n+3)}{a_n+4}. $$ 两式相除： $$ \frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+3}=\frac{1}{5}\cdot\frac{a_n-1}{a_n+3}. $$ 因此数列 $\left\lbrace \dfrac{a_n-1}{a_n+3}\right\rbrace $是首项为$\dfrac{a_1-1}{a_1+3}=\dfrac{2-1}{2+3}=\dfrac{1}{5}$，公比为 $\dfrac{1}{5}$ 的等比数列。
第三步：求通项
$$ \frac{a_n-1}{a_n+3}=\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{5}\right)^n. $$ 解出 $a_n$： $$ a_n-1=\left(\frac{1}{5}\right)^n(a_n+3) \thickspace\Longrightarrow\thickspace a_n\left[1-\left(\frac{1}{5}\right)^n\right]=1+3\left(\frac{1}{5}\right)^n, $$ $$ a_n=\frac{1+3\cdot5^{-n}}{1-5^{-n}}=\frac{5^n+3}{5^n-1}. $$
例2（重根情形） 已知 $a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{3a_n-1}{a_n+1}$，求通项公式。
- 详解
第一步：求不动点
解 $x=\dfrac{3x-1}{x+1}$，得 $x^2+x=3x-1\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}x^2-2x+1=0$，
重根 $\lambda=1$。
第二步：构造等差数列
$$ a_{n+1}-1=\frac{3a_n-1}{a_n+1}-1=\frac{2a_n-2}{a_n+1}=\frac{2(a_n-1)}{a_n+1}. $$ 取倒数： $$ \frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{a_n+1}{2(a_n-1)}=\frac{(a_n-1)+2}{2(a_n-1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_n-1}. $$ 即 $\dfrac{1}{a_{n+1}-1}-\dfrac{1}{a_n-1}=\dfrac{1}{2}$。
第三步：求解
数列 $\left\lbrace \dfrac{1}{a_n-1}\right\rbrace $是等差数列，首项$\dfrac{1}{a_1-1}=1$，公差 $\dfrac12$。
$$ \frac{1}{a_n-1}=1+(n-1)\cdot\frac12=\frac{n+1}{2}, $$ 故 $$ a_n=1+\frac{2}{n+1}=\frac{n+3}{n+1}. $$
7.2 特征根法
例3（单实根：斐波那契数列）
数列 $\lbrace a_n\rbrace $：$a_1=1,\thickspace{}a_2=1,\thickspace{}a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，求通项 $a_n$。
- 详解
特征方程 $\lambda^2-\lambda-1=0$，解得 $\lambda_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$。
通解 $a_n = A\lambda_1^n + B\lambda_2^n$。
代入初值： $$ \begin{cases} A\lambda_1 + B\lambda_2 = 1,\newline A\lambda_1^2 + B\lambda_2^2 = 1. \end{cases} $$ 解得 $A=\dfrac{1}{\sqrt5},\thickspace{}B=-\dfrac{1}{\sqrt5}$。故 $$ a_n = \frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]. $$
例4（重实根）
$a_1=0,\thickspace{}a_2=1,\thickspace{}a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$，求通项。
- 详解
特征方程 $\lambda^2-4\lambda+4=0$，得重根 $\lambda=2$。
通解 $a_n=(A+Bn)\cdot2^n$。
代入初值： $$ \begin{cases} (A+B)\cdot2 = 0,\newline (A+2B)\cdot4 = 1. \end{cases} \Longrightarrow A=-B,\thickspace4(-B+2B)=1 \Rightarrow B=\frac14,\thickspace{}A=-\frac14. $$ 故 $$ a_n = \frac{n-1}{4}\cdot2^n = (n-1)2^{n-2}. $$
例5（共轭复根）
$a_1=1,\thickspace{}a_2=1,\thickspace{}a_{n+2}=2a_{n+1}-2a_n$，求通项。
- 详解
特征方程 $\lambda^2-2\lambda+2=0$，得 $\lambda=1\pm i = \sqrt2\thinspace{}e^{\pm i\frac\pi4}$。
通解 $a_n = (\sqrt2)^n\thinspace(C_1\cos\frac{n\pi}{4}+C_2\sin\frac{n\pi}{4})$。
代入初值： $$ \begin{aligned} n=1&:\thickspace\sqrt2\thinspace(C_1\cos\frac\pi4+C_2\sin\frac\pi4)=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}C_1+\frac{\sqrt2}{2}C_2\right)=C_1+C_2=1,\newline n=2&:\thickspace2\thinspace(C_1\cos\frac\pi2+C_2\sin\frac\pi2)=2(0+C_2)=2C_2=1 \thickspace\Longrightarrow\thickspace C_2=\frac12. \end{aligned} $$ 则 $C_1=\frac12$。故 $$ a_n = (\sqrt2)^n\left(\frac12\cos\frac{n\pi}{4}+\frac12\sin\frac{n\pi}{4}\right) = 2^{\frac n2 -1}\left(\cos\frac{n\pi}{4}+\sin\frac{n\pi}{4}\right). $$
7.3 桥函数法
例6（倒数代换）
数列 $\lbrace a_n\rbrace $：$a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2a_n+1}$，求通项。
- 详解
两边取倒数（易见 $a_n\neq0$）： $$ \frac1{a_{n+1}} = \frac{2a_n+1}{a_n} = 2 + \frac1{a_n}. $$ 令 $b_n=\dfrac1{a_n}$，则 $b_1=1$，$b_{n+1}=b_n+2$。
$\lbrace b_n\rbrace $是首项$1$、公差 $2$的等差数列，故$b_n=1+2(n-1)=2n-1$。
于是 $a_n = \dfrac1{2n-1}$。
例7（三角代换）
数列 $\lbrace a_n\rbrace $：$a_1=\dfrac12$，$a_{n+1}=2a_n^2-1$，求通项。
- 详解
注意到形式与倍角公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta -1$ 相同。
设 $a_n = \cos\theta_n$，则 $\cos\theta_{n+1} = 2\cos^2\theta_n-1 = \cos 2\theta_n$。
可取 $\theta_{n+1}=2\theta_n$，于是 $\theta_n = 2^{n-1}\theta_1$。
由 $a_1=\dfrac12=\cos\frac{\pi}{3}$，令 $\theta_1=\frac{\pi}{3}$。
则 $a_n = \cos\left(2^{n-1}\cdot\frac{\pi}{3}\right)$。
（注：此处未考虑符号分支，递推式本身保证唯一确定的值，$\cos$ 表达式在该定义下成立。）
7.4 积分因子法
例8 求微分方程 $\dfrac{dy}{dx} + 2xy = x$的通解，并求满足$y(0)=1$ 的特解。
- 详解
这是一阶线性方程 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x)=2x,\thickspace{}Q(x)=x$。
积分因子 $\mu(x)=e^{\int P\thinspace{}dx}=e^{\int 2x\thinspace{}dx}=e^{x^2}$。
两边同乘 $\mu$： $$ e^{x^2}y' + 2x e^{x^2} y = x e^{x^2} \thickspace\Longrightarrow\thickspace \frac{d}{dx}\left(e^{x^2}y\right) = x e^{x^2}. $$ 两边积分： $$ e^{x^2}y = \int x e^{x^2}\thinspace{}dx = \frac12 e^{x^2} + C \thickspace\Longrightarrow\thickspace y = \frac12 + C e^{-x^2}. $$ 代入 $y(0)=1$：$1 = \frac12 + C \thickspace\Rightarrow\thickspace C=\frac12$。
故特解为 $y = \dfrac12(1+e^{-x^2})$。
例9 求解 $y' - y = e^x$。
- 详解
方程写为 $y' + (-1)y = e^x$，积分因子 $\mu(x)=e^{\int -1\thinspace{}dx}=e^{-x}$。
两边乘 $e^{-x}$： $$ (e^{-x}y)' = e^{-x}\cdot e^x = 1. $$ 积分得 $e^{-x}y = x + C \thickspace\Longrightarrow\thickspace y = (x+C)e^x$。
7.5 分部积分法 & 表格积分法
例10 计算 $I = \int x\sin x\thinspace{}dx$。
- 详解
使用分部积分：令 $u=x,\thickspace{}dv=\sin x\thinspace{}dx$，则 $du=dx,\thickspace{}v=-\cos x$。
$$ I = -x\cos x - \int (-\cos x)\thinspace{}dx = -x\cos x + \sin x + C. $$
例11 用表格积分法计算 $\int x^2 e^x\thinspace{}dx$。
- 详解
令 $u=x^2,\thickspace{}dv=e^x\thinspace{}dx$。构造表格：
| 求导列 (D) | 积分列 (I) | 符号 |
|---|---|---|
| $x^2$ | $e^x$ | $+$ |
| $2x$ | $e^x$ | $-$ |
| $2$ | $e^x$ | $+$ |
| $0$ | $e^x$ | $-$ |
结果 = 符号对应的斜线乘积之和，最后一项为 $\int (0\cdot e^x)dx=0$（可省略）： $$ \int x^2 e^x\thinspace{}dx = +(x^2)(e^x) - (2x)(e^x) + (2)(e^x) + C = e^x(x^2-2x+2)+C. $$
例12 计算 $\int \arctan x\thinspace{}dx$。
- 详解
令 $u=\arctan x,\thickspace{}dv=dx$，则 $du=\dfrac{1}{1+x^2}dx,\thickspace{}v=x$。
$$ \int \arctan x\thinspace{}dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\thinspace{}dx. $$ 第二个积分用凑微分：$\int \frac{x}{1+x^2}dx = \frac12\ln(1+x^2)$。
故原式 $= x\arctan x - \frac12\ln(1+x^2) + C$。
7.6 阿贝尔分部求和（离散分部）
例13 求 $S_n = \sum_{k=1}^{n} k\thinspace2^k$。
- 详解（Abel变换）
令 $a_k = k$，$\Delta b_k = 2^k$，需构造 $b_k$使得$\Delta b_k = b_{k+1}-b_k = 2^k$。
可令 $b_k = 2^k$（则 $\Delta b_k = 2^{k+1}-2^k = 2^k$，满足）。
Abel 和差变换公式： $$ \sum_{k=1}^{n} a_k \Delta b_k = (a_{n+1}b_{n+1} - a_1 b_1) - \sum_{k=1}^{n} b_{k+1} \Delta a_k. $$ 这里 $\Delta a_k = a_{k+1}-a_k = 1$，$a_1=1,\thickspace{}a_{n+1}=n+1$。
$b_1=2$，$b_{k+1}=2^{k+1}$。
代入： $$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n k\thinspace2^k = \sum_{k=1}^n a_k\Delta b_k \newline &= \big[(n+1)\cdot 2^{n+1} - 1\cdot 2\big] - \sum_{k=1}^n 2^{k+1}\cdot 1 \newline &= (n+1)2^{n+1} - 2 - \sum_{k=1}^n 2^{k+1}. \end{aligned} $$ 而 $\sum_{k=1}^n 2^{k+1} = 4\cdot\frac{2^n-1}{2-1}=2^{n+2}-4$。
因此 $$ S_n = (n+1)2^{n+1} - 2 - (2^{n+2}-4) = (n+1)2^{n+1} - 2^{n+2} + 2 = (n-1)2^{n+1} + 2. $$ 此结果与错位相减法一致。
技巧提示
- 不动点法中，若两根相等，取倒数往往化为等差数列；
- 特征根法中，注意 $n^k\lambda^n$与连续情形$x^k e^{\lambda x}$ 的对应；
- 桥函数的选择依赖敏锐观察，对数/三角/倒数是最常用的桥梁；
- 分部积分时，遵循“反对幂指三”的顺序选择 $u$；
- 离散分部（Abel变换）处理乘积型级数求和十分强大。