Appearance
微分方程
概述
微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，是数学建模的核心工具。本笔记系统梳理微分方程的分类、求解方法及应用，涵盖常微分方程 (ODE) 与偏微分方程 (PDE) 的基础内容，并与数列方法、微积分基础、物理振动等知识形成交叉。
一、基本概念与分类
1.1 什么是微分方程
含有未知函数及其导数（或微分）的方程称为微分方程。
- 若未知函数为一元函数，称为常微分方程 (ODE)
- 若未知函数为多元函数且含偏导数，称为偏微分方程 (PDE)
1.2 阶与次数
- 阶：方程中出现的最高阶导数的阶数
- 次数：最高阶导数项的次数（仅对能写成多项式形式的方程）
| 方程 | 阶 | 线性? |
|---|---|---|
| $\dfrac{dy}{dx} + 2xy = e^{-x^2}$ | 1 | 线性 |
| $\dfrac{d^2y}{dx^2} + \omega^2 y = 0$ | 2 | 线性 |
| $\dfrac{d^2y}{dx^2} + \sin y = 0$ | 2 | 非线性 |
| $\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 + y = 0$ | 1 | 非线性 |
1.3 线性与非线性
$n$ 阶线性微分方程的标准形式：
$$ a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x) $$
- 若 $g(x) \equiv 0$，称为齐次方程
- 若 $g(x) \not\equiv 0$，称为非齐次方程
线性方程的核心性质
线性齐次方程的解构成线性空间（叠加原理成立）；非齐次方程的通解 = 齐次通解 + 一个特解。
1.4 通解、特解与初值问题
- 通解：含有 $n$ 个独立任意常数的解（$n$ 为方程的阶）
- 特解：通解中任意常数被确定后的解
- 初值问题 (IVP)：给定初始条件 $y(x_0)=y_0,\ y'(x_0)=y_1,\ \ldots$ 求特解
- 边值问题 (BVP)：给定边界条件（如 $y(a)=A,\ y(b)=B$）求特解
二、一阶常微分方程
2.1 可分离变量方程
形式：$\dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y)$
解法：分离变量后积分
$$ \int \frac{1}{g(y)} \thinspace dy = \int f(x) \thinspace dx + C $$
例 1：指数增长/衰减
$\dfrac{dy}{dx} = ky$，分离得 $\displaystyle\int \frac{dy}{y} = \int k\thinspace{}dx$，通解 $y = Ce^{kx}$。 当 $k>0$ 为指数增长（种群增长），$k<0$ 为指数衰减（放射性衰变）。
例 2：逻辑斯蒂方程
$\dfrac{dy}{dx} = ky\left(1 - \dfrac{y}{M}\right)$，分离变量后积分得 $$y = \frac{M}{1 + Ce^{-kt}}$$ 这是种群增长的经典模型，$M$ 为环境承载力。
2.2 一阶线性方程
形式：$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
解法：积分因子法（详见[积分因子法](../%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E6%95%B0%E5%88%97/%E6%95%B0%E5%88%97%E4%B8%8E%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%A0%B8%E5%BF%83%E6%96%B9%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%8E%9F%E7%90%86%E3%80%81%E6%8E%A8%E5%AF%BC%E5%8F%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9C%AC%E8%B4%A8.md#四、积分因子法 (微分方程) 及其离散类比)）
积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\thinspace{}dx}$，则
$$ \frac{d}{dx}(\mu y) = \mu Q \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{\mu}\int \mu Q\thinspace{}dx $$
例 3
求解 $y' + 2xy = x$，$y(0)=1$。
解：$P(x)=2x$，$\mu = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$。 $$(e^{x^2}y)' = x e^{x^2} \thickspace\Longrightarrow\thickspace e^{x^2}y = \frac{1}{2}e^{x^2} + C \thickspace\Longrightarrow\thickspace y = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2}$$ 代入 $y(0)=1$得$C=\frac12$，故 $y = \frac12(1+e^{-x^2})$。
2.3 伯努利方程
形式：$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)$
解法：令 $v = y^{1-n}$，化为关于 $v$ 的一阶线性方程。
例 4
$y' + \dfrac{1}{x}y = xy^2$，令 $v = y^{-1}$，则 $v' - \dfrac{1}{x}v = -x$，解出 $v$后回代得$y$。
2.4 恰当方程与积分因子
形式：$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$，若 $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$，则方程为恰当方程。
存在函数 $F(x,y)$使得$dF = Mdx + Ndy$，通解为 $F(x,y) = C$。
若原方程不恰当，可寻找积分因子 $\mu(x,y)$使$\mu M dx + \mu N dy = 0$ 成为恰当方程。
三、二阶线性常微分方程
3.1 常系数齐次方程
形式：$ay'' + by' + cy = 0 \quad (a,b,c \text{ 为常数})$
特征方程：$a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$
| 判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ | 特征根 | 通解形式 |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | 两不等实根$\lambda_1, \lambda_2$ | $y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}$ |
| $\Delta = 0$ | 重根$\lambda$ | $y = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}$ |
| $\Delta < 0$ | 共轭复根$\alpha \pm i\beta$ | $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$ |
与特征根法的联系
此方法与数列中的特征根法完全平行：设解为 $e^{\lambda x}$对应离散中设$a_n = \lambda^n$。重根时出现多项式因子 $x^k e^{\lambda x}$对应$n^k \lambda^n$。
3.2 常系数非齐次方程
形式：$ay'' + by' + cy = g(x)$
通解 = 齐次通解 $y_h$+ 一个特解$y_p$
求特解的方法：
待定系数法
当 $g(x)$ 为以下形式时适用：
| $g(x)$的形式 | 特解$y_p$ 的试设形式 |
|---|---|
| $P_n(x)$ （$n$次多项式） | $x^s Q_n(x)$ |
| $P_n(x)e^{\alpha x}$ | $x^s Q_n(x) e^{\alpha x}$ |
| $P_n(x)\cos\beta x$或$P_n(x)\sin\beta x$ | $x^s[Q_n(x)\cos\beta x + R_n(x)\sin\beta x]$ |
| $e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$ | $x^s e^{\alpha x}(C\cos\beta x + D\sin\beta x)$ |
其中 $s$取$\alpha$（或 $\alpha \pm i\beta$）作为特征根的重数（$0,1,2$）。
例 5
求解 $y'' - 3y' + 2y = e^x$。
齐次特征方程 $\lambda^2-3\lambda+2=0$，根 $\lambda_1=1,\ \lambda_2=2$，齐次通解 $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$。 由于 $e^x$中的$\alpha=1$ 是单特征根（$s=1$），设 $y_p = Ax e^x$，代入得 $A=-1$。 故通解 $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - x e^x$。
常数变易法
设 $y_p = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x)$，其中 $y_1, y_2$ 为齐次方程的两个线性无关解。
由方程组： $$ \begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0 \newline u_1' y_1' + u_2' y_2' = g(x)/a \end{cases} $$
解出 $u_1', u_2'$ 后积分即可。
3.3 欧拉方程
形式：$ax^2 y'' + bx y' + cy = g(x)$
解法：令 $x = e^t$（或 $t = \ln x$），化为常系数方程。
例 6
$x^2 y'' + xy' - y = 0$，令 $x = e^t$，记 $D = d/dt$，则 $x^2 y'' = D(D-1)y$，$xy' = Dy$。 化为 $(D^2 - 1)y = 0$，特征根 $\pm 1$，通解 $y = C_1 e^t + C_2 e^{-t} = C_1 x + C_2/x$。
四、高阶线性微分方程
4.1 $n$ 阶常系数齐次方程
形式：$a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0$
特征方程：$a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0 = 0$
- 单实根 $\lambda$→ 解项$C e^{\lambda x}$
- $m$重实根$\lambda$→ 解项$(C_1 + C_2 x + \cdots + C_m x^{m-1}) e^{\lambda x}$
- 共轭复根 $\alpha \pm i\beta$（$m$重）→ 解项$e^{\alpha x}[(C_1 + \cdots + C_m x^{m-1})\cos\beta x + (D_1 + \cdots + D_m x^{m-1})\sin\beta x]$
4.2 降阶法
对于某些特殊类型的高阶方程，可通过变量代换降低阶数：
- 不显含 $y$：$F(x, y^{(k)}, y^{(k+1)}, \ldots, y^{(n)}) = 0$，令 $p = y^{(k)}$
- 不显含 $x$：$F(y, y', y'', \ldots) = 0$，令 $p = y'$，则 $y'' = p\frac{dp}{dy}$
五、线性微分方程组
5.1 一阶线性方程组
形式：$\mathbf{x}'(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{f}(t)$
5.2 常系数齐次方程组
形式：$\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$，其中 $A$为$n \times n$ 常数矩阵
解法：求 $A$ 的特征值与特征向量
若 $A$有$n$个线性无关的特征向量$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$（对应特征值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$），则通解为： $$\mathbf{x}(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{v}_1 + \cdots + C_n e^{\lambda_n t} \mathbf{v}_n$$
若特征值 $\lambda$为复数$\alpha \pm i\beta$，对应解为 $e^{\alpha t}(\cos\beta t \cdot \mathbf{u} + \sin\beta t \cdot \mathbf{w})$
与矩阵对角化的联系
若 $A = PDP^{-1}$，则 $e^{At} = P e^{Dt} P^{-1}$，解为 $\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0$。这与[数列中友矩阵对角化](../%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E6%95%B0%E5%88%97/%E6%95%B0%E5%88%97%E4%B8%8E%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%A0%B8%E5%BF%83%E6%96%B9%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%8E%9F%E7%90%86%E3%80%81%E6%8E%A8%E5%AF%BC%E5%8F%8A%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9C%AC%E8%B4%A8.md#3. 线性代数本质：矩阵对角化)的思路完全一致。
5.3 相图与稳定性
- 结点（node）：特征值同号实根
- 鞍点（saddle）：特征值异号实根
- 焦点（focus/spiral）：共轭复根（实部非零）
- 中心（center）：纯虚特征值
详见[机械振动中的相图分析](../../%E7%89%A9%E7%90%86/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%A4%A7%E7%B1%BB/%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E8%BF%90%E5%8A%A8%E5%AD%A6/%E6%9C%BA%E6%A2%B0%E6%8C%AF%E5%8A%A8.md#13 相图与相轨迹)。
六、偏微分方程 (PDE) 基础
6.1 三大经典方程
| 方程 | 形式 | 物理含义 |
|---|---|---|
| 波动方程 | $\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$ | 弦振动、声波、电磁波 |
| 热传导方程 | $\dfrac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$ | 热扩散、物质扩散 |
| 拉普拉斯方程 | $\nabla^2 u = 0$ | 稳态场（静电场、引力场、稳态温度） |
| 泊松方程 | $\nabla^2 u = f$ | 有源的稳态场 |
6.2 分离变量法
对于一维波动方程 $\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$：
设 $u(x,t) = X(x)T(t)$，分离得： $$ \frac{T''}{c^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda $$
由边界条件确定特征值 $\lambda_n$和特征函数$X_n(x)$，通解为各模态的叠加： $$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} X_n(x)\big(A_n \cos\omega_n t + B_n \sin\omega_n t\big) $$
详见[连续系统振动](../../%E7%89%A9%E7%90%86/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%A4%A7%E7%B1%BB/%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E8%BF%90%E5%8A%A8%E5%AD%A6/%E6%9C%BA%E6%A2%B0%E6%8C%AF%E5%8A%A8.md#12 连续系统振动简介)中的弦振动推导。
七、常用求解方法总结
| 方法 | 适用方程类型 | 核心思想 |
|---|---|---|
| 分离变量法 | 一阶可分离方程 | 将 $x$与$y$ 分到等号两边积分 |
| 积分因子法 | 一阶线性方程 | 乘因子使左边变为全导数 |
| 特征方程法 | 常系数线性方程 | 设指数解，化微分方程为代数方程 |
| 待定系数法 | 非齐次常系数方程 | 根据 $g(x)$ 形式猜测特解 |
| 常数变易法 | 非齐次线性方程 | 将齐次解的常数变为函数 |
| 降阶法 | 缺项高阶方程 | 代换降低阶数 |
| 拉普拉斯变换 | 线性方程（初值问题） | 将微分方程化为代数方程 |
| 幂级数法 | 变系数方程 | 假设解为幂级数逐项定系数 |
| 分离变量法 (PDE) | 线性偏微分方程 | 乘积形式假设，分离为 ODE |
八、应用举例
8.1 物理：弹簧振子（二阶线性）
方程：$m\ddot{x} + kx = 0$，解为简谐振动 $x = A\cos(\omega t + \varphi)$，$\omega = \sqrt{k/m}$。
8.2 物理：阻尼振子
方程：$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0$，根据阻尼比 $\zeta = b/(2\sqrt{mk})$ 分为欠阻尼、临界阻尼、过阻尼。
详见[阻尼振子推导](../../%E7%89%A9%E7%90%86/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%A4%A7%E7%B1%BB/%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E8%BF%90%E5%8A%A8%E5%AD%A6/%E5%BC%B9%E7%B0%A7%E6%8C%AF%E5%AD%90%E4%B8%8E%E9%98%BB%E5%B0%BC%E6%8C%AF%E5%AD%90%E7%9A%84%E8%BF%90%E5%8A%A8%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%8E%A8%E5%AF%BC.md#2. 阻尼振子（含阻尼项）)。
8.3 物理：放射性衰变（一阶）
方程：$\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$，解为 $N = N_0 e^{-\lambda t}$，半衰期 $T_{1/2} = \ln 2 / \lambda$。
8.4 化学：一级反应动力学
方程：$\dfrac{d[A]}{dt} = -k[A]$，解为 $[A] = [A]_0 e^{-kt}$。
8.5 生物：种群增长模型
- 指数增长：$\dfrac{dN}{dt} = rN$
- 逻辑斯蒂增长：$\dfrac{dN}{dt} = rN\left(1 - \dfrac{N}{K}\right)$
- Lotka-Volterra 捕食者-猎物模型： $$\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = \alpha x - \beta xy \newline \dfrac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y \end{cases}$$
8.6 物理：恒功率加速运动
方程：$mv\dfrac{dv}{dt} = P$，解为 $v(t) = \sqrt{\dfrac{2P}{m}t}$。
九、数值方法简介
当解析解不存在时，常用数值方法：
- 欧拉法：$y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)$（一阶精度）
- 改进欧拉法（Heun 法）：二阶精度
- 龙格-库塔法 (RK4)：四阶精度，最常用
- 有限差分法：用于 PDE 求解
十、与知识图谱中其他笔记的交叉链接
- 微积分 — 极限、导数、积分是微分方程的基础
- 不定积分表、积分表 — 求解微分方程时常用的积分公式
- 数列与微分方程核心方法：原理、推导及线性代数本质 — 离散与连续方法的平行类比
- 常见函数导数表 — 求导公式速查
- 机械振动 — 二阶常系数 ODE 的物理应用
- 弹簧振子与阻尼振子的运动方程推导 — 从牛顿定律到微分方程
- 运动学中的微分方程建模与求解 — 运动学中的 DE 建模
- 恒功率加速运动 — 非线性 ODE 案例
- 拉格朗日方程 — 分析力学中的微分方程
- 化学反应平衡移动的影响因素 — 化学动力学中的微分方程
- 幂和公式及推导 — 差分方程（离散微分方程）
- 线性空间与基变换 — 解空间与线性代数的联系
- 贝叶斯定理 — 随机微分方程的概率视角
核心思想
微分方程是描述变化的语言。自然界中几乎所有的基本定律——牛顿定律、麦克斯韦方程、薛定谔方程、热传导方程——都是用微分方程写成的。掌握微分方程，就是掌握了描述动态世界的核心工具。
学习微分方程时，注意与离散类比（差分方程、数列递推）的对应，两者在线性代数框架下是高度统一的。