求积式的计算方式（Product of Sequences）

核心定位

求积（Product）是数列运算的第二大基本操作，与求和（Summation）并列为离散数学的两大支柱。本笔记系统讲解连乘积 $\prod$ 的各种计算技巧，从基本定义到 Wallis 公式、伽马函数表示，形成完整的求积方法体系。与 求和式的计算方式、混合大型运算的计算方式、数列与微分方程核心方法：原理、推导及线性代数本质 相互补充，共同覆盖数列运算的核心工具箱。

与求和的对称性

求积和求和之间通过指数/对数形成对偶关系（Duality），许多求积技巧可以从求和中"翻译"过来：

• $\prod \leftrightarrow \sum$
• $\exp(\sum \ln) \leftrightarrow \prod$
• 裂项相消：乘法裂项 $b_k/b_{k-1}$ $\leftrightarrow$加法裂项$b_k - b_{k-1}$

掌握这一对称性思想，求积问题可大幅简化。

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一、求积符号 $\prod$ 的基本概念

1.1 定义

连乘积符号 $\prod$ 的定义

设 $\lbrace a_k\rbrace _{k=m}^{n}$ 是一有限数列，则其连乘积（Product notation）定义为： $$ \prod_{k=m}^{n} a_k = a_m \cdot a_{m+1} \cdot a_{m+2} \cdot \cdots \cdot a_n, $$ 其中 $m \le n$为整数。求积指标$k$从下限$m$逐一递增到上限$n$，将对应的每一项相乘。

基本约定：

• 当 $n < m$时，定义**空积（Empty Product）**为$1$： $$ \prod_{k=m}^{n} a_k = 1 \quad (n < m). $$ 这与空和（Empty Sum）$\sum_{k=m}^{n} a_k = 0$（当 $n < m$）形成对照——加法单位元是 $0$，乘法单位元是 $1$。

1.2 基本运算性质

1. 结合律与交换律：乘法满足交换律与结合律，因此 $\prod$ 中各项可以任意重排。
2. 常数因子可提出： $$ \prod_{k=1}^{n} (c \cdot a_k) = c^n \cdot \prod_{k=1}^{n} a_k. $$
3. 乘积的乘积（分段求积）： $$ \prod_{k=1}^{n} a_k = \left(\prod_{k=1}^{m} a_k\right) \cdot \left(\prod_{k=m+1}^{n} a_k\right). $$
4. 乘积的拆分： $$ \prod_{k=1}^{n} (a_k \cdot b_k) = \left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right) \cdot \left(\prod_{k=1}^{n} b_k\right). $$
5. 指标平移：令 $j = k + t$，则 $$ \prod_{k=m}^{n} a_k = \prod_{j=m+t}^{n+t} a_{j-t}. $$

1.3 与求和 $\sum$ 的对数转化关系

这是求积运算最核心的技巧——积转和（Log-Sum Transformation）：

对数转化公式

$$ \ln\left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right) = \sum_{k=1}^{n} \ln a_k, $$ 因此， $$ \prod_{k=1}^{n} a_k = \exp\left(\sum_{k=1}^{n} \ln a_k\right). $$ 要求所有 $a_k > 0$（对数域内可做）。若某些 $a_k$ 为负或为零，则需分段处理。

这一转化意味着：一切求和技巧（裂项相消、积分近似、已知求和公式）都可以通过取对数后用于求积问题。

1.4 基础例题

例 1：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} k$

这就是阶乘的定义： $$ \prod_{k=1}^{n} k = n!. $$

例 2：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} c$（$c$ 为常数）

$$ \prod_{k=1}^{n} c = c^n. $$ 因为 $n$个相同的常数$c$相乘，结果是$c^n$。

例 3：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} 2k$

提出常数 $2$： $$ \prod_{k=1}^{n} 2k = 2^n \cdot \prod_{k=1}^{n} k = 2^n \cdot n!. $$

例 4：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1}$

展开观察规律： $$ \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n}{n+1}. $$ 相邻分子分母相消，仅剩首项的分子 $1$和末项的分母$n+1$： $$ \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1} = \frac{1}{n+1}. $$ 这是最简单的「裂项相消求积」，详见第五节。

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二、阶乘与双阶乘

2.1 阶乘 $n!$（Factorial）的定义与性质

阶乘定义

对正整数 $n$： $$ n! = \prod_{k=1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n. $$ 特别约定 $0! = 1$（空积）。

基本递推关系： $$ n! = n \cdot (n-1)!, \quad (n+1)! = (n+1) \cdot n!. $$

阶乘的增长速度：$n!$是超指数增长的，远远快于$a^n$（对任意固定的 $a$），但慢于 $n^n$。

2.2 斯特林公式（Stirling's Approximation）

斯特林公式

当 $n \to \infty$ 时： $$ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, $$ 即 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\thinspace (n/e)^n} = 1. $$

更精确的斯特林级数（Stirling series）： $$ \ln n! = n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) + \frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + O\left(\frac{1}{n^5}\right). $$

例 5：用斯特林公式估计 $10!$

$$ 10! \approx \sqrt{20\pi} \left(\frac{10}{e}\right)^{10} \approx 3,598,696. $$ 实际 $10! = 3,628,800$，相对误差约 $0.83\%$，$n$ 越大越精确。

2.3 双阶乘 $n!!$（Double Factorial）

双阶乘定义

$$ n!! = \prod_{\substack{k=1 \newline k \equiv n \pmod{2}}}^{n} k = n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot \cdots \cdot \begin{cases} 1, & n \text{ 为奇数} \newline 2, & n \text{ 为偶数} \end{cases} $$

与普通阶乘的关系： $$ \begin{aligned} (2n)!! &= 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n) = 2^n \cdot n!, \newline[4pt] (2n-1)!! &= 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n-1) = \frac{(2n)!}{(2n)!!} = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}. \end{aligned} $$

例 6：计算 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$

解：利用关系式： $$ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2}. $$ 用斯特林公式： $$ (2n)! \sim \sqrt{4\pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. $$ 代入： $$ \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2} \sim \frac{\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{4^n \cdot 2\pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}} = \frac{\sqrt{4\pi n} \cdot 4^n n^{2n} e^{-2n}}{4^n \cdot 2\pi n \cdot n^{2n} e^{-2n}} = \frac{2\sqrt{\pi n}}{2\pi n} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}}. $$ 因此： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = 0. $$

2.4 阶乘与伽马函数的关系

伽马函数 $\Gamma(z)$ 是阶乘在复数域上的解析延拓（Analytic continuation）： $$ \Gamma(n+1) = n!, \quad \text{对整数 } n \ge 0. $$ 更一般地，$\Gamma(z+1) = z\thinspace\Gamma(z)$（函数方程），且 $\Gamma(1) = 1$。详细讨论见第七节。

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三、对数转化法（积转和）

3.1 核心思想

对数转化法（Logarithmic Transformation）

设 $a_k > 0$（$k = 1, 2, \dots, n$），则： $$ P_n = \prod_{k=1}^{n} a_k \quad \Longrightarrow \quad \ln P_n = \sum_{k=1}^{n} \ln a_k. $$ 先对 $\ln P_n$使用求和技巧（裂项、已知公式、积分近似等），再取指数还原得到$P_n$。

适用场景：

• $a_k$具有有理式结构（如$(1 + 1/k)$、$(1 - 1/k^2)$ 等），取对数后可用裂项相消。
• 需要估计 $P_n$ 的渐近行为时，取对数后用积分近似。
• 求积式中包含指数或幂函数时。

3.2 裂项相消型例题

例 7：计算 $\displaystyle P_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{k}\right)$

解：取对数： $$ \ln P_n = \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \sum_{k=1}^{n} \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) = \sum_{k=1}^{n} \big[\ln(k+1) - \ln k\big]. $$ 裂项相消（Telescoping）： $$ \ln P_n = \ln(n+1) - \ln 1 = \ln(n+1). $$ 因此： $$ P_n = e^{\ln(n+1)} = n+1. $$

验证：直接展开乘积也可验证： $$ P_n = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \cdots \cdot \frac{n+1}{n} = n+1. $$

例 8：计算 $\displaystyle P_n = \prod_{k=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)$

解：先做代数变形： $$ 1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 - 1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}. $$ 于是： $$ P_n = \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} \cdot \prod_{k=2}^{n} \frac{k+1}{k}. $$ 分别计算两个乘积： $$ \begin{aligned} \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}, \newline[4pt] \prod_{k=2}^{n} \frac{k+1}{k} &= \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n+1}{n} = \frac{n+1}{2}. \end{aligned} $$ 因此： $$ P_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}. $$

取 $n \to \infty$： $$ \lim_{n\to\infty} P_n = \frac{1}{2}, $$ 即 $\displaystyle \prod_{k=2}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{1}{2}$，详见第六节无穷乘积。

例 9：计算 $\displaystyle P_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{k^2 + k + 1}{k^2 - k + 1}$

解：对分子分母尝试因式分解（在复数域）： $$ k^2 + k + 1 = (k - \omega)(k - \omega^2), \quad k^2 - k + 1 = (k + \omega)(k + \omega^2), $$ 其中 $\omega = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ 是三次单位根，$\omega^2 + \omega + 1 = 0$。

于是： $$ P_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{(k-\omega)(k-\omega^2)}{(k+\omega)(k+\omega^2)}. $$ 注意到 $1 + \omega = -\omega^2$，$1 + \omega^2 = -\omega$，乘积中交叉相消，最终： $$ P_n = \frac{(n+1-\omega)(n+1-\omega^2)}{(1+\omega)(1+\omega^2)} = \frac{(n+1)^2 + (n+1) + 1}{1 - 1 + 1} = n^2 + 3n + 3. $$ （此处用了 $\omega + \omega^2 = -1$，$\omega \cdot \omega^2 = 1$，且分母 $1^2 - 1 + 1 = 1$。）

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四、等比数列求积

4.1 一般公式

等比数列求积公式

设等比数列 $\lbrace a_k\rbrace $满足$a_k = a \cdot q^{\thinspace{}k-1}$（首项为 $a$，公比为 $q$），则： $$ \prod_{k=1}^{n} a \cdot q^{\thinspace{}k-1} = a^n \cdot q^{\thinspace\sum_{k=0}^{n-1} k} = a^n \cdot q^{\thinspace{}n(n-1)/2}. $$ 即： $$ \prod_{k=1}^{n} a \cdot q^{\thinspace{}k-1} = a^n \cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}. $$

推导：$\prod_{k=1}^{n} a \cdot q^{\thinspace{}k-1} = a^n \cdot q^{0+1+2+\cdots+(n-1)} = a^n \cdot q^{n(n-1)/2}$。

指数特征：等比数列的连乘积仍具有「底数的 $n$次幂$\times$公比的$n(n-1)/2$ 次幂」的统一形式。

4.2 例题

例 10：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

解：此处 $a = 1$，$q = 2$（或视为 $a_k = 1 \cdot 2^{k-1}$）： $$ \prod_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2^{0+1+2+\cdots+(n-1)} = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}. $$

例 11：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^k$

解：$a_k = 3 \cdot 2^k = (3 \cdot 2) \cdot 2^{k-1} = 6 \cdot 2^{k-1}$，即首项 $a = 6$，公比 $q = 2$： $$ \prod_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^k = 6^n \cdot 2^{\frac{n(n-1)}{2}}. $$ 也可直接计算：$\prod_{k=1}^{n} (3 \cdot 2^k) = 3^n \cdot 2^{\sum_{k=1}^n k} = 3^n \cdot 2^{\frac{n(n+1)}{2}}$，结果一致。

例 12：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{3^{k}}{2^{k-1}}$

解：改写为： $$ \frac{3^k}{2^{k-1}} = \frac{3}{1} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}, $$ 即首项 $a = 3$，公比 $q = \frac{3}{2}$： $$ \prod_{k=1}^{n} \frac{3^k}{2^{k-1}} = 3^n \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{n(n-1)}{2}}. $$

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五、裂项相消法求积（Telescoping Products）

5.1 核心技巧

乘法裂项相消（Multiplicative Telescoping）

若 $a_k$可写为$\displaystyle a_k = \frac{b_k}{b_{k-1}}$（或 $\frac{b_{k+1}}{b_k}$）的形式，则： $$ \prod_{k=1}^{n} \frac{b_k}{b_{k-1}} = \frac{b_n}{b_0}, \qquad \prod_{k=1}^{n} \frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{b_{n+1}}{b_1}. $$ 乘积中相邻项的分子分母互相抵消，仅剩首尾项。

这是求积运算中最常见、最有力的技巧。关键能力是将给定的 $a_k$识别或变形为$\frac{b_k}{b_{k-1}}$ 的形式。

5.2 分母裂项型求积

例 13：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{k}\right)$

解： $$ 1 - \frac{1}{k} = \frac{k-1}{k}. $$ 令 $b_k = k$，则 $\displaystyle \frac{k-1}{k} = \frac{b_{k-1}}{b_k}$： $$ \prod_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \cdots \cdot \frac{n-1}{n}. $$ 注意 $k=1$时分子为$0$，因此整个乘积为 $0$。（更准确说，从 $k=2$开始计算非零值后整体为$0$，因第一项即为 $0$。）

例 14：计算 $\displaystyle \prod_{k=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{k}\right)$

解：同上，$1 - \frac{1}{k} = \frac{k-1}{k}$： $$ \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}. $$

5.3 有理式裂项求积

例 15：计算 $\displaystyle P_n = \prod_{k=2}^{n} \frac{k^2 - 1}{k^2}$

解：已在例 8 中计算，结果为 $\displaystyle P_n = \frac{n+1}{2n}$。

裂项技巧：$\displaystyle \frac{k^2-1}{k^2} = \frac{k-1}{k} \cdot \frac{k+1}{k}$，分别裂项后相乘。

例 16：计算 $\displaystyle P_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1}$

解：因式分解： $$ \begin{aligned} k^3 - 1 &= (k-1)(k^2 + k + 1), \newline[4pt] k^3 + 1 &= (k+1)(k^2 - k + 1). \end{aligned} $$ 于是： $$ \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} = \frac{k-1}{k+1} \cdot \frac{k^2 + k + 1}{k^2 - k + 1}. $$ 第一部分的乘积： $$ \prod_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k+1} = \frac{0}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \cdots \cdot \frac{n-1}{n+1}. $$ $k=1$时分子为$0$，因此第一部分直接使整体为 $0$？等等，$k=1$时$k^3 - 1 = 0$确实使$P_n$有零因子。若从$k=2$ 开始：

对于 $k \ge 2$，第一部分乘积： $$ \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdot \cdots \cdot \frac{n-1}{n+1} = \frac{1 \cdot 2}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)}. $$ 第二部分，令 $b_k = k^2 - k + 1$，则 $k^2 + k + 1 = (k+1)^2 - (k+1) + 1 = b_{k+1}$： $$ \frac{k^2 + k + 1}{k^2 - k + 1} = \frac{b_{k+1}}{b_k}. $$ 因此： $$ \prod_{k=2}^{n} \frac{k^2 + k + 1}{k^2 - k + 1} = \frac{b_{n+1}}{b_2} = \frac{(n+1)^2 - (n+1) + 1}{2^2 - 2 + 1} = \frac{n^2 + n + 1}{3}. $$ 综合以上（从 $k=2$开始以避免$k=1$ 时的零因子）： $$ \prod_{k=2}^{n} \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n^2 + n + 1}{3} = \frac{2(n^2 + n + 1)}{3n(n+1)}. $$

5.4 三角函数裂项求积

例 17（经典）：计算 $\displaystyle P_n = \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{\theta}{2^k}\right)$

解：利用二倍角公式的变形： $$ \sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}. $$ 反复应用： $$ \begin{aligned} \sin\theta &= 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} \newline &= 2^2 \sin\frac{\theta}{4}\cos\frac{\theta}{4}\cos\frac{\theta}{2} \newline &= \cdots \newline &= 2^n \sin\frac{\theta}{2^n} \cdot \prod_{k=1}^{n} \cos\frac{\theta}{2^k}. \end{aligned} $$ 因此： $$ \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{\theta}{2^k}\right) = \frac{\sin\theta}{2^n \sin(\theta/2^n)}. $$

取极限 $n \to \infty$，$\sin(\theta/2^n) \sim \theta/2^n$： $$ \prod_{k=1}^{\infty} \cos\left(\frac{\theta}{2^k}\right) = \frac{\sin\theta}{\theta}. $$ 取 $\theta = \pi/2$ 得： $$ \prod_{k=1}^{\infty} \cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right) = \frac{2}{\pi}, $$ 即 Viète 关于 $\pi$ 的无穷乘积表示。

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六、Wallis 公式与无穷乘积

6.1 Wallis 公式

Wallis 公式（Wallis Product）

$$ \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \frac{\pi}{2}. $$ 等价写法： $$ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots $$ 即 $\displaystyle \frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1}$。

6.2 推导：利用 $\int_0^{\pi/2} \sin^n x \thinspace dx$

定义 Wallis 积分： $$ I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \thinspace dx. $$

对 $I_n$ 分部积分可得递推公式： $$ I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}. $$

分为奇偶讨论：

• 当 $n = 2m$ 时： $$ I_{2m} = \frac{2m-1}{2m} \cdot \frac{2m-3}{2m-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot I_0 = \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \cdot \frac{\pi}{2}. $$
• 当 $n = 2m+1$ 时： $$ I_{2m+1} = \frac{2m}{2m+1} \cdot \frac{2m-2}{2m-1} \cdots \frac{2}{3} \cdot I_1 = \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!} \cdot 1. $$

由于对 $x \in [0, \pi/2]$有$0 \le \sin x \le 1$，故 $\sin^{2m+1} x \le \sin^{2m} x \le \sin^{2m-1} x$，积分得 $I_{2m+1} \le I_{2m} \le I_{2m-1}$。

因 $I_{2m+1} / I_{2m-1} = \frac{2m}{2m+1} \to 1$，由夹逼准则知： $$ \lim_{m\to\infty} \frac{I_{2m}}{I_{2m-1}} = 1. $$

代入 $I_{2m}$和$I_{2m-1} = I_{2(m-1)+1}$ 的表达式： $$ \frac{I_{2m}}{I_{2m-1}} = \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(2m-1)!!}{(2m-2)!!} \to 1. $$

由此推出： $$ \frac{\pi}{2} = \lim_{m\to\infty} \frac{(2m)!! \cdot (2m-2)!!}{[(2m-1)!!]^2} = \lim_{m\to\infty} \frac{2^{2m}(m!)^2}{(2m)!} \cdot \frac{1}{2m+1} \cdot \frac{\pi}{2} \cdots $$

经过整理即得 Wallis 公式。

6.3 无穷乘积的收敛性

无穷乘积收敛的定义

无穷乘积 $\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} a_n$收敛是指部分积$P_N = \prod_{n=1}^{N} a_n$的极限存在且为非零有限值。若极限为$0$，则称乘积发散到 0。

收敛的必要条件：若 $\prod_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，则$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1$。

与无穷级数的等价性：设 $a_n > 0$，则 $\prod (1 + a_n)$收敛$\iff$ $\sum a_n$ 收敛。

例 18：证明 $\displaystyle \prod_{n=2}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{2}$

解：由例 8，部分积： $$ P_N = \prod_{n=2}^{N} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{N+1}{2N}. $$ 取极限： $$ \lim_{N\to\infty} \frac{N+1}{2N} = \frac{1}{2}. $$

6.4 欧拉乘积公式（Euler Product Formula）

欧拉乘积公式

对所有素数 $p$的连乘积与黎曼$\zeta$ 函数的关系： $$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1 - p^{-s}}, \quad \operatorname{Re}(s) > 1. $$

推导思路：利用算术基本定理（每个正整数有唯一的素因子分解）： $$ \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \prod_{p} \left(1 + p^{-s} + p^{-2s} + \cdots\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}. $$ 取 $s = 2$：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} = \prod_{p} \frac{p^2}{p^2 - 1}$。

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七、伽马函数与求积

7.1 伽马函数的定义与基本性质

伽马函数 $\Gamma(z)$ 的定义（Weierstrass 形式）

对 $z \in \mathbb{C} \setminus \lbrace 0, -1, -2, \dots\rbrace $： $$ \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \frac{e^{z/n}}{1 + z/n}, $$ 其中 $\gamma$ 是欧拉常数（Euler–Mascheroni constant）。等价地，有欧拉积分形式： $$ \Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \thinspace dt, \quad \operatorname{Re}(z) > 0. $$

基本性质：

1. 函数方程：$\Gamma(z+1) = z\thinspace\Gamma(z)$。
2. 与阶乘的关系：$\Gamma(n+1) = n!$（对正整数 $n$）。
3. 反射公式：$\Gamma(z)\thinspace\Gamma(1-z) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$。
4. 特殊值：$\Gamma(1) = 1$，$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$。
5. 勒让德倍元公式：$\Gamma(z)\thinspace\Gamma\negthinspace\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z}\sqrt{\pi}\thinspace\Gamma(2z)$。

7.2 利用 $\Gamma$ 函数表示连乘积

例 19：证明 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{x}{k}\right) = \frac{\Gamma(n+1+x)}{(x+1)\thinspace\Gamma(n+1)}$

解：利用 $\Gamma(z+1) = z\thinspace\Gamma(z)$ 反复应用： $$ \begin{aligned} \Gamma(n+1+x) &= (n+x)\thinspace\Gamma(n+x) \newline &= (n+x)(n-1+x)\thinspace\Gamma(n-1+x) \newline &= \cdots \newline &= \left[\prod_{k=1}^{n} (k+x)\right] \cdot \Gamma(1+x). \end{aligned} $$ 另一方面，$\Gamma(n+1) = n! = \prod_{k=1}^{n} k$，且 $\Gamma(1+x) = x\thinspace\Gamma(x) = x(x-1)\cdots$。

因此： $$ \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{x}{k}\right) = \frac{\prod_{k=1}^{n} (k+x)}{\prod_{k=1}^{n} k} = \frac{\Gamma(n+1+x)/\Gamma(1+x)}{\Gamma(n+1)} = \frac{\Gamma(n+1+x)}{(1+x)_{n+1}} \cdots $$ 利用 Pochhammer 符号 $(x)_n = \Gamma(x+n)/\Gamma(x)$： $$ \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{x}{k}\right) = \frac{(x+1)_n}{n!} = \frac{\Gamma(n+1+x)}{\Gamma(x+1)\thinspace\Gamma(n+1)}. $$ 此即所求。

例 20：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{k + a}{k + b}$

解： $$ \begin{aligned} \prod_{k=1}^{n} \frac{k+a}{k+b} &= \frac{\prod_{k=1}^{n} (k+a)}{\prod_{k=1}^{n} (k+b)} = \frac{\Gamma(n+1+a)/\Gamma(1+a)}{\Gamma(n+1+b)/\Gamma(1+b)} \newline[4pt] &= \frac{\Gamma(1+b)}{\Gamma(1+a)} \cdot \frac{\Gamma(n+1+a)}{\Gamma(n+1+b)}. \end{aligned} $$ 利用斯特林公式可得 $n \to \infty$时的渐近行为：当$a \neq b$ 时，$\Gamma(n+1+a)/\Gamma(n+1+b) \sim n^{a-b}$。

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八、二项式系数与组合恒等式求积

8.1 二项式系数乘积

例 21：计算 $\displaystyle \prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$

解：利用二项式系数的对称性和恒等式： $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\thinspace(n-k)!}. $$ 乘积中每个 $k!$ 出现两次（对称性）： $$ \prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \prod_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{(n!)^{n+1}}{\prod_{k=0}^{n} k! \cdot \prod_{k=0}^{n} (n-k)!} = \frac{(n!)^{n+1}}{\left(\prod_{k=0}^{n} k!\right)^2}. $$ 令 $G(n) = \prod_{k=0}^{n} k!$（超阶乘 / Superfactorial），则： $$ \prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \frac{(n!)^{n+1}}{[G(n)]^2}. $$

例 22：证明 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}$

解：利用 $z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (z - e^{2\pi i k / n})$。 代入 $z = 1$：左边为 $0$，右边含因子 $(1-1) = 0$，无帮助。

考虑 $z^n - 1$的因式分解和$z \to 1$ 的极限，或用复变方法。这里给出利用多项式恒等式的标准证明：

考虑多项式 $x^{n} - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (x - \zeta^k)$，其中 $\zeta = e^{2\pi i / n}$。 除以 $x-1$：$\frac{x^n - 1}{x-1} = \sum_{j=0}^{n-1} x^j = \prod_{k=1}^{n-1} (x - \zeta^k)$。 令 $x = 1$：$n = \prod_{k=1}^{n-1} (1 - \zeta^k)$。

取模长： $$ |1 - \zeta^k| = |1 - e^{2\pi i k / n}| = 2\left|\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right|. $$ 由于对 $k = 1, \dots, n-1$，$\sin(k\pi/n) > 0$，取模得： $$ n = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right). $$ 因此： $$ \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}}. $$

8.2 有关二项式系数的其他恒等式

例 23：计算 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \binom{n}{k}$ 的渐近值

由例 21 的结果，利用斯特林公式可得渐近展开。定义超阶乘 $G(n)$，已知 $G(n)$ 的渐近行为由 Barnes G-函数给出： $$ G(n+1) = \prod_{k=1}^{n} k! \sim A \cdot n^{n^2/2 + n/2 + 1/12} \cdot e^{-3n^2/4}, $$ 其中 $A$是 Glaisher–Kinkelin 常数。由此可得$\prod_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ 的渐近值。

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九、积分与求积的转换

9.1 积分近似求积

欧拉-麦克劳林思想在求积中的应用

当 $a_k = f(k)$且$f$ 光滑时，可利用积分近似： $$ \ln \prod_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \ln f(k) \approx \int_{1}^{n} \ln f(x) \thinspace dx, $$ 或更精确地用欧拉-麦克劳林公式（Euler–Maclaurin formula）修正。

9.2 例题

例 24：估计 $\displaystyle P_n = \prod_{k=1}^{n} k^{1/n}$ 的渐近值

解： $$ P_n = \left(\prod_{k=1}^{n} k\right)^{1/n} = (n!)^{1/n}. $$ 对 $\ln P_n = \frac{1}{n} \ln(n!)$ 使用斯特林公式： $$ \ln P_n = \frac{1}{n} \left[ n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) + O\left(\frac{1}{n}\right) \right] = \ln n - 1 + \frac{\ln(2\pi n)}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). $$ 指数还原： $$ P_n = n \cdot e^{-1} \cdot (2\pi n)^{1/(2n)} \cdot \left(1 + O\left(\frac{1}{n}\right)\right). $$ 当 $n \to \infty$ 时，$(2\pi n)^{1/(2n)} \to 1$，因此： $$ P_n \sim \frac{n}{e}. $$

例 25：用积分估计 $\displaystyle P_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{1/n}$

解：取对数： $$ \ln P_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right). $$ 这正是黎曼和（Riemann sum）的形式，当 $n \to \infty$ 时收敛到定积分： $$ \lim_{n\to\infty} \ln P_n = \int_0^1 \ln(1+x) \thinspace dx = \left[(1+x)\ln(1+x) - x\right]_{0}^{1} = 2\ln 2 - 1. $$ 因此： $$ \lim_{n\to\infty} P_n = e^{2\ln 2 - 1} = \frac{4}{e}. $$

例 26：用积分近似 $n!$ 的主项（推导斯特林公式的思路）

解： $$ \ln n! = \sum_{k=1}^{n} \ln k. $$ 用梯形法则近似积分 $\int_1^n \ln x \thinspace dx = n\ln n - n + 1$： $$ \sum_{k=1}^{n} \ln k \approx \int_1^n \ln x \thinspace dx + \frac{1}{2}(\ln 1 + \ln n) = n\ln n - n + 1 + \frac{1}{2}\ln n. $$ 再做精细修正（加上 $\frac{1}{2}\ln(2\pi)$ 的常数项），即得到完整的斯特林公式。

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十、常见求积公式速查表

10.1 基本求积公式汇总

类型	公式	条件
阶乘	$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} k = n!$	$n \in \mathbb{N}$
常数幂	$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} c = c^n$	$c$ 为常数
等比数列	$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} a \cdot q^{k-1} = a^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}$	$a, q \in \mathbb{R}$
分母裂项	$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1} = \frac{1}{n+1}$	—
分母裂项	$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k} = 0$（$k=1$ 时为零因子）	注意下限
分母裂项	$\displaystyle \prod_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k} = \frac{1}{n}$	$n \ge 2$
分母裂项	$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k} = n+1$	—
平方差	$\displaystyle \prod_{k=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{n+1}{2n}$	$n \ge 2$
平方差	$\displaystyle \prod_{k=2}^{n} \frac{k^2-1}{k^2} = \frac{n+1}{2n}$	$n \ge 2$
立方差	$\displaystyle \prod_{k=2}^{n} \frac{k^3-1}{k^3+1} = \frac{2(n^2+n+1)}{3n(n+1)}$	$n \ge 2$
三角裂项	$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \cos\frac{\theta}{2^k} = \frac{\sin\theta}{2^n \sin(\theta/2^n)}$	$\theta \neq 0$
三角无穷积	$\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty} \cos\frac{\theta}{2^k} = \frac{\sin\theta}{\theta}$	$\theta \neq 0$
Wallis 公式	$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{\pi}{2}$	—
Wallis 公式（等价）	$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{\pi}{2}$	—
正弦乘积	$\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$	$n \ge 2$
双阶乘比	$\displaystyle \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$	$n \to \infty$
阶乘渐近	$\displaystyle (n!)^{1/n} \sim \frac{n}{e}$	$n \to \infty$
$\Gamma$函数比	$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{k+a}{k+b} = \frac{\Gamma(1+b)}{\Gamma(1+a)} \cdot \frac{\Gamma(n+1+a)}{\Gamma(n+1+b)}$	$a,b \neq -1,-2,\dots$
Pochhammer	$\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} (x+k) = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)} = (x)_n$	—
无穷乘积（平方倒数）	$\displaystyle \prod_{n=2}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{2}$	—
欧拉乘积	$\displaystyle \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$	$\operatorname{Re}(s) > 1$

10.2 核心技巧速查

技巧	核心思想	典型场景
对数转化法	$\ln\prod a_k = \sum \ln a_k$	积转和后用求和技巧
裂项相消	$a_k = b_k / b_{k-1}$	有理式乘积
等比求积	指数求和	等比数列乘积
阶乘/$\Gamma$	用$\Gamma$函数统一表示连乘积	含$k+a$ 形式的有理式乘积
积分近似	Riemann 和 → 定积分	$n \to \infty$ 的渐近估计
三角恒等式	倍角公式反复应用	余弦/正弦的连乘积

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知识图谱链接

本笔记与以下笔记形成知识网络：

• 求和式的计算方式：求积与求和的对偶关系，许多求积技巧（如裂项相消）与求和完全对称，先求和再取指数的思路贯穿始终。
• 混合大型运算的计算方式：涉及 $\sum$与$\prod$混合嵌套的复杂运算，如$\prod_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}$ 型表达式。
• 数列与微分方程核心方法：原理、推导及线性代数本质：数列递推关系的特征方程法，与求积中裂项构造的递推思想相通。
• 排列组合：阶乘 $n!$ 是组合数学的基础，二项式系数乘积与组合恒等式密切相关。
• 微积分：斯特林公式的推导依赖积分与欧拉-麦克劳林公式；积分近似求积（黎曼和）连接了离散求积与连续积分。
• 幂和公式及推导：等比数列求积中的指数求和 $\sum_{k=0}^{n-1} k = n(n-1)/2$ 是幂和公式的特例；对数转化法后也需用到各种幂和公式。
• 斐波那契数列的通项公式推导：Binet 公式中的黄金比例 $\phi$ 出现在连分数与无穷乘积表示中；递推数列的通项与连乘积有密切关联。
• 数学归纳法：许多求积恒等式的严格证明都依赖数学归纳法，如 Wallis 公式的部分积推导。
• 等差与等比数列的求和公式：等比数列求积公式直接用到等差数列（指数）的求和。

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学习建议

掌握求积的核心在于「转化」二字：将求积转化为求和（对数法）、将一般乘积转化为阶乘/$\Gamma$函数（标准形式）、将连续乘积转化为积分（渐近分析）。建议从裂项相消的典型题入手，然后过渡到$\Gamma$ 函数，最后攻克 Wallis 公式与无穷乘积。