常见函数导数表

基本初等函数

函数 $f(x)$	导函数$f'(x)$
$C$（常数）	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\sqrt[n]{x}$	$\dfrac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1}$
$\vert x \vert$	$\dfrac{x}{\vert x \vert} = \operatorname{sgn}(x) \quad (x \neq 0)$

指数与对数函数

函数 $f(x)$	导函数$f'(x)$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a \quad (a>0,\thinspace a\neq 1)$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$
$x^x$	$x^x (\ln x + 1)$

三角函数

函数 $f(x)$	导函数$f'(x)$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc x$	$-\csc x \cot x$

反三角函数

函数 $f(x)$	导函数$f'(x)$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\operatorname{arccot} x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$
$\operatorname{arcsec} x$	$\dfrac{1}{\vert x \vert \sqrt{x^2-1}}$
$\operatorname{arccsc} x$	$-\dfrac{1}{\vert x \vert \sqrt{x^2-1}}$

双曲函数

函数 $f(x)$	导函数$f'(x)$
$\sinh x$	$\cosh x$
$\cosh x$	$\sinh x$
$\tanh x$	$\operatorname{sech}^2 x$
$\coth x$	$-\operatorname{csch}^2 x$
$\operatorname{sech} x$	$-\operatorname{sech} x \tanh x$
$\operatorname{csch} x$	$-\operatorname{csch} x \coth x$

反双曲函数

函数 $f(x)$	导函数$f'(x)$
$\operatorname{arsinh} x$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$\operatorname{arcosh} x$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} \quad (x>1)$
$\operatorname{artanh} x$	$\dfrac{1}{1-x^2} \quad (\vert x \vert <1)$
$\operatorname{arcoth} x$	$\dfrac{1}{1-x^2} \quad (\vert x \vert >1)$
$\operatorname{arsech} x$	$-\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$\operatorname{arcsch} x$	$-\dfrac{1}{\vert x \vert \sqrt{1+x^2}}$

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导数运算法则

假设存在这样的两个基础函数 $f(x)、g(x)$ ，导数运算法则如下：

加减： $F(x) = f(x) \pm g(x)$导数： $F'(x) = f'(x) \pm g'(x)$

乘法： $F(x) = f(x) \cdot g(x)$导数： $F'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

除法： $F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$导数： $F'(x) = \frac{f'(x)\cdot g(x) - g'(x)\cdot f(x)}{g^2(x)}$

两个基础函数 $f(x)、g(x)$ ，导数运算法则如下：

例如 $F(x) = f[g(x)]$导数： $F'(x) = f'[g(x)]\cdot g'(x)$