圆

圆是平面解析几何中最基本的曲线之一，也是圆锥曲线家族中的特殊成员。从古希腊对圆的研究，到笛卡尔坐标系下圆的代数表达，圆始终是连接几何直观与代数运算的桥梁。

圆与圆锥曲线

圆可以看作椭圆的两焦点重合时的退化情形，也可看作平面截圆锥时截面与底面平行时的截线。详见圆锥曲线综合。

1. 圆的定义

1.1 集合定义

圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹（或集合）叫做圆。

定点称为圆心（center），通常记作 $O$或$C$；
定长称为半径（radius），通常记作 $r$（$r>0$）。

用集合语言表达：

$$ \text{圆} = \lbrace P \mid |OP| = r, \text{其中 }O\text{ 为定点}, r \text{ 为定长}\rbrace $$

这个定义直接体现了圆的本质属性：到定点距离相等。在解析几何中，这个定义将转化为一个二次方程，成为研究圆的有力工具。

1.2 相关概念

概念	定义	图示说明
圆心	圆内所有点到它距离相等的那个定点	记为 $O$或$C$
半径	圆心到圆上任意一点的距离	记为 $r$，$r>0$
直径	经过圆心且两端点在圆上的线段	长度 $d = 2r$
弦	连接圆上任意两点的线段	经过圆心的弦就是直径，是圆中最长的弦
弧	圆上两点之间的部分	分为优弧（>半圆）和劣弧（<半圆）
圆心角	顶点在圆心的角	其度数等于所对弧的度数
圆周角	顶点在圆上、两边交圆于两点的角	圆周角等于同弧所对圆心角的一半

2. 圆的方程（重点推导）

圆的方程是解析几何处理圆问题的核心工具。根据已知条件的不同，圆的方程有四种等价形式。

2.1 标准方程

圆心在原点的圆

当圆心在坐标原点 $O(0,0)$时，由圆的定义：圆上任意一点$P(x,y)$到原点$O(0,0)$的距离等于半径$r$。

由两点间距离公式：

$$ |OP| = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} $$

令 $|OP| = r$，两边平方得：

$$ \boxed{x^2 + y^2 = r^2} $$

这就是圆心在原点、半径为 $r$ 的圆的标准方程。这是圆的最简形式。

圆心在 $(a,b)$ 的圆

当圆心在点 $C(a,b)$时，圆上任意一点$P(x,y)$满足$|CP| = r$：

$$ \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r $$

两边平方，得到：

$$ \boxed{(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2} $$

这就是圆的标准方程。从标准方程可以直接读出：

圆心：$(a,b)$
半径：$r$

记忆技巧

标准方程中，$(x-a)^2$和$(y-b)^2$的系数都是$1$，右边是 $r^2$。展开后 $x^2$和$y^2$的系数相等且为$1$，没有 $xy$ 交叉项。

推导示例：

求以 $A(2,3)$为圆心，且过点$B(5,7)$ 的圆的方程。

解：先求半径 $r = |AB| = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9+16} = 5$。

圆的标准方程为：$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$。

展开验证：$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 25$，即 $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$。

2.2 一般方程

将标准方程 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 展开：

$$ x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2 $$

整理移项：

$$ x^2 + y^2 - 2a x - 2b y + (a^2 + b^2 - r^2) = 0 $$

令 $D = -2a$，$E = -2b$，$F = a^2 + b^2 - r^2$，则得：

$$ \boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0} $$

这就是圆的一般方程。

由一般方程求圆心和半径 —— 配方法

将 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$分别对$x$和$y$ 配方：

$$ \left(x^2 + Dx + \frac{D^2}{4}\right) + \left(y^2 + Ey + \frac{E^2}{4}\right) = \frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F $$

$$ \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4} $$

与标准方程 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ 对比，得：

圆心坐标：$\displaystyle \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$
半径：$\displaystyle r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$

方程表示圆的充要条件

充要条件

方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 表示圆的充要条件是：

$$\boxed{D^2 + E^2 - 4F > 0}$$

当 $D^2 + E^2 - 4F = 0$时，方程表示一个点$\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$（可视为半径为零的"退化圆"，即点圆）；

当 $D^2 + E^2 - 4F < 0$ 时，方程无实数解，不表示任何几何轨迹（可视为虚圆）。

注意

方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$要成为圆，还必须满足$x^2$和$y^2$的系数相等（一般取 1）且没有$xy$项。如果$x^2$和$y^2$ 的系数不相等，则方程表示椭圆或其他曲线。

例1：判断方程是否表示圆

判断方程 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ 是否表示圆，若是，求圆心和半径。

解：$D = -4$，$E = 6$，$F = -3$。

$D^2 + E^2 - 4F = 16 + 36 - 4(-3) = 16 + 36 + 12 = 64 > 0$，故表示圆。

圆心：$\left(-\frac{-4}{2}, -\frac{6}{2}\right) = (2, -3)$

半径：$r = \frac{1}{2}\sqrt{64} = \frac{8}{2} = 4$

也可配方验证：$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$。

例2：讨论含参数的方程

讨论方程 $x^2 + y^2 + 2kx + 4y + 3k + 8 = 0$ 表示圆的条件。

解：$D = 2k$，$E = 4$，$F = 3k + 8$。

$D^2 + E^2 - 4F = 4k^2 + 16 - 4(3k + 8) = 4k^2 + 16 - 12k - 32 = 4k^2 - 12k - 16$

$= 4(k^2 - 3k - 4) = 4(k - 4)(k + 1)$

当 $4(k-4)(k+1) > 0$，即 $k < -1$或$k > 4$ 时，方程表示圆。

当 $k = -1$或$k = 4$ 时，表示点圆。

当 $-1 < k < 4$ 时，无轨迹。

2.3 参数方程

圆的参数方程是处理某些圆问题（尤其是与三角函数、向量、运动相关的问题）的利器。

参数方程的形式

对于圆心在 $(a,b)$、半径为 $r$ 的圆，其参数方程为：

$$ \boxed{ \begin{cases} x = a + r\cos\theta \newline[6pt] y = b + r\sin\theta \end{cases} \qquad (\theta \in [0, 2\pi)) } $$

参数 $\theta$ 的几何意义

参数 $\theta$表示从圆心出发、沿$x$轴正方向逆时针旋转到半径$CP$ 所转过的角度，即该半径的方向角（辐角）。

参数方程的优势

将二元问题转化为单参数问题：只需一个参数 $\theta$ 就能表示圆上所有点
便于处理圆的最值问题：利用三角函数的有限性
便于处理与旋转有关的问题
在微积分中便于参数化积分（如计算弧长、面积）

例3：利用参数方程求最值

已知实数 $x,y$满足$x^2 + y^2 = 4$，求 $x + y$ 的最大值和最小值。

解：设 $x = 2\cos\theta$，$y = 2\sin\theta$，则

$x + y = 2\cos\theta + 2\sin\theta = 2\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$

当 $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 1$时，最大值为$2\sqrt{2}$；

当 $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = -1$时，最小值为$-2\sqrt{2}$。

tikz

\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$};
  \draw[thick, blue] (0,0) circle (2);
  \filldraw (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
  \draw[->, red] (0,0) -- (1.2, 1.6) node[above right] {$(r\cos\theta,\; r\sin\theta)$};
  \draw[red] (0.5,0) arc (0:53:0.5);
  \node[red] at (0.7, 0.25) {$\theta$};
  \filldraw[red] (1.2, 1.6) circle (1.5pt);
  \draw[dashed, gray] (1.2, 0) -- (1.2, 1.6);
  \draw[dashed, gray] (0, 1.6) -- (1.2, 1.6);
  \node[gray] at (1.2, -0.2) {$r\cos\theta$};
  \node[gray] at (-0.6, 1.6) {$r\sin\theta$};
\end{tikzpicture}

2.4 直径式方程

直径式方程

以 $A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$ 为直径端点的圆的方程为：

$$\boxed{(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0}$$

推导

设 $P(x,y)$为圆上任意一点（不与$A,B$重合）。以$AB$为直径，则由圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，即$\angle APB = 90^\circ$。

因此 $PA \perp PB$，由向量垂直条件：

$$ \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0 $$

即 $(x_1 - x, y_1 - y) \cdot (x_2 - x, y_2 - y) = 0$，展开得：

$$ (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0 $$

推广

直径式方程本质上是"直径所对圆周角为直角"的代数表达，可以直接写出而不需要先求圆心和半径。

例4：

已知 $A(1,3)$和$B(5,-1)$ 为直径端点，求圆的方程。

解：由直径式方程：

$(x-1)(x-5) + (y-3)(y+1) = 0$

展开：$(x^2 - 6x + 5) + (y^2 - 2y - 3) = 0$

即 $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 2 = 0$

圆心：$(3, 1)$，半径：$r = \frac{|AB|}{2} = \frac{\sqrt{16+16}}{2} = 2\sqrt{2}$。

3. 点与圆的位置关系

3.1 判断方法

给定圆 $C$：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$（圆心 $C(a,b)$，半径 $r$）和点 $P(x_0, y_0)$。

几何法：比较点 $P$到圆心$C$的距离$d$与半径$r$：

$$ d = |PC| = \sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2} $$

代数法：将点 $P$的坐标代入圆的方程，计算$f(P) = (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 - r^2$：

位置关系	几何法	代数法
点在圆内	$d < r$	$(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 < r^2$
点在圆上	$d = r$	$(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 = r^2$
点在圆外	$d > r$	$(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 > r^2$

一般方程代入法

若圆为一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，令 $$f(x,y) = x^2 + y^2 + Dx + Ey + F$$ 则：

$f(x_0, y_0) < 0$：点在圆内
$f(x_0, y_0) = 0$：点在圆上
$f(x_0, y_0) > 0$：点在圆外

例5：判断点与圆的位置关系

判断点 $P(2, -1)$与圆$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ 的位置关系。

解：配方：$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$，圆心 $(2,-1)$，半径 $r=3$。

点 $P(2,-1)$到圆心距离$d = \sqrt{(2-2)^2 + (-1+1)^2} = 0 < 3$，

故 $P$在圆内（实际上$P$ 就是圆心）。

例6：求点与圆的最值距离

已知点 $P(5, 4)$和圆$C: x^2 + y^2 = 4$，求 $P$ 到圆上各点的最大距离和最小距离。

解：圆心 $O(0,0)$，半径 $r=2$。

$|PO| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$

最大距离 $= |PO| + r = \sqrt{41} + 2$

最小距离 $= |PO| - r = \sqrt{41} - 2$

规律：圆外一点到圆的最大距离 = 点到圆心距离 + 半径，最小距离 = 点到圆心距离 - 半径。

tikz

\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[thick] (0,0) circle (2);
  \filldraw (0,0) circle (1.5pt) node[below] {$O$};
  \filldraw[red] (0.8, 0.6) circle (1.5pt) node[above] {$P_1$};
  \node[red] at (0.8, 0.1) {点在圆内};
  \filldraw[blue] (1.6, 1.2) circle (1.5pt) node[right] {$P_2$};
  \node[blue] at (2.2, 0.8) {点在圆上};
  \filldraw[green!60!black] (3.5, 0) circle (1.5pt) node[above] {$P_3$};
  \node[green!60!black] at (3.5, -0.5) {点在圆外};
  \draw[dashed, gray] (0,0) -- (3.5,0);
  \node[gray] at (1.8, 0.2) {$d$};
\end{tikzpicture}

4. 直线与圆的位置关系（重点）

直线与圆的位置关系是解析几何的核心考点，也是高考数学中的高频考点。

4.1 位置关系的判断

给定直线 $l: Ax + By + C = 0$和圆$C: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。

几何法（推荐首选）

计算圆心 $C(a,b)$到直线$l$ 的距离：

$$ d = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

与半径 $r$ 比较：

位置关系	条件	交点个数
相交	$d < r$	2 个
相切	$d = r$	1 个
相离	$d > r$	0 个

几何法 vs 代数法

几何法（比较 $d$与$r$）通常比代数法（联立求判别式）更简洁，优先使用几何法。但代数法在求交点坐标时不可替代。

代数法

联立直线与圆的方程，消去一个变量得到关于另一个变量的一元二次方程，判断判别式 $\Delta$：

$$ \begin{cases} Ax + By + C = 0 \newline (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{cases} $$

$\Delta > 0$：相交（两个不同交点）
$\Delta = 0$：相切（一个交点，重根）
$\Delta < 0$：相离（无交点）

例7：判断直线与圆的位置关系

判断直线 $l: 3x - 4y + 5 = 0$与圆$C: x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ 的位置关系。

解：配方得 $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$，圆心 $C(1,-2)$，半径 $r=3$。

圆心到直线距离：

$d = \dfrac{|3 \times 1 - 4 \times (-2) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|3 + 8 + 5|}{5} = \dfrac{16}{5} = 3.2 > 3$

故 $d > r$，直线与圆相离。

例8：求切线斜率

当 $m$为何值时，直线$l: x - y + m = 0$与圆$C: x^2 + y^2 = 2$ 相切？

解：圆心 $O(0,0)$，半径 $r = \sqrt{2}$。

圆心到直线距离：$d = \dfrac{|0 - 0 + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|m|}{\sqrt{2}}$

相切时 $d = r$，即 $\dfrac{|m|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，得 $|m| = 2$，即 $m = \pm 2$。

所以当 $m = 2$或$m = -2$ 时，直线与圆相切。

例9：求弦的中点

已知直线 $l: y = x + b$与圆$C: x^2 + y^2 = 4$相交于$A, B$两点，若弦$AB$的中点为$M(1, 2)$，求 $b$ 的值。

解：由几何性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦。

圆心 $O(0,0)$，中点 $M(1,2)$，$OM$斜率$k_{OM} = 2$。

弦 $AB$在直线$l$ 上，$l$的斜率$k_l = 1$。

垂直条件：$k_{OM} \cdot k_l = -1$，但 $2 \times 1 = 2 \neq -1$，所以 $M(1,2)$ 不可能是弦的中点。

实际上，我们验证：$M(1,2)$到圆心距离$|OM| = \sqrt{5}$，而半径为 $2$，$\sqrt{5} > 2$，$M$ 在圆外，不可能成为弦的中点。

弦中点必须在圆内

弦的中点一定在圆内！这是判断弦中点问题的一个重要隐含条件。

4.2 圆的切线方程

过圆上一点的切线方程

公式

过圆 $x^2 + y^2 = r^2$上一点$P(x_0, y_0)$ 的切线方程为：

$$\boxed{x_0 x + y_0 y = r^2}$$

推导：圆心 $O(0,0)$，半径 $OP$的斜率为$k_{OP} = \dfrac{y_0}{x_0}$（$x_0 \neq 0$）。

切线垂直于半径，故切线斜率 $k = -\dfrac{x_0}{y_0}$（$y_0 \neq 0$）。

切线方程：$y - y_0 = -\dfrac{x_0}{y_0}(x - x_0)$

整理：$y_0 y - y_0^2 = -x_0 x + x_0^2$，即 $x_0 x + y_0 y = x_0^2 + y_0^2 = r^2$。

推广

过圆 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$上一点$P(x_0, y_0)$ 的切线方程为：

$$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$$

该公式类似于"半代入"：将标准方程中的一个 $(x-a)$替换为$(x_0-a)$，另一个 $(x-a)$保留为$(x-a)$。

过圆外一点的切线方程

过圆外一点 $P(x_0, y_0)$ 可作圆的两条切线。求法：

方法一（设斜率法）：设切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$，利用圆心到切线距离 $d = r$解出$k$。

方法二（判别式法）：将切线方程代入圆的方程，利用 $\Delta = 0$解出$k$。

注意斜率不存在的情况

设斜率法可能遗漏 $x = x_0$ 这条切线（斜率不存在），需单独检验。

切线长公式

过圆外一点 $P(x_0, y_0)$向圆$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 所作切线的切线长为：

$$\boxed{l = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F}}$$

推导：由勾股定理，切线长 $l = \sqrt{|PC|^2 - r^2}$，其中 $C$ 为圆心。

由一般方程，$|PC|^2 - r^2 = \left(x_0 + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y_0 + \frac{E}{2}\right)^2 - \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$

化简即得 $l = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F}$。

例10：过圆上一点求切线方程

求过圆 $x^2 + y^2 = 25$上一点$P(3, 4)$ 的切线方程。

解：直接代入公式 $x_0 x + y_0 y = r^2$：

$3x + 4y = 25$

即切线方程为 $3x + 4y - 25 = 0$。

例11：过圆外一点求切线方程

求过点 $P(4, 0)$且与圆$x^2 + y^2 = 4$ 相切的直线方程。

解：设切线方程为 $y - 0 = k(x - 4)$，即 $kx - y - 4k = 0$。

圆心 $O(0,0)$到切线距离$d = \dfrac{|k \cdot 0 - 0 - 4k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \dfrac{4|k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = r = 2$

$\dfrac{4|k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2$，两边平方：$\dfrac{16k^2}{k^2 + 1} = 4$

$16k^2 = 4k^2 + 4$，$12k^2 = 4$，$k^2 = \dfrac{1}{3}$，$k = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

还需检验 $x = 4$（斜率不存在的情况）：$x = 4$到圆心距离$= 4 \neq 2$，不是切线。

故切线方程为 $y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}(x-4)$和$y = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x-4)$。

例12：求切线长

求点 $P(5, 1)$到圆$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ 的切线长。

解：切线长 $l = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F}$

$= \sqrt{25 + 1 + (-4) \times 5 + 2 \times 1 + (-4)}$

$= \sqrt{26 - 20 + 2 - 4} = \sqrt{4} = 2$

4.3 弦长问题

弦长公式（几何法）

直线 $l$与圆$C$相交于$A, B$两点，圆心$C$到直线$l$的距离为$d$，半径为 $r$，则：

几何法弦长公式

$$\boxed{|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}}$$

推导：过圆心 $C$作$CD \perp AB$于$D$，则 $D$为$AB$ 中点。由勾股定理：

$|AD| = \sqrt{r^2 - d^2}$，故 $|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}$。

弦长公式（代数法）

联立直线与圆的方程，消去 $y$（或 $x$）得到关于 $x$（或 $y$）的一元二次方程，设两交点的 $x$坐标为$x_1, x_2$，则：

代数法弦长公式

$$\boxed{|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}}$$

其中 $k$ 为直线斜率，$a$ 为二次项系数，$\Delta$ 为判别式。

选择策略

不需要求出交点坐标时，用几何法更简洁
需要求交点坐标、或处理中点弦问题时，用代数法配合韦达定理

中点弦问题

中点弦问题是指：已知弦的中点坐标，求该弦所在直线的方程。

中点弦问题的解法

点差法：设弦端点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，中点 $M(x_0, y_0)$。

将 $A, B$ 代入圆的方程，两式相减：

$$(x_1^2 - x_2^2) + (y_1^2 - y_2^2) = 0$$

利用 $x_1 + x_2 = 2x_0$，$y_1 + y_2 = 2y_0$和斜率公式$k = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$，得：

$$k = -\frac{x_0}{y_0}$$

即弦所在直线的斜率为 $-\dfrac{x_0}{y_0}$。

例13：求弦长（几何法）

求直线 $l: 3x + 4y - 5 = 0$被圆$x^2 + y^2 = 4$ 截得的弦长。

解：圆心 $O(0,0)$到直线距离$d = \dfrac{|0 + 0 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{5}{5} = 1$

$r = 2$，弦长 $|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 1} = 2\sqrt{3}$

例14：中点弦问题

已知圆 $x^2 + y^2 = 9$内一点$P(1, 2)$，求以 $P$ 为中点的弦所在直线的方程。

解：设弦的斜率为 $k$，由中点弦公式：$k = -\dfrac{x_P}{y_P} = -\dfrac{1}{2}$。

弦过 $P(1,2)$，方程为 $y - 2 = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$，即 $x + 2y - 5 = 0$。

验证：圆心到直线距离 $d = \dfrac{|0 + 0 - 5|}{\sqrt{1 + 4}} = \sqrt{5} \approx 2.236 < 3$，弦确实存在。

5. 圆与圆的位置关系（重点）

5.1 五种位置关系

设圆 $C_1$圆心为$O_1$，半径为 $r_1$；圆 $C_2$圆心为$O_2$，半径为 $r_2$（不妨设 $r_1 \geq r_2$），圆心距 $d = |O_1O_2|$。

位置关系	条件	交点个数	特征
外离	$d > r_1 + r_2$	0	两圆分离，无公共点
外切	$d = r_1 + r_2$	1	两圆在外部相切
相交	$r_1 - r_2< d < r_1 + r_2$	2	两圆相交于两点
内切	$d =r_1 - r_2$	1	一圆在另一圆内部相切
内含	$d <$	0	一圆完全在另一圆内部（不含同心）

记忆口诀

外离最大，外切相接，相交有二，内切内接，内含最小。

5.2 公共弦方程

当两圆相交时，它们的公共弦所在直线的方程可以通过两圆方程相减得到。

设圆 $C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0$和圆$C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0$ 相交，则其公共弦所在直线方程为：

$$ \boxed{(D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0} $$

说明

两圆方程相减，二次项 $x^2$和$y^2$ 被消去，得到一条直线方程。这条直线经过两圆的交点，因此是公共弦（或根轴）所在直线。

注意

即使两圆不相交（外离或内含），两圆方程相减仍得到一条直线，称为两圆的根轴（radical axis）。根轴上的点到两圆的切线长相等。

例15：判断两圆位置关系

判断圆 $C_1: x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$与圆$C_2: x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$ 的位置关系。

解：$C_1$：圆心 $(1, -2)$，半径 $r_1 = 3$

$C_2$：圆心 $(-2, 3)$，半径 $r_2 = 4$

圆心距 $d = \sqrt{(1+2)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5.83$

$r_1 + r_2 = 7$，$|r_1 - r_2| = 1$

$1 < \sqrt{34} < 7$，故两圆相交。

例16：求公共弦方程

求圆 $C_1: x^2 + y^2 = 4$与圆$C_2: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ 的公共弦所在直线方程。

解：两式相减：$(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1) = 4 - 0$

即 $4x + 2y - 1 = 4$，$4x + 2y - 5 = 0$。

公共弦所在直线为 $4x + 2y - 5 = 0$。

6. 圆系方程

圆系方程是处理"过已知两曲线交点"的圆问题的有力工具，可以避免直接求交点坐标。

6.1 过两圆交点的圆系

圆系方程（两圆交点）

设圆 $C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0$和圆$C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0$ 相交，则过两圆所有交点的圆系方程为：

$$\boxed{x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 + \lambda(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0}$$

其中 $\lambda$ 为参数，$\lambda \neq -1$（当 $\lambda = -1$ 时退化为公共弦所在直线）。

当 $\lambda = 0$时，得到圆$C_1$；当 $\lambda \to \infty$（即除以 $\lambda$后取极限）时，得到圆$C_2$。

圆系的本质

圆系方程表示的是：满足 $f_1(x,y) + \lambda f_2(x,y) = 0$的所有圆。因为两圆的交点同时满足$f_1 = 0$和$f_2 = 0$，所以必满足 $f_1 + \lambda f_2 = 0$，即圆系中的每个圆都经过这两交点。

6.2 过直线与圆交点的圆系

圆系方程（直线与圆交点）

过直线 $l: Ax + By + C = 0$与圆$C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的交点的圆系方程为：

$$\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F + \lambda(Ax + By + C) = 0}$$

6.3 共轴圆系

如果一组圆中任意两个圆的根轴都相同，则称这组圆为共轴圆系（coaxial circles）。

共轴圆系有三种类型：

相交型：所有圆经过两个固定点（公共弦为根轴）
相切型：所有圆在一点相切（公切线为根轴）
相离型：所有圆互不相交，但有共同的根轴

例17：利用圆系求过定点的圆

求过两圆 $C_1: x^2 + y^2 = 4$和$C_2: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$的交点，且经过点$P(2, 3)$ 的圆的方程。

解：设所求圆方程为 $x^2 + y^2 - 4 + \lambda(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1) = 0$

将 $P(2,3)$ 代入：$4 + 9 - 4 + \lambda(4 + 9 - 8 - 6 + 1) = 0$

$9 + \lambda \cdot 0 = 0$，即 $9 = 0$，矛盾！

这说明 $P(2,3)$ 不在圆系上，需要重新检查。实际上，先求两圆交点：

两圆相减得 $4x + 2y - 5 = 0$，联立 $x^2 + y^2 = 4$ 求解可得交点，但直接用圆系更方便。

设圆系：$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 4\lambda x - 2\lambda y + (\lambda - 4) = 0$

代入 $P(2,3)$：$(1+\lambda)(4+9) - 4\lambda \cdot 2 - 2\lambda \cdot 3 + (\lambda - 4) = 0$

$13(1+\lambda) - 8\lambda - 6\lambda + \lambda - 4 = 0$

$13 + 13\lambda - 8\lambda - 6\lambda + \lambda - 4 = 0$

$13 + 0\lambda - 4 = 0$，即 $9 = 0$，矛盾。

这表明 $P(2,3)$ 不在过两圆交点的任何一个圆上，换个点验证方法。

例18：利用圆系求过交点的圆

求过圆 $C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$与直线$l: x - y + 1 = 0$的交点，且圆心在直线$y = 2x$ 上的圆的方程。

解：设所求圆方程为 $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 + \lambda(x - y + 1) = 0$

整理：$x^2 + y^2 + (\lambda - 2)x + (-4 - \lambda)y + (1 + \lambda) = 0$

圆心坐标为 $\left(-\dfrac{\lambda - 2}{2}, -\dfrac{-4 - \lambda}{2}\right) = \left(\dfrac{2 - \lambda}{2}, \dfrac{4 + \lambda}{2}\right)$

圆心在 $y = 2x$ 上：$\dfrac{4 + \lambda}{2} = 2 \cdot \dfrac{2 - \lambda}{2}$

$4 + \lambda = 4 - 2\lambda$，$3\lambda = 0$，$\lambda = 0$

代入得圆方程：$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$，即原圆本身。

7. 阿波罗尼斯圆（Apollonius Circle）

7.1 定义

阿波罗尼斯圆的定义

平面内到两个定点 $A, B$的距离之比为常数$k$（$k > 0$且$k \neq 1$）的点的轨迹是一个圆，称为阿波罗尼斯圆（Apollonius circle），简称阿氏圆。

用集合语言表达：

$$ \left\lbrace P \thickspace\middle|\thickspace \frac{|PA|}{|PB|} = k,\thickspace k > 0,\thickspace k \neq 1 \right\rbrace $$

7.2 方程推导

设定点 $A(-c, 0)$，$B(c, 0)$（$c > 0$），动点 $P(x, y)$满足$\dfrac{|PA|}{|PB|} = k$（$k > 0$，$k \neq 1$）。

由 $\dfrac{\sqrt{(x + c)^2 + y^2}}{\sqrt{(x - c)^2 + y^2}} = k$，两边平方：

$$ \frac{(x + c)^2 + y^2}{(x - c)^2 + y^2} = k^2 $$

交叉相乘：

$$ (x + c)^2 + y^2 = k^2[(x - c)^2 + y^2] $$

展开：

$$ x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = k^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2) $$

整理：

$$ (1 - k^2)x^2 + (1 - k^2)y^2 + 2c(1 + k^2)x + c^2(1 - k^2) = 0 $$

因为 $k \neq 1$，故 $1 - k^2 \neq 0$，两边除以 $(1 - k^2)$：

$$ x^2 + y^2 + \frac{2c(1 + k^2)}{1 - k^2}x + c^2 = 0 $$

配方得：

$$ \left(x + \frac{c(1 + k^2)}{1 - k^2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{2ck}{|1 - k^2|}\right)^2 $$

所以阿波罗尼斯圆的：

圆心：$\displaystyle\left(-\frac{c(1 + k^2)}{1 - k^2},\thickspace 0\right)$—— 圆心在$AB$ 连线上
半径：$\displaystyle r = \frac{2ck}{|1 - k^2|}$

关键性质

阿波罗尼斯圆的圆心在 $AB$连线上，且圆上的点满足到$A, B$的距离之比恒为$k$。

7.3 性质与应用

阿氏圆与线段 $AB$的交点是$AB$ 的定比分点（内分点和外分点），这两个分点恰为阿氏圆直径的两个端点
阿氏圆常用于求解距离比的最值问题
在物理中，阿氏圆描述等势面等问题

例19：阿波罗尼斯圆问题

已知 $A(-2, 0)$，$B(2, 0)$，动点 $P$满足$|PA| = 2|PB|$，求 $P$ 的轨迹方程。

解：设 $P(x, y)$，由 $\dfrac{|PA|}{|PB|} = 2$，即 $|PA| = 2|PB|$。

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

两边平方：$(x+2)^2 + y^2 = 4[(x-2)^2 + y^2]$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2$

$3x^2 + 3y^2 - 20x + 12 = 0$

$x^2 + y^2 - \dfrac{20}{3}x + 4 = 0$

配方：$\left(x - \dfrac{10}{3}\right)^2 + y^2 = \dfrac{64}{9}$

圆心 $\left(\dfrac{10}{3}, 0\right)$，半径 $r = \dfrac{8}{3}$。

验证：圆心在 $AB$ 连线上，这正是阿波罗尼斯圆。

tikz

\begin{tikzpicture}[scale=1]
  % 坐标点定义
  \coordinate (A) at (-4,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (4,0);
  \coordinate (D) at (3.355,-3.948);

  % 几何元素
  \draw (C) circle (4cm);

  \draw (D) -- (A);
  \draw (D) -- (B);

  % 点标记
  \draw[fill=black] (A) circle (1pt);
  \draw[fill=black] (B) circle (1pt);
  \draw[fill=black] (C) circle (1pt);
  \draw[fill=black] (D) circle (1pt);

  % 点标签
  \node [left] at (A) {$A$};
  \node [above] at (B) {$B$};
  \node [right] at (C) {$C$};
  \node [below] at (D) {$D$};
\end{tikzpicture}

8. 圆的综合应用

8.1 最值问题

圆中的最值问题通常有三类：

距离最值

圆外（内）一点到圆上点的距离最值

设点 $P$到圆心$C$的距离为$d$，圆半径为 $r$，则：

若 $P$在圆外：最大距离$= d + r$，最小距离 $= d - r$
若 $P$在圆内：最大距离$= r + d$，最小距离 $= r - d$

斜率最值

过圆外一点作圆的切线，两条切线的斜率就是该点与圆上点连线的斜率的最值。

截距最值

形如 $z = ax + by$在圆$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ 上的最值，可用以下方法：

参数方程法：设 $x = x_0 + r\cos\theta$，$y = y_0 + r\sin\theta$，代入求最值
几何法：$z = ax + by$可视为直线$ax + by - z = 0$的截距，当直线与圆相切时$z$ 取最值

例20：斜率最值

已知圆 $x^2 + y^2 = 4$和点$P(4, 0)$，$Q$为圆上动点，求直线$PQ$ 斜率的最大值和最小值。

解：设 $Q(2\cos\theta, 2\sin\theta)$，则 $k_{PQ} = \dfrac{2\sin\theta - 0}{2\cos\theta - 4} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta - 2}$

令 $k = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta - 2}$，则 $k\cos\theta - 2k = \sin\theta$

$\sin\theta - k\cos\theta = -2k$

$\sqrt{1 + k^2}\sin(\theta - \varphi) = -2k$（其中 $\tan\varphi = k$）

由 $|\sin(\theta - \varphi)| \leq 1$：

$\left|\dfrac{-2k}{\sqrt{1 + k^2}}\right| \leq 1$，平方得 $\dfrac{4k^2}{1 + k^2} \leq 1$

$4k^2 \leq 1 + k^2$，$3k^2 \leq 1$，$-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \leq k \leq \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

故斜率最大值为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，最小值为 $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。

几何解释：这两条极值直线正是过 $P$ 的圆的两条切线。

例21：线性表达式最值

已知实数 $x, y$满足$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$，求 $z = x - 2y$ 的最值。

解：配方：$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$，圆心 $(2,-1)$，半径 $r=3$。

令 $z = x - 2y$，即 $x - 2y - z = 0$，这是一族平行直线。

当直线与圆相切时，$z$ 取最值。

圆心到直线距离：$d = \dfrac{|2 - 2(-1) - z|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{|4 - z|}{\sqrt{5}}$

相切时 $d = r = 3$：$\dfrac{|4 - z|}{\sqrt{5}} = 3$，$|4 - z| = 3\sqrt{5}$

$z = 4 \pm 3\sqrt{5}$

最大值为 $4 + 3\sqrt{5}$，最小值为 $4 - 3\sqrt{5}$。

8.2 与三角形相关的圆

外接圆

三角形三边垂直平分线的交点为外心（外接圆圆心），到三顶点距离相等。

已知三角形三个顶点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，$C(x_3, y_3)$，可通过设圆的一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，将三点坐标代入解出 $D, E, F$。

内切圆

三角形三条角平分线的交点为内心（内切圆圆心），到三边距离相等。

内切圆半径 $r = \dfrac{2S}{a+b+c}$，其中 $S$ 为三角形面积，$a,b,c$ 为三边长。

9. 知识总结

9.1 核心公式一览

项目	公式
标准方程	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
一般方程	$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
圆心（一般→标准）	$\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$
半径（一般→标准）	$r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$
表示圆的充要条件	$D^2 + E^2 - 4F > 0$
参数方程	$x = a + r\cos\theta,\thickspace y = b + r\sin\theta$
直径式方程	$(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$
过圆上一点的切线	$x_0x + y_0y = r^2$（圆心在原点）
切线长	$l = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F}$
弦长（几何法）	$\Vert{}AB\Vert = 2\sqrt{r^2 - d^2}$
弦长（代数法）	$\Vert{}AB\Vert = \sqrt{1+k^2} \cdot \Vert{}x_1-x_2\Vert$
两圆公共弦	$(D_1-D_2)x + (E_1-E_2)y + (F_1-F_2) = 0$
阿波罗尼斯圆条件	$\dfrac{\Vert{}PA\Vert}{\Vert{}PB\Vert} = k\thickspace(k>0, k\neq 1)$

9.2 解题策略

处理圆问题的核心思路

优先找圆心和半径：无论标准方程还是一般方程，转化为圆心和半径是解题的基础
几何法优先于代数法：能画图先画图，几何直观往往比代数推导更快捷
合理选用方程形式：已知圆心和半径用标准方程，已知三点用一般方程，最值问题用参数方程
圆系方程避免求交点：当问题涉及"过两曲线交点"时，圆系方程可以绕过求交点坐标
注意隐含条件：弦中点必须在圆内，切线与半径垂直，直径所对圆周角为直角

9.3 与其他章节的联系

圆的方程是曲线与方程概念的具体体现
圆可视为椭圆两焦点重合时的退化情形，与椭圆有内在联系
圆与直线的问题是点到直线距离公式的直接应用
三角形的外接圆、内切圆与平面几何密切相关
圆系方程是圆锥曲线综合中曲线系思想的基础
阿波罗尼斯圆在双曲线的定义中也有类似的比例思想

圆者，一中同长也。——《墨子·经上》

两千多年前，墨子对圆的定义"一中同长"（一个中心，等长半径），与现代数学中圆的定义完全一致。圆，作为最完美的平面图形，其对称性和简洁性使其成为数学中最优雅的研究对象之一。

圆 ​

1. 圆的定义 ​

1.1 集合定义 ​

1.2 相关概念 ​

2. 圆的方程（重点推导） ​

2.1 标准方程 ​

圆心在原点的圆 ​

圆心在 $(a,b)$ 的圆 ​

2.2 一般方程 ​

由一般方程求圆心和半径 —— 配方法 ​

方程表示圆的充要条件 ​

2.3 参数方程 ​

参数方程的形式 ​

参数 $\theta$ 的几何意义 ​

参数方程的优势 ​

2.4 直径式方程 ​

推导 ​

3. 点与圆的位置关系 ​

3.1 判断方法 ​

4. 直线与圆的位置关系（重点） ​

4.1 位置关系的判断 ​

几何法（推荐首选） ​

代数法 ​

4.2 圆的切线方程 ​

过圆上一点的切线方程 ​

过圆外一点的切线方程 ​

切线长公式 ​

4.3 弦长问题 ​

弦长公式（几何法） ​

弦长公式（代数法） ​

中点弦问题 ​

5. 圆与圆的位置关系（重点） ​

5.1 五种位置关系 ​

5.2 公共弦方程 ​

6. 圆系方程 ​

6.1 过两圆交点的圆系 ​

6.2 过直线与圆交点的圆系 ​

6.3 共轴圆系 ​

7. 阿波罗尼斯圆（Apollonius Circle） ​

7.1 定义 ​

7.2 方程推导 ​

7.3 性质与应用 ​

8. 圆的综合应用 ​

8.1 最值问题 ​

距离最值 ​

斜率最值 ​

截距最值 ​

8.2 与三角形相关的圆 ​

外接圆 ​

内切圆 ​

9. 知识总结 ​

9.1 核心公式一览 ​

9.2 解题策略 ​

9.3 与其他章节的联系 ​

圆

1. 圆的定义

1.1 集合定义

1.2 相关概念

2. 圆的方程（重点推导）

2.1 标准方程

圆心在原点的圆

圆心在 $(a,b)$ 的圆

2.2 一般方程

由一般方程求圆心和半径 —— 配方法

方程表示圆的充要条件

2.3 参数方程

参数方程的形式

参数 $\theta$ 的几何意义

参数方程的优势

2.4 直径式方程

推导

3. 点与圆的位置关系

3.1 判断方法

4. 直线与圆的位置关系（重点）

4.1 位置关系的判断

几何法（推荐首选）

代数法

4.2 圆的切线方程

过圆上一点的切线方程

过圆外一点的切线方程

切线长公式

4.3 弦长问题

弦长公式（几何法）

弦长公式（代数法）

中点弦问题

5. 圆与圆的位置关系（重点）

5.1 五种位置关系

5.2 公共弦方程

6. 圆系方程

6.1 过两圆交点的圆系

6.2 过直线与圆交点的圆系

6.3 共轴圆系

7. 阿波罗尼斯圆（Apollonius Circle）

7.1 定义

7.2 方程推导

7.3 性质与应用

8. 圆的综合应用

8.1 最值问题

距离最值

斜率最值

截距最值

8.2 与三角形相关的圆

外接圆

内切圆

9. 知识总结

9.1 核心公式一览

9.2 解题策略

9.3 与其他章节的联系