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点到直线、曲线、平面、曲面的距离
1. 基本概念
定义：距离
给定空间（$\mathbb{R}^n$）中一点 $P$与一个集合$\Omega$，点 $P$到$\Omega$ 的距离定义为 $$ d(P,\Omega) = \inf_{Q \in \Omega} \Vert P - Q \Vert, $$ 其中 $\Vert\cdot\Vert$表示欧几里得范数。如果存在$Q^*\in\Omega$使得下确界达到，则称$Q^*$为$P$到$\Omega$ 的最近点（或投影点），此时距离就是最短线段的长。
本笔记依次讨论点到直线、平面、曲线、曲面这四类集合的距离，重点放在具有解析表达式的常见情形，并给出可手算的例子。
2. 点到直线的距离
2.1 平面上的直线（$\mathbb{R}^2$）
定理（点到直线的距离公式）
设直线 $L$ 的方程为 $$ Ax + By + C = 0, $$ 则点 $P_0(x_0, y_0)$到$L$ 的距离为 $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. $$
推导思路
设垂足为 $H(x_1,y_1)$，则 $\overrightarrow{HP_0}$与直线的法向量$\mathbf{n} = (A,B)$ 平行。 因此 $\overrightarrow{HP_0} = t\thinspace\mathbf{n}$，再利用 $H$在直线上满足$Ax_1+By_1+C=0$， 可求得 $t = \dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}$，距离即为 $|t|\Vert\mathbf{n}\Vert = \dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
例题 1：二维点到直线
求点 $P(2, -1)$到直线$3x - 4y + 5 = 0$ 的距离。
解：直接代入公式 $$ d = \frac{|3\cdot 2 - 4\cdot(-1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 4 + 5|}{5} = \frac{15}{5} = 3. $$ 故距离为 $3$。
2.2 空间中的直线（$\mathbb{R}^3$）
定理（向量形式）
设空间直线 $L$过点$A$，方向向量为 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，则任意点 $P$到$L$ 的距离为 $$ d = \frac{\Vert \overrightarrow{AP} \times \mathbf{v} \Vert}{\Vert\mathbf{v}\Vert}. $$
几何解释
以 $\overrightarrow{AP}$和$\mathbf{v}$ 为邻边的平行四边形的面积为 $\Vert\overrightarrow{AP} \times \mathbf{v}\Vert$， 将其除以底边长 $\Vert\mathbf{v}\Vert$ 即得高，也就是点到直线的距离。
例题 2：三维点到直线
求点 $P(0,0,0)$到直线$L: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$（即过$A(1,0,0)$且方向$\mathbf{v}=(1,1,1)$）的距离。
解： $$ \overrightarrow{AP} = (0-1, 0-0, 0-0) = (-1, 0, 0), $$ $$ \overrightarrow{AP} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \newline -1 & 0 & 0 \newline 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0, 1, -1). $$ 模长 $\Vert\overrightarrow{AP} \times \mathbf{v}\Vert = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$， $\Vert\mathbf{v}\Vert = \sqrt{3}$， 因此 $d = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$。
3. 点到曲线的距离
3.1 平面曲线
一般方法
给定平面曲线 $C$（参数式 $(x(t), y(t))$或显式$y = f(x)$）与点 $P(x_0, y_0)$。 定义函数 $F(t) = \big(x(t)-x_0\big)^2 + \big(y(t)-y_0\big)^2$， 在 $C$的范围内求$F$的最小值。极值必要条件为$F'(t)=0$。
几何意义：最近点 $Q$满足连线$PQ$ 垂直于曲线在该点的切线。 对于显函数 $y = f(x)$，该条件等价于 $$ (x - x_0) + (f(x) - y_0)f'(x) = 0. $$
例题 3：点到抛物线
求点 $P(0,2)$到抛物线$y = x^2$ 的最短距离。
解：设曲线上点为 $(x, x^2)$，距离平方 $$ F(x) = x^2 + (x^2 - 2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4. $$ 求导： $$ F'(x) = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3). $$ 令 $F'(x) = 0$得$x = 0$或$x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$。
- $x = 0$：$F(0) = 4$，距离 $=2$。
- $x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}}$：$F\negthinspace\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\cdot\frac{3}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 = \frac{7}{4}$， 距离 $= \dfrac{\sqrt{7}}{2} \approx 1.3229$。
因此最短距离为 $\dfrac{\sqrt{7}}{2}$。几何上，在最近点 $\big(\sqrt{3/2},\thinspace 3/2\big)$处切线斜率$2x = \sqrt{6}$， 而连线斜率为 $\frac{3/2 - 2}{\sqrt{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{6}}$，两者乘积为 $-1$，确实垂直。
注意
若曲线为闭合凸曲线（例如圆、椭圆），最近点通常唯一；对于非凸或开曲线，需比较所有临界点及边界（如果存在）处的距离。
3.2 空间曲线
定理（空间曲线的必要条件）
设空间曲线 $C$由参数方程$\mathbf{r}(t)$ 给出，$P$ 为空间一点。 若 $t^*$使得$\mathbf{Q} = \mathbf{r}(t^*)$是$P$到$C$ 的最近点， 则向量 $\overrightarrow{PQ}$与切向量$\mathbf{r}'(t^*)$ 正交： $$ \big(P - \mathbf{r}(t^*)\big) \cdot \mathbf{r}'(t^*) = 0. $$
例题 4：点到螺旋线
求点 $P(0,0,0)$到圆柱螺旋线$\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$ 的最短距离。
解：距离平方 $$ F(t) = \cos^2 t + \sin^2 t + t^2 = 1 + t^2. $$ $F'(t) = 2t = 0 \implies t = 0$。 此时 $F(0) = 1$，对应点 $Q(1,0,0)$。验证： $\overrightarrow{PQ} = (-1,0,0)$，$\mathbf{r}'(0) = (-\sin 0, \cos 0, 1) = (0,1,1)$， 点积为 $0$，满足正交条件。最短距离为 $1$。
4. 点到平面的距离
定理（点到平面的距离公式）
设平面 $\Pi$ 的方程为 $$ Ax + By + Cz + D = 0, $$ 则点 $P(x_0, y_0, z_0)$到$\Pi$ 的距离为 $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. $$
推导
平面的单位法向量为 $\mathbf{n} = \dfrac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。 任取平面上一点 $Q(x_1,y_1,z_1)$，则 $\overrightarrow{QP}$ 在法向上的投影的绝对值即为距离： $$ d = |\overrightarrow{QP} \cdot \mathbf{n}| = \frac{|A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$ 由于 $Ax_1+By_1+Cz_1 = -D$，代回即得公式。
例题 5：点到平面
求点 $P(2,3,4)$到平面$x + 2y + 2z = 6$ 的距离。
解：将平面改写为 $x + 2y + 2z - 6 = 0$，则 $$ d = \frac{|1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 2\cdot 4 - 6|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \frac{|2 + 6 + 8 - 6|}{3} = \frac{10}{3}. $$
5. 点到曲面的距离
5.1 一般方法与必要条件
问题陈述
给定曲面 $S: F(x,y,z)=0$（$F$连续可微且梯度非零）及点$P(x_0,y_0,z_0)$。 求 $d(P,S) = \min\limits_{Q\in S} \Vert{}P - Q\Vert$。 这等价于在约束 $F(Q)=0$下最小化函数$f(Q) = \Vert{}P - Q\Vert^2$。
定理（拉格朗日乘子必要条件）
若 $Q^*$是$P$到曲面$F=0$ 的最近点且为正则点（$\nabla F(Q^*)\neq \mathbf{0}$）， 则存在标量 $\lambda$ 使得 $$ Q^* - P = \lambda \nabla F(Q^*). $$ 即向量 $\overrightarrow{PQ^*}$与曲面在$Q^*$ 处的法向量平行。
几何意义
从点 $P$ 到曲面最近点的连线必定沿着曲面的法线方向。 这可以看作“垂线段最短”在曲面上的推广。
5.2 特殊情形：球面
例题 6：点到球面的距离
求点 $P(5,0,0)$到球面$x^2 + y^2 + z^2 = 9$ 的最短距离。
解：球心在原点，半径 $r=3$。 点 $P$到球心的距离为$5$，因此最短距离为 $|5 - 3| = 2$（位于连线 $OP$ 上）。 由法向量条件也可验证：最近点 $Q = (3,0,0)$，$\nabla F(Q) = (6,0,0)$， $Q-P = (-2,0,0)$，二者平行。
5.3 一般曲面的例子
例题 7：点到旋转抛物面
求点 $P(0,0,2)$到曲面$z = x^2 + y^2$ 的最短距离。
解：将曲面写为 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 - z = 0$。设最近点为 $Q(x,y,z)$，则 $$ \overrightarrow{PQ} = (x-0, y-0, z-2) = (x, y, z-2), $$ $$ \nabla F(Q) = (2x, 2y, -1). $$ 由拉格朗日条件得 $(x, y, z-2) = \lambda (2x, 2y, -1)$。
分情况讨论：
- 若 $x \neq 0$，由 $x = 2\lambda x \implies \lambda = \frac12$；
- 若 $y \neq 0$，同理得 $\lambda = \frac12$。
因此可取 $\lambda = \frac12$。代入第三分量： $$ z - 2 = \frac12 \cdot (-1) = -\frac12 \implies z = \frac32. $$ 再结合曲面方程 $z = x^2 + y^2$，得 $x^2 + y^2 = \frac32$。
距离平方 $$ d^2 = x^2 + y^2 + (z-2)^2 = \frac32 + \left(-\frac12\right)^2 = \frac32 + \frac14 = \frac74. $$ 故 $d = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$。这与将曲面视为 $u = x^2+y^2$ 后化为一元函数求极值的结果完全一致。
（注意：若 $x=y=0$，则 $z=0$，此时 $\nabla F = (0,0,-1)$，$\overrightarrow{PQ} = (0,0,-2)$，对应 $\lambda=2$， 距离为 $2$，并非最小，符合临界点筛选。）
注意
拉格朗日乘子法仅给出必要条件。对于非凸曲面，可能存在多个满足法向平行的点， 此时需要逐一计算距离，并通过比较得到全局最小值。边界（若曲面有界）也需单独考虑。
6. 小结
| 几何对象 | 核心公式 / 条件 | 备注 |
|---|---|---|
| 直线（平面内） | $d = \dfrac{\vert Ax_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}$ | 法线投影 |
| 直线（空间中） | $d = \dfrac{\Vert\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\Vert}{\Vert\mathbf{v}\Vert}$ | 平行四边形的高 |
| 曲线（平面） | $(x-x_0)+(f(x)-y_0)f'(x)=0$ | 连线⊥切线 |
| 曲线（空间） | $(P-\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=0$ | 切向量正交 |
| 平面 | $d = \dfrac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ | 法向投影 |
| 曲面 | $\overrightarrow{PQ} \parallel \nabla F(Q)$ | 法向量平行，拉格朗日乘子 |
关键思想
从平面与直线的显式公式，到曲线与曲面的极值条件，整个理论一脉相承： 最近点处的连线必与对象在该点的所有切方向正交。 这是高维空间中垂直概念的统一体现，也是变分法与优化理论的基础。