平面几何定律集

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#目录

大纲

一、三角形基础定理

1. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2. 正弦定理
3. 余弦定理
4. 相似三角形判定与性质定理
5. 角平分线定理（内角、外角）

二、三角形中的比例与线段关系

6. 斯特瓦尔特定理
   • 推论：中线公式、角平分线长公式
7. 张角定理
8. 梅涅劳斯定理（梅氏定理）
9. 塞瓦定理
   • 角元塞瓦定理

三、圆的基本定理

10. 圆周角与圆心角定理
11. 圆幂定理（相交弦、割线、切线）
12. 托勒密定理
    • 推广：托勒密不等式
13. 阿波罗尼奥斯圆（阿氏圆）
    • 定义与性质
    • 到两定点距离比为定值的轨迹

四、共圆、共线与特殊点

14. 西姆松定理
15. 欧拉线
16. 九点圆
17. 密克定理（三圆共点）

五、补充专题

18. 莫雷定理（Morley‘s trisector theorem）
19. 帕普斯定理与帕斯卡定理（圆锥曲线背景）
20. 几何变换下的定理（平移、旋转、位似下的不变性）

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#正文

一、三角形基础定理

1.1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）

定理（勾股定理）

在 $\text{Rt}\triangle ABC$中，若$\angle C = 90^\circ$，$a = BC$，$b = AC$，$c = AB$，则 $$ a^2 + b^2 = c^2. $$ 即两条直角边的平方和等于斜边的平方。

经典证明（面积拼图法）

作四个全等的 $\text{Rt}\triangle$（直角边 $a,b$，斜边 $c$），将它们拼成一个大正方形，边长为 $a+b$。

• 方法一：中间形成一个边长为 $c$的小正方形，则大正方形面积$(a+b)^2 = 4\cdot\frac12 ab + c^2$，展开得 $a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2$，化简即得 $a^2+b^2 = c^2$。
• 方法二：也可将三角形拼成两矩形之差的形式，证明同理。

例1

已知直角三角形两直角边分别为 $3$和$4$，则斜边 $c = \sqrt{3^2+4^2}=5$。勾股数 $(3,4,5)$ 是最小正整数解。

勾股定理的逆定理

若 $\triangle ABC$的三边满足$a^2+b^2 = c^2$，则 $\angle C = 90^\circ$。这提供了判定直角的充要条件。

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1.2 正弦定理

定理（正弦定理）

在任意 $\triangle ABC$中，设角$A,B,C$所对的边长为$a,b,c$，外接圆半径为 $R$，则 $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R. $$

证明概要

1. 锐角情形：作外接圆 $O$，直径 $BD = 2R$。连接 $DC$，则 $\angle BDC = \angle A$（同弧所对圆周角相等）。在 $\text{Rt}\triangle BCD$ 中，$a = BC = BD\sin(\angle BDC) = 2R\sin A$，故 $a/\sin A = 2R$。
2. 钝角情形：设 $A > 90^\circ$，则 $\sin A = \sin(180^\circ - A)$，直径 $BD$与$C$的连线给出$\angle BDC = 180^\circ - A$，仍有 $a = 2R\sin(180^\circ - A) = 2R\sin A$。

例2

在 $\triangle ABC$ 中，$a=10$，$A=30^\circ$，$B=45^\circ$，求 $b$和外接圆半径$R$。

由正弦定理：$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{10}{\sin30^\circ} = 20 = 2R \Rightarrow R = 10$。 又 $\dfrac{b}{\sin B} = 20 \Rightarrow b = 20\sin45^\circ = 10\sqrt{2}$。

注意

正弦定理建立了边与对角的正弦的比例关系，特别适合已知两角一边或两边一对角的情形。解三角形时需留意可能有两解（已知 $a,b,A$且$A<90^\circ$且$b\sin A < a < b$ 时）。

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1.3 余弦定理

定理（余弦定理）

在任意 $\triangle ABC$中，以$c$为$AB$ 边为例： $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. $$ 类似地有另外两个对称等式。当 $C=90^\circ$ 时，$\cos C = 0$，退化为勾股定理。

向量法证明

将边视为向量：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$（注意方向）。则 $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}|^2 &= |\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}|^2 \newline &= |\overrightarrow{CB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 - 2\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA} \newline &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C. \end{aligned} $$

例3

在 $\triangle ABC$ 中，$a=7$，$b=8$，$C=60^\circ$，求 $c$。

由余弦定理： $$ c^2 = 7^2 + 8^2 - 2\cdot 7\cdot 8\cdot\cos60^\circ = 49 + 64 - 56 = 57, $$ 故 $c = \sqrt{57}$。

推论：边角互求

余弦定理可用于：

• 已知两边及夹角，求第三边；
• 已知三边，求任意一角（如 $\cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$），可判定三角形的形状（锐角、直角、钝角）。

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1.4 相似三角形判定与性质定理

判定定理

两个三角形相似（形状相同，大小可以不同）的充分条件：

1. AA（角角）：两对角对应相等。
2. SAS（边角边）：两边对应成比例且夹角相等。
3. SSS（边边边）：三边对应成比例。
4. 平行线截割：一条直线平行于三角形一边，截得的三角形与原三角形相似。

性质：对应角相等，对应边成比例；周长比、对应高之比、对应中线比、角平分线比均等于相似比 $k$；面积比等于 $k^2$。

例4

在 $\triangle ABC$中，点$D$在$AB$ 上，$E$在$AC$上，且$DE\parallel BC$。 则 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$，有 $$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}. $$ 这是平行线分线段成比例的基础模型。

射影定理（相似推论）

在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中，$CD\perp AB$于$D$，则

• $\triangle ACD \sim \triangle ABC \sim \triangle CBD$，
• $AC^2 = AD\cdot AB$，$BC^2 = BD\cdot AB$，$CD^2 = AD\cdot DB$。

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1.5 角平分线定理（内角、外角）

定理（内角平分线定理）

在 $\triangle ABC$ 中，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于$D$，则 $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}. $$ 即内角平分线将对边分成的两段与邻边成比例。

定理（外角平分线定理）

$AD$平分$\angle A$的外角（即平分$\angle CA$的邻补角），交$BC$的延长线于$D$，则 $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}, $$ 但此时 $D$在$BC$（或 $CB$）的延长线上，比例仍成立（有向线段）。

证明（面积法与正弦法）

内角：由 $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \dfrac{\frac12 AB\cdot AD\sin\frac A2}{\frac12 AC\cdot AD\sin\frac A2} = \dfrac{AB}{AC}$。 外角：类似利用外角平分线构成的三角形面积关系，或利用内外角平分线互相垂直的性质，结合正弦定理亦可得。

例5

在 $\triangle ABC$ 中，$AB=6$，$AC=9$，$BC=10$，内角平分线 $AD$交$BC$于$D$，求 $BD$。

设 $BD = x$，则 $DC = 10 - x$。由内角平分线定理： $$ \frac{x}{10-x} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad 3x = 20 - 2x \quad\Rightarrow\quad 5x=20 \quad\Rightarrow\quad x=4. $$ 故 $BD=4$，$DC=6$。

角平分线长公式（补充）

内角平分线 $AD$ 的长度满足： $$ AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot DC. $$ 该公式可由斯特瓦尔特定理导出，也常直接使用。

二、三角形中的比例与线段关系

2.1 斯特瓦尔特定理

定理（斯特瓦尔特定理）

在 $\triangle ABC$ 中，$D$为$BC$边上一点，设$BD = m$，$DC = n$，$AD = d$，则 $$ AB^2 \cdot n + AC^2 \cdot m = a (d^2 + mn), $$ 其中 $a = BC = m + n$。 等价形式： $$ d^2 = \frac{n}{m+n} AB^2 + \frac{m}{m+n} AC^2 - mn. $$

证明（余弦定理法）

在 $\triangle ABD$和$\triangle ACD$中分别使用余弦定理于$\angle ADB$和$\angle ADC$（二者互补，余弦互为相反数）： $$ \begin{aligned} AB^2 &= d^2 + m^2 - 2dm\cos\angle ADB, \newline AC^2 &= d^2 + n^2 - 2dn\cos\angle ADC. \end{aligned} $$ 用 $\cos\angle ADC = -\cos\angle ADB$，两式分别乘 $n$和$m$ 后相加，消去余弦项： $$ n AB^2 + m AC^2 = n(d^2+m^2) + m(d^2+n^2) = (m+n)d^2 + mn(m+n). $$ 整理即得 $n AB^2 + m AC^2 = a(d^2 + mn)$。

例1：求中线长

当 $D$为$BC$ 中点时，$m = n = \frac a2$，代入斯特瓦尔特定理得中线长公式： $$ m_a^2 = \frac12 AB^2 + \frac12 AC^2 - \frac14 a^2. $$ 即 $m_a = \frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$（常用记号 $a=BC$，$b=AC$，$c=AB$）。

例2：角平分线长公式再推导

当 $AD$为内角平分线时，由角平分线定理$\dfrac{m}{n} = \dfrac{c}{b}$，且 $m+n = a$，可解得 $m = \dfrac{ac}{b+c},\thickspace n = \dfrac{ab}{b+c}$。 代入斯特瓦尔特定理得 $$ d^2 = bc - mn = bc - \frac{a^2 bc}{(b+c)^2} = bc\left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2}\right). $$ 这也与第一章末的公式 $AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot DC$ 一致。

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2.2 张角定理

定理（张角定理）

在 $\triangle ABC$ 中，$D$为$BC$上一点，连接$AD$，设 $\angle BAD = \alpha$，$\angle CAD = \beta$，则 $$ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{AD} = \frac{\sin\alpha}{AC} + \frac{\sin\beta}{AB}. $$ 这里 $\alpha + \beta = \angle BAC$。

证明（面积法）

由 $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$，用公式 $S = \frac12 AB\cdot AD\sin\alpha$ 等： $$ \frac12 AB\cdot AC\sin(\alpha+\beta) = \frac12 AB\cdot AD\sin\alpha + \frac12 AC\cdot AD\sin\beta. $$ 两边同除以 $\frac12 AB\cdot AC\cdot AD$，即得 $$ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{AD} = \frac{\sin\alpha}{AC} + \frac{\sin\beta}{AB}. $$

例3

在 $\triangle ABC$ 中，$AB=4$，$AC=6$，$BC=8$，$D$在$BC$上使$\angle BAD = 30^\circ$，$\angle CAD = 45^\circ$，求 $AD$。

由张角定理，$\alpha=30^\circ,\thickspace\beta=45^\circ,\thickspace\alpha+\beta=75^\circ$， $$ \frac{\sin 75^\circ}{AD} = \frac{\sin 30^\circ}{6} + \frac{\sin 45^\circ}{4} = \frac{1/2}{6} + \frac{\sqrt{2}/2}{4} = \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{2}}{8}. $$ 故 $AD = \sin 75^\circ \Big/ \left( \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{2}}{8} \right)$。可进一步数值计算。

与斯特瓦尔特定理的关系

张角定理本质是面积的三角形式，与斯特瓦尔特定理等价；两者均可用于计算共点线段长度。

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2.3 梅涅劳斯定理（梅氏定理）

定理（梅涅劳斯定理）

设一直线分别交 $\triangle ABC$的三边$BC$、$CA$、$AB$（或其延长线）于点 $D$、$E$、$F$，且三点均不与顶点重合，则 $$ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1, $$ 其中各线段均为有向线段（符号依方向而定）。若用长度（绝对值）表示，则三点中要么恰有一点在边的延长线上，要么三点都在延长线上，此时乘积为 $-1$（有向）或描述为三段的长度比之积仍为 $1$，但须明确交点位置。

常用记忆：顶点到分点，绕一圈

从 $B$到$C$的$D$，$C$到$A$的$E$，$A$到$B$的$F$。三个比值的乘积为 $1$（有向）。

证明（平行线法）

过 $C$作$AB$的平行线交$DF$于$G$。由平行线分线段成比例： $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{BF}{CG}$，$\dfrac{CE}{EA} = \dfrac{CG}{FA}$。 相乘得 $\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA} = \dfrac{BF}{FA}$，移项即得 $\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}\cdot\dfrac{AF}{FB} = 1$。

例4

在 $\triangle ABC$ 中，$D$在$BC$ 延长线上，$BD:DC = 3:1$；$E$在$AC$ 上，$CE:EA = 2:1$；直线 $DE$交$AB$延长线于$F$。求 $AF:FB$。

由梅涅劳斯定理（有向，或全部取绝对值，注意三点位置）： $$ \frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = \frac{3}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{AF}{FB} = 1 \thickspace\Rightarrow\thickspace \frac{AF}{FB} = \frac{1}{6}. $$ 即 $AF:FB = 1:6$（注意 $F$在延长线上，此处$AF$与$FB$ 同向时的长度比）。

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2.4 塞瓦定理

定理（塞瓦定理）

在 $\triangle ABC$中，点$D$、$E$、$F$分别在边$BC$、$CA$、$AB$上，且$AD$、$BE$、$CF$ 三线共点（或平行），则 $$ \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1. $$ 这里线段也可理解为有向线段，若交点在内，各比值均为正。

证明（面积法）

设三线交于点 $P$，则 $$ \frac{BD}{DC} = \frac{S_{\triangle APB}}{S_{\triangle APC}},\quad \frac{CE}{EA} = \frac{S_{\triangle BPC}}{S_{\triangle APB}},\quad \frac{AF}{FB} = \frac{S_{\triangle APC}}{S_{\triangle BPC}}. $$ 三式相乘即得 $1$。

角元塞瓦定理

若上述 $AD$、$BE$、$CF$ 交于一点，则用角度表示为： $$ \frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD} \cdot \frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE} \cdot \frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF} = 1. $$ 这由每个比等于相邻三角形面积之比，并用正弦面积公式可得。

例5

在 $\triangle ABC$ 中，$D,E,F$分别是$BC,CA,AB$上的点，且$BD:DC=2:3$，$CE:EA=1:4$。若 $AD$、$BE$、$CF$共点，求$AF:FB$。

由塞瓦定理： $$ \frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{AF}{FB} = 1 \thickspace\Rightarrow\thickspace \frac{AF}{FB} = 6. $$ 故 $AF:FB = 6:1$。

梅涅劳斯与塞瓦的对偶

• 梅涅劳斯定理：三点共线 ⇒ 比值积为 $1$。
• 塞瓦定理：三线共点 ⇒ 比值积为 $1$。 两者互为“对偶”命题，在仿射几何中有深刻背景。

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2.5 张角定理的推广与补充（可选）

三角形中的其他比例关系

除上述定理外，还有：

• 射影定理（已在第一章提及）。
• 三角形的内心、旁心性质（可由角平分线定理和塞瓦定理推导）。
• 欧拉线上的比例关系（待后文详述）。

综合运用

斯特瓦尔特定理是“通法”，中线、角平分线、高线长公式皆为其特例；张角定理擅长处理具有已知角的分段问题；梅氏和塞瓦是处理共线、共点的核武器，两者结合可用于证明众多经典结论。

三、圆的基本定理

3.1 圆周角与圆心角定理

定理（圆周角定理）

在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即：若 $\angle AOB$ 为圆心角，$\angle ACB$为同一弧$\widehat{AB}$ 所对的圆周角，则 $$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB. $$

证明（分三种情形）

设圆心为 $O$，圆周角顶点为 $C$，连接 $OC$ 并延长。

1. 圆心在圆周角内部：
   $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$。
   由等腰三角形 $AOC$得$\angle ACO = \angle OAC$，故外角 $\angle AOD = 2\angle ACO$。同理 $\angle BOD = 2\angle BCO$。相加即得 $\angle AOB = 2(\angle ACO + \angle BCO) = 2\angle ACB$。

2. 圆心在圆周角外部：同理用外角差推导。

3. 圆心在圆周角一边上：此时其中一个等腰三角形退化为直线，结论显然成立。

推论

• 同弧或等弧所对的圆周角相等。
• 直径所对的圆周角是直角（$\because$ 平角的一半）。
• 圆内接四边形的对角互补（$\because$ 两对角所对弧之和为整个圆周）。

例1

在 $\odot O$ 中，$AB$ 为直径，$C$为圆上一点。已知$\angle CAB = 30^\circ$，求 $\angle CBA$。

由直径所对圆周角为直角得 $\angle ACB = 90^\circ$，故 $\angle CBA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。

例2（圆内接四边形）

四边形 $ABCD$内接于圆，已知$\angle A = 80^\circ$，求 $\angle C$。 由对角互补得 $\angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$。

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3.2 圆幂定理（相交弦、割线、切线）

圆幂定理是圆的相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一形式，核心是点对圆的幂。

定义：点对圆的幂

给定圆 $O$半径为$r$，点 $P$到圆心距离为$d$，则点 $P$ 对圆的幂定义为 $$ \operatorname{Pow}(P) = d^2 - r^2. $$ 几何上，过 $P$的任意直线与圆交于两点（含重合），则$P$ 到这两点的有向线段之积（切割线定理中的积）恒等于该幂。

3.2.1 相交弦定理

定理（相交弦定理）

圆的两条弦 $AB$与$CD$交于点$P$，则 $$ PA \cdot PB = PC \cdot PD. $$ （若在圆内，各段取长度；若考虑有向线段，则等式不变。）

证明（相似三角形）

连接 $AC$和$BD$。由于同弧所对圆周角相等：$\angle PAC = \angle PDB$，$\angle PCA = \angle PBD$，所以 $\triangle PAC \sim \triangle PDB$。因此 $\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PC}{PB}$，交叉相乘即得。

例3

在 $\odot O$中，弦$AB$与$CD$交于$P$。已知 $PA=3$，$PB=4$，$PC=2$，求 $PD$。

由相交弦定理：$3 \times 4 = 2 \times PD \Rightarrow PD = 6$。

3.2.2 割线定理

定理（割线定理）

从圆外一点 $P$引两条割线，分别交圆于$A,B$和$C,D$（$A,C$靠近$P$），则 $$ PA \cdot PB = PC \cdot PD. $$

证明

连接 $AD$与$BC$。由圆内接四边形外角等于内对角可得 $\angle PAD = \angle PCB$，且 $\angle P$公用，故$\triangle PAD \sim \triangle PCB$，从而 $\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PD}{PB}$，乘积相等。

3.2.3 切割线定理

定理（切割线定理）

从圆外一点 $P$引圆的切线$PT$（$T$为切点）和割线交圆于$A,B$（$A$靠近$P$），则 $$ PT^2 = PA \cdot PB. $$

证明

连接 $TA$和$TB$。由弦切角定理，$\angle PTA = \angle TBA$，又 $\angle P$公用，故$\triangle PTA \sim \triangle PBT$，得 $\dfrac{PT}{PA} = \dfrac{PB}{PT}$，即 $PT^2 = PA \cdot PB$。

例4

从圆外一点 $P$向圆引切线$PT=6$，又引割线交圆于 $A,B$且$PA=4$，求 $PB$。

由切割线定理：$6^2 = 4 \cdot PB \Rightarrow PB = 9$。

统一观点

以上三定理均表明：过点 $P$的直线与圆相交，所得两交点到$P$的有向线段之积等于$P$对圆的幂。当$P$ 在圆外时幂为正，圆内时为负，圆上时为零。

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3.3 托勒密定理

定理（托勒密定理）

圆内接凸四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。 即：四边形 $ABCD$ 内接于圆，则 $$ AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC. $$

经典证明（构造相似三角形）

在对角线 $BD$上取点$E$，使 $\angle BAE = \angle CAD$。 由 $\angle ABE = \angle ACD$（同弧 $AD$），得 $\triangle ABE \sim \triangle ACD$，故 $$ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} \quad\Rightarrow\quad AB \cdot CD = AC \cdot BE. \qquad (1) $$ 又 $\angle DAE = \angle BAC$，结合 $\angle ADE = \angle ACB$（同弧 $AB$），得 $\triangle ADE \sim \triangle ACB$，故 $$ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC} \quad\Rightarrow\quad AD \cdot BC = AC \cdot DE. \qquad (2) $$ (1)+(2) 得 $AB\cdot CD + AD\cdot BC = AC\cdot (BE+DE) = AC\cdot BD$。

托勒密不等式

对于任意平面四边形 $ABCD$，有 $$ AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC, $$ 等号成立当且仅当 $A,B,C,D$ 四点共圆（且顺序为圆上的正常排列）。这是三角形不等式的推广。

例5

圆内接四边形 $ABCD$ 中，$AB=3$，$BC=4$，$CD=5$，$AD=6$，求对角线的乘积 $AC\cdot BD$。

由托勒密定理：$AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC = 3\cdot5 + 6\cdot4 = 15 + 24 = 39$。

例6（托勒密定理与勾股定理）

若圆内接四边形退化为矩形（即其中一边为直径，两组对边分别相等），则对角线为圆的直径，托勒密定理即化为 $d^2 = a^2 + b^2$，即勾股定理。托勒密定理可视为勾股定理在圆内接四边形中的推广。

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3.4 阿波罗尼奥斯圆（阿氏圆）

定义（阿波罗尼奥斯圆）

平面上到两个定点 $A$与$B$的距离之比为常数$k$（$k>0,\thinspace k\neq 1$）的点的轨迹是一个圆，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆。 这个圆的直径位于直线 $AB$上，且圆心在线段$AB$内部或延长线上，取决于$k$ 的值。

推导（解析法）

设 $A(-c,0)$，$B(c,0)$，动点 $P(x,y)$满足$\dfrac{PA}{PB}=k$。 则 $\sqrt{(x+c)^2+y^2} = k\sqrt{(x-c)^2+y^2}$。 两边平方： $$ (x+c)^2+y^2 = k^2\big((x-c)^2+y^2\big), $$ 展开整理： $$ (1-k^2)x^2 + 2c(1+k^2)x + (1-k^2)y^2 + c^2(1-k^2)=0. $$ 当 $k\neq 1$时，除以$1-k^2$，配方可得圆的方程。圆心坐标为 $\left(\dfrac{k^2+1}{k^2-1}c,\thinspace0\right)$，半径 $r = \dfrac{2k}{|k^2-1|}c$。

几何性质

• 阿氏圆与线段 $AB$的交点$P_1, P_2$分别满足$\dfrac{P_1A}{P_1B} = k$（内分点）和 $\dfrac{P_2A}{P_2B} = k$（外分点），这两个分点即阿氏圆直径的两个端点。
• 阿氏圆上任意一点 $P$满足$PA:PB = k$，且 $PP_1$与$PP_2$ 垂直。
• 阿氏圆在解决几何最值、轨迹问题时非常有用。

例7

已知两点 $A(-2,0)$和$B(2,0)$，求满足 $PA = 2PB$的点$P$ 的轨迹。

解：代入 $c=2$，$k=2$。内分点：$\dfrac{PA}{PB} = 2$，$P$在$AB$上，设坐标$x$，则 $|x+2| = 2|x-2|$，解得 $x = \dfrac{2}{3}$（另一解 $x=6$ 为外分点，验证符合）。外分点：$x=6$。故直径两端为 $(6,0)$和$(\frac{2}{3},0)$。圆心为中点 $(\frac{10}{3},0)$，半径为 $\frac{8}{3}$。轨迹方程为 $(x-\frac{10}{3})^2+y^2 = (\frac{8}{3})^2$。

例8（几何应用）

在 $\triangle ABC$ 中，$BC=6$，$AB=2AC$。求点 $A$ 的轨迹。

由题意，点 $A$到$B$的距离与到$C$的距离之比为$2$（若 $B$对应$A$ 点，$C$对应$B$点？需对应清楚：设定点$B$和$C$，动点 $A$满足$AB = 2 AC$）。这是到 $B,C$距离比为$2$的轨迹，即为阿氏圆。其圆位置由$B$和$C$ 的坐标确定。

阿波罗尼奥斯圆与角平分线

阿氏圆的内、外分点恰好是 $\triangle ABC$中顶点$A$处内、外角平分线与对边$BC$ 的交点。这建立了比例线段、角平分线和阿氏圆之间的深刻联系。

四、共圆、共线与特殊点

4.1 西姆松定理

定理（西姆松定理）

过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线，则三个垂足共线。 这条直线称为该点关于三角形的西姆松线。

具体表述

设 $\triangle ABC$的外接圆为$\odot O$，点 $P$在$\odot O$上。自$P$向$BC$、$CA$、$AB$所在直线作垂线，垂足分别为$D$、$E$、$F$，则 $D$、$E$、$F$ 三点共线。

证明（利用共圆与角度）

连接 $PA$、$PB$、$PC$。 由 $PD \perp BC$和$PE \perp CA$，得 $P、D、C、E$ 四点共圆（$\angle PDC = \angle PEC = 90^\circ$），该圆以 $PC$ 为直径。同理，$P、E、A、F$四点共圆（直径$PA$），$P、F、B、D$四点共圆（直径$PB$）。

考虑有向角。由共圆关系： $$ \angle PDE = \angle PCE \quad (\text{在 } \odot PDCE \text{ 中}), \newline \angle PDF = \angle PBF \quad (\text{在 } \odot PDBF \text{ 中}). $$ 而因为 $P$在$\odot ABC$ 上，$\angle PCE = \angle PBA$（同弧 $PA$），$\angle PBA$的余角即为$\angle PBF$（因 $PF \perp AB$，且 $B、F、A$共线）。经过角度运算可得$\angle PDE + \angle PDF = 180^\circ$，因此 $D、E、F$ 共线。

例1

在 $\triangle ABC$的外接圆上任取一点$P$（非顶点），例如取 $P$为弧$BC$的中点（不含$A$）。则西姆松线恰好平行于 $A$ 处外角的平分线。这一性质常用于构造平行线或寻找等角。

逆定理

若从一点 $P$向$\triangle ABC$三边作垂线，三个垂足共线，则$P$必在$\triangle ABC$ 的外接圆上。

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4.2 欧拉线

定理（欧拉线）

任意三角形的垂心 $H$、重心 $G$、外心 $O$三点共线，且重心将垂心和外心所连线段分成$2:1$ 的比例，即 $$ \overrightarrow{HG} = 2 \overrightarrow{GO}. $$ 这条直线称为三角形的欧拉线。

证明概要（向量法）

设三角形 $ABC$的外心为$O$，取 $O$为原点建立向量。则$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$。 垂心 $H$满足$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$（欧拉公式）。 重心 $G$满足$\vec{OG} = \dfrac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \dfrac{1}{3}\vec{OH}$。 因此 $\vec{OH} = 3\vec{OG}$，即 $G$在$OH$上，且$HG:GO = 2:1$。

例2

已知 $\triangle ABC$的顶点$A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(0,8)$，求其欧拉线方程。

解：该三角形为直角三角形，$A$为直角顶点。直角三角形的外心在斜边中点，垂心在直角顶点。故外心$O$为$BC$中点$(3,4)$，垂心 $H$即为$A(0,0)$，重心 $G$为$(\frac{0+6+0}{3},\frac{0+0+8}{3}) = (2, \frac{8}{3})$。欧拉线过 $H$和$O$，方程为 $y = \dfrac{4}{3}x$。验证 $G$ 也在该直线上。

特殊情形

• 等边三角形中，外心、重心、垂心合一，欧拉线退化为一点。
• 直角三角形中，欧拉线为斜边上的中线（连接直角顶点和斜边中点）。

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4.3 九点圆

定理（九点圆）

在任意三角形中，以下九点共圆：

1. 三边的中点；
2. 三条高的垂足；
3. 垂心与各顶点连线的中点。

这个圆称为九点圆，其圆心为欧拉线的中点（即外心与垂心连线的中点），半径等于外接圆半径的一半。

证明思路

设 $\triangle ABC$的外心为$O$，垂心为 $H$。取 $OH$的中点$N$。利用中位线和圆的对称性可证以下点均在以 $N$ 为圆心、$R/2$ 为半径的圆上：

• $BC$的中点$D$满足$ND = \frac{1}{2}AH$，且 $AH = 2R\cos A$，计算得 $ND = R/2$。
• $A$到$H$的连线的中点$A'$满足$NA' = \frac{1}{2}OA = R/2$。
• 垂足 $D_A$可通过直角三角形斜边中线性质得$ND_A = R/2$。 因此九点共圆。

例3

在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 13$，$BC = 14$，$CA = 15$。求九点圆半径。

先求外接圆半径 $R$：由海伦公式面积 $S = \sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6} = 84$。又 $S = \dfrac{abc}{4R} \Rightarrow 84 = \dfrac{13\cdot14\cdot15}{4R} \Rightarrow R = \dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84} = \dfrac{2730}{336} = \dfrac{65}{8}$。 故九点圆半径 $r_9 = \dfrac{R}{2} = \dfrac{65}{16}$。

九点圆与内切圆、旁切圆的联系

九点圆与三角形的内切圆及三个旁切圆均相切，此即费尔巴哈定理。这体现了九点圆在三角形几何中的核心地位。

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4.4 密克定理（三圆共点）

定理（密克定理）

设 $\triangle ABC$的三边$BC$、$CA$、$AB$所在直线上各取一点$D$、$E$、$F$（可不在边上，在延长线上亦可），则分别过 $A、E、F$，$B、F、D$，$C、D、E$ 的三个圆共点。 这个公共点称为点 $D、E、F$关于$\triangle ABC$ 的密克点。

更常见的表述

在 $\triangle ABC$的边$BC$、$CA$、$AB$上分别取点$D$、$E$、$F$（不必为特殊点），则 $\odot AEF$、$\odot BFD$、$\odot CDE$交于同一点$M$。当三点共线时，该点即为完全四边形的密克点，常与西姆松线、根心定理等产生关联。

证明（利用共圆与交点的唯一性）

设 $\odot AEF$与$\odot BFD$交于点$M$（不同于 $F$，若 $F$是交点，则需调整）。连接$ME$、$MF$、$MD$。证明 $C、D、E、M$ 四点共圆。 由 $A、E、M、F$共圆，得$\angle AME = \angle AFE$；由 $B、F、M、D$共圆，得$\angle BMD = \angle BFD$。利用 $\triangle ABC$的内角和以及平角关系，可得$\angle EMD + \angle ECD = 180^\circ$，从而 $C、D、E、M$共圆。因此三圆共点于$M$。

例4

在 $\triangle ABC$ 中，$D、E、F$分别是三边中点。求此时三个圆$\odot AEF$、$\odot BFD$、$\odot CDE$ 的交点。

解：此时 $D、E、F$为中点，三个圆实际上是过两边中点和第三个顶点的圆。由对称性，密克点即三角形的重心？实际上，此时$EF\parallel BC$，$AE=EC$等等。可以证明三圆交于三角形的垂心？我们计算：取$\triangle ABC$为等边三角形，中点$D,E,F$，则 $\odot AEF$是过$A$和两个中点的圆，它显然经过三角形中心。事实上，对于任意三角形，该密克点是三角形的外心。验证：外心$O$满足$OA=OB=OC$，而 $A、E、F$中$E、F$ 是中点，$OE \perp AC$，但 $O$并不在$\odot AEF$ 上，除非特殊。正确答案：这三个圆交点是三角形的垂心？通过角度推导可知，此三圆交于九点圆的圆心？留作思考。更一般地，可利用密克定理解释完全四边形的四个三角形的外接圆共点。

密克定理的推广

当 $D、E、F$ 共线时（即为梅涅劳斯线），三圆仍共点，该点常称为完全四边形的密克点。四直线两两相交构成的图形中有四个三角形，它们的外接圆共点，这正是经典密克定理的内容。

共圆与共线的统一

西姆松线、欧拉线、九点圆与密克点这些结构展示了三角形中点、垂足、外心、垂心等特殊点之间深邃的共线共圆规律，是平面几何魅力的集中体现。

五、补充专题

5.1 莫雷定理（Morley's Trisector Theorem）

定理（莫雷定理）

任意三角形三个内角的三等分线中，靠近各边的两条三等分线的交点构成一个等边三角形。 具体地，在 $\triangle ABC$中，作内角的三等分线：设从顶点$B$和$C$出发、最靠近边$BC$的两条三等分线交于点$X$；类似地得点 $Y$（靠近 $CA$）和 $Z$（靠近 $AB$）。则 $\triangle XYZ$ 为等边三角形，称为莫雷三角形。

说明

每个内角有两条三等分线，选择“靠近对边”的组合可构造经典莫雷三角形。实际上，不同选择共可构造出 27 个等边三角形（莫雷的完整结果），本定理所指是最经典的情形。

证明概要（三角法）

设 $\triangle ABC$的三内角为$A = 3\alpha$, $B = 3\beta$, $C = 3\gamma$，则 $\alpha+\beta+\gamma = 60^\circ$。 在 $\triangle BXC$ 中，$\angle XBC = \beta$, $\angle XCB = \gamma$，故 $\angle BXC = 180^\circ - (\beta+\gamma)$。 利用正弦定理可求得 $BX$和$XC$。同理对 $Y,Z$ 计算。利用恒等式 $$ \sin 3\theta = 4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(60^\circ-\theta) $$ 可严格证明 $XY = YZ = ZX$且各内角为$60^\circ$。

例1（等边三角形的莫雷三角形）

若 $\triangle ABC$本身是等边三角形，则每个内角为$60^\circ$，三等分角为 $20^\circ$。靠近边的三等分线仍两两相交，产生一个更小的等边三角形，与原三角形同心，但并不退化。它是大等边三角形内部的一个非退化的等边三角形，三顶点分别位于原三角形三条对称轴上，与中心等距。这说明莫雷三角形在等边情形下同样适用，且结论自然成立。

历史注记

该定理由弗兰克·莫雷于 1899 年发现，被誉为“初等几何中最令人惊奇的定理之一”。它不依赖于尺规作图（因为三等分角不可尺规作图），但定理本身完全正确。

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5.2 帕普斯定理与帕斯卡定理

5.2.1 帕普斯定理

定理（帕普斯定理）

设点 $A,B,C$位于直线$l$上，点$A',B',C'$位于另一直线$l'$ 上（$l$与$l'$ 不重合），且这六个点互不相同。则三组对边连线的交点： $$ P = AB' \cap A'B,\quad Q = BC' \cap B'C,\quad R = CA' \cap C'A $$ 三点共线。这条直线称为帕普斯线。

证明思路

可建立坐标系用解析法证明，或多次运用梅涅劳斯定理于合适的三角形。该定理也是帕斯卡定理当圆锥曲线退化为两条直线时的特例。

例2（帕普斯定理的特例——$l$与$l'$ 相交）

取 $l$为$x$ 轴，$l'$为$y$轴，交于原点$O$。设 $$ A(1,0),\ B(2,0),\ C(3,0);\quad A'(0,1),\ B'(0,2),\ C'(0,3). $$

• $AB'$过$(1,0)$与$(0,2)$，方程为 $y = -2x+2$；$A'B$过$(0,1)$与$(2,0)$，方程为 $y = -\frac12 x+1$。联立解得 $P\left(\frac23,\frac23\right)$。
• $BC'$过$(2,0)$与$(0,3)$，方程为 $y = -\frac32 x+3$；$B'C$过$(0,2)$与$(3,0)$，方程为 $y = -\frac23 x+2$。解得 $Q\left(\frac65,\frac65\right)$。
• $CA'$过$(3,0)$与$(0,1)$，方程为 $y = -\frac13 x+1$；$C'A$过$(0,3)$与$(1,0)$，方程为 $y = -3x+3$。解得 $R\left(\frac34,\frac34\right)$。

三个点均满足 $y=x$，故 $P,Q,R$ 共线，与定理一致。

5.2.2 帕斯卡定理

定理（帕斯卡定理）

设六边形 $ABCDEF$ 内接于一条圆锥曲线（例如圆），则三组对边的交点共线： $$ AB \cap DE,\quad BC \cap EF,\quad CD \cap FA $$ 三点在同一直线上，此线称为帕斯卡线。

关系

当圆锥曲线退化为两条直线，且六个顶点交替位于这两条直线上时，帕斯卡定理即化为帕普斯定理。因此帕普斯定理是帕斯卡定理的退化情形。

例3（圆内接六边形）

设 $A,B,C,D,E,F$依次是圆上的六个点。若已知$AB$与$DE$交于$P$，$BC$与$EF$交于$Q$，$CD$与$FA$交于$R$，则 $P,Q,R$ 共线。特殊地，当对边平行时，对应的交点落在无穷远直线上，帕斯卡线即该无穷远直线。

统一视角

帕普斯定理与帕斯卡定理揭示了“点线共线”的深层结构，都属于射影几何的基本定理。它们与交比、调和点列、对偶原理密切相关，展现了平面几何的统一美。

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5.3 几何变换下的定理

平面几何中，许多定理可通过几何变换（平移、旋转、反射、位似等）简洁证明。这些变换保持某些几何性质不变，并构成群。

5.3.1 平移变换

性质

平移 $T_{\mathbf{v}} : P \mapsto P + \mathbf{v}$ 保持：距离、线段长度与方向、平行性、角度大小及定向。

例4（中点连线定理）

求证：三角形两边中点连线平行于第三边且等于第三边的一半。

证明：设 $D,E$为$AB,AC$中点。将线段$DE$平移至$D$与$B$重合，则$E$落在点$F$处，易证四边形$BCFE$为平行四边形，从而$EF \parallel BC$且$DE = \frac12 EF = \frac12 BC$。

5.3.2 旋转变换

性质

绕定点 $O$旋转$\theta$ 角保持：线段长度、两线夹角、图形形状大小、圆半径。

例5（旋转构造直角三角形求角）

已知 $P$是正三角形$ABC$内一点，且$PA=3,\ PB=4,\ PC=5$，求 $\angle APB$。

解：将 $\triangle APB$绕点$B$逆时针旋转$60^\circ$到$\triangle CBQ$，则 $A$与$C$ 重合，$P$对应$Q$。

• 由旋转性质，$BQ = BP = 4$，$\angle PBQ = 60^\circ$，故 $\triangle PBQ$ 为正三角形，$PQ = 4$。
• 同时 $CQ = AP = 3$，而 $PC = 5$。
• 在 $\triangle PQC$ 中，$PQ=4,\ QC=3,\ PC=5$，满足 $3^2+4^2=5^2$，故 $\angle PQC = 90^\circ$。
• 又 $\triangle PBQ$ 为正三角形，$\angle PQB = 60^\circ$。
• 因此 $\angle CQB = \angle PQC + \angle PQB = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$。
• 旋转前 $\angle APB = \angle CQB$，故 $\angle APB = 150^\circ$。

5.3.3 位似变换

性质

关于中心 $O$、位似比 $k \neq 0$的位似$H_{O,k}$满足$\overrightarrow{OP'} = k\overrightarrow{OP}$，保持：角度、共线与共圆性，长度比 $|k|$，面积比 $k^2$。

例6（位似证明欧拉线）

三角形的外心 $O$、重心 $G$、垂心 $H$共线，且$OG:GH = 1:2$。

位似证法：以重心 $G$为中心、位似比$-\frac12$的位似将$\triangle ABC$映到中点三角形$DEF$，外心 $O$映到九点圆圆心$N$。又垂心 $H$与外心$O$满足$\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$，即 $H$是以$G$为中心、比$-2$的位似下$O$的对应点（或通过九点圆性质推得）。由此可得$O,G,H$共线且$G$内分$OH$为$1:2$。

5.3.4 反射变换（轴对称）

性质

关于直线 $l$ 的反射是合同变换，保持长度与角度，但改变定向。对称点连线垂直于对称轴且被平分。

例7（将军饮马——最短路径）

在直线 $l$同侧有两点$A,B$，在 $l$上求点$P$使$PA+PB$ 最小。

解：作 $A$关于$l$的对称点$A'$，连接 $A'B$交$l$于$P$。因 $PA = PA'$，故 $PA+PB = PA'+PB = A'B$为两点间最短线段。若取$l$上其他点$P'$，则 $P'A+P'B = P'A'+P'B > A'B$。

几何变换的深刻意义

平移、旋转、位似、反射等变换不仅提供了解题技巧，更揭示了平面几何的结构：在克莱因的爱尔兰根纲领下，几何学正是研究在某一变换群下不变性质的科学。掌握这些变换，能更深刻地理解平面几何定理的本质。