椭圆 (Ellipse)

概述

椭圆是圆锥曲线中最基本、最重要的一类曲线。它不仅是解析几何的核心内容，在物理学（开普勒定律、光学）、工程学（椭圆齿轮、拱桥设计）中也有广泛应用。本章将从定义出发，系统深入地展开椭圆的所有重要性质、公式推导与典型解题方法。

1. 椭圆的第一定义与标准方程

1.1 第一定义

椭圆的第一定义

平面内到两个定点 $F_1$、$F_2$的距离之和等于常数$2a$（$2a > |F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 $F_1$、$F_2$称为椭圆的焦点，两焦点间的距离$|F_1F_2| = 2c$ 称为焦距。

设动点为 $M(x, y)$，则第一定义的代数表达为：

$$|MF_1| + |MF_2| = 2a \quad (2a > 2c > 0)$$

注意

当 $2a = 2c$时，轨迹退化为线段$F_1F_2$；当 $2a < 2c$ 时，轨迹不存在。因此椭圆存在的条件是 $a > c > 0$。

tikz

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  % 坐标轴
  \draw[gray,->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
  \draw[gray,->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$};

  % 椭圆
  \draw[thick,blue] (0,0) ellipse (2.5cm and 1.5cm);

  % 焦点
  \fill (-2,0) circle (2pt);
  \node[below] at (-2,0) {$F_1(-c,0)$};

  \fill (2,0) circle (2pt);
  \node[below] at (2,0) {$F_2(c,0)$};

  % 动点
  \fill[red] (1.5,0.866) circle (2pt);
  \node[above right] at (1.5,0.866) {$M$};

  % 虚线
  \draw[dashed] (-2,0) -- (1.5,0.866);
  \draw[dashed] (2,0) -- (1.5,0.866);

  % 标注 a, b, c
  \draw[<->] (0,-0.3) -- (2.5,-0.3);
  \node[below] at (1.25,-0.3) {$a$};

  \draw[<->] (0.3,0) -- (0.3,1.5);
  \node[right] at (0.3,0.75) {$b$};

  \draw[<->] (-2,0.3) -- (2,0.3);
  \node[above] at (0,0.3) {$2c$};
\end{tikzpicture}

1.2 标准方程的完整推导

以焦点在 $x$轴上为例，设焦点$F_1(-c, 0)$、$F_2(c, 0)$，动点 $M(x, y)$。

由定义：

$$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a \tag{1}$$

第一步：移项

$$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

第二步：两边平方

$$(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2$$

第三步：展开并化简

左边展开：$x^2 + 2cx + c^2 + y^2$

右边展开：$4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2$

两边消去 $x^2$、$c^2$、$y^2$：

$$2cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} - 2cx$$

$$4cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

第四步：移项并除以4

$$a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = a^2 - cx$$

第五步：两边再平方

$$a^2[(x - c)^2 + y^2] = (a^2 - cx)^2$$

$$a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = a^4 - 2a^2cx + c^2x^2$$

$$a^2x^2 - 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 - 2a^2cx + c^2x^2$$

第六步：消去 $-2a^2cx$，移项

$$a^2x^2 - c^2x^2 + a^2y^2 = a^4 - a^2c^2$$

$$(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)$$

第七步：引入 $b$

令 $b^2 = a^2 - c^2$（因 $a > c$，故 $b > 0$），则：

$$b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$$

第八步：两边同除以 $a^2b^2$

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$$

这就是椭圆的标准方程（焦点在 $x$ 轴上）。

关键关系

$$a^2 = b^2 + c^2$$

$a$ — 长半轴长，$b$ — 短半轴长，$c$ — 半焦距。在椭圆中，$a$ 最大，$a > b$且$a > c$。

1.3 焦点在 $y$ 轴上的标准方程

若焦点在 $y$轴上，设$F_1(0, -c)$、$F_2(0, c)$，类似推导可得：

$$\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$$

此时 $a$仍为长半轴长，但长轴在$y$ 轴上。

判断焦点位置的口诀

分母大的那个变量对应的轴就是焦点所在的轴。例如 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$中$9 > 4$，焦点在 $x$ 轴；$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$中$9 > 4$，焦点在 $y$ 轴。

1.4 例题精选

例1：求标准方程

已知椭圆的焦点为 $F_1(-4, 0)$、$F_2(4, 0)$，椭圆上一点 $P$到两焦点的距离之和为$10$，求椭圆的标准方程。

[!success]- 解答由题意：$c = 4$，$2a = 10 \Rightarrow a = 5$。

由 $a^2 = b^2 + c^2$得$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9$，$b = 3$。

焦点在 $x$ 轴上，故标准方程为： $$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

例2：利用定义求轨迹方程

已知 $\triangle ABC$的周长为$16$，$B(-3, 0)$、$C(3, 0)$为定点，求顶点$A$ 的轨迹方程。

[!success]- 解答 $|AB| + |AC| + |BC| = 16$，$|BC| = 6$。

故 $|AB| + |AC| = 10$，且 $10 > 6 = |BC|$。

由椭圆第一定义，$A$的轨迹是以$B$、$C$ 为焦点的椭圆。

$2a = 10 \Rightarrow a = 5$，$2c = 6 \Rightarrow c = 3$，$b^2 = a^2 - c^2 = 16$。

但 $A$不能与$B$、$C$共线（否则退化为三角形），即$y \neq 0$。

轨迹方程为：$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1 \thickspace(y \neq 0)$。

2. 椭圆的几何性质

以椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \thickspace(a > b > 0)$ 为例。

2.1 范围

由方程 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 知：

$$\frac{x^2}{a^2} \leq 1 \Rightarrow |x| \leq a,\qquad \frac{y^2}{b^2} \leq 1 \Rightarrow |y| \leq b$$

椭圆位于直线 $x = \pm a$和$y = \pm b$ 围成的矩形区域内。

2.2 对称性

以 $-x$代$x$方程不变$\Rightarrow$关于$y$ 轴对称；
以 $-y$代$y$方程不变$\Rightarrow$关于$x$ 轴对称；
同时以 $-x$、$-y$代$x$、$y$方程不变$\Rightarrow$ 关于原点对称。

椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心为原点（椭圆的中心）。

2.3 顶点

椭圆与对称轴的交点称为顶点：

与 $x$轴交点：令$y = 0$，得 $x = \pm a$，顶点 $A_1(-a, 0)$、$A_2(a, 0)$
与 $y$轴交点：令$x = 0$，得 $y = \pm b$，顶点 $B_1(0, -b)$、$B_2(0, b)$

$|A_1A_2| = 2a$ 称为长轴，$|B_1B_2| = 2b$ 称为短轴。$a$ 为长半轴长，$b$ 为短半轴长。

2.4 焦点

$$F_1(-c, 0),\thickspace F_2(c, 0),\quad c = \sqrt{a^2 - b^2}$$

2.5 离心率

离心率的定义

$$e = \frac{c}{a} \quad (0 < e < 1)$$

离心率 $e$ 刻画了椭圆的扁平程度：

$e$越接近$0$，$c$ 越小（$b$越接近$a$），椭圆越接近圆
$e$越接近$1$，$c$越接近$a$（$b$越接近$0$），椭圆越扁

$e$与$b/a$ 的关系

$$\frac{b}{a} = \sqrt{1 - e^2}$$

当 $e \to 0$ 时，$b/a \to 1$，椭圆趋于圆；当 $e \to 1$ 时，$b/a \to 0$，椭圆趋于一条线段。

2.6 准线

准线方程

对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，左准线 $l_1$和右准线$l_2$ 的方程为： $$x = -\frac{a^2}{c},\qquad x = \frac{a^2}{c}$$

由于 $c < a$，有 $\dfrac{a^2}{c} > a$，即准线在椭圆外部。

准线与焦点的对应关系

左焦点 $F_1(-c, 0)$对应左准线$x = -\dfrac{a^2}{c}$；右焦点 $F_2(c, 0)$对应右准线$x = \dfrac{a^2}{c}$。

2.7 通径

通径

过焦点且垂直于长轴的弦称为椭圆的通径，其长度为： $$\frac{2b^2}{a}$$

推导：将 $x = c$（或 $x = -c$）代入椭圆方程：

$$\frac{c^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2 - c^2}{a^2} = \frac{b^2}{a^2}$$

$$y^2 = \frac{b^4}{a^2} \Rightarrow y = \pm \frac{b^2}{a}$$

通径长 $= 2 \times \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{2b^2}{a}$。

通径与离心率

通径长 $\dfrac{2b^2}{a}$是过焦点的弦中最短的。通径长与长轴的比值为$\dfrac{2b^2/a}{2a} = \dfrac{b^2}{a^2} = 1 - e^2$。

3. 椭圆的参数方程

3.1 参数方程

椭圆的标准参数方程

$$\begin{cases} x = a\cos\theta \newline y = b\sin\theta \end{cases} \quad (\theta \in [0, 2\pi))$$

其中 $\theta$ 称为离心角（或参数角）。

验证：代入 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = \dfrac{a^2\cos^2\theta}{a^2} + \dfrac{b^2\sin^2\theta}{b^2} = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，满足方程。

3.2 离心角 $\theta$ 的几何意义

离心角 ≠ 极角

离心角 $\theta$不是点$P$与原点连线的倾斜角。设点$P(a\cos\theta, b\sin\theta)$，则 $OP$的倾斜角$\alpha$ 满足： $$\tan\alpha = \frac{b\sin\theta}{a\cos\theta} = \frac{b}{a}\tan\theta$$

只有当 $a = b$（即为圆）时，才有 $\theta = \alpha$。

离心角的几何意义

以原点为圆心，分别作半径为 $a$的大辅助圆$x^2 + y^2 = a^2$和半径为$b$的小辅助圆$x^2 + y^2 = b^2$。过原点作射线与 $x$轴正向夹角为$\theta$，交大辅助圆于 $A(a\cos\theta, a\sin\theta)$，交小辅助圆于 $B(b\cos\theta, b\sin\theta)$。过 $A$作$y$轴的平行线，过$B$作$x$轴的平行线，两线交点即为椭圆上的点$P(a\cos\theta, b\sin\theta)$。

3.3 利用参数方程设点（设点法）

参数方程最强大的应用在于将二元坐标转化为单参数 $\theta$ 的函数，从而简化最值问题、距离问题等。

例3：参数方程求最值

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$，求 $x + y$ 的最大值和最小值。

[!success]- 解答设 $x = 3\cos\theta$，$y = 2\sin\theta$，则： $$x + y = 3\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{3^2 + 2^2} \cdot \sin(\theta + \varphi) = \sqrt{13}\sin(\theta + \varphi)$$

其中 $\tan\varphi = \dfrac{3}{2}$。

最大值为 $\sqrt{13}$，最小值为 $-\sqrt{13}$。

例4：参数方程求距离

椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$上的点$P$到直线$x - 2y + 10 = 0$ 的距离的最小值。

[!success]- 解答设 $P(4\cos\theta, 3\sin\theta)$，则 $P$ 到直线的距离： $$d = \frac{|4\cos\theta - 6\sin\theta + 10|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|4\cos\theta - 6\sin\theta + 10|}{\sqrt{5}}$$

$4\cos\theta - 6\sin\theta = \sqrt{4^2 + 6^2}\cos(\theta + \varphi) = 2\sqrt{13}\cos(\theta + \varphi)$，其中 $\tan\varphi = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$。

$4\cos\theta - 6\sin\theta \in [-2\sqrt{13}, 2\sqrt{13}]$，故 $4\cos\theta - 6\sin\theta + 10 \in [10 - 2\sqrt{13}, 10 + 2\sqrt{13}]$。

由于 $10 - 2\sqrt{13} \approx 10 - 7.21 = 2.79 > 0$，故绝对值号可直接去掉： $$d_{\min} = \frac{10 - 2\sqrt{13}}{\sqrt{5}} = \frac{10 - 2\sqrt{13}}{\sqrt{5}}$$

例5：参数方程解定点问题

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上两点$P$、$Q$满足$OP \perp OQ$（$O$ 为原点），求证：$\dfrac{1}{|OP|^2} + \dfrac{1}{|OQ|^2}$ 为定值。

[!success]- 证明设 $P(a\cos\alpha, b\sin\alpha)$，$Q(a\cos\beta, b\sin\beta)$。

由 $OP \perp OQ$ 得： $$\frac{b\sin\alpha}{a\cos\alpha} \cdot \frac{b\sin\beta}{a\cos\beta} = -1 \Rightarrow b^2\sin\alpha\sin\beta + a^2\cos\alpha\cos\beta = 0$$

$$|OP|^2 = a^2\cos^2\alpha + b^2\sin^2\alpha,\quad |OQ|^2 = a^2\cos^2\beta + b^2\sin^2\beta$$

通过三角恒等式可证： $$\frac{1}{|OP|^2} + \frac{1}{|OQ|^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$$

为定值，与 $P$、$Q$ 的具体位置无关。

4. 椭圆的第二定义

4.1 第二定义

椭圆的第二定义（统一定义）

平面内到定点 $F$（焦点）与到定直线 $l$（准线）的距离之比为常数 $e$（$0 < e < 1$）的点的轨迹叫做椭圆。

$$\frac{|PF|}{d(P, l)} = e \quad (0 < e < 1)$$

4.2 从第二定义推导标准方程

以右焦点 $F_2(c, 0)$和右准线$l: x = \dfrac{a^2}{c}$ 为例。

设 $P(x, y)$，由第二定义：

$$\frac{\sqrt{(x - c)^2 + y^2}}{\left|x - \dfrac{a^2}{c}\right|} = e = \frac{c}{a}$$

由于椭圆上的点 $x \leq a < \dfrac{a^2}{c}$，故 $\left|x - \dfrac{a^2}{c}\right| = \dfrac{a^2}{c} - x$。

$$\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = \frac{c}{a}\left(\frac{a^2}{c} - x\right) = a - \frac{c}{a}x$$

两边平方：

$$(x - c)^2 + y^2 = \left(a - \frac{c}{a}x\right)^2$$

$$x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = a^2 - 2cx + \frac{c^2}{a^2}x^2$$

$$x^2 - \frac{c^2}{a^2}x^2 + y^2 = a^2 - c^2$$

$$\frac{a^2 - c^2}{a^2}x^2 + y^2 = a^2 - c^2$$

令 $b^2 = a^2 - c^2$，两边除以 $b^2$：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

与第一定义推导结果一致。

4.3 焦半径公式

焦半径公式（坐标形式）

对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上的点$P(x_0, y_0)$：

$$|PF_1| = a + ex_0,\qquad |PF_2| = a - ex_0$$

其中 $F_1(-c, 0)$ 为左焦点，$F_2(c, 0)$ 为右焦点。

推导（以 $|PF_2|$ 为例）：

由第二定义，$\dfrac{|PF_2|}{d(P, l_2)} = e$，其中 $l_2: x = \dfrac{a^2}{c}$ 为右准线。

$$d(P, l_2) = \left|\frac{a^2}{c} - x_0\right| = \frac{a^2}{c} - x_0 \quad (\text{因 } x_0 \leq a < \frac{a^2}{c})$$

$$|PF_2| = e \cdot d(P, l_2) = \frac{c}{a}\left(\frac{a^2}{c} - x_0\right) = a - \frac{c}{a}x_0 = a - ex_0$$

同理，$|PF_1| = a + ex_0$。

焦半径的取值范围

因为 $x_0 \in [-a, a]$，$e \in (0, 1)$，所以： $$a - ea \leq |PF_2| \leq a + ea$$ 即 $|PF_2| \in [a - c, a + c]$。椭圆上点到焦点的最小距离为 $a - c$，最大距离为 $a + c$。

4.4 焦半径公式的倾角形式

设过焦点 $F$的直线倾角为$\alpha$（以 $x$ 轴正向为始边），则焦半径为：

焦半径公式（倾角形式）

以右焦点 $F_2(c, 0)$ 为极点，则： $$|PF_2| = \frac{ep}{1 - e\cos\alpha} = \frac{b^2}{a - c\cos\alpha}$$

其中 $p = \dfrac{b^2}{c}$ 为焦点到相应准线的距离。

4.5 例题精选

例6：利用焦半径公式

椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$上一点$P$到左焦点的距离为$3$，求 $P$ 到右准线的距离。

[!success]- 解答 $a = 5$，$b = 4$，$c = \sqrt{25 - 16} = 3$，$e = \dfrac{3}{5}$。

$|PF_1| = a + ex_0 = 5 + \dfrac{3}{5}x_0 = 3$，解得 $x_0 = -\dfrac{10}{3}$。

$|PF_2| = a - ex_0 = 5 - \dfrac{3}{5} \cdot (-\dfrac{10}{3}) = 5 + 2 = 7$。

由第二定义，$\dfrac{|PF_2|}{d(P, l_2)} = e$，故 $d(P, l_2) = \dfrac{|PF_2|}{e} = \dfrac{7}{3/5} = \dfrac{35}{3}$。

例7：焦半径比值问题

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上一点$P$满足$|PF_1| = 2|PF_2|$，求 $P$的横坐标$x_0$。

[!success]- 解答由焦半径公式：$|PF_1| = a + ex_0$，$|PF_2| = a - ex_0$。

由条件：$a + ex_0 = 2(a - ex_0) \Rightarrow a + ex_0 = 2a - 2ex_0 \Rightarrow 3ex_0 = a \Rightarrow x_0 = \dfrac{a}{3e} = \dfrac{a^2}{3c}$。

验证：$x_0$需在$[-a, a]$内，即$\dfrac{a^2}{3c} \leq a \Rightarrow a \leq 3c \Rightarrow e \geq \dfrac{1}{3}$。当 $e < \dfrac{1}{3}$ 时，不存在满足条件的点。

例8：焦半径与椭圆第二定义

$P$是椭圆$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 上一点，$F_1$、$F_2$是左右焦点。若$|PF_1| : |PF_2| = 3 : 1$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

[!success]- 解答 $a = 2$，$c = \sqrt{4 - 3} = 1$，$e = \dfrac{1}{2}$。

$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 4$，又 $|PF_1| = 3|PF_2|$，解得 $|PF_2| = 1$，$|PF_1| = 3$。

$|PF_1| = a + ex_0 = 2 + \dfrac{1}{2}x_0 = 3 \Rightarrow x_0 = 2$，但 $x_0 = 2$是右顶点，不满足椭圆方程（应为$x_0 = 2$时$y_0 = 0$，$|PF_2| = a - ex_0 = 2 - 1 = 1$，满足）。

此时 $P$为右顶点$(2, 0)$，$|PF_1| = 3$，$|PF_2| = 1$，$|F_1F_2| = 2$。

由海伦公式或直接计算：$S = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 0 = 0$。

等等，重新检查：$x_0 = 2$时$y_0 = 0$，$P$在右顶点，三点共线，面积为 0。但条件$|PF_1| = 3$，$|PF_2| = 1$确实在右顶点满足。这说明$P$ 就是右顶点，三角形退化。

5. 焦点三角形

5.1 定义

焦点三角形

椭圆上任意一点 $P$与两个焦点$F_1$、$F_2$构成的三角形$\triangle F_1PF_2$ 称为焦点三角形。

tikz

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  % 坐标轴
  \draw[gray,->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
  \draw[gray,->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$};

  % 椭圆
  \draw[thick,blue] (0,0) ellipse (2.5cm and 1.5cm);

  % 焦点
  \fill (-2,0) circle (2pt);
  \node[below] at (-2,0) {$F_1$};

  \fill (2,0) circle (2pt);
  \node[below] at (2,0) {$F_2$};

  % 点 P
  \fill[red] (1.5,1.2) circle (2pt);
  \node[above right] at (1.5,1.2) {$P$};

  % 三角形
  \draw[thick,red] (-2,0) -- (1.5,1.2) -- (2,0) -- cycle;

  % 角标注
  \node[red] at (0.5,0.6) {$\theta$};
  \node[red] at (0,0.3) {$\triangle F_1PF_2$};
\end{tikzpicture}

5.2 焦点三角形的周长

$$|PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2| = 2a + 2c$$

5.3 焦点三角形的面积 —— 三种求法

方法一：用两边及夹角

设 $|PF_1| = r_1$，$|PF_2| = r_2$，$\angle F_1PF_2 = \theta$。

$$S = \frac{1}{2}r_1r_2\sin\theta$$

方法二：$S = b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$（重点推导）

由余弦定理：

$$|F_1F_2|^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos\theta$$

$$(2c)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2 - 2r_1r_2\cos\theta$$

$$4c^2 = 4a^2 - 2r_1r_2(1 + \cos\theta)$$

$$2r_1r_2(1 + \cos\theta) = 4a^2 - 4c^2 = 4b^2$$

$$r_1r_2 = \frac{2b^2}{1 + \cos\theta}$$

代入面积公式：

$$S = \frac{1}{2}r_1r_2\sin\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{2b^2}{1 + \cos\theta} \cdot \sin\theta = b^2 \cdot \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = b^2\tan\frac{\theta}{2}$$

核心公式

$$S_{\triangle F_1PF_2} = b^2\tan\frac{\theta}{2}$$

其中 $\theta = \angle F_1PF_2$。这个公式不依赖于 $P$的具体坐标，只与$\theta$ 有关。

方法三：用纵坐标

$$S = \frac{1}{2} \cdot |F_1F_2| \cdot |y_P| = c \cdot |y_0|$$

三种方法的适用场景

已知 $\theta$（或可求出 $\theta$）→ 用 $b^2\tan\frac{\theta}{2}$
已知 $P$的纵坐标 → 用$c|y_0|$
已知 $r_1$、$r_2$、$\theta$中任意两个 → 用$\frac{1}{2}r_1r_2\sin\theta$

5.4 焦点三角形中 $\angle F_1PF_2$ 的最大值问题

重要结论

当 $P$位于短轴端点（即$P(0, \pm b)$）时，$\angle F_1PF_2$ 取得最大值。

证明：由余弦定理：

$$\cos\theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - 4c^2}{2r_1r_2} = \frac{(r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2 - 4c^2}{2r_1r_2} = \frac{4a^2 - 4c^2}{2r_1r_2} - 1 = \frac{2b^2}{r_1r_2} - 1$$

要使 $\theta$最大，需$\cos\theta$最小，即$r_1r_2$ 最大。

由均值不等式：$r_1r_2 \leq \left(\dfrac{r_1 + r_2}{2}\right)^2 = a^2$，当且仅当 $r_1 = r_2 = a$ 时取等号。

此时 $P$ 在短轴端点上，$\cos\theta_{\min} = \dfrac{2b^2}{a^2} - 1 = 1 - 2e^2$。

$$\theta_{\max} = \arccos(1 - 2e^2)$$

5.5 例题精选

例9：焦点三角形面积

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$的焦点为$F_1$、$F_2$，$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2 = 60^\circ$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

[!success]- 解答 $a = 3$，$b = 2$，$b^2 = 4$。

$$S = b^2\tan\frac{60^\circ}{2} = 4\tan 30^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

例10：焦点三角形周长与面积

椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$上一点$P$的纵坐标为$2$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

[!success]- 解答 $c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。

用纵坐标法：$S = c \cdot |y_0| = \sqrt{7} \times 2 = 2\sqrt{7}$。

例11：焦点三角形中 $\theta$ 最大值

椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$上一点$P$，求 $\angle F_1PF_2$ 的最大值。

[!success]- 解答 $a = 5$，$b = 3$，$c = 4$，$e = \dfrac{4}{5}$。

当 $P$在短轴端点$(0, \pm 3)$ 时，$\theta$ 最大。

$$\cos\theta_{\min} = 1 - 2e^2 = 1 - 2 \times \frac{16}{25} = 1 - \frac{32}{25} = -\frac{7}{25}$$

$$\theta_{\max} = \arccos\left(-\frac{7}{25}\right)$$

例12：焦点三角形综合

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上一点$P$，$\angle F_1PF_2 = \alpha$，$\angle PF_1F_2 = \beta$，求证：$e = \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta + \sin(\alpha + \beta)}$。

[!success]- 证明在 $\triangle F_1PF_2$ 中，由正弦定理： $$\frac{r_2}{\sin\beta} = \frac{r_1}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{2c}{\sin\alpha}$$

故 $r_1 = \dfrac{2c\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha}$，$r_2 = \dfrac{2c\sin\beta}{\sin\alpha}$。

又 $r_1 + r_2 = 2a$，代入： $$\frac{2c[\sin\beta + \sin(\alpha + \beta)]}{\sin\alpha} = 2a$$

$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta + \sin(\alpha + \beta)}$$

6. 点差法（中点弦问题）

6.1 点差法的原理

点差法

设直线与椭圆交于两点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，弦 $AB$的中点为$M(x_0, y_0)$。将 $A$、$B$ 的坐标分别代入椭圆方程，然后两式相减，利用平方差公式化简，得到弦的斜率与中点坐标的关系。

推导过程：

$$\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{a^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1 \newline[8pt] \dfrac{x_2^2}{a^2} + \dfrac{y_2^2}{b^2} = 1 \end{cases}$$

两式相减：

$$\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0$$

$$\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{a^2} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{b^2} = 0$$

由中点坐标公式：$x_1 + x_2 = 2x_0$，$y_1 + y_2 = 2y_0$。

斜率 $k = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$（$x_1 \neq x_2$）。

代入得：

$$\frac{2x_0}{a^2} + \frac{2y_0 \cdot k}{b^2} = 0$$

$$k = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} \quad (y_0 \neq 0)$$

中点弦斜率公式

对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，以 $M(x_0, y_0)$ 为中点的弦的斜率为： $$k = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$$

注意

点差法只能求出斜率，但不能保证所求直线确实与椭圆相交于两点。需要验证判别式 $\Delta > 0$，或验证中点位于椭圆内部。

6.2 求以已知点为中点的弦所在直线方程

设弦的中点 $M(x_0, y_0)$ 已知，则：

由点差法求出斜率 $k = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$
用点斜式写出直线方程：$y - y_0 = k(x - x_0)$

6.3 求弦中点的轨迹方程

已知弦所在直线的斜率 $k$（或直线过定点），求弦中点轨迹。

设中点 $M(x, y)$，由点差法：$k = -\dfrac{b^2x}{a^2y}$，即得轨迹方程。

6.4 弦中点坐标的范围

中点 $M(x_0, y_0)$ 必须在椭圆内部，即满足：

$$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} < 1$$

6.5 例题精选

例13：求中点弦方程

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$，求以 $P(2, 1)$ 为中点的弦所在直线方程。

[!success]- 解答 $a^2 = 16$，$b^2 = 4$，$x_0 = 2$，$y_0 = 1$。

$$k = -\frac{b^2x_0}{a^2y_0} = -\frac{4 \times 2}{16 \times 1} = -\frac{1}{2}$$

直线方程：$y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x - 2)$，即 $x + 2y - 4 = 0$。

验证：$P(2, 1)$满足$\dfrac{4}{16} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} < 1$，在椭圆内部，弦存在。

例14：求中点轨迹方程

椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$中，斜率为$2$ 的平行弦的中点轨迹方程。

[!success]- 解答设中点 $M(x, y)$，由点差法：$k = -\dfrac{b^2x}{a^2y}$。

$$2 = -\frac{1 \cdot x}{4 \cdot y} \Rightarrow 2 = -\frac{x}{4y} \Rightarrow x + 8y = 0$$

轨迹为直线 $x + 8y = 0$ 在椭圆内部的部分。

例15：中点弦存在性

椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$，是否存在以 $M(3, 1)$ 为中点的弦？若存在，求其方程。

[!success]- 解答验证：$\dfrac{3^2}{9} + \dfrac{1^2}{4} = 1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} > 1$，$M$在椭圆外部，不存在以$M$ 为中点的弦。

若强行用点差法：$k = -\dfrac{4 \times 3}{9 \times 1} = -\dfrac{4}{3}$，直线 $y - 1 = -\dfrac{4}{3}(x - 3)$。但联立验证 $\Delta < 0$，无交点。

例16：点差法综合

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上两点$A$、$B$，$AB$的中点为$M$，$O$为原点。若$OM$的斜率为$k_1$，$AB$的斜率为$k_2$，求证：$k_1k_2 = -\dfrac{b^2}{a^2}$。

[!success]- 证明设 $M(x_0, y_0)$，则 $k_1 = \dfrac{y_0}{x_0}$。

由点差法：$k_2 = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$。

$$k_1k_2 = \frac{y_0}{x_0} \cdot \left(-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\right) = -\frac{b^2}{a^2}$$

这个结论与椭圆的直径与共轭直径中 $OM$与$AB$ 互为共轭方向的性质一致。

7. 椭圆的切线

7.1 过椭圆上一点的切线方程

切线方程（标准形式）

过椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上一点$P(x_0, y_0)$ 的切线方程为： $$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$$

记忆口诀：把方程中的 $x^2$换成$x_0x$，$y^2$换成$y_0y$。

推导方法一：判别式法

设切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$，代入椭圆方程：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{[y_0 + k(x - x_0)]^2}{b^2} = 1$$

整理成关于 $x$的二次方程，由相切条件$\Delta = 0$，解出 $k$，代入化简即得切线方程。

推导方法二：导数法（隐函数求导）

对 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$两边关于$x$ 求导：

$$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{b^2x}{a^2y}$$

在点 $P(x_0, y_0)$ 处，$k = y'|_{(x_0, y_0)} = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$。

切线方程：$y - y_0 = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - x_0)$，化简即得 $\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$。

7.2 已知斜率的切线方程

斜率为 $k$ 的切线方程

斜率为 $k$的直线与椭圆$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切时，切线方程为： $$y = kx \pm \sqrt{a^2k^2 + b^2}$$

推导：设切线 $y = kx + m$，代入椭圆方程：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(kx + m)^2}{b^2} = 1$$

$$b^2x^2 + a^2(kx + m)^2 = a^2b^2$$

$$(b^2 + a^2k^2)x^2 + 2a^2kmx + a^2(m^2 - b^2) = 0$$

由相切条件 $\Delta = 0$：

$$4a^4k^2m^2 - 4(b^2 + a^2k^2) \cdot a^2(m^2 - b^2) = 0$$

$$a^2k^2m^2 - (b^2 + a^2k^2)(m^2 - b^2) = 0$$

$$a^2k^2m^2 - b^2m^2 + b^4 - a^2k^2m^2 + a^2k^2b^2 = 0$$

$$-b^2m^2 + b^4 + a^2k^2b^2 = 0$$

$$m^2 = a^2k^2 + b^2 \Rightarrow m = \pm \sqrt{a^2k^2 + b^2}$$

7.3 过椭圆外一点的切线方程

点 $P(x_0, y_0)$在椭圆外，过$P$ 作椭圆的两条切线。

方法：设切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$，利用 $\Delta = 0$解出$k$（通常有两个解）。

另一种方法

利用"切点弦"思想：设切点为 $T(x_1, y_1)$，则切线方程为 $\dfrac{x_1x}{a^2} + \dfrac{y_1y}{b^2} = 1$。此切线过 $P(x_0, y_0)$，故 $\dfrac{x_1x_0}{a^2} + \dfrac{y_1y_0}{b^2} = 1$。结合 $\dfrac{x_1^2}{a^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1$，解出切点坐标。

7.4 椭圆的法线方程

法线方程

过椭圆上一点 $P(x_0, y_0)$ 的法线（垂直于切线）方程为： $$a^2y_0(x - x_0) - b^2x_0(y - y_0) = 0$$

法线斜率为 $k_{\text{法}} = \dfrac{a^2y_0}{b^2x_0}$（切线斜率 $k_{\text{切}} = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$ 的负倒数）。

7.5 切点弦方程

切点弦方程

点 $P(x_0, y_0)$在椭圆$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$外部，过$P$作椭圆的两条切线，切点分别为$A$、$B$，则直线 $AB$（切点弦）的方程为： $$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$$

注意：切点弦方程与"过椭圆上一点 $(x_0, y_0)$的切线方程"形式完全相同，但$(x_0, y_0)$ 的含义不同：前者是椭圆外一点，后者是椭圆上一点。

归纳

对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$：

点 $P(x_0, y_0)$ 在椭圆上：$\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$ 是切线方程
点 $P(x_0, y_0)$ 在椭圆外：$\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$ 是切点弦方程
点 $P(x_0, y_0)$ 在椭圆内：$\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$表示以$P$ 为中点的"中点弦的平行弦"的包络（极线）

7.6 例题精选

例17：求切线方程

求过椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$上一点$P(3, \dfrac{12}{5})$ 的切线方程。

[!success]- 解答切线方程：$\dfrac{3x}{25} + \dfrac{\frac{12}{5}y}{9} = 1$

化简：$\dfrac{3x}{25} + \dfrac{12y}{45} = 1 \Rightarrow \dfrac{3x}{25} + \dfrac{4y}{15} = 1 \Rightarrow 9x + 20y - 75 = 0$

例18：已知斜率求切线

求与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$平行于直线$y = 2x$ 的切线方程。

[!success]- 解答 $a^2 = 4$，$b^2 = 3$，$k = 2$。

切线：$y = 2x \pm \sqrt{4 \times 4 + 3} = 2x \pm \sqrt{19}$

即 $y = 2x + \sqrt{19}$和$y = 2x - \sqrt{19}$。

例19：过椭圆外一点作切线

求过点 $P(3, 4)$作椭圆$\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 的切线方程。

[!success]- 解答设切线 $y - 4 = k(x - 3)$，即 $y = kx + 4 - 3k$。

代入椭圆 $\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{(kx + 4 - 3k)^2}{2} = 1$。

整理：$x^2 + 4(kx + 4 - 3k)^2 = 8$

$x^2 + 4(k^2x^2 + 2k(4 - 3k)x + (4 - 3k)^2) = 8$

$(1 + 4k^2)x^2 + 8k(4 - 3k)x + 4(4 - 3k)^2 - 8 = 0$

由 $\Delta = 0$：$64k^2(4 - 3k)^2 - 4(1 + 4k^2)[4(4 - 3k)^2 - 8] = 0$

化简得 $36k^2 - 48k + 7 = 0$，解得 $k = \dfrac{1}{6}$或$k = \dfrac{7}{6}$。

切线方程：$y = \dfrac{1}{6}x + \dfrac{7}{2}$和$y = \dfrac{7}{6}x + \dfrac{1}{2}$。

例20：切点弦方程

过椭圆 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$外一点$P(5, 3)$ 作两条切线，求切点弦所在直线方程。

[!success]- 解答切点弦方程：$\dfrac{5x}{9} + \dfrac{3y}{4} = 1$

化简：$20x + 27y - 36 = 0$。

8. 椭圆的光学性质

8.1 光学性质描述

椭圆的光学性质

从一个焦点发出的光线（或声波），经椭圆反射后，必经过另一个焦点。

这意味着椭圆在焦点处的切线（或法线）具有特殊的角平分线性质。

8.2 切线法证明

要证明光学性质，只需证明：从 $F_1$到$P$的入射角等于从$P$到$F_2$的反射角，即$PF_1$和$PF_2$与$P$ 处切线的夹角相等。

设 $P(x_0, y_0)$在椭圆上，切线$l$的斜率为$k_l = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$。

$PF_1$ 的斜率：$k_1 = \dfrac{y_0}{x_0 + c}$

$PF_2$ 的斜率：$k_2 = \dfrac{y_0}{x_0 - c}$

利用到角公式或夹角公式，可以证明 $PF_1$和$PF_2$与切线$l$ 的夹角相等。

8.3 法线法证明

更简洁的证明是利用法线：$P$处的法线平分$\angle F_1PF_2$。

法线斜率 $k_n = \dfrac{a^2y_0}{b^2x_0}$。需要证明法线是 $\angle F_1PF_2$ 的角平分线，即：

$$\frac{k_n - k_1}{1 + k_nk_1} = \frac{k_2 - k_n}{1 + k_2k_n}$$

将 $k_1$、$k_2$、$k_n$代入，利用$\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1$和$a^2 = b^2 + c^2$，可验证等式成立。

8.4 应用举例

椭圆反射镜

在椭圆的一个焦点处放置光源，经椭圆内壁反射后，所有光线将汇聚到另一个焦点。这一性质用于：

椭圆聚光灯：舞台灯光设备
椭圆声学：在椭圆厅堂中，一个焦点处发出的声音会清晰地传到另一个焦点（"耳语廊"效应）
碎石机：利用椭圆反射原理聚焦冲击波，粉碎体内结石

tikz

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[thick, blue] (0,0) ellipse (2.5 and 1.5);
  \filldraw (-2,0) circle (1.5pt) node[below] {$F_1$};
  \filldraw (2,0) circle (1.5pt) node[below] {$F_2$};
  \filldraw[red] (0.8, 1.2) circle (1.5pt) node[above right] {$P$};
  \draw[->, red, thick] (-2,0) -- (0.8, 1.2);
  \draw[->, red, thick] (0.8, 1.2) -- (2,0);
  \draw[thick, dashed] (0.8, 1.2) -- (0.8, -0.5);
  \node at (0.8, -0.8) {法线};
  \draw[red] (0.3, 0.2) node {$\theta$};
  \draw[red] (1.2, 0.2) node {$\theta$};
  \node at (-1.5, 2.0) {入射角=反射角};
\end{tikzpicture}

8.5 例题精选

例21：光学性质应用

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$的焦点为$F_1$、$F_2$，$P$为椭圆上一点。若光线从$F_1$出发经$P$反射后经过$F_2$，且 $|PF_1| = 4$，求 $|PF_2|$。

[!success]- 解答由椭圆定义：$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 10$。

$|PF_2| = 10 - 4 = 6$。

光学性质保证了反射光线确实经过 $F_2$，这个性质在本题中不是求解条件，而是已知事实。

例22：法线平分角

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上一点$P$，求证：$P$处的法线平分$\angle F_1PF_2$。

[!success]- 证明利用角平分线定理的向量形式：法线方向向量为 $\vec{n} = \left(\dfrac{x_0}{a^2}, \dfrac{y_0}{b^2}\right)$。

只需证明 $\dfrac{\vec{PF_1}}{|\vec{PF_1}|} + \dfrac{\vec{PF_2}}{|\vec{PF_2}|}$与$\vec{n}$ 平行。

$\vec{PF_1} = (-c - x_0, -y_0)$，$\vec{PF_2} = (c - x_0, -y_0)$。

由焦半径公式 $|\vec{PF_1}| = a + ex_0$，$|\vec{PF_2}| = a - ex_0$。

计算并化简，利用椭圆方程可证。

9. 椭圆的直径与共轭直径

9.1 椭圆直径的定义

椭圆直径

过椭圆中心的弦（即椭圆内过原点的线段）称为椭圆的直径。

若直径的一个端点为 $P(a\cos\alpha, b\sin\alpha)$，则另一个端点为 $P'(-a\cos\alpha, -b\sin\alpha)$（关于原点对称）。

9.2 共轭直径

共轭直径

设椭圆的一条直径为 $AB$（过中心），所有平行于 $AB$的弦的中点轨迹是另一条过中心的直线$CD$，则称 $AB$和$CD$ 为一对共轭直径。

简言之，一条直径平分所有平行于另一条直径的弦。

9.3 共轭直径的斜率关系

共轭直径斜率关系

若椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的两条共轭直径的斜率分别为$k_1$、$k_2$，则： $$k_1k_2 = -\frac{b^2}{a^2}$$

推导：设直径 $l_1$的斜率为$k_1$，则平行于 $l_1$的弦的中点轨迹为直径$l_2$。由点差法可知，这些平行弦的中点满足 $k_1 = -\dfrac{b^2x}{a^2y}$，即 $l_2$的方程为$y = -\dfrac{b^2}{a^2k_1}x$，故 $k_2 = -\dfrac{b^2}{a^2k_1}$，因此 $k_1k_2 = -\dfrac{b^2}{a^2}$。

9.4 共轭直径的端点关系

设两条共轭直径的端点分别为 $P(a\cos\alpha, b\sin\alpha)$和$Q(a\cos\beta, b\sin\beta)$，则：

$$\alpha - \beta = \frac{\pi}{2} \quad \text{或} \quad \beta - \alpha = \frac{\pi}{2}$$

即 $P$和$Q$的离心角相差$\dfrac{\pi}{2}$。

9.5 阿波罗尼斯定理

阿波罗尼斯定理（Apollonius' Theorem）

对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的一对共轭直径，设其半长分别为$r_1$和$r_2$（即端点到中心的距离），则：

$r_1^2 + r_2^2 = a^2 + b^2$（共轭直径的平方和为定值）
$r_1r_2\sin\varphi = ab$（其中 $\varphi$ 为两共轭直径的夹角）

9.6 例题精选

例23：共轭直径斜率

椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$的一条直径的斜率为$\dfrac{3}{4}$，求其共轭直径的斜率。

[!success]- 解答 $k_1k_2 = -\dfrac{b^2}{a^2} = -\dfrac{9}{16}$。

$k_2 = -\dfrac{9}{16} \div \dfrac{3}{4} = -\dfrac{9}{16} \times \dfrac{4}{3} = -\dfrac{3}{4}$。

例24：阿波罗尼斯定理

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的一对共轭直径的端点分别为$P$和$Q$，求证：$|OP|^2 + |OQ|^2 = a^2 + b^2$。

[!success]- 证明设 $P(a\cos\alpha, b\sin\alpha)$，则由共轭关系 $Q(a\cos\beta, b\sin\beta)$且$\alpha - \beta = \pm\dfrac{\pi}{2}$。

不妨设 $\beta = \alpha - \dfrac{\pi}{2}$，则 $Q(a\sin\alpha, -b\cos\alpha)$。

$$|OP|^2 = a^2\cos^2\alpha + b^2\sin^2\alpha$$ $$|OQ|^2 = a^2\sin^2\alpha + b^2\cos^2\alpha$$ $$|OP|^2 + |OQ|^2 = a^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + b^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = a^2 + b^2$$

10. 直线与椭圆的位置关系

10.1 判别式法

设直线 $l: y = kx + m$，椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。

联立消去 $y$：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(kx + m)^2}{b^2} = 1$$

$$b^2x^2 + a^2(kx + m)^2 = a^2b^2$$

$$(b^2 + a^2k^2)x^2 + 2a^2kmx + a^2(m^2 - b^2) = 0$$

判别式 $\Delta = 4a^2b^2(b^2 + a^2k^2 - m^2)$。

$\Delta > 0$：直线与椭圆相交于两点
$\Delta = 0$：直线与椭圆相切
$\Delta < 0$：直线与椭圆相离

10.2 弦长公式

弦长公式

直线 $y = kx + m$与椭圆交于$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则： $$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$$

其中 $A$ 是联立后二次方程的二次项系数，$\Delta$ 是判别式。

也可用纵坐标差： $$|AB| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} \cdot |y_1 - y_2| \quad (k \neq 0)$$

弦长公式的推导

由韦达定理：$x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A}$，$x_1x_2 = \dfrac{C}{A}$。

$$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{\frac{B^2}{A^2} - \frac{4C}{A}} = \frac{\sqrt{B^2 - 4AC}}{|A|} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$$

10.3 中点弦再探

当直线与椭圆相交时，弦的中点坐标可通过韦达定理直接求得：

$$x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{B}{2A}$$

这比点差法更为直接，但点差法在已知中点求斜率时更简洁。

10.4 面积问题

直线与椭圆相交构成的三角形面积，通常以弦长 $|AB|$ 为底，以点到直线的距离为高：

$$S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot d$$

利用弦长公式和点到直线距离公式，将面积表示为参数的函数，然后求最值。

10.5 例题精选

例25：位置关系判断

判断直线 $y = x + 2$与椭圆$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的位置关系。

[!success]- 解答代入：$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{(x + 2)^2}{3} = 1$

$3x^2 + 4(x^2 + 4x + 4) = 12$

$7x^2 + 16x + 4 = 0$

$\Delta = 256 - 112 = 144 > 0$，相交于两点。

例26：弦长计算

直线 $y = x + 1$被椭圆$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 截得的弦长。

[!success]- 解答代入：$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{(x + 1)^2}{2} = 1$

$x^2 + 2(x^2 + 2x + 1) = 4$

$3x^2 + 4x - 2 = 0$

$\Delta = 16 + 24 = 40$

$|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{40}}{3} = \dfrac{2\sqrt{10}}{3}$

弦长 $|AB| = \sqrt{1 + 1^2} \cdot \dfrac{2\sqrt{10}}{3} = \sqrt{2} \cdot \dfrac{2\sqrt{10}}{3} = \dfrac{2\sqrt{20}}{3} = \dfrac{4\sqrt{5}}{3}$

例27：面积最值

椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$与直线$y = kx$交于$A$、$B$，与 $x$轴交于$C$、$D$（$C$、$D$为椭圆顶点），求四边形$ACBD$ 面积的最大值。

[!success]- 解答 $C(-2, 0)$，$D(2, 0)$。$A$、$B$ 关于原点对称。

设 $A(x_1, kx_1)$，代入椭圆：$\dfrac{x_1^2}{4} + k^2x_1^2 = 1 \Rightarrow x_1^2 = \dfrac{4}{1 + 4k^2}$。

四边形 $ACBD$面积$S = 2S_{\triangle ACD} = 2 \times \dfrac{1}{2} \times 4 \times |kx_1| = 4|k| \cdot \dfrac{2}{\sqrt{1 + 4k^2}} = \dfrac{8|k|}{\sqrt{1 + 4k^2}}$。

令 $t = |k| \geq 0$，$S = \dfrac{8t}{\sqrt{1 + 4t^2}}$。

求导得 $S' = \dfrac{8\sqrt{1 + 4t^2} - 8t \cdot \frac{4t}{\sqrt{1 + 4t^2}}}{1 + 4t^2} = \dfrac{8}{(1 + 4t^2)^{3/2}} > 0$。

$S$随$t$增大而增大，但$t \to \infty$时$S \to \dfrac{8t}{2t} = 4$。$S_{\max} = 4$（当 $k \to \infty$时趋近，此时$A$、$B$ 趋近于短轴端点）。

11. 椭圆中的常见问题类型

11.1 椭圆中的最值问题

椭圆中最值问题的常用方法

参数方程法：设 $P(a\cos\theta, b\sin\theta)$，将目标量化为 $\theta$ 的三角函数
几何法：利用椭圆的几何意义（如焦点性质、对称性）
不等式法：利用均值不等式、柯西不等式等
函数法：设出变量，建立函数关系，求导或利用函数性质

例28：距离最值

椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$上一点$P$到直线$3x + 4y - 20 = 0$ 的距离的最大值和最小值。

[!success]- 解答设 $P(5\cos\theta, 4\sin\theta)$，则： $$d = \frac{|15\cos\theta + 16\sin\theta - 20|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|15\cos\theta + 16\sin\theta - 20|}{5}$$

$15\cos\theta + 16\sin\theta = \sqrt{15^2 + 16^2}\sin(\theta + \varphi) = \sqrt{481}\sin(\theta + \varphi)$

范围：$[-\sqrt{481}, \sqrt{481}]$，其中 $\sqrt{481} \approx 21.93$。

$15\cos\theta + 16\sin\theta - 20 \in [-20 - \sqrt{481}, -20 + \sqrt{481}] = [-41.93, 1.93]$

注意 $1.93 > 0$，故绝对值最小值在 $15\cos\theta + 16\sin\theta = 20$ 时取得（$d_{\min} = 0$，因为直线与椭圆相交）。

验证：直线 $3x + 4y - 20 = 0$ 是否与椭圆相交？联立验证即可。

最大值：$d_{\max} = \dfrac{20 + \sqrt{481}}{5} \approx \dfrac{41.93}{5} \approx 8.39$。

例29：斜率最值

$P$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上一点，$F_1$、$F_2$是焦点，求$k_{PF_1} \cdot k_{PF_2}$ 的最值。

[!success]- 解答设 $P(x_0, y_0)$，则 $k_{PF_1} = \dfrac{y_0}{x_0 + c}$，$k_{PF_2} = \dfrac{y_0}{x_0 - c}$。

$$k_{PF_1} \cdot k_{PF_2} = \frac{y_0^2}{x_0^2 - c^2}$$

由椭圆方程 $y_0^2 = b^2\left(1 - \dfrac{x_0^2}{a^2}\right)$，代入得： $$k_{PF_1} \cdot k_{PF_2} = \frac{b^2(1 - x_0^2/a^2)}{x_0^2 - c^2} = \frac{b^2(a^2 - x_0^2)}{a^2(x_0^2 - c^2)}$$

令 $t = x_0^2 \in [0, a^2]$，$f(t) = \dfrac{b^2(a^2 - t)}{a^2(t - c^2)}$。

求导分析得最值：当 $x_0 = 0$（短轴端点）时，$k_{PF_1} \cdot k_{PF_2} = -\dfrac{b^2}{c^2} = -\dfrac{1 - e^2}{e^2}$。

11.2 椭圆中的定点定值问题

定点定值问题的基本思路

设出参数（如直线方程中的 $k$、$m$）
根据条件建立参数间的关系
消去参数，得到不依赖于参数的结果
韦达定理是核心工具，用于整体代入

例30：定点问题

椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$的右顶点为$A$，过 $A$作两条互相垂直的弦$AP$、$AQ$，分别交椭圆于 $P$、$Q$。求证：直线 $PQ$ 过定点，并求定点坐标。

[!success]- 解答 $A(2, 0)$。设 $AP: y = k(x - 2)$，则 $AQ: y = -\dfrac{1}{k}(x - 2)$。

$AP$与椭圆联立求$P$ 点坐标，$AQ$与椭圆联立求$Q$ 点坐标。

然后求直线 $PQ$的方程，整理后发现$PQ$过定点$\left(\dfrac{2}{7}, 0\right)$。

11.3 椭圆中的存在性问题

例31：存在性问题

是否存在直线 $l$，使得 $l$与椭圆$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$交于$A$、$B$两点，且以$AB$为直径的圆过原点$O$？若存在，求出 $l$ 的方程。

[!success]- 解答设 $l: y = kx + m$，代入椭圆得： $(3 + 4k^2)x^2 + 8kmx + 4m^2 - 12 = 0$

设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，以 $AB$为直径的圆过$O$等价于$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$，即 $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$。

$y_1y_2 = (kx_1 + m)(kx_2 + m) = k^2x_1x_2 + km(x_1 + x_2) + m^2$

由韦达定理：$x_1 + x_2 = -\dfrac{8km}{3 + 4k^2}$，$x_1x_2 = \dfrac{4m^2 - 12}{3 + 4k^2}$。

代入 $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$： $$x_1x_2 + k^2x_1x_2 + km(x_1 + x_2) + m^2 = 0$$ $$(1 + k^2) \cdot \frac{4m^2 - 12}{3 + 4k^2} + km \cdot \left(-\frac{8km}{3 + 4k^2}\right) + m^2 = 0$$

化简得：$7m^2 = 12(1 + k^2)$。由于 $m^2 > 0$恒成立，故存在无数条这样的直线。例如取$k = 0$，则 $m = \pm \dfrac{2\sqrt{21}}{7}$，直线 $y = \pm \dfrac{2\sqrt{21}}{7}$。

12. 总结与知识网络

椭圆核心公式速查

项目	公式	备注
标准方程	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$a > b > 0$
$a, b, c$关系	$a^2 = b^2 + c^2$	$a$ 最大
离心率	$e = \dfrac{c}{a}$	$0 < e < 1$
准线	$x = \pm \dfrac{a^2}{c}$	在椭圆外
通径	$\dfrac{2b^2}{a}$	过焦点最短弦
焦半径	$r_{\text{左}} = a + ex_0,\thickspace r_{\text{右}} = a - ex_0$	坐标形式
焦点三角形面积	$S = b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$	$\theta = \angle F_1PF_2$
中点弦斜率	$k = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$	点差法
切线方程	$\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$	$(x_0, y_0)$ 在椭圆上
参数方程	$\begin{cases} x = a\cos\theta \newline y = b\sin\theta \end{cases}$	$\theta$ 为离心角
共轭直径斜率	$k_1k_2 = -\dfrac{b^2}{a^2}$	阿波罗尼斯定理

椭圆 (Ellipse) ​

1. 椭圆的第一定义与标准方程 ​

1.1 第一定义 ​

1.2 标准方程的完整推导 ​

1.3 焦点在 $y$ 轴上的标准方程 ​

1.4 例题精选 ​

2. 椭圆的几何性质 ​

2.1 范围 ​

2.2 对称性 ​

2.3 顶点 ​

2.4 焦点 ​

2.5 离心率 ​

2.6 准线 ​

2.7 通径 ​

3. 椭圆的参数方程 ​

3.1 参数方程 ​

3.2 离心角 $\theta$ 的几何意义 ​

3.3 利用参数方程设点（设点法） ​

4. 椭圆的第二定义 ​

4.1 第二定义 ​

4.2 从第二定义推导标准方程 ​

4.3 焦半径公式 ​

4.4 焦半径公式的倾角形式 ​

4.5 例题精选 ​

5. 焦点三角形 ​

5.1 定义 ​

5.2 焦点三角形的周长 ​

5.3 焦点三角形的面积 —— 三种求法 ​

方法一：用两边及夹角 ​

方法二：$S = b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$（重点推导） ​

方法三：用纵坐标 ​

5.4 焦点三角形中 $\angle F_1PF_2$ 的最大值问题 ​

5.5 例题精选 ​

6. 点差法（中点弦问题） ​

6.1 点差法的原理 ​

6.2 求以已知点为中点的弦所在直线方程 ​

6.3 求弦中点的轨迹方程 ​

6.4 弦中点坐标的范围 ​

6.5 例题精选 ​

7. 椭圆的切线 ​

7.1 过椭圆上一点的切线方程 ​

推导方法一：判别式法 ​

推导方法二：导数法（隐函数求导） ​

7.2 已知斜率的切线方程 ​

7.3 过椭圆外一点的切线方程 ​

7.4 椭圆的法线方程 ​

7.5 切点弦方程 ​

7.6 例题精选 ​

8. 椭圆的光学性质 ​

8.1 光学性质描述 ​

8.2 切线法证明 ​

8.3 法线法证明 ​

8.4 应用举例 ​

8.5 例题精选 ​

9. 椭圆的直径与共轭直径 ​

9.1 椭圆直径的定义 ​

9.2 共轭直径 ​

9.3 共轭直径的斜率关系 ​

9.4 共轭直径的端点关系 ​

9.5 阿波罗尼斯定理 ​

9.6 例题精选 ​

10. 直线与椭圆的位置关系 ​

10.1 判别式法 ​

10.2 弦长公式 ​

10.3 中点弦再探 ​

10.4 面积问题 ​

10.5 例题精选 ​

11. 椭圆中的常见问题类型 ​

11.1 椭圆中的最值问题 ​

11.2 椭圆中的定点定值问题 ​

11.3 椭圆中的存在性问题 ​

12. 总结与知识网络 ​

椭圆 (Ellipse)

1. 椭圆的第一定义与标准方程

1.1 第一定义

1.2 标准方程的完整推导

1.3 焦点在 $y$ 轴上的标准方程

1.4 例题精选

2. 椭圆的几何性质

2.1 范围

2.2 对称性

2.3 顶点

2.4 焦点

2.5 离心率

2.6 准线

2.7 通径

3. 椭圆的参数方程

3.1 参数方程

3.2 离心角 $\theta$ 的几何意义

3.3 利用参数方程设点（设点法）

4. 椭圆的第二定义

4.1 第二定义

4.2 从第二定义推导标准方程

4.3 焦半径公式

4.4 焦半径公式的倾角形式

4.5 例题精选

5. 焦点三角形

5.1 定义

5.2 焦点三角形的周长

5.3 焦点三角形的面积 —— 三种求法

方法一：用两边及夹角

方法二：$S = b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$（重点推导）

方法三：用纵坐标

5.4 焦点三角形中 $\angle F_1PF_2$ 的最大值问题

5.5 例题精选

6. 点差法（中点弦问题）

6.1 点差法的原理

6.2 求以已知点为中点的弦所在直线方程

6.3 求弦中点的轨迹方程

6.4 弦中点坐标的范围

6.5 例题精选

7. 椭圆的切线

7.1 过椭圆上一点的切线方程

推导方法一：判别式法

推导方法二：导数法（隐函数求导）

7.2 已知斜率的切线方程

7.3 过椭圆外一点的切线方程

7.4 椭圆的法线方程

7.5 切点弦方程

7.6 例题精选

8. 椭圆的光学性质

8.1 光学性质描述

8.2 切线法证明

8.3 法线法证明

8.4 应用举例

8.5 例题精选

9. 椭圆的直径与共轭直径

9.1 椭圆直径的定义

9.2 共轭直径

9.3 共轭直径的斜率关系

9.4 共轭直径的端点关系

9.5 阿波罗尼斯定理

9.6 例题精选

10. 直线与椭圆的位置关系

10.1 判别式法

10.2 弦长公式

10.3 中点弦再探

10.4 面积问题

10.5 例题精选

11. 椭圆中的常见问题类型

11.1 椭圆中的最值问题

11.2 椭圆中的定点定值问题

11.3 椭圆中的存在性问题

12. 总结与知识网络