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模拟卷二·一试 · 详细解答
概述
本卷覆盖代数、几何、数论、组合四大板块，每题 15 分。以下给出每题的完整解答，包含思路分析、关键步骤与易错提示。
第 1 题（代数）· 等差数列的片段和
题目：已知等差数列 $\lbrace a_n\rbrace $的前$n$项和为$S_n$，且 $S_{10} = 100$，$S_{20} = 400$。求 $S_{30}$。
思路分析
关键性质
等差数列 $\lbrace a_n\rbrace $的前$n$项和$S_n = \dfrac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$，是关于 $n$ 的二次函数（无常数项）。由此可推出片段和成等差的核心性质。
设 $T_1 = S_{10}$，$T_2 = S_{20} - S_{10}$，$T_3 = S_{30} - S_{20}$，即第 $11\sim 20$项、第$21\sim 30$ 项之和。
断言：$T_1, T_2, T_3$ 成等差数列。
证明：$T_1 = S_{10} = 10a_1 + \frac{10 \times 9}{2}d = 10a_1 + 45d$。
$$T_2 = \sum_{k=11}^{20} a_k = \sum_{k=11}^{20}(a_1 + (k-1)d) = 10a_1 + d\sum_{k=11}^{20}(k-1) = 10a_1 + d \cdot \frac{(10+19)\times 10}{2} = 10a_1 + 145d$$
$$T_3 = \sum_{k=21}^{30} a_k = 10a_1 + d \cdot \frac{(20+29)\times 10}{2} = 10a_1 + 245d$$
故 $T_2 - T_1 = 100d$，$T_3 - T_2 = 100d$，确实 $T_1, T_2, T_3$ 成等差。
求解
$$T_1 = S_{10} = 100, \quad T_2 = S_{20} - S_{10} = 400 - 100 = 300$$
由等差性质：$T_3 = 2T_2 - T_1 = 2 \times 300 - 100 = 500$。
$$S_{30} = S_{20} + T_3 = 400 + 500 = 900$$
最终答案
$$S_{30} = \boxed{900}$$
推广
对等差数列，$S_m, S_{2m} - S_m, S_{3m} - S_{2m}$始终成等差，公差为$m^2 d$。参见 等差数列与等比数列的求和公式。
第 2 题（几何）· 椭圆内接矩形面积最大值
题目：椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率 $e = \dfrac{1}{2}$，焦距为 $4$。求内接矩形（边平行于坐标轴）面积的最大值。
第一步：确定椭圆参数
焦距 $2c = 4$，故 $c = 2$。离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$，故 $a = 4$。
$$b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 4 = 12 \implies b = 2\sqrt{3}$$
第二步：建立面积表达式
设内接矩形的一个顶点为 $(x, y)$（$x, y > 0$），则四个顶点为 $(\pm x, \pm y)$，面积为：
$$S = 4xy$$
约束条件为 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。
第三步：参数化与求最大值
令 $x = a\cos\theta$，$y = b\sin\theta$（$\theta \in (0, \pi/2)$），则：
$$S = 4ab\cos\theta\sin\theta = 2ab\sin 2\theta \leq 2ab$$
等号当 $\sin 2\theta = 1$，即 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$时取得，此时$x = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$，$y = \dfrac{b}{\sqrt{2}}$。
代入计算
$$S_{\max} = 2ab = 2 \times 4 \times 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$
最终答案
$$S_{\max} = \boxed{16\sqrt{3}}$$
易错点
不要误用均值不等式 $4xy \leq 2(x^2 + y^2)$，因为约束是椭圆方程而非 $x^2 + y^2 = \text{const}$。参数化是最稳妥的方法。参见 椭圆。
第 3 题（数论）· 取整函数求和
题目：求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} \left\lfloor \frac{100}{k} \right\rfloor$ 的值。
思路分析
核心思想
直接逐项计算 $\left\lfloor \dfrac{100}{k} \right\rfloor$的值，注意当$k$ 较大时该值会成段相等，可按值分组求和加速。
分段计算
| $k$的范围 | $\left\lfloor 100/k \right\rfloor$ 的值 | 项数 | 小计 |
|---|---|---|---|
| $k = 1$ | $100$ | $1$ | $100$ |
| $k = 2$ | $50$ | $1$ | $50$ |
| $k = 3$ | $33$ | $1$ | $33$ |
| $k = 4$ | $25$ | $1$ | $25$ |
| $k = 5$ | $20$ | $1$ | $20$ |
| $k = 6$ | $16$ | $1$ | $16$ |
| $k = 7$ | $14$ | $1$ | $14$ |
| $k = 8$ | $12$ | $1$ | $12$ |
| $k = 9$ | $11$ | $1$ | $11$ |
| $k = 10$ | $10$ | $1$ | $10$ |
| $k = 11$ | $9$ | $1$ | $9$ |
| $k = 12$ | $8$ | $1$ | $8$ |
| $k = 13 \sim 14$ | $7$ | $2$ | $14$ |
| $k = 15 \sim 16$ | $6$ | $2$ | $12$ |
| $k = 17 \sim 20$ | $5$ | $4$ | $20$ |
| $k = 21 \sim 25$ | $4$ | $5$ | $20$ |
| $k = 26 \sim 33$ | $3$ | $8$ | $24$ |
| $k = 34 \sim 50$ | $2$ | $17$ | $34$ |
| $k = 51 \sim 100$ | $1$ | $50$ | $50$ |
求和
$$\sum_{k=1}^{100} \left\lfloor \frac{100}{k} \right\rfloor = 100 + 50 + 33 + 25 + 20 + 16 + 14 + 12 + 11 + 10$$ $$+ \thickspace 9 + 8 + 14 + 12 + 20 + 20 + 24 + 34 + 50$$
前 10 项和（$k=1\sim 10$）：
$$100 + 50 + 33 + 25 + 20 + 16 + 14 + 12 + 11 + 10 = 291$$
剩余项和（$k=11\sim 100$）：
$$9 + 8 + 14 + 12 + 20 + 20 + 24 + 34 + 50 = 191$$
$$\text{总和} = 291 + 191 = 482$$
最终答案
$$\sum_{k=1}^{100} \left\lfloor \frac{100}{k} \right\rfloor = \boxed{482}$$
数论意义
此和等于 $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} d(k)$，即 $1 \sim 100$所有正整数的约数个数之和。这是因为$\left\lfloor n/k \right\rfloor$恰为$1 \sim n$中$k$ 的倍数个数，对其求和即统计了所有约数关系。参见 数论函数与欧拉定理。
第 4 题（组合）· 正八面体面染色（Burnside 引理）
题目：用 $4$种颜色染正八面体的$8$ 个面，旋转等价，求不同方案数。
思路分析
对偶转化
正八面体与立方体互为对偶多面体：正八面体的 $8$个面对应立方体的$8$个顶点。因此"染正八面体的 8 个面"等价于"染立方体的 8 个顶点"，旋转群相同（均为$S_4$，阶数 $24$）。
应用 Burnside 引理
由 Burnside 引理，不同染色方案数为：
$$N = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} 4^{c(g)}$$
其中 $c(g)$为旋转$g$作用在$8$个顶点（面）上的循环个数。立方体旋转群共$24$个元素，分为$5$ 个共轭类：
| 旋转类型 | 元素个数 | 循环结构 | $c(g)$ | 贡献 |
|---|---|---|---|---|
| 恒等 | $1$ | $1^8$ | $8$ | $1 \times 4^8 = 65536$ |
| 面心 $90°/270°$ | $6$ | $4^2$ | $2$ | $6 \times 4^2 = 96$ |
| 面心 $180°$ | $3$ | $2^4$ | $4$ | $3 \times 4^4 = 768$ |
| 体对角线 $120°/240°$ | $8$ | $1^2\thinspace 3^2$ | $4$ | $8 \times 4^4 = 2048$ |
| 对边中点 $180°$ | $6$ | $2^4$ | $4$ | $6 \times 4^4 = 1536$ |
循环结构说明（以立方体顶点为作用对象）：
- 恒等：8 个顶点各自不动，$c = 8$。
- 面心 $90°$（6 个 = 3 轴 × 2 方向）：旋转轴穿过一对相对面中心，该面周围 4 个顶点形成 1 个 4-循环，对面周围 4 个顶点形成另 1 个 4-循环，$c = 2$。
- 面心 $180°$（3 个 = 3 轴）：同上轴向但转 $180°$，8 个顶点形成 4 个 2-循环，$c = 4$。
- 体对角线 $120°$（8 个 = 4 条体对角线 × 2 方向）：旋转轴穿过一对对角顶点，该两顶点不动（2 个 1-循环），其余 6 个顶点形成 2 个 3-循环，$c = 2 + 2 = 4$。
- 对边中点 $180°$（6 个 = 6 对对边）：8 个顶点形成 4 个 2-循环，$c = 4$。
计算
$$N = \frac{1}{24}\left(65536 + 96 + 768 + 2048 + 1536\right) = \frac{69984}{24} = 2916$$
最终答案
$$N = \boxed{2916}$$
易错点
- 必须将正八面体转化为对偶的立方体来分析顶点作用，否则容易混淆面的循环结构。
- 体对角线旋转时有两个顶点固定（$1^2\thinspace 3^2$），不要误认为全部形成 3-循环。 参见 对称群与Pólya计数。
第 5 题（代数）· 条件不等式求最值
题目：设 $a, b, c > 0$，$abc = 8$。求 $\dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 + b^2 + c^2}$ 的最小值。
猜想
当 $a = b = c = 2$ 时，$abc = 8$，且
$$\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2} = \frac{3 \times 8}{3 \times 4} = \frac{24}{12} = 2$$
猜想最小值为 $2$，即需证 $a^3 + b^3 + c^3 \geq 2(a^2 + b^2 + c^2)$。
证明（切线法 / UCT）
切线法（Universal Coincidence Technique）
对约束 $abc = 8$，取对数得 $\ln a + \ln b + \ln c = \ln 8 = 3\ln 2$。构造辅助函数，使其在 $a = 2$ 处与目标函数相切，再利用凸性证明全局不等式。
定义 $f(x) = x^3 - 2x^2 - 8\ln x$（$x > 0$），则目标不等式等价于：
$$f(a) + f(b) + f(c) \geq f(2) + f(2) + f(2) = 3f(2) = 3(8 - 8 - 8\ln 2) = -24\ln 2$$
即需证 $f(a) + f(b) + f(c) \geq -24\ln 2$（在 $\ln a + \ln b + \ln c = 3\ln 2$ 下）。
验证 $x = 2$ 为临界点：
$$f'(x) = 3x^2 - 4x - \frac{8}{x}, \quad f'(2) = 12 - 8 - 4 = 0 \thickspace\checkmark$$
验证凸性：
$$f''(x) = 6x - 4 + \frac{8}{x^2}$$
由 AM-GM：$6x + \dfrac{8}{x^2} = 3x + 3x + \dfrac{8}{x^2} \geq 3\sqrt[3]{3x \cdot 3x \cdot \dfrac{8}{x^2}} = 3\sqrt[3]{72} > 3 \times 4 = 12 > 4$
（因为 $72 > 64 = 4^3$，故 $\sqrt[3]{72} > 4$。）
因此 $f''(x) = 6x - 4 + \dfrac{8}{x^2} > 0$，$f$在$(0, +\infty)$ 上严格凸。
由凸性 + 切线：$f(x) \geq f(2) + f'(2)(x - 2) = f(2) = -8\ln 2$，即
$$x^3 - 2x^2 - 8\ln x \geq -8\ln 2$$
对 $a, b, c$ 求和：
$$\sum(a^3 - 2a^2) - 8(\ln a + \ln b + \ln c) \geq -24\ln 2$$
$$\sum(a^3 - 2a^2) - 8 \cdot 3\ln 2 \geq -24\ln 2$$
$$\sum a^3 - 2\sum a^2 \geq 0$$
结论
$$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 + b^2 + c^2} \geq 2$$
等号当且仅当 $a = b = c = 2$ 时取得。
最终答案
最小值为 $\boxed{2}$，等号当 $a = b = c = 2$ 时取得。
方法总结
切线法（UCT）是处理带积约束 $abc = \text{const}$ 的对称不等式的利器：取对数将积约束转化为和约束，再对单变量函数验证凸性后用切线放缩。参见 不等式与最值问题。
第 6 题（数论）· 因子个数下界估计
题目：证明：$2^{2025} - 1$至少有$2025$ 个不同的正整数因子。
关键分解
$$2025 = 3^4 \times 5^2$$
2025 的正约数个数为 $(4+1)(2+1) = 15$，其中大于 1 的有 $14$ 个：
$$3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025$$
Zsigmondy 定理
Zsigmondy 定理（$a=2, b=1$ 情形）
对整数 $n \geq 3$且$n \neq 6$，$2^n - 1$存在本原素因子$p$，即 $p \mid 2^n - 1$但$p \nmid 2^m - 1$（$0 < m < n$）。
对上述每一个约数 $d$（$d > 1$，$d \mid 2025$）：
- $d \geq 3$且$d$为奇数，故$d \neq 6$；
- 由 Zsigmondy 定理，$2^d - 1$存在本原素因子$p_d$。
素因子互异
关键论证
本原素因子 $p_d$的阶（order）恰好为$d$，即 $\text{ord}_{p_d}(2) = d$。不同 $d$对应不同阶，故$\lbrace p_d : d \mid 2025, d > 1\rbrace $中$14$ 个素数两两互异。
详细论证：设 $p_d \mid 2^d - 1$且$p_d$为本原素因子，则$\text{ord}_{p_d}(2) = d$（否则存在更小的 $m$使$p_d \mid 2^m - 1$，与本原性矛盾）。若 $p_d = p_{d'}$（$d \neq d'$），则 $d = \text{ord}_{p_d}(2) = d'$，矛盾。故 $14$ 个本原素因子两两不同。
因子个数下界
对每个 $d \mid 2025$（$d > 1$），由 $d \mid 2025$知$2^d - 1 \mid 2^{2025} - 1$，从而 $p_d \mid 2^{2025} - 1$。
因此 $2^{2025} - 1$至少有$14$个互不相同的素因子$p_3, p_5, p_9, \ldots, p_{2025}$。
设 $2^{2025} - 1 = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_{14}^{e_{14}} \cdot m$（其中 $m$ 为剩余部分，$e_i \geq 1$），则因子个数
$$\tau(2^{2025} - 1) \geq (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_{14}+1) \geq 2^{14} = 16384$$
结论
$$\tau(2^{2025} - 1) \geq 2^{14} = 16384 > 2025$$
即 $2^{2025} - 1$至少有$2025$ 个不同的正整数因子。$\blacksquare$
证毕
实际上我们证明了更强的结论：$2^{2025}-1$至少有$16384$ 个因子。
方法要点
第 7 题（组合）· 棋盘放车问题
题目：$n \times n$棋盘放$n$ 个车互不攻击。（1）求放法数；（2）主对角线上无车时求放法数。
第（1）问
模型：$n$个车互不攻击$\Leftrightarrow$每行每列各恰有一个车$\Leftrightarrow$一个$1 \sim n$到$1 \sim n$ 的排列。
具体地，第 $i$行的车放在第$\sigma(i)$列，其中$\sigma$是$\lbrace 1, 2, \ldots, n\rbrace $ 的一个排列。不同排列对应不同放法。
$$\text{放法数} = n!$$
示例
$n = 3$时有$3! = 6$种放法，对应$S_3$ 的 6 个排列。
第（2）问
模型：主对角线上无车 $\Leftrightarrow$排列$\sigma$满足$\sigma(i) \neq i$（$i = 1, \ldots, n$）$\Leftrightarrow$ $\sigma$为$\lbrace 1, \ldots, n\rbrace $ 的错排（derangement）。
容斥原理
设 $A_i$为$\sigma(i) = i$ 的排列集合，则错排数为： $$D_n = n! - |A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n|$$ 由容斥原理展开。
计算：$|A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}| = (n-k)!$（固定 $k$个位置后其余$n-k$个自由排列），从$n$个中选$k$个有$\binom{n}{k}$ 种。
$$D_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}(n-k)! = n!\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$$
示例
- $D_1 = 0$（一个元素无法错排）
- $D_2 = 1$（只有 $(2,1)$）
- $D_3 = 2$（$(2,3,1)$与$(3,1,2)$）
- $D_4 = 9$
最终答案
- （1）放法数为 $\boxed{n!}$
- （2）放法数为错排数 $\boxed{D_n = n!\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}}$
渐近性质
当 $n \to \infty$ 时，$\dfrac{D_n}{n!} \to \dfrac{1}{e}$，即随机排列为错排的概率趋于 $1/e \approx 0.368$。参见 计数原理与方法 ｜ 排列组合。
第 8 题（几何）· 内心到中线的距离
题目：$\triangle ABC$中$\angle A = 60°$，$AB = 4$，$AC = 3$，$M$为$BC$ 中点，$I$为内心。求$MI$。
第一步：求基本量
由余弦定理：
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 16 + 9 - 2 \times 4 \times 3 \times \frac{1}{2} = 13$$
$$a = BC = \sqrt{13}, \quad b = AC = 3, \quad c = AB = 4$$
半周长与面积：
$$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+\sqrt{13}}{2}$$
$$\Delta = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$
内半径：
$$r = \frac{\Delta}{s} = \frac{3\sqrt{3}}{\dfrac{7+\sqrt{13}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{7+\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{3}(7-\sqrt{13})}{49-13} = \frac{\sqrt{3}(7-\sqrt{13})}{6}$$
第二步：关键公式 $MI^2 = \dfrac{(b-c)^2}{4} + r^2$
几何观察
设 $T$为内切圆与$BC$的切点，则$IT \perp BC$，$IT = r$。$M$为$BC$中点，故$\triangle MTI$ 为直角三角形，$MI^2 = MT^2 + IT^2$。
计算 $MT$：
切点 $T$满足$BT = s - b$（从 $B$ 出发的切线长），$BM = \dfrac{a}{2}$，故
$$MT = |BM - BT| = \left|\frac{a}{2} - (s-b)\right| = \left|\frac{a}{2} - \frac{a+b+c}{2} + b\right| = \frac{|b-c|}{2}$$
代入 $b = 3, c = 4$：
$$MT = \frac{|3-4|}{2} = \frac{1}{2}$$
第三步：计算 $MI$
$$MI^2 = MT^2 + r^2 = \frac{1}{4} + r^2$$
计算 $r^2$：
$$r^2 = \frac{3(7-\sqrt{13})^2}{36} = \frac{(7-\sqrt{13})^2}{12} = \frac{49 - 14\sqrt{13} + 13}{12} = \frac{62 - 14\sqrt{13}}{12}$$
因此：
$$MI^2 = \frac{1}{4} + \frac{62 - 14\sqrt{13}}{12} = \frac{3 + 62 - 14\sqrt{13}}{12} = \frac{65 - 14\sqrt{13}}{12}$$
$$MI = \sqrt{\frac{65 - 14\sqrt{13}}{12}}$$
数值验证
$r \approx 0.980$，$MI^2 \approx 0.25 + 0.960 = 1.210$，$MI \approx 1.100$。
最终答案
$$MI = \boxed{\sqrt{\dfrac{65 - 14\sqrt{13}}{12}}}$$
公式推广
对任意 $\triangle ABC$，设 $M$为$BC$ 中点，$I$ 为内心，$T$为内切圆在$BC$ 上的切点，则 $$MI^2 = \frac{(b-c)^2}{4} + r^2$$ 这是一个优雅的几何恒等式，将中线—内心距离归结为半差长与内半径。参见 三角形与圆。