Appearance
模拟卷二·一试
考试信息
- 考试时间：120 分钟
- 满分：120 分
- 结构：填空题 4 题（每题 15 分，共 60 分）+ 解答题 4 题（每题 15 分，共 60 分）
- 覆盖：代数、几何、数论、组合
一、填空题（每题 15 分，共 60 分）
第 1 题（代数）
已知等差数列 $\lbrace a_n\rbrace $的前$n$项和为$S_n$，且 $S_{10} = 100$，$S_{20} = 400$。求 $S_{30}$ 的值。
$$S_{30} = \boxed{\thinspace\thinspace?}$$
第 2 题（几何）
椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率 $e = \dfrac{1}{2}$，焦距为 $4$。求该椭圆内接矩形（边平行于坐标轴）面积的最大值。
$$S_{\max} = \boxed{\thinspace\thinspace?}$$
第 3 题（数论）
求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} \left\lfloor \frac{100}{k} \right\rfloor$ 的值。
$$\sum_{k=1}^{100} \left\lfloor \frac{100}{k} \right\rfloor = \boxed{\thinspace\thinspace?}$$
第 4 题（组合）
用 $4$种颜色染正八面体的$8$ 个面（每个面染一种颜色，颜色可重复使用），旋转后相同的染色方案视为同一种。求不同染色方案数。
$$N = \boxed{\thinspace\thinspace?}$$
二、解答题（每题 15 分，共 60 分）
第 5 题（代数）
设 $a, b, c > 0$，且 $abc = 8$。求 $\dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 + b^2 + c^2}$ 的最小值，并求等号成立的条件。
第 6 题（数论）
证明：$2^{2025} - 1$至少有$2025$ 个不同的正整数因子。
第 7 题（组合）
在 $n \times n$的棋盘上放置$n$ 个车，要求任何两个车互不攻击（即不同行不同列）。
（1）有多少种不同的放法？
（2）若进一步要求主对角线（从左上到右下）上没有车，又有多少种放法？
第 8 题（几何）
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 60°$，$AB = 4$，$AC = 3$。设 $M$为$BC$ 的中点，$I$为$\triangle ABC$的内心。求$MI$ 的长度。