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等差数列与等比数列的求和公式（含多种已知条件）
本文目标
系统推导 等差数列、等比数列 的求和公式，并给出在不同已知条件下的求和方法，包括：
- 已知首项与末项
- 已知首项与项数
- 已知公差/公比
- 无穷等比数列求和
适合整理到 Obsidian 的「数列」「高中数学」「竞赛基础」等文件夹。
1. 等差数列的求和
1.1 定义回顾
等差数列：若数列满足
$$ a_{n+1} - a_n = d \quad (\text{常数}) $$
则称为等差数列，$d$ 为公差。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n-1)d. $$
1.2 等差数列求和公式推导
设等差数列前 $n$ 项和为：
$$ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n. $$
写两遍，一正一反：
$$ \begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n,\newline S_n &= a_n + a_{n-1} + \cdots + a_2 + a_1. \end{aligned} $$
两式相加：
$$ 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1). $$
每一对都是 $a_1 + a_n$，共有 $n$ 对：
$$ 2S_n = n(a_1 + a_n). $$
因此：
$$ \boxed{S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}} $$
另一种常用形式
若只知道公差 $d$，用
$$
a_n = a_1 + (n-1)d $$
代入得
$$
S_n = \frac{n}{2}\left[2a_1 + (n-1)d\right]. $$
1.3 已知不同条件时的求和方法
（1）已知首项 $a_1$与末项$a_n$
直接用：
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}. $$
（2）已知首项 $a_1$与公差$d$
先求末项：
$$ a_n = a_1 + (n-1)d, $$
再代入求和公式。
（3）已知末项 $a_n$与公差$d$
先求项数：
$$ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1. $$
（4）已知某三项，例如 $a_k, a_m, a_n$
利用等差性质：
$$ a_m - a_k = (m-k)d,\quad a_n - a_m = (n-m)d. $$
求出 $d$ 后即可求和。
常见错误
有些同学把
$$
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$
错写成
$$
S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} $$
忘记乘以 $n$。这是最常见的低级错误之一。
1.4 例题：等差数列求和
例 1（基础）
已知等差数列 $a_1 = 3, d = 2$，求前 10 项和。
解：
先求末项：
$$ a_{10} = 3 + 9 \cdot 2 = 21. $$
求和：
$$ S_{10} = \frac{10(3 + 21)}{2} = 120. $$
例 2（已知三项）
已知等差数列中 $a_3 = 10, a_7 = 26$，求前 20 项和。
解：
利用：
$$ a_7 - a_3 = (7-3)d \Rightarrow 26 - 10 = 4d \Rightarrow d = 4. $$
求首项：
$$ a_3 = a_1 + 2d \Rightarrow 10 = a_1 + 8 \Rightarrow a_1 = 2. $$
求末项：
$$ a_{20} = 2 + 19 \cdot 4 = 78. $$
求和：
$$ S_{20} = \frac{20(2 + 78)}{2} = 800. $$
2. 等比数列的求和
2.1 定义回顾
等比数列：若
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad (\text{常数}) $$
则称为等比数列，$q$ 为公比。
通项公式：
$$ a_n = a_1 q^{n-1}. $$
2.2 等比数列求和公式推导
设前 $n$ 项和为：
$$ S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}. $$
乘以公比 $q$：
$$ qS_n = a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^n. $$
两式相减：
$$ S_n - qS_n = a_1 - a_1 q^n. $$
$$ S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n). $$
若 $q \neq 1$，则：
$$ \boxed{ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} } $$
若 $q = 1$
等比数列退化为常数列：
$$
S_n = na_1. $$
2.3 已知不同条件时的求和方法
（1）已知首项 $a_1$与公比$q$
直接用：
$$ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}. $$
（2）已知末项 $a_n$与公比$q$
利用：
$$ a_n = a_1 q^{n-1}. $$
（3）已知某三项，例如 $a_k, a_m, a_n$
利用：
$$ \frac{a_m}{a_k} = q^{m-k}. $$
求出 $q$ 后即可求和。
2.4 例题：等比数列求和
例 1（基础）
已知等比数列 $a_1 = 2, q = 3$，求前 5 项和。
解：
$$ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 242. $$
例 2（已知末项）
已知等比数列 $a_1 = 4, a_6 = 324$，求前 6 项和。
解：
先求公比：
$$ a_6 = 4q^5 = 324 \Rightarrow q^5 = 81 \Rightarrow q = 3. $$
求和：
$$ S_6 = 4 \cdot \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = 4 \cdot \frac{1 - 729}{-2} = 1456. $$
3. 无穷等比数列求和
3.1 收敛条件
收敛条件
无穷等比数列
$$
a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots $$
收敛当且仅当
$$
|q| < 1. $$
若 $|q| \ge 1$，则发散，不存在和。
3.2 求和公式推导
当 $|q| < 1$ 时，
$$ q^n \to 0. $$
有限和公式：
$$ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}. $$
取极限：
$$ S = \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}. $$
因此：
$$ \boxed{ S = \frac{a_1}{1 - q} \quad (|q| < 1) } $$
3.3 例题：无穷等比数列求和
例 1
求：
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots $$
解：
首项 $a_1 = 1$，公比 $q = \frac12$，满足 $|q| < 1$。
$$ S = \frac{1}{1 - \frac12} = 2. $$
例 2
求：
$$ 3 - 1 + \frac13 - \frac19 + \cdots $$
解：
首项 $a_1 = 3$，公比 $q = -\frac13$，满足 $|q| < 1$。
$$ S = \frac{3}{1 - (-\frac13)} = \frac{3}{\frac43} = \frac94. $$
4. 小结
核心公式
- 等差数列求和
$$
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$
或
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] $$
- 等比数列求和
$$
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} $$
- 无穷等比数列求和（|q| < 1）
$$
S = \frac{a_1}{1 - q} $$
5. 思考题（可加入你的题库）
- 已知等差数列中 $a_5 = 12, a_{15} = 32$，求前 20 项和。
- 已知等比数列中 $a_2 = 6, a_5 = 162$，求前 8 项和。
- 求无穷级数
$$ 5 - 2 + \frac{4}{5} - \frac{8}{25} + \cdots $$
的和。