微积分

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微分

导数和微分的区别：

• 导数:是指函数在某一点处变化的快慢,是一种变化率。
• 微分：是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量。 导数:是指函数在某一点处变化的快慢,是一种变化率。 微分：是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量。

对于多元函数而言，全微分就是指在各个自变量处的微分的和。也就是说总的变化量指各个分变化量的和，这样子就比较容易理解了。比如三元函数，所以dz=zxdx+zydy。

导数和微分的关系类似于速度和路程。也就是说两个变化量之间的比值为衡量变化快慢的变化率。比如速度就是路程的变化量和时间的变化量的比值。而对于一元导数就为y的变化量dy与x的变化量dx之间的比值。

一、微分的本质

我直接先下个结论：微分本质是一个微小的线性变化量，是用一个线性函数作为原函数变化的逼近（或者叫近似）。

微分的定义是从导数而来,的由导数的定义有 $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta y}}{ {\Delta x}} = f'(x)$ ，那么则有 $\frac{ {\Delta y}}{ {\Delta x}} - f'(x) = a{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathop {\lim }\limits_{\Delta {\rm{x}} \to 0} a = 0$ 。 则可以得到如下结果：

$\Delta y = f'(x)\Delta x + a\Delta x$

当 $\Delta x$ 趋近于0，显然有 $\Delta y \approx f'(x)\Delta x$ 。

现在我们将 $f'(x)\Delta x$ 定义为dy。而 $\Delta y$ 表示的是函数值的变化，显然dy的真正含义是对这种变化的逼近。也就是说我们定义微分，就是想借助微分这个工具来研究函数的变化趋势。

从上面你可以明白两件事，第一微分，即dy不是一个符号，是真的有具体值的，它的值为 $f'(x)\Delta x$ ，第二观察下 $f'(x)\Delta x$ ，显然是一个关于 $\Delta x$ 的线性函数，因此微分其实在一点处，用一个线性函数的变化来逼近函数的变化,线性的东西，其规律就好掌握了。

那么我们根据 $dy = f'(x)\Delta x$ 还可以推导出更多东西，比如令里面的y为x，则可以得到 $dx = 1*\Delta x$ ，即 $dx = \Delta x$ 。那么x的微分也就出来了。说白了，dy和dx表示的就是y和x的变化量，是一种具体的量，跟我们通常理解的变化差额没什么本质区别，只不过因为 $\Delta x$ 趋近0这种极限的性质，让他变得特殊一点而已。因此我们在数学上给他起个牛逼的代号，微分！以后用到微分的地方太多了，所以要起名字。

好，那么根据我们的定义，导数和微分的关系自然而然就出来了，由 $dy = f'(x)\Delta x$ ，自然就得到 $\frac{ {dy}}{ {dx}} = f'(x)$ 。是不是觉得导数和微分的关系其实也没有那么神秘，这一切都只源于那些数学大家的定义而已。所谓定义，肯定是人为的了，没什么道理可讲。

二、微分的定义

根据微分的定义，对函数空间 $F$ 中的任意函数 $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ ，它在 $x_0 \in X$ 处的微分是

$df = f'(x_0) dx$

1. 首先，从微分的符号上来看， $df$ 由两个字母 $d$ 和 $f$ 组成，其中$d$表示求微分的动作，$f\in F$是一个函数，它们合起来表示一个数学对象。为叙述方便，我把这个数学对象换个符号表示，记作 $\omega$ 。也就是 $\omega=df$ 。

2. 从微分的定义可以看出，对函数集$F$中的每一个函数 $f$ ，都有一个在$x_0 \in X$ 处的微分$df = \omega$与之对应，这就暗含了一个映射，记作$\begin{aligned} d: F \rightarrow U_{x_0}, f \mapsto \omega =df \end{aligned}$称为微分算子，其中 $U_{x_0}$ 是函数集$F$在映射 $d$ 下的像，也就是由所有那些遍历 $f\in F$ 所得到的 $\omega$ 的集合。到这里为止，我们可以说微分算子是一个映射，但是却仍然不能真正理解微分，因为没有说清楚$\omega$到底是什么东西。

3. 从微分定义式的右边来看，它包含两项相乘，第一项 $f'(x_0)$ 是函数 $f$ 在$x_0 \in X$ 处的导数，它是一个数；而第二项 $dx$ 又是一个微分，它是恒等函数 ：$\operatorname{id}：\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x$ 在$x_0 \in X$ 处的微分。这就是理解微分这个定义的难点所在，即微分是递归定义的，而不像大多数其他概念那样采用构造性定义方式。也就是说，当我们尝试去看微分$df$是如何构造的，它却用到了另一个我们还没有定义的微分。

4. 为了理解微分，我们试图给微分一个构造性的定义。在这之前，先来看一下微分的性质。从微分的定义可以看出，一个数$f'(x_0)$可以与微分$dx$相乘得到另一个微分 $df$ 。按照定义，一个数 C 与 函数 $f$ 相乘得到的新函数 $g(x) = Cf(x)$ 在$x_0 \in X$ 处的微分$dg = g'(x_0)dx=Cf'(x_0)dx=Cdf$也就是说，微分的数乘是有合理且自然的定义的，即把对应的函数乘以常数再取微分，可以记作$\cdot: \mathbb{R}\times U_{x_0} \rightarrow U_{x_0}, \lambda \omega \mapsto d(\lambda d^{-1}(\lbrace \omega\rbrace ))$注意，这里符号 $d^{-1}$ 并不意味着微分算子 $d$ 是可逆的，它的含义是 $d^{-1}(A) = \lbrace f\in F: df \in A \rbrace $即 $d^{-1}(\lbrace \omega\rbrace )$ 表示其微分等于 $\omega$ 的那些函数组成的集合。而 $\lambda$ 与上述集合的数乘是指由该集合中的函数乘以 $\lambda$ 后所得到的那些函数组成的集合。所有这些函数在微分算子的作用下得到的是同一个微分。

5. 仿照上述微分数乘的定义，可以定义微分的加法：函数 $f_1,f_2 \in F$ 在 $x_0 \in X$ 处的微分分别记作 $df_1, df_2$ ，它们的加法定义为$\begin{aligned} df_1+df_2&=f_1'(x_0)dx+f_2'(x_0)dx \newline &=(f_1'(x_0)+f_2'(x_0))dx\newline &=f'(x_0) dx \end{aligned}$其中 $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ 是 $f_1$与 $f_2$ 之和。由于微分定义了加法和数乘，全体在 $x_0 \in X$ 处的微分的构成线性空间$U_{x_0}$，线性空间的元素也称为矢量。由于函数也有自然的加法和数乘的定义，函数集也是线性空间。容易看出，微分算子作为从函数空间到线性空间$U_{x_0}$的映射保持线性性质，是一个线性映射。

6. 以上我们导出了微分的线性性质，说明了微分可以被称为矢量。但是这仍不足以说明什么是微分。微分是矢量，但矢量不见得一定是微分。一个矢量什么时候等于微分，实质上是在问，什么时候两个函数的微分相等。微分相等在函数集上定义了一种关系，这种关系满足：

   1. 自反性，函数的微分与其自身的微分当然相等, $df =df$ ;

   2. 对称性， $df = dg \Leftrightarrow dg = df$ ;

   3. 传递性， $df = dg, dg = dh \Rightarrow df = dh$ 因此，微分可以定义为该等价关系的等价类。

7. 一元函数的微分这个概念在 $X=\mathbb{R}$ 的一维情况下相当隐晦，放在多元情况下就比较明显。先理解了多元函数 $f: \mathbb{R}^N \rightarrow\mathbb{R}$ 的微分，一元函数的微分反而更容易理解，只不过是 $N=1$ 的特例罢了。多元函数 $f: \mathbb{R}^N \rightarrow\mathbb{R}$ 在 $x=(x^1,x^2,\cdots, x^n, \cdots,x^N) \in \mathbb{R}^N$ 处的微分定义为$df = \sum_{n=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial x^n}dx^n}$这是把微分 $df$ 表示成了一组微分 $dx^1, \cdots, dx^n$ 的线性组合，其坐标为 $\left(\frac{\partial f}{\partial x^1}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x^n}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x^N}\right)$考虑函数 $f_1(x) = x^1$ ，微分 $df_1$ 为$df_1 = \sum_{n=1}^{N}{\frac{\partial x^1}{\partial x^n}dx^n} = dx^1$其坐标为 $(1, 0, 0, \cdots, 0)$其余 $1<n\le N$ 类似，故它们构成线性空间 $U_{x}$ 的一组自然基底。

8. 函数 $f$ 的微分 $df$在自然基底上的坐标都是 $f$ 的偏导数，它们的线性组合张成一个线性空间$V_x =\left\lbrace v: F\rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \sum_{n=1}^{N}{v_n \frac{\partial f}{\partial x^n}}\right\rbrace $该空间的元素 $v$ 称为切矢量，它不仅需要满足线性性质，还必须满足莱布尼兹律$v(fg) = v(f) g + fv(g)$可以证明，满足线性性质和莱布尼兹律的$v$也一定属于 $V_x$ 。$\frac{\partial}{\partial x^n}: F \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto \frac{\partial f}{\partial x^n}$ 是空间 $V_x$ 的一组基底， $v$ 在该基底上的坐标为 $(v_1, \cdots, v_N)$ 。

9. 基于上述切矢量的定义，可以定义函数 $f$ 对应的对偶切矢量：$\omega: V\rightarrow R , v \mapsto \omega(v) = v(f)$对偶切矢量的全体构成线性空间 $V_x$ 的对偶空间 $U_x$ ，它也是一个线性空间，基底 $dx^n \in U_x$ 定义为$dx^n : V \rightarrow \mathbb{R} , v \mapsto dx^n(v) = v_n$微分就是从 $f\in F$ 到 $\omega \in U_x$ 的一个自然映射。

10. 当求微分的点 $x \in \mathbb{R}^n$ 遍历整个空间，矢量 $v$ 就构成了一个矢量场，对偶矢量 $\omega$ 就构成了一个对偶矢量场。

三、极限微分学

极限被发明了出来。相应的什么是无穷小，也有了确切的、具体的定义。无穷小终于不再是幽灵了，被光明正大的纳入数学体系中。

那么基于极限是怎么定义导数的，大家还有印象吗？其实就是基于下面的这个式子：

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)}}{ {\Delta x}}$ eg.
$\begin{array}{l} ({x^2})' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {f\left( {x + \Delta x} \right) - f(x)}}{ {\Delta x}}\newline {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { { {(x + \Delta x)}^2} - {x^2}}}{ {\Delta x}} \end{array}$

四、总结

1. 古典微分学和极限微分学最本质的区别就是，在前者的体系中，微分就是变化本身，而在后者中，微分是变化的逼近。

2. 微分是实实在在的一个量，是一个无穷小量（当变化趋近于0时）。它也是有自己的运算法则的，参见高等数学教材。其实跟导数的规则差不多。

3. 我们现在所学的体系，是按照先极限、再通过极限定义导数、再通过导数定义微分这个次数来的。但是在历史发展中，是先有的微分（即先定义出dy），然后根据需要（为了解决切线问题）定义出导数的。

4. 至于为什么要把微分定义出来呢？相信如果你以后在数学的领域接触到更高深的知识，就会明白为啥子非得把微分定义出来了。

5. 求微分是求微分，求导是求导。不要因为某些历史造成的巧合就按照自己臆想的规则胡来（比如约分）。当想不明白的时候，多想想极限的思想。

从古典到现代

1 牛顿、莱布尼兹开始的古典微积分

牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分 1.1 导数为什么出现？

导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的，之前数学家已经在对曲线的切线进行研究了，但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定下来了。

曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积之和： 直觉告诉我们，如果 n 越大，则这个近似越准确： 无穷小量就在这里出现了，无穷小量是建立微积分的基础，莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。在当时的观点下，无穷小量到底是什么也是有争论的，当时有数学家打比喻：“无穷小量就好比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为这是真实存在的。

在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。 1.2 导数的古典定义

在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线： 割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降，上升了多少，但是并不精确。 有了切线之后我们进一步去定义导数： 数的定义 $f'(x)=\frac{dy}{dx}$ ，而 $dx$ 和 $dy$ 被称为 $x$ 和 $y$ 的微分，都为无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商)。 1.3 无穷小量导致的麻烦

实际上是有矛盾的： 所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。

无穷小量的麻烦还远远不止这一些， $x^2$ 的导数是这样计算的：

$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(x^2) & = \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \newline & = \frac{(x+dx)^2-x^2}{dx} \newline & = \frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx} \newline & = \frac{2xdx+dx^2}{dx} \newline & = 2x+dx \newline & = 2x \end{aligned}$ 仔细看看运算过程， $dx$ 先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。

无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1？

无穷小量还违反了 阿基米德公理，这个才是更严重的缺陷，康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。

一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。 1.4 对于古典微积分的总结

• 切线：通过无穷小量定义了切线
• 导数：导数就是切线的斜率
• 微分：微分是微小的增量，即无穷小量 2 基于极限重建微积分

莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦，一直拼命想要修补，但是这个问题要等到200年后，19世纪极限概念的清晰之后才得到解决。

解决办法是，完全摈弃无穷小量，基于极限的概念，重新建立了微积分。

2.1 极限

现在都是用 $\epsilon -\delta$ 语言来描述极限： 可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。

2.2 导数的极限定义

$\begin{aligned} \displaystyle f'(x_0)& =\frac{dy}{dx}\newline & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\newline & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{aligned}$ 用极限重新严格定义了导数，已经脱离了微商的概念，此时，导数应该被看成一个整体。

不过我们仍然可以去定义什么是微分，说到这里，真是有点剧情反转，原来是先定义了微分再有的导数，现在却是先定义了导数再有的微分。

$\begin{aligned} \displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) & \implies \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=0\newline & \implies \frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=a,\lim _{\Delta x \to 0}a=0\newline & \implies \Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x \end{aligned}$

$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x$ 可以得出， $\Delta y$ 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义： $dy=f'(x)\Delta x$ ，这是 $dy$ 的定义。

我们令 $y=x\implies dy=1\Delta x\implies dx=\Delta x$ ，这个 $dx$ 的定义。

最后我们可以得到 $dy=f'(x)dx\implies \frac{dy}{dx}=f'(x)$ ：2.3 对于极限微积分的总结

• 导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率
• 微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
• 切线：有了导数之后就可以被确定下来了 3 疑问的解答

微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。

3.1 古典微积分与极限微积分的对比

• 古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。
• 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。
• 古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。
• 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。
• 古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。
• 古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。

古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。

3.2 疑问的解答

之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。

• $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ ，在古典微积分中可以理解为消去，但是在极限微积分中我们应该认识到，这两个 $du$ 实际上是不同的函数。
• $\int _ a^ b \frac{dy}{dx}dx$ 古典微积分中， $dx$ 确实表明是无穷多个矩形的底边，消去也是合理的，而极限微积分中， $\int _ a^ b dx$ 是求黎曼和，我们可以把 $\int _ a^ b$ 当作左括号， $dx$ 当作右括号，就好比 $(2+6)=8$ ，计算完毕之后，括号自然就消失了。
• $d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv$ 在古典微积分中这么计算没有错误，只是 $dudv$ 的消去也是不严谨的，而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明，这里不再列出。

古典微积分其实已经被摒弃了，我们应该知道这一点，重新从极限的角度去认识微积分。

3.3 古典微积分的用处

我们应该从古典微积分，以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。

并且，莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性，他设计的微积分符号确实很符合直觉，我们可以继续借用他的符号来描述微积分。

4 无穷小量的逆袭

有的数学家还是对无穷小量念念不忘，最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数，超实数 。

基于超实数，数学家又重新定义了微积分，这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析（对应的，基于我们没有无穷小量的实数体系的微积分，就是标准分析）。

Reference

微分到底是什么意思？实际意义是什么？ - 知乎微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ? - 知乎

极限

极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的

极限的广义定义：指无限靠近而永远不能到达的意思

极限在数学上的定义：某一个函数中某个变量，此变量在变化的永远的过程中，逐渐向某一个确定的数值不断逼近，而永远不能够重合到的过程中，此变量的变化被人为规定为永远靠近而不停止。极限是一种变化状态的描述

一、数列的极限 $x_{n}$

1. 数列的概念如果按照某一法则，对每个 $n\in N_{+}$,对应着一个确定的实数$x_{n}$,这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列：$x_{1}，x_{2}，x_{3},\cdot\cdot\cdot,x_{n},\cdot\cdot\cdot$就叫数列，记为数列 {${x_{n}}$ }.

• 注：数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 $x_{n}$ 叫做数列的一般项(或通项)

2. 数列极限的定义设{ $x_{n}$}为一个数列，存在常数$a$，$\forall \varepsilon > 0$($\varepsilon 是任意给定正数$)不论它多么小，总$\exists 正整数N$，使得当$n>N$时，不等式$|x_{n}-a|<\varepsilon$都成立，那么常数$a$是数列{$x_{n}$}的极限，或者称数列{$x_{n}$}收敛域$a$

• 记为 $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}} = a \Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0$,$\exists$正整数N，当$n>N$时，有$\left| x_{n}-a \right|<\varepsilon$
• 或 $x_{n}\rightarrow a(n\rightarrow \infty)$
• 当数列 $\lbrace x_n\rbrace $的项数$n$不断增大时，如果$x_n$的值也无限增大（$\infty$ ），则此数列没有极限
• 如果不存在这样的常数 $a$，就说数列{$x_{n}$}没有极限，或者说数列{$x_{n}$ }是发散的。

人们把无穷数列收敛于一个确定的实数L，就把L叫做此无穷数列的极限。

注： $\varepsilon$ 是任意小的距离；N表示某项；n表示N之后的所有项；都落在小区域的里头 3. 收敛数列的性质

• 定理1：收敛数列的极限唯一如果数列 {${x_{n}}$}收敛，那么它的极限唯一

• 反证法证明

• 定理2：收敛数列一定有界如果数列 {${x_{n}}$}收敛，那么数列 {${x_{n}}$}一定有界

• 但是反过来说不成立，数列 {$(-1)^{n+1}$} 虽有界但不收敛

• 定理3：收敛数列具有保号性如果 $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}} = a$且a>0（或a<0）,那么存在正整数N，当n>N时，都有$x_{n}>0$(或$x_{n}$<0)

• 推论：如果数列 {$x_{n}$} 从某项起有 $x_{n}\geq 0$(或$x_{n} \leq 0$)，且$\lim_{x \rightarrow \infty}{x_{n}} = a$,那么$a\geq 0$或（$a\leq 0$ ）

• 定理4：收敛数列的任一子数列收敛于同一极限

• 如果数列 {$x_{n}$}收敛于a，那么它的任一字数列也收敛，且极限也是a

• 由此性质可知，若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散。

• 例如： $x_{n} = -1^{n+1}(n = 1,2,3,...)发散！$ $\lim_{k \rightarrow \infty}{x_{2k-1}} = 1$和$\lim_{k \rightarrow \infty}{x_{2k}} = -1$

3. 数列极限的计算若 $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}=a，\lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}=b$

• $\lim_{n \rightarrow \infty}{(x_n\pm y_n)}=\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}\pm \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} = a\pm b$ (加减法则)
• $\lim_{n \rightarrow \infty}{(x_n\cdot y_n)}=\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}\cdot \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}=a\cdot b$ (乘法法则)
• $\lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt{x_n}}=\sqrt{\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}}=\sqrt{a}(x_n\geq 0,a\geq 0)$ (交换法则)
• $\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n}}{\lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}}=\frac{a}{b}(\lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}\ne 0,b\ne 0)$ (除法法则)

二、## 函数的极限

1、函数极限的定义

• 函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。把数列极限的定义域 $n\in Z^+$扩充到定义域$R$ 就变成了函数的极限以上情况有分为两种研究情形 ①、自变量 $x$ 趋于有限值时函数的极限
• $x_{0}$的邻域，记作$U(x_{0})$：以$x_{0}$ 为中心的任何开区间
• $x_{0}$的去心邻域，记作$\mathring{U}(x_{0})$ ：在$U(x_{0})$中去掉中心 $x_{0}$ 定义1：设函数 $f(x)$在点$x_{0}$的某一去心邻域内有定义（在$x_{0}$处可以没有意义）。$\exists 常数A$，对于$\forall \varepsilon$>0 (任一正数)，总 $\exists \delta > 0$(正数)，使得当x满足不等式$0<|x-x_{0}|<\delta$时，$|f(x)-A|<\varepsilon$ ,

那么常数A就叫函数 $f(x)$当$x\rightarrow x_{0}$ 时的极限，记作

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A$或者说$f(x)\rightarrow A(当x\rightarrow x_{0})$

• $\varepsilon$ 表示：函数值和极限之间的距离 |f(x)-A|>0
• $\delta$ 表示：找一个正数
• 定义中 $0< |x-x_{0}|$表示$x \ne x_{0}$，所以$x\rightarrow x_{0}时f(x)有没有极限，与f(x)在点x_{0}是否有定义并无关系$定义1 的简单描述：$\varepsilon-\delta语言$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A\Leftrightarrow \forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,当0<|x-x_{0}|<\delta 时，恒有|f(x)-A|<\varepsilon$

函数 $f(x)$当$x\rightarrow x_{0}$ 时的极限为A的几何解释： 找一个 $\delta$在$x_{0}$的一个$\delta$领域$(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$,只要x落在以$x_{0}$为中心，以$\delta$为距离的小区域里面，使得函数值都落在以A为中心，以$\varepsilon$ 为距离的小区域里头。

注：常数的极限就是这个常数 若改变了 $\varepsilon$的取值，相应的$\delta$ 的取值也发生了改变，$\varepsilon$具有任意性，而 $\delta$ 对于$\varepsilon$具有依赖性。

它随着$\varepsilon$的变而变化，而 $\delta$的取值不是唯一的，我们只要找到一个满足条件的$\delta$ 即可。 注： $x$的趋向方向$x\rightarrow x_0$ ,

• 既要考虑 $x$从$x_0$的左侧无限接近$x_0$（$x\rightarrow x_{0}^{-}$ ）

• 也要考虑$x$从$x_0$的右侧无限接近$x_0$（ $x\rightarrow x_{0}^{+}$）左极限：$f(x_{x}^{-})=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}{f(x)} = A$ $x$从$x_{0}$的左侧趋于$x_{0}$

• 定义修改： $0<x_{0}-x<\delta$

右极限： $f(x_{x}^{+})=\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}{f(x)} = A$ $x$从$x_{0}$的右侧趋于$x_{0}$

• 定义修改： $0<x-x_{0}<\delta$

总结：

• 左极限和右极限统称为单侧极限
• $\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=A\Leftrightarrow f(x_{0}^{+})=f(x_{0}^{-})= A$
• $x\rightarrow x_{0}$时$f(x)$的极限存在$\Leftrightarrow$左右极限均存在且相等。如果$f(x_{0}^{+})、f(x_{0}^{-})$中有一个不存在，或者两个虽然存在，但是不相等，则$\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)}$ 不存在 ②、自变量趋于无穷大（ $\infty$ ）时函数的极限 定义：任意给定正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在一个正数X，使得当$|x|>X$时，有$|f(x)-A|<\varepsilon$

那么叫： $\lim_{x \rightarrow \infty}{f(x)} = A （常数）$

• 简单的定义： $\lim_{x \rightarrow \infty}{f(x)} = A\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0, \exists X>0,当|x|>X时，恒有|f(x)- A|<\varepsilon$

• 若 $\forall \varepsilon>0,\exists X>0$,当$x>X$时，恒有|$f(x)-A$|<$\varepsilon$,则$\lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)}=A$

• 若 $\forall \varepsilon>0,\exists X>0$,当$x<-X$时，恒有|$f(x)-A$|<$\varepsilon$,则$\lim_{x \rightarrow -\infty}{f(x)}=A$ 几何上面的定义： 作直线 $y=A-\varepsilon和y=A+\varepsilon$，总有一个正数X存在，使得当x<-X或x>X时，函数$y=f(x)$ 的图形位于这两直线之间。直线y=A是函数的图形的水平渐近线 当 $\varepsilon$逐渐变小，$X$ 也随之变大。$\varepsilon$具有任意性，而X对于$\varepsilon$有着依赖性，它随着$\varepsilon$的变化而变化。但是X的取值不是唯一的，我们只需要找一个满足条件的X即可 $x\rightarrow +\infty$ (x>0且无限增大)

• 修改定义 $|x|>X为x>X$

• 得 $\lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} = A$

$x\rightarrow -\infty$ (x<0且|x|无限增大)

• 修改定义 $|x|>X为x<-X$
• 得 $\lim_{x \rightarrow -\infty}{f(x)} = A$ 2、函数极限的性质 定理1：函数极限唯一性

定理2：函数极限的局部有界性如果 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A$ ，那么存在常数$M>0$(界)和$\delta>0 $，使得$0<|x-x_{0}|<\delta$（局部）时，有$f(x)\leq M$

定理3：函数极限的局部保号性如果 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A$ ，且A>0(或A<0) 那么存在常数$\delta>0$，使得$0<|x-x_{0}|<\delta$（局部）时，有$f(x)>0(或f(x)<0)$(保号)

3、函数数列与数列极限的关系

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A$ （函数极限）

{$x_{n}$} $\rightarrow x_{0}$ （数列）

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} =\lim_{n \rightarrow \infty}{f(x_{n})}= A$

4、函数极限的计算方法

以下下标没有标注表示： $x\rightarrow x_0或x\rightarrow \infty$ 结论都成立

若 $\lim_{}{f(x)}=A，\lim_{}{g(x)}=B$

• $\lim_{}{[kf(x)\pm lg(x)]}=k\lim_{}{f(x)}\pm l\lim_{}{g(x)}=kA \pm lB$ (其中k、l为常数)
• $\lim_{}{[f(x)\cdot g(x)]}=\lim_{}{f(x)}\cdot \lim_{}{g(x)}=A\cdot B$特别的，若$\lim_{}{f(x)}$存在，$n$为正整数，则$\lim_{}{[f(x)]^n}[\lim_{}{f(x)}]^n$
• $\lim_{}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\lim_{}{f(x)}}{\lim_{}{f(x)}}=\frac{A}{B}(\lim_{}{f(x)}\ne 0,B\ne 0)$

Reference

【高等数学】极限的概念和性质 - 知乎

导数

概念

函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数f的自变量在一点x0上产生一个增量h时，函数输出值的增量与自变量增量h的比值在h趋于0时的极限如果存在，即为f在x0处的导数，记作f′(x0)、dfdx(x0)或dfdx|x=x0。

导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导(可微分)，否则称为不可导(不可微分)。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

对于可导的函数f，x↦f′(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导（英语：differentiation）。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的:372。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

定义

假设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$($x_0 + \Delta x$仍然在$x_0$的邻域内)，相应的函数取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$。如果$\frac{\Delta y}{\Delta x}$在$\Delta x \to 0$时的极限存在，称为函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导。它的导数写成$f'(x_0)$

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

$f'(x_0)$也可以记成$\displaystyle\frac{dy}{dx}$，或者$\displaystyle\frac{df(x)}{dx}$。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果$\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=a$。那么，对于某个正数$\epsilon$，对于任何正数$\delta$，都有$0 < |x - x_0| < \delta$时，$|f(x) - a| \geq \epsilon$。那么就称为$x \to x_0$时，$f(x)$的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当$\Delta x \to 0$时:

$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0 + \Delta x) = a$

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近$x_0$还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数$f(x)$在$x_0$点可导的充分必要条件就是，函数在$x_0$处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是$\frac{\Delta y}{\Delta x}$在$\Delta x \to 0$时存在。即：

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$

我们把极限符号去掉：

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) + a$

这里的a是$\Delta \to 0$时的无穷小，我们队上式两边同时乘上$\Delta x$，可以得到：

$\Delta y=f'(x)\Delta x + a\Delta x$

由于$a和\Delta x$都是无穷小，并且$f'(x)$存在，所以$\Delta y$也是无穷小。而连续的定义就是当$\Delta x \to 0$时，$\Delta y$也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

$f(x) = |x|$

我们试着来证明：$f(x)$在$x=0$处不可导。

$\begin{aligned} f'_{-}(0)&=\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \newline f'_+(0)&=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned}$

由于$f(x)$在$x=0$处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以$f(x)$在$x=0$处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

1. $f(x)=C$，C是常数。$f'(x)=0$
2. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$
3. $f(x)=\sin x$，$f'(x)=\cos x$
4. $f(x)=\cos x$，$f'(x)=-\sin x$
5. $f(x)=a^x$， $f'(x)=a^x\ln a$
6. $f(x)=\log_ax$，$f'(x)=\frac{1}{x\ln a}, (a > 0, a \neq 0)$
7. $f(x)=\ln x$， $f'(x)=\frac{1}{x}$

一般定义

$f^{'}(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

直观上代表函数值从 到 的变化量，那这样，

代表的是从 到 的平均变化率，如果把  趋近于 ，似乎就可以更能贴切的描述函数值在 a 附近的变化。

以此为动机，若实函数 于实数 有定义，且以下极限（注意这个表达式所定义的函数定义域不含 ）

存在则称 于 处可导，并称这个极限为 于 处的导数，记为也可记作 或 dfdx(a)。

根据函数极限的定义，导数定义部分的 ＂存在 使所有的 ，只要 都有....＂ 可以直观的理解为 ＂当 趋近于 都有....＂，但要把它写成严谨的定义，会碰到 ＂存在 对所有的实数 ，只要  且 都有....＂这段叙述无法直接套入极限定义的问题，对此必须把以下的表达式

定义为导数原始极限表达式的简记，而非另一种自动合法的导数定义。但如果存在 ，使 在 里都有定义，那定义 为以

为定义域，然后以

为对应规则的函数，那以下的极限式

就可以把以 h 为自变数的偏差，将之趋近于零求导数的想法纳入正式的运算里。

几何定义

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设为曲线上的一个定点为曲线上的一个动点。当沿曲线逐渐趋向于点时，并且割线的极限位置存在，则称为曲线在处的切线。

若曲线为一函数的图像，那么割线（粉红色）的斜率为：

当处的切线（橘红色），即的极限位置存在时，此时，，则的斜率为：

上式与一般定义中的导数定义完全相同，也就是说，因此，导数的几何意义即曲线在点处切线的斜率。

此外

一、 导数与导函数1.1 平均速度与瞬时速度汽车行驶了120km，用时1小时，则平均速度：120km/时

于是就可得到一个函数：行驶距离(S)=平均速度(v)×用时单位(t)

写做：S=vt，所以v=S/t，展开如下：

$平均速度(V)=\frac{行驶距离}{用时}=\frac{终点值-起点值}{终点时刻-起点时刻}=\frac{S-S_{0}}{t-t_{0}}$

如果想知道，汽车行驶中，具体某一时刻的瞬间的速度（瞬时速度）呢？

来个具体的例子：假设一辆汽车，行驶一天（24h）能开1200km

现在想知道一天中：处于12:00时汽车的瞬时速度

通过拆分，我们可以将每小时拆分成60分钟

60分钟再拆分成3600秒

当然还能继续拆分成毫秒，和无限小的计时单位

那么要计算12点的瞬时速度

我们可以取11:59:59至12:00:00的行驶距离/用时(1秒）

同样还可取12:00:00至12:00:01的行驶距离/用时(1秒）

通过上面的方法，就是取无限逼近于12点，但不等于12点的行驶距离/用时

计算得出的值，就可以代表12点时的瞬时速度

于是，可以得到这样一个式子

$瞬时速度(V)=\frac{瞬时距离}{瞬时用时}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}{\frac{\Delta S}{\Delta t}}=\frac{S-S_{0}}{t-t_{0}}$

$\Delta$ 读：德尔塔，在微积分中用来形容前后的差值是极小的

$\Delta S = S-S_{0}$ ：表示前后行驶了非常小的距离

$\Delta t=t-t_{o}$ ：表示前后行驶了非常少的时间

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ 指在该点处，瞬间用时无限逼近于0，但不等于0的状态，就是<极限>

$\lim_{\Delta t\rightarrow 0}{\frac{\Delta S}{\Delta t}}$ ：表示在极限状态下，某一个时刻的瞬时速度

1.2 平均变化率与瞬时变化率上面的例子中：S=vt，这是一个等式，当存在未知数的时候即是一个方程

当然，它也是一个函数， $(S=vt) \Leftrightarrow (y=ax) \Leftrightarrow(f(x)=ax)$

所以平移到函数的情景下，平均速度就摇身一变成为了：平均变化率

而瞬时速度，就等同于瞬时变化率

虽然叫法不同了，本质上都是在形容或代表：某种变化程度的快与慢

于是，我们可以将上面的式子，写成这样的一个函数

$f^{'}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

这就是求出导函数的公式，用来求某一个值的导数值

比如：要求x=1时的导数值，将1代入导函数中

就可以求出x=1时的导数值，也就是x=1时的瞬时变化率

所以导数值，就是瞬时变化率

二、导数的几何意义2.1 什么是切线① 与函数图像上的某个点相交的一条直线

② 将一条割线的AB两点，通过向某个点无限逼近的方式，得到的一条直线

③ 一条切线是相对于某个点来说的，该切线可能会经过函数图像上的多个点

2.2 切线方程与导数的关系切线是一条直线，在图像上就是一个一次函数：$y=kx+b$

一次函数等同于该切线的方程，而一次函数中的k，代表是斜率

k=0时，该直线与X轴平行或就在X轴上

k>0时，该直线向上，单调递增

k<0时，该直线向下，单调递减

一个函数的导函数就等于k，所以导函数就切线方程的斜率

2.3 点斜式求出切线方程因为切线是一条AB两点的割线，某一点无限逼近于另一点的直线

在这里，我们设求A点的切线，即A与B点的割线，由B处无限逼近于A点

那么我们设A点的切线方程： $y_{0}=kx_{0}+b$

无限逼近于A的C点的切线方程： $y=kx+b$

因为AC在一条直线上，然后相减得到：

$y-y_{0}=kx+b-kx_{0}-b$

化简后得到切线的方程：

$y=k(x-x_{0})+y_{0}$

而K，就是原函数的导函数：

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

代入后得到最终式：

$y=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}(x-x_{0})+y_{0}$

常见函数的导数与推导

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{函数} & \text{导数} \newline \hline e^{x} & (e^{x})' = e^{x} \newline \hline \ln x & (\ln x)' = \dfrac{1}{x} \newline \hline \log_a x & (\log_a x)' = \dfrac{1}{x \cdot \ln a} \newline \hline a^x & (a^x)' = a^x \cdot \ln a \newline \hline x^n, \thickspace x \in \mathbb{N}^* & (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \newline \hline x^n, \thickspace x \in \mathbb{R} & (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \newline \hline \sin x & (\sin x)' = \cos x \newline \hline \cos x & (\cos x)' = -\sin x \newline \hline \end{array}$$

$1.e^x$

这是一个神奇的函数，它的导数等于它本身，通过这个函数，可以推出很多函数的导函数。

但高中对 $e$ 的研究很少，使得在高中阶段这个函数的求导不好直接证明。需要一定的高数知识。

这里我利用一个 $e$的表达式来推导$e^x$的导数：$e=\lim_{x \rightarrow0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

$$\begin{aligned}(e^x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^x\cdot \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\end{aligned}$$

令 $t=e^{\Delta x}-1$, 得到$\ln (t+1)=\Delta x$

$$\begin{aligned}(e^x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^{x}\cdot\frac{t}{\ln (t+1)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^x\cdot \frac{1}{\frac{1}{t}\cdot \ln(t+1)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}e^x\cdot \frac{1}{\ln(t+1)^\frac{1}{t}}\end{aligned}$$

当 $\Delta x\rightarrow0$时$t=e^{\Delta x}-1\rightarrow0$ ，所以

${(e^x)^{'} \newline=e^x\cdot \frac{1}{\ln e} \newline=e^x}$

2. $\ln x$

这个函数同样要利用到 $e=\lim_{x \rightarrow0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ 来求导。

$$\begin{aligned}(\ln x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(x\cdot(1+\frac{\Delta x}{x}))-\ln x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})+\ln x-\ln x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \ln(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} \newline&=\frac{1}{x}\cdot \ln e \newline&=\frac{1}{x}\end{aligned}$$

3. $log_a x$

这个函数求导将用到换底公式 $log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$，以及$\ln x$ 导函数的性质。

$$\begin{aligned}(log_ax)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{log_a(x+\Delta x)-log_ax}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_a(x\cdot(1+\frac{\Delta x}{x}))-\log_a x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})+\log_a x-\log_a x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln(1+frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x}\cdot \frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}\cdot \ln a}\end{aligned}$$

$\frac{\ln (1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}$当$\Delta x\rightarrow0$时，等于$(\ln 1)^{'}=1$ ，所以

$(log_a x)^{'}=\frac{1}{x\cdot\ln a}$

4. $a^x$

$$\begin{aligned}(a^x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}a^x\cdot \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\end{aligned}$$

令 $t=a^{\Delta x}-1$,$log_a (t+1)=\Delta x$

$$\begin{aligned}(a^x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}a^x\cdot \frac{t}{log_a (t+1)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}a^x\cdot \frac{t\cdot\ln a}{\ln (t+1)}\end{aligned}$$

当 $\Delta x\rightarrow0$时$t\rightarrow 0$,$\frac{t}{\ln (t+1)}$是$\ln x$在$x=1$ 处导数的倒数。所以，

$(a^x)^{'}=a^x\cdot \ln a$

5. $x^n\quad x\in N^*$

它的导函数的推导将用到二项式定理： $(a+b)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r \cdot a^{n-r}\cdot b^r$

$$\begin{aligned}(x^n)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sum_{r=0}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^r-x^n}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sum_{r=1}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^r}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}{\sum_{r=1}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^{r-1}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}C_n^1\cdot x^{n-1}+{\sum_{r=2}^nC_n^r\cdot x^{n-r}\cdot \Delta x^{r-1}} \newline&=n\cdot x^{n-1}\end{aligned}$$

6. $x^n\quad x\in R$

如果把x扩充到实数域，依旧是成立的。

$$\begin{aligned}(x^n)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{[x\cdot(1+\frac{\Delta x}{x})]^n-x^n}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^n\cdot\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^n-1}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^{n-1}\cdot\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})-1}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^{n-1}\cdot\frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^n-1}{log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}\cdot\frac{log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}\end{aligned}$$

令 $t=(1+\frac{\Delta x}{x})^n-1$ ,

$\Rightarrow\quad log_a(t+1)=n\cdot log_a(1+\frac{\Delta x}{x})\quad\Rightarrow\quad{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}=\frac{log_a(t+1)}{n}$所以

$$\begin{aligned}(x^n)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}x^{n-1}\cdot\frac{t}{\frac{log_a(t+1)}{n}}\cdot\frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}n\cdot x^{n-1}\cdot\frac{t}{ {log_a(t+1)}}\cdot\frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}\end{aligned}$$

当 $\Delta x\rightarrow0$时$t\rightarrow0$ ,可认为：

$\frac{t}{log_a(t+1)}=\frac{1}{(log_a1)^{'}}$，$\frac{log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\frac{\Delta x}{x}}=(log_a1)^{'}$ ，所以

$(x^n)^{'}=n\cdot x^{n-1}\quad x\in R$

7. $\sin x$

想要求这个函数的导函数，需要先了解一个重要的极限式 $\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{sin \Delta x}{\Delta x}=1$

当 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ 时，看看下面的三角函数图，我们尝试证明这个极限式。

根据弧度制当 $\alpha=x$时$GH=\sin x$，$GE=x$，$FE=\tan x$

显然： $\sin x\leq x\leq\tan x$

由 $\sin x\leq x$得$\frac{\sin x}{x}\leq1$，由$x\leq\tan x$得$\frac{\sin x}{x}\geq\cos x$

当 $x\rightarrow0$时$\cos x\rightarrow 1$

得到： $1\leq\frac{\sin x}{x}\leq1$ ，

即得证 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{sin x}{x}=1$

得到上述极限式，再结合三角函数和差化积的公式即可。

和差化积公式：

$$\begin{aligned}&\sin\alpha+\sin\beta=2\cdot\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \newline&\sin\alpha-\sin\beta=2\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \newline&\cos\alpha+\cos\beta=2\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \newline&\cos\alpha-\cos\beta=-2\cdot\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&(\sin x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\cdot\cos(\frac{x+\Delta x+x}{2})\cdot\sin(\frac{x+\Delta x-x}{2})}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\cdot\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \newline&=\cos x\end{aligned}$$

8. $\cos x$

$$\begin{aligned}&(\cos x)^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}-\frac{2\cdot\sin(\frac{x+\Delta x+x}{2})\cdot\sin(\frac{x+\Delta x-x}{2})}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}-\frac{\sin(x+\frac{\Delta x}{2})\cdot\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}} \newline&=-\sin x\end{aligned}$$

<font color=red>求导</font>

导数的运算法则与推导

$1. [f(x)\pm g(x)]^{'}=f(x)^{'}\pm g(x)^{'}$

$2.[f(x)\cdot g(x)]^{'}=f(x)^{'}\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x)$

$3.[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'}=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}$

前导后不导，后导前不导可以当做乘法法则和除法法则的记忆口诀，注意加减号。

以下给出上面三个法则的推导

$$\begin{aligned}1.[f(x)+g(x)]^{'}\newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \newline&=f(x)^{'}+g(x)^{'}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}2.[f(x)\cdot g(x)]^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x )-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-g(x)\cdot f(x+\Delta x)+g(x)\cdot f(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]+g(x)\cdot[f(x+\Delta x)-f(x)])}{\Delta x} \newline&=f(x)^{'}\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x)\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}3.[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot g(x)-g(x+\Delta x)\cdot f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)\cdot f(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)\cdot[g(x)-g(x+\Delta x)]+g(x+\Delta x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)\cdot [f(x+\Delta x)-f(x)]-f(x+\Delta x)\cdot[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x\cdot g(x+\Delta x)\cdot g(x)} \newline&=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}\end{aligned}$$

还可以尝试对数求导法证明上面的公式，以 $[\frac{f(x)}{g(x)}]^{'}$ 为例。

令 $y=[\frac{f(x)}{g(x)}]$

两边同取 $e$的对数得：$\ln y=ln [\frac{f(x)}{g(x)}]\quad,\quad\ln y=\ln f(x)-\ln g(x)$

两边同时求导： $\frac{1}{y}\cdot y^{'}=\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}$

然后： $y^{'}=[\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}]*y\quad,\quad y^{'}=[\frac{f^{'}(x)}{f(x)}-\frac{g^{'}(x)}{g(x)}]\cdot [\frac{f(x)}{g(x)}]$

得证： $y^{'}=\frac{f^{'}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{'}(x)}{g^{2}(x)}$

如果你想求导多个函数乘积，不妨试试对数求导法。

---

加减 $\begin{aligned} (u \pm v)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) \pm v(x + \Delta x)) - (u(x) \pm v(x))}{\Delta x} \newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x)) }{\Delta x} \pm \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x} \newline[2ex] &= u' \pm v' \end{aligned}$

乘乘法和除法都是凑了一项，感觉很巧妙$\begin{aligned} (uv)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x} \newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x + \Delta x)v(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x)}{\Delta x}\newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)[v(x + \Delta x) - v(x)]}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x)[u(x + \Delta x) - u(x)]}{\Delta x} \newline[2ex] &= u(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} + v(x) \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \newline[2ex] &= uv' + vu' \end{aligned}$

第三步到第四步，因为 $v(x)$与极限中的变量$\Delta x$无关，因此可以提到极限的外面，这样右边的式子容易看出就是​$v(x)u'(x)$ ，问题在于左边的部分。

根据连续的定义， $\lim_{\Delta x \to 0}u(x + \Delta x) = u(x)$ ​，这样就可以先计算这个因子的极限然后提到外面来，得到和右边相同的结构了。

除第二步到第三步同样用到了函数连续的定义

$\begin{aligned} (\frac{u}{v})' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{u(x + \Delta x)}{v(x + \Delta x)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \newline[2ex] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - v(x + \Delta x)u(x)}{\Delta x \cdot v(x + \Delta x)v(x)} \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - v(x + \Delta x)u(x)}{\Delta x} \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} [\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x) - u(x)v(x)}{\Delta x} + \frac{u(x)v(x) - v(x + \Delta x)u(x)}{\Delta x}] \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} [v(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + u(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x) - v(x + \Delta x)}{\Delta x}] \newline[2ex] &= \frac{1}{v^2(x)} [v(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} - u(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}] \newline[2ex] &= \frac{vu' - uv'}{v^2} \end{aligned}$

复合函数求导与链式法则的推导

对于一个复合函数，如 $h(x)=f(g(x))$

如果它可导，则 $h^{'}(x)=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)$

如果有多个函数嵌套在一起，你只需要一层层递归下去用基本函数的求导公式乘在一起即可。

那，如何理解这个链式法则？

我们先用一个例子直观感受一下。

假如说 $x$变大$\Delta x$时,$g(x)$变大$3$倍，$g(x)$变大$\Delta x$时,$f(g(x))$变大$4$ 倍。

那么当 $x$变大$\Delta x$时，$f(g(x))$就变大$3\times 4=12$ 倍。

如果当 $\Delta x\rightarrow0$ 呢？

把上面的数字换成相应的导数，也就得到了 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

如果你觉得不够，下面给出稍微严谨一点的证明。

$\begin{aligned}[f(g(x))]^{'} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x} \newline&=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \newline&=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)\end{aligned}$

三大微分中值定理(简)

1. 罗尔中值定理 设函数满足以下三个条件：

   • $f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续
   • $f(x)$ 在开区间$(a,b)$ 上可导
   • $f(a)=f(b)$ 则存在$\xi \in (a,b)$ ，使得$f'(\xi)=0$，$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 连续是必须的，否则有可能没有。

   可能有的同学觉得，定理中的条件“$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 连续、在$\color{ForestGreen}{开区间(a,b)}$ 可导”比较古怪，为什么不是“$f(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 连续、在$\color{Magenta}{闭区间[a,b]}$ 可导”？大概有两个原因，首先，“开区间可导”条件更弱，包含了“闭区间可导”；其次，”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”，比如：$f(x)= \begin{cases} x(1-x)\sin\frac{1}{x(1-x)},x\in(0,1)\neq 0\newline 0, &x=0,1 \end{cases}$

2. 拉格朗日中值定理 设函数满足以下两个条件：

   • $f(x)$ 在闭区间 上连续
   • $f(x)$ 在开区间$(a,b)$ 上可导 则存在$\xi\in (a,b)$ ，使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

3. 柯西中值定理 设函数$f(x),g(x)$满足以下条件：

   • $f(x),g(x)$ 在闭区间$[a,b]$ 上连续
   • $f(x),g(x)$ 在开区间$(a,b)$ 上可导
   • $\forall x\in(a,b)$ 有：$g'(x)\neq 0$ 则存在$\xi \in (a,b)$ ，使等式$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$成立。

罗尔：闭连开导两端平，必有导数等于零  
拉格：闭连开导连端点，必有切线平行弦
柯西：两函区间落差比，必为某点导数比

洛必达法则(简)

洛必达法则其实是微分中值定理一个经典的应用。

定义

洛必达法则的本质是一个定理，它规定，如果一个形如$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}$的极限，如果它满足：

1. x趋向于常数a时，函数$f(x)$和$F(x)$都趋向于0
2. 在点a的去心邻域内，$f(x)$和$F(x)$的导数都存在，并且$F'(x) \neq 0$
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{F'(x)}$存在

那么：

$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$

证明

由于函数在a点的去心邻域可导，也就是说函数在这个a的去心邻域内连续。那么我们套用柯西中值定理，在x趋向于a时，可以得到在区间(a, x)内找到一个点$\xi$，使得：

$\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

到这里还差一点，因为还少了一个条件，书上的解释是由于函数比值的极限与函数值无关，所以可以假设f(a)和F(a)等于0。我个人觉得这样有些不厚道，就和证明过程里写易证、易得是一样的。其实我们只要将这两做差，证明一下差值等于0即可。

$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}-\frac{f(x)}{F(x)}$

通分之后，可以得到：

$\lim_{x\to a}f(x)F(a)-f(a)F(x)$

到这里，不难看出来，当x趋向于a的时候，上面的差值趋向于0，所以：

$\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}=\frac{f(x)}{F(x)}$

由于x趋向于a的时候，$\xi$也趋向于a，那么我们就得到了：

$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$

尝试

我们学会了洛必达法则之后就可以活学活用来解决一些比较棘手的极限问题了。比如刚才我们举的例子就再也不是问题了。

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$

再来看一个：

$\lim_{x\to 1}\frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 -x +1}=\lim_{x\to 1}\frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}$

到这里我们还是无法得到结果，看样子是卡壳了。但是别着急，洛必达法则是可以嵌套使用的。原因很简单，只要我们把$f'(x)$看成是新的$f(x)$，$F'(x)$看成是新的$F(x)$，那么我们可以继续使用洛必达法则。也就是说，我们可以得到：

$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)}= \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}=\frac{f''(x)}{F''(x)}$

当然使用嵌套也存在前提，前提就是二阶导数存在，并且$F''(x)\neq 0$。同样的道理，只要高阶导数存在，并且分母不为0，我们可以一直嵌套下去。所以洛必达法则也可以称为套娃法则[狗头]。有了套娃之后，问题就简单了，上面的问题我们只要往下套就行了：

$\lim_{x\to 1}\frac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x -1}=\lim_{x\to 1}\frac{6x}{6x - 2}=\frac{3}{2}$

变形

除了套娃之外，洛必达法则还存在一个著名的变形。前面讨论的使用范畴都是在x趋向于一个常数的情况下的，其实在一些特殊的情况下，当x趋向于正无穷时，我们一样可以套用洛必达法则。和基础版本一样，同样需要函数f(x)和F(x)满足一些条件：

1. x趋向于正无穷时，f(x)和F(x)同时趋向于0或者无穷
2. 存在N使得当|x| > N时，f'(x)和F'(x)都存在，并且F'(x)不等于0
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{F'(x)}$存在

我们来看个例子：$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x^2}$

我们可以看出来，当x趋向于无穷的时候，分子分母都趋向于无穷。所以我们可以使用洛必达法则：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x^2}=0$

总结

洛必达法则在高数当中非常重要，尤其是在计算极限的时候，很多看起来很麻烦的极限在经过洛必达法则的转换之后说不定就简单得多。

但是关于洛必达法则使用的限制看起来有些麻烦，其实我们只需要牢记两点即可。第一点是不管x趋向于什么值，只要保证分子分母同时趋向于0或者是无穷，并且导数存在，且分母的导数不为0即可。也就是说如果分子分母的极限不同时为0或者无穷大，则不能使用洛必达法则。这一点一定要牢记，因为在我们多次使用洛必达法则的过程当中，很有可能出现分子分母不在满足这个条件的情况，我们在使用的时候一定要铭记。

泰勒公式(简)

函数 $f(x)$在$x_0$处的$n$ 阶泰勒多项式为：

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x) $$

其中 $R_n(x)$ 是余项，代表了多项式近似与原函数之间的误差。

---

泰勒中值定理1：如果函数$f(x)$在$x_0$处有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任一$x$，有

$f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''(x_0)}}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$

公式（1-1）称为函数$f(x)$在$x_0$处（或按$(x-x_0)$的幂展开）的带有佩亚诺余项的$n$阶泰勒公式,$R_n(x)$的表达式（1-2）称为佩亚诺余项.

泰勒中值定理2：如果函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内有$（n+1）$阶导数，那么对任一$x\in U(x_0)$,有

$f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{''(x_0)}}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\newline(\xi介于x,x_0之间)$

公式（2-1）称为函数$f(x)$在$x_0$处（或按$(x-x_0)$的幂展开）的带有拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式,$R_n(x)$的表达式（2-2）称为拉格朗日余项.

当$n=0$时，公式（2-1）变为拉格朗日中值定理公式：

$f(x)=f(x_0)+f^{'}(\xi)(x-x_0)\newline(\xi介于x,x_0之间)$

在公式(1-1)(2-1)中分别令$x_0=0$,则可得

带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$

带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：

$f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} (0<\theta<1)$

由公式(3-1)(3-2)可得:

$f(x)\approx f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

误差估计式为

$|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}(x)^{n+1}$

常用的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$ $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ $(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+o(x^3)$ $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$ $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3)$ $\sin x=x-\frac{x^3}{3！}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$ $\arcsin x=x+\frac{1}{2}\times\frac{x^3}{3}+\frac{1\times3}{2\times4}\times\frac{x^5}{5}+\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\times\frac{x^7}{7}+o(x^7)$ $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$ $\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+o(x^3)$ $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$ $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$

常见函数的泰勒展开

几个常见的泰勒公式 $(x\rightarrow0)$ ：

$sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

$cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad \begin{aligned} \arccos x&=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\end{aligned}$

$tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)$

$\begin{aligned} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \newline &\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{，则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \newline &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+o\left( x^2 \right) \end{aligned}$

习题中常见 $(x \rightarrow 0)$ ：

$\begin{aligned} tanx - sinx &= \frac{1}{2}x^3+o(x^3)\newline x - sinx &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\newline arcsinx - x &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\newline tanx - x &= \frac{1}{3}x^3+o(x^3)\newline x-arctanx &=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{aligned}$

即有

$\begin{aligned} tanx - sinx &\sim \frac{1}{2}x^3\newline x - sinx &\sim \frac{1}{6}x^3\newline arcsinx - x &\sim \frac{1}{6}x^3\newline tanx - x &\sim \frac{1}{3}x^3\newline x-arctanx &\sim\frac{1}{3}x^3 \end{aligned}$

还可以得到 $(x\rightarrow0)$ ：

$\begin{aligned} x-\ln \left( 1+x \right) \thinspace&\sim \frac{x^2}{2} \newline e^x-1-x\thinspace&\sim \frac{x^2}{2} \newline 1-\cos ^ax\ &\sim \frac{ax^2}{2} \newline f\left( x \right) ^{g\left( x \right)}-1 &\sim g\left( x \right) \left[ f\left( x \right) -1 \right] \qquad \left( 当f\left( x \right) \rightarrow 1\text{且}f\left( x \right) ^{g\left( x \right)}\rightarrow 1 \right) \end{aligned}$

有时还会用到

$\left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}{x^2}+o\left( x^2 \right)$

---

一般地

$$\begin{aligned} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^{2}}{2 !} +\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots \newline \ sin x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{x^{3}}{3 !} +\frac{x^{5}}{5!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+\cdots\newline \ cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}=1-\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{4}}{4!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}+\cdots \newline \ ln (1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}+\cdots, x \in(-1,1] \newline \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \newline \frac{1}{1+x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} = 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \newline (1+x)^{\alpha} &= 1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n} = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \newline \arctan x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 \pi+1} = x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5} x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots, x \in[-1,1] \newline \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \arcsin x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n!)x^{2n+1}}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)} = x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40} x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152} x^{2}+\cdots+\frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)} x^{2 n+1}+\cdots, x \in(-1,1) \newline \tan x &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2 n) !} x^{2 n-1} = x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15} x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835} x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{638512875} x^{15}+\cdots ,x \in(-1,1) \newline \sec x &= \sum_{\pi = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n} x^{2 n}}{(2 n) !} = 1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+\cdots, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\newline \csc x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2\left(2^{2 \mathrm{n}-1}-1\right) B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 x-1} = \frac{1}{x}+\frac{1}{6} x+\frac{7}{360} x^{3}+\frac{31}{15120} x^{5}+\frac{127}{604800} x^{7}+\frac{73}{3421440} x^{2}+\frac{1414477}{65383718400} x^{11}+\cdots, x \in(0, \pi)\newline \cot x &= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 n-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{3} x-\frac{1}{45} x^{3}-\frac{2}{945} x^{5}-\cdots, x \in(0, \pi)
\end{aligned}$$