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极坐标与参数方程
一、极坐标（Polar Coordinates）
1.1 极坐标系的定义
在平面上取定点 $O$（极点）和一条从 $O$出发的射线$Ox$（极轴），则平面上任意一点 $P$ 的位置可由：
- 极径 $r$：$P$到极点$O$ 的距离（$r \geq 0$）
- 极角 $\theta$：从极轴逆时针旋转到射线 $OP$ 的角度
唯一确定，记作 $P(r, \theta)$。
注意
极坐标中同一点可有无穷多种表示：$(r, \theta)$与$(r, \theta + 2k\pi)$以及$(-r, \theta + \pi)$ 表示同一点。
1.2 极坐标与直角坐标的互化
以极点 $O$为原点，极轴为$x$ 轴正方向建立直角坐标系：
$$ \begin{cases} x = r\cos\theta \newline[4pt] y = r\sin\theta \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2} \newline[4pt] \tan\theta = \dfrac{y}{x}\thickspace(x \neq 0) \end{cases} $$
由直角坐标确定 $\theta$时需根据$(x,y)$所在象限判断，不能仅用$\arctan(y/x)$。
1.3 常见曲线的极坐标方程
| 曲线 | 极坐标方程 | 说明 |
|---|---|---|
| 圆（过极点） | $r = 2a\cos\theta$ | 圆心在$(a,0)$，半径 $a$ |
| 圆（不过极点） | $r = a$ | 圆心在极点，半径$a$ |
| 直线 | $\theta = \alpha$ | 过极点的直线 |
| 阿基米德螺线 | $r = a\theta$ | 等距螺线 |
| 心形线 | $r = a(1 + \cos\theta)$ | 对称于极轴 |
| 玫瑰线 | $r = a\cos(n\theta)$ | $n$为奇数时$n$瓣，偶数时$2n$ 瓣 |
二、圆锥曲线的统一极坐标方程
核心结论
以焦点为极点，焦点到准线的垂线为极轴，圆锥曲线的统一极坐标方程为： $$ r = \frac{ep}{1 - e\cos\theta} $$ 其中 $e$ 为离心率，$p$ 为焦点到准线的距离（焦准距）。
- $e < 1$：椭圆
- $e = 1$：抛物线
- $e > 1$：双曲线（此时 $r$ 可能为负，对应另一支）
推导思路
设焦点 $F$为极点，准线$l$ 垂直于极轴，$F$到$l$的距离为$p$。由圆锥曲线第二定义： $$ \frac{|PF|}{\text{dist}(P, l)} = e $$ 即 $\dfrac{r}{p - r\cos\theta} = e$，整理得 $r = \dfrac{ep}{1 - e\cos\theta}$。
2.1 与标准方程的关系
以椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 为例：
- 离心率 $e = \dfrac{c}{a}$
- 焦准距 $p = \dfrac{b^2}{c}$
- 半通径 $ep = \dfrac{b^2}{a}$
三、参数方程（Parametric Equations）
3.1 基本概念
参数方程是用一个或多个参数来表示曲线上点的坐标：
$$ \begin{cases} x = f(t) \newline y = g(t) \end{cases} \quad t \in I $$
优点：
- 克服了 $y = f(x)$ 不能表示多值函数和封闭曲线的限制
- 便于描述运动轨迹（参数 $t$ 常表示时间）
- 方便求导和积分（见 微积分 中的参数方程求导）
3.2 常见曲线的参数方程
圆
$$ \begin{cases} x = x_0 + R\cos t \newline y = y_0 + R\sin t \end{cases} \quad t \in [0, 2\pi) $$
椭圆
$$ \begin{cases} x = a\cos t \newline y = b\sin t \end{cases} \quad t \in [0, 2\pi) $$
参数 $t$ 的几何意义
椭圆的参数 $t$ 是离心角（与辅助圆有关），不是点与原点连线的极角。
抛物线
$$ \begin{cases} x = 2pt^2 \newline y = 2pt \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$
双曲线
$$ \begin{cases} x = a\sec t \newline y = b\tan t \end{cases} \quad \text{或}\quad \begin{cases} x = a\cosh t \newline y = b\sinh t \end{cases} $$
直线
过点 $(x_0, y_0)$，方向向量为 $(m, n)$： $$ \begin{cases} x = x_0 + mt \newline y = y_0 + nt \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $$
3.3 参数方程的消参与化参
消参：从参数方程中消去 $t$得到$x$与$y$ 的直接关系。
常见技巧：
- 利用 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$
- 利用 $\sec^2 t - \tan^2 t = 1$
- 代入消元
化参：给定 $F(x,y) = 0$，引入适当的参数表示。
四、摆线与渐伸线（连接 摆线）
4.1 摆线（旋轮线）
半径为 $R$ 的圆沿直线无滑动滚动，圆上一定点的轨迹：
$$ \begin{cases} x = R(t - \sin t) \newline y = R(1 - \cos t) \end{cases} $$
物理意义
摆线是最速降线问题（Brachistochrone）的解，也是等时曲线（Tautochrone）。
4.2 圆的渐伸线
$$ \begin{cases} x = R(\cos t + t\sin t) \newline y = R(\sin t - t\cos t) \end{cases} $$
五、参数方程求导与弧长
5.1 一阶导数
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)} $$
5.2 二阶导数
$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{g'(t)}{f'(t)}\right) \cdot \frac{1}{f'(t)} $$
5.3 弧长
$$ s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\thinspace{}dt $$
5.4 极坐标下的弧长与面积
弧长： $$ s = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\thinspace{}d\theta $$
面积（扇形面积）： $$ A = \frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2(\theta)\thinspace{}d\theta $$