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定积分与积分应用 (Definite Integral and Its Applications)
核心定位
定积分是微积分学中最核心的概念之一，它是从"以直代曲、化整为零"的思想出发，通过黎曼和的极限来定义曲线下的面积。牛顿-莱布尼茨公式将定积分与不定积分（原函数）联系起来，微积分基本定理揭示了微分与积分之间的互逆关系。本笔记连接 微积分、不定积分表、积分表、微分方程 等已有知识。
1. 定积分的定义 (Definition of the Definite Integral)
1.1 从面积问题到黎曼和 (From Area Problem to Riemann Sum)
问题来源
如何求曲线 $y = f(x)$（$f(x) \geq 0$）在区间 $[a, b]$上与$x$ 轴所围成的曲边梯形的面积？
核心思想：分割 → 近似 → 求和 → 取极限。
分割（Partition）：将 $[a, b]$分成$n$ 个小区间： $$ a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b $$ 记 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，$\lambda = \max\lbrace \Delta x_i\rbrace $ 为最大子区间长度。
近似：在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$上任取一点$\xi_i$，用小矩形面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 近似小区间上的面积。
求和：得到黎曼和（Riemann Sum）： $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i $$
取极限：当 $\lambda \to 0$（即 $n \to \infty$且所有$\Delta x_i \to 0$）时，若黎曼和的极限存在且与分割方式和 $\xi_i$的选取无关，则称此极限为$f(x)$在$[a,b]$ 上的定积分。
定义 1.1（定积分 / Definite Integral）
设函数 $f(x)$在$[a, b]$ 上有界。若极限 $$ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i $$ 存在（且与分割及 $\xi_i$的选取无关），则称$f(x)$在$[a, b]$上可积（Integrable），该极限值称为$f(x)$在$[a,b]$ 上的定积分，记作： $$ \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \tag{1.1} $$ 其中 $a$ 称为积分下限（Lower Limit），$b$ 称为积分上限（Upper Limit），$f(x)$ 称为被积函数（Integrand），$x$ 称为积分变量（Variable of Integration）。
关于可积性
- 闭区间上的连续函数一定可积
- 闭区间上只有有限个间断点的有界函数也可积
- 闭区间上的单调有界函数一定可积
1.2 定积分的几何意义
当 $f(x) \geq 0$ 时，$\int_a^b f(x)\thinspace{}dx$表示曲线$y=f(x)$与$x$轴及直线$x=a$、$x=b$所围成的曲边梯形的面积。当$f(x)$ 有正有负时，定积分表示面积的代数和（$x$ 轴上方取正，下方取负）。
2. 牛顿-莱布尼茨公式 (Newton-Leibniz Formula)
定理 2.1（牛顿-莱布尼茨公式 / Newton-Leibniz Formula）
若函数 $F(x)$是$f(x)$在$[a, b]$上的一个原函数（即$F'(x) = f(x)$），且 $f(x)$在$[a,b]$ 上可积，则： $$ \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} \tag{2.1} $$
意义
这个公式建立了定积分与不定积分（原函数）之间的桥梁。牛顿-莱布尼茨公式告诉我们：计算定积分，只需找到被积函数的一个原函数，然后计算原函数在上下限处的差值。这大大简化了定积分的计算，不再需要回到黎曼和的极限定义。
例 2.1
计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \thinspace dx$。
解：$x^2$的一个原函数为$F(x) = \dfrac{x^3}{3}$，故 $$ \int_{0}^{1} x^2 \thinspace dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} $$
例 2.2
计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin x \thinspace dx$。
解：$\sin x$的原函数为$-\cos x$，故 $$ \int_{0}^{\pi} \sin x \thinspace dx = \Big[-\cos x\Big]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2 $$
3. 定积分的基本性质 (Basic Properties of Definite Integrals)
设 $f(x), g(x)$在$[a, b]$ 上可积，则：
线性性质
$$ \int_{a}^{b} [k_1 f(x) + k_2 g(x)] \thinspace dx = k_1 \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx + k_2 \int_{a}^{b} g(x) \thinspace dx \tag{3.1} $$
区间可加性
$$ \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx = \int_{a}^{c} f(x) \thinspace dx + \int_{c}^{b} f(x) \thinspace dx \quad (a < c < b) \tag{3.2} $$
积分上下限交换
$$ \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx = -\int_{b}^{a} f(x) \thinspace dx \tag{3.3} $$ 特别地，$\displaystyle \int_{a}^{a} f(x) \thinspace dx = 0$。
保序性（单调性 / Monotonicity）
若在 $[a, b]$上$f(x) \leq g(x)$，则： $$ \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx \leq \int_{a}^{b} g(x) \thinspace dx \tag{3.4} $$
绝对值不等式
$$ \left|\int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx \right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| \thinspace dx \tag{3.5} $$
估值定理 (Estimation Theorem)
设 $m \leq f(x) \leq M$在$[a,b]$ 上成立，则： $$ m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx \leq M(b-a) \tag{3.6} $$
4. 微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)
微积分基本定理揭示了微分与积分之间的深刻互逆关系，是整个微积分学的理论基石。
4.1 第一基本定理（积分上限函数及其导数）
定理 4.1（微积分第一基本定理 / FTC Part 1）
设 $f(x)$在$[a, b]$ 上可积，定义函数 $$ \Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t) \thinspace dt, \quad x \in [a, b] $$ 则：
- $\Phi(x)$在$[a, b]$ 上连续
- 若 $f(x)$在$x_0 \in [a, b]$处连续，则$\Phi(x)$在$x_0$处可导，且$\Phi'(x_0) = f(x_0)$
核心结论
$$ \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \thinspace dt = f(x) \tag{4.1} $$ 积分运算和微分运算是互逆的！ 对积分上限函数求导，得到被积函数本身。
推广形式
若积分上限是 $x$的函数$u(x)$： $$ \frac{d}{dx} \int_{a}^{u(x)} f(t) \thinspace dt = f(u(x)) \cdot u'(x) \tag{4.2} $$ 更一般地： $$ \frac{d}{dx} \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \thinspace dt = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x) \tag{4.3} $$
4.2 第二基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
定理 4.2（微积分第二基本定理 / FTC Part 2）
若 $f(x)$在$[a, b]$上可积，且$F(x)$是$f(x)$在$[a, b]$ 上的一个原函数，则： $$ \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx = F(b) - F(a) \tag{4.4} $$
这其实就是牛顿-莱布尼茨公式的另一种表述。两个基本定理合在一起，完整地说明了微分与积分是互逆运算。
4.3 积分中值定理 (Mean Value Theorem for Integrals)
定理 4.3（积分中值定理）
若 $f(x)$在$[a, b]$上连续，则存在$\xi \in [a, b]$，使得： $$ \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx = f(\xi)(b - a) \tag{4.5} $$ 其中 $f(\xi)$称为$f(x)$在$[a,b]$ 上的积分平均值（Average Value）。
几何意义
以 $[a,b]$ 为底、$f(\xi)$ 为高的矩形面积恰好等于曲边梯形的面积。$f(\xi)$ 即为函数在该区间上的平均高度。
推广的积分中值定理
若 $f(x)$在$[a,b]$ 上连续，$g(x)$在$[a,b]$上可积且不变号，则存在$\xi \in [a,b]$，使得： $$ \int_{a}^{b} f(x)g(x) \thinspace dx = f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \thinspace dx \tag{4.6} $$
5. 定积分的应用 (Applications of Definite Integrals)
定积分在几何学、物理学中有广泛的应用。其核心方法论是微元法（Method of Elements / Slicing）：
- 选取积分变量，确定积分区间
- 在区间上任取一个微元（小区间），求出该微元上所求量的近似值 $dQ = q(x)\thinspace{}dx$
- 在整个区间上积分：$Q = \int_a^b q(x)\thinspace{}dx$
5.1 平面图形的面积 (Area of a Plane Region)
直角坐标下的面积
由曲线 $y = f(x)$（$f(x) \geq 0$）与 $x$轴及直线$x=a$、$x=b$ 围成的面积： $$ A = \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx \tag{5.1} $$
由两条曲线 $y = f(x)$与$y = g(x)$（$f(x) \geq g(x)$）及直线 $x=a$、$x=b$ 围成的面积： $$ A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \thinspace dx \tag{5.2} $$
参数方程下的面积
若曲线由参数方程 $\begin{cases} x = x(t) \newline y = y(t) \end{cases}$（$t \in [\alpha, \beta]$）给出，且 $x(t)$ 单调，则： $$ A = \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \cdot x'(t) \thinspace dt \tag{5.3} $$ 参见 极坐标与参数方程 中的相关公式。
极坐标下的面积
极坐标曲线 $r = r(\theta)$（$\theta \in [\alpha, \beta]$）所围成的扇形区域面积： $$ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [r(\theta)]^2 \thinspace d\theta \tag{5.4} $$ 参见 坐标系中的面积与体积。
例 5.1
求曲线 $y = x^2$与$y = \sqrt{x}$ 所围成的图形的面积。
解：两曲线交点：$x^2 = \sqrt{x} \implies x^4 = x \implies x=0$或$x=1$。 在 $[0,1]$上$\sqrt{x} \geq x^2$，故 $$ A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \thinspace dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $$
5.2 旋转体体积 (Volume of a Solid of Revolution)
圆盘法（Disk Method）——绕 $x$ 轴旋转
由曲线 $y = f(x)$（$f(x) \geq 0$）与 $x$轴及$x=a$、$x=b$围成的区域绕$x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积： $$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \thinspace dx \tag{5.5} $$
垫圈法（Washer Method）——绕 $x$ 轴旋转
由 $y = f(x)$与$y = g(x)$（$f(x) \geq g(x) \geq 0$）及 $x=a$、$x=b$围成的区域绕$x$ 轴旋转： $$ V = \pi \int_{a}^{b} \big([f(x)]^2 - [g(x)]^2\big) \thinspace dx \tag{5.6} $$
壳层法（Cylindrical Shell Method）——绕 $y$ 轴旋转
由曲线 $y = f(x)$与$x$轴及$x=a$、$x=b$（$0 \leq a < b$）围成的区域绕 $y$ 轴旋转： $$ V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) \thinspace dx \tag{5.7} $$
圆盘法 vs 壳层法
- 圆盘法：切片垂直于旋转轴，积分变量沿旋转轴方向
- 壳层法：切片平行于旋转轴，积分变量沿垂直于旋转轴的方向
- 选择哪种方法取决于被积函数的形式，哪种更便于积分就选哪种
例 5.2
求 $y = \sin x$（$0 \leq x \leq \pi$）绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
解： $$ V = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \thinspace dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \thinspace dx = \frac{\pi}{2} \left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^2}{2} $$
5.3 平面曲线的弧长 (Arc Length of a Plane Curve)
直角坐标下的弧长
曲线 $y = f(x)$（$x \in [a, b]$，$f'$ 连续）的弧长： $$ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \thinspace dx \tag{5.8} $$
参数方程下的弧长
曲线 $\begin{cases} x = x(t) \newline y = y(t) \end{cases}$（$t \in [\alpha, \beta]$，$x'(t), y'(t)$ 连续）的弧长： $$ s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \thinspace dt \tag{5.9} $$
极坐标下的弧长
极坐标曲线 $r = r(\theta)$（$\theta \in [\alpha, \beta]$，$r'$ 连续）的弧长： $$ s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} \thinspace d\theta \tag{5.10} $$
例 5.3
求曲线 $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$在$x \in [0, 1]$ 上的一段弧长。
解：$y' = x^{1/2}$，故 $$ s = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + x} \thinspace dx = \left[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) $$
5.4 旋转曲面的面积 (Area of a Surface of Revolution)
绕 $x$ 轴旋转
曲线 $y = f(x) \geq 0$（$x \in [a,b]$，$f'$连续）绕$x$ 轴旋转所得旋转曲面的面积： $$ S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \thinspace dx \tag{5.11} $$
绕 $y$ 轴旋转
曲线 $y = f(x) \geq 0$（$0 \leq a \leq x \leq b$，$f'$连续）绕$y$ 轴旋转所得旋转曲面的面积： $$ S = 2\pi \int_{a}^{b} x \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \thinspace dx \tag{5.12} $$
例 5.4
求半径为 $R$ 的球的表面积。
解：球面可视为上半圆 $y = \sqrt{R^2 - x^2}$（$x \in [-R, R]$）绕 $x$ 轴旋转所得。 $y' = -\dfrac{x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$，$\sqrt{1 + (y')^2} = \dfrac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}$。 $$ S = 2\pi \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2} \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}} \thinspace dx = 2\pi R \int_{-R}^{R} dx = 4\pi R^2 $$
6. 反常积分简介 (Introduction to Improper Integrals)
定积分要求积分区间有限且被积函数有界。当这两个条件之一被破坏时，需引入反常积分（Improper Integral / 也称广义积分）。
6.1 无穷区间上的反常积分 (Infinite Intervals)
定义 6.1
设 $f(x)$在$[a, +\infty)$上有定义且在任意有限区间$[a, t]$ 上可积，若极限 $$ \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) \thinspace dx $$ 存在，则称反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\thinspace{}dx$ 收敛（Converges），其值为该极限值；否则称其发散（Diverges）。
类似地定义： $$ \int_{-\infty}^{b} f(x) \thinspace dx = \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{b} f(x) \thinspace dx \tag{6.1} $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \thinspace dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) \thinspace dx + \int_{c}^{+\infty} f(x) \thinspace dx \tag{6.2} $$
例 6.1
讨论 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \thinspace dx$ 的敛散性。
解：
- 当 $p \neq 1$ 时：$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \thinspace dx = \lim_{t \to \infty} \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{t}$，当 $p>1$时收敛于$\dfrac{1}{p-1}$，当 $p<1$ 时发散。
- 当 $p = 1$ 时：$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \thinspace dx = \lim_{t \to \infty} \ln t = +\infty$，发散。
结论：$\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \thinspace dx$当$p > 1$时收敛，当$p \leq 1$ 时发散。
6.2 无界函数的反常积分 (Unbounded Integrands / 瑕积分)
定义 6.2（瑕积分 / Improper Integral of the Second Kind）
设 $f(x)$在$(a, b]$上有定义，且在$x = a$ 附近无界（$a$为瑕点），若对任意$t \in (a, b]$，$f(x)$在$[t, b]$ 上可积，且极限 $$ \lim_{t \to a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) \thinspace dx $$ 存在，则称瑕积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx$ 收敛，否则发散。
例 6.2
讨论 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} \thinspace dx$ 的敛散性（$x=0$ 为瑕点）。
解：当 $p=1$ 时，$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \thinspace dx = \lim_{t \to 0^{+}} [\ln x]_{t}^{1} = +\infty$，发散。 当 $p \neq 1$ 时，$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} \thinspace dx = \lim_{t \to 0^{+}} \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{t}^{1}$，当 $p<1$时收敛于$\dfrac{1}{1-p}$，当 $p>1$ 时发散。
结论：$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} \thinspace dx$当$p < 1$时收敛，当$p \geq 1$ 时发散。
注意
反常积分看起来与普通定积分形式相同，但必须通过极限来定义和计算。判断敛散性时常用比较判别法（Comparison Test）和极限比较判别法（Limit Comparison Test）。
7. 定积分计算技巧速查
7.1 换元积分法 (Integration by Substitution)
定积分的换元法
设 $x = \varphi(t)$在$[\alpha, \beta]$上具有连续导数，且$\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$，则： $$ \int_{a}^{b} f(x) \thinspace dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \thinspace dt \tag{7.1} $$
定积分换元与不定积分换元的区别
定积分换元时，积分上下限必须同步更换为新变量对应的值，且换元后直接算值，不需要回代原变量。
7.2 分部积分法 (Integration by Parts)
定积分的分部积分法
$$ \int_{a}^{b} u(x) v'(x) \thinspace dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \thinspace dx \tag{7.2} $$
7.3 对称区间上的积分 (Integrals on Symmetric Intervals)
奇偶函数的定积分
设 $f(x)$在$[-a, a]$ 上可积：
- 若 $f(x)$为偶函数（Even Function），则$\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \thinspace dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \thinspace dx$
- 若 $f(x)$为奇函数（Odd Function），则$\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \thinspace dx = 0$
8. 知识图谱与总结
8.1 知识连接
| 关联主题 | 连接关系 |
|---|---|
| 微积分 | 定积分是微积分学的核心概念，与微分互逆 |
| 不定积分表 | 牛顿-莱布尼茨公式将定积分计算转化为求原函数 |
| 积分表 | 提供常用函数的积分公式，是定积分计算的基础工具 |
| 微分方程 | 解微分方程常涉及定积分或不定积分的计算 |
| 坐标系中的面积与体积 | 定积分在面积、体积计算中的具体应用 |
| 极坐标与参数方程 | 参数方程和极坐标下的弧长、面积公式 |
8.2 核心公式速查
| 公式类型 | 表达式 |
|---|---|
| 黎曼和定义 | $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\thinspace{}dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$ |
| 牛顿-莱布尼茨公式 | $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\thinspace{}dx = F(b) - F(a)$ |
| FTC Part 1 | $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\thinspace{}dt = f(x)$ |
| 积分中值定理 | $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\thinspace{}dx = f(\xi)(b-a)$ |
| 面积（直角坐标） | $\displaystyle A = \int_{a}^{b} [f(x)-g(x)]\thinspace{}dx$ |
| 旋转体体积（圆盘法） | $\displaystyle V = \pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2\thinspace{}dx$ |
| 弧长 | $\displaystyle s = \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^2}\thinspace{}dx$ |
| 旋转曲面面积 | $\displaystyle S = 2\pi\int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\thinspace{}dx$ |
| 反常积分 | $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x)\thinspace{}dx = \lim_{t\to\infty}\int_{a}^{t} f(x)\thinspace{}dx$ |
核心思想
定积分是"以直代曲、化整为零、积零为整、取极限"这一数学思想的结晶。微积分基本定理（FTC）是数学史上最伟大的发现之一——它揭示了微分与积分是互逆运算，从而将求面积（积分）的问题转化为求原函数（微分）的问题。定积分的应用（面积、体积、弧长、曲面面积）都遵循同一种方法论——微元法：把整体分解为无穷多个微元，在每个微元上用线性近似，然后累加（积分）得到精确值。反常积分将定积分的概念推广到无穷区间和无界函数的情形，为后续的概率论（如正态分布的积分）和数学物理方程奠定基础。