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函数与映射基础 (Functions and Mappings)
前置知识
函数是描述变量间依赖关系的核心数学工具。理解函数需先掌握 运算,逆运算,函数,反函数 中的逆运算思想，函数与方程的关系则联系 韦达定理，而 二项式定律 中赋值法求系数和的技巧本质上也是利用函数思想。函数的微分与积分性质将在 微积分 中系统展开，具体求导公式可参考 常见函数导数表。
1. 映射与函数的定义
1.1 映射 (Mapping / Map)
定义（映射）
设 $A, B$为两个非空集合。若存在一个对应法则$f$，使得对 $A$中的每一个元素$x$，在 $B$中都有唯一确定的元素$y$与之对应，则称$f$是从$A$到$B$ 的一个映射，记作： $$ f: A \to B, \quad x \mapsto y = f(x). $$ 其中：
- $A$称为定义域 (Domain)，记作$D_f$；
- $B$ 称为陪域 (Codomain)；
- $f(A) = \lbrace f(x) \mid x \in A\rbrace $称为值域 (Range)，记作$R_f$，显然 $R_f \subseteq B$。
映射三要素
一个映射由三要素唯一确定：
- 定义域 $A$：自变量的取值范围；
- 值域（陪域） $B$：因变量的取值范围；
- 对应法则 $f$：自变量到因变量的变换规则。
两个映射相等当且仅当三者完全相同。
1.2 函数 (Function)
定义（函数）
当映射的定义域和陪域都是数集（实数集 $\mathbb{R}$ 或其子集）时，该映射特称为函数。即： $$ f: D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto y = f(x). $$ 函数是数集到数集的特殊映射。在中学及本科初级阶段，"映射"与"函数"常可混用（除非明确涉及非数集的映射，如几何变换等）。
函数相等
$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$与$g(x) = x+1$不是同一个函数！前者定义域为$\mathbb{R}\setminus\lbrace 1\rbrace $，后者定义域为 $\mathbb{R}$。函数的相等要求定义域、对应法则、值域完全相同。
1.3 像与原像 (Image and Preimage)
- 若 $f(x) = y$，则 $y$称为$x$在$f$ 下的像 (Image)，$x$称为$y$ 的一个原像 (Preimage)。
- 子集的像：$f(A_0) = \lbrace f(x) \mid x \in A_0 \subseteq A\rbrace $。
- 子集的原像：$f^{-1}(B_0) = \lbrace x \in A \mid f(x) \in B_0 \subseteq B\rbrace $（注意这里 $f^{-1}$ 不表示反函数，而是原像集）。
2. 函数的分类：单射、满射、双射
定义
设映射 $f: A \to B$：
单射 (Injective / One-to-one)：若 $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$。即不同元素有不同的像。
满射 (Surjective / Onto)：若 $f(A) = B$，即值域等于陪域。每个 $B$ 中元素都有原像。
双射 (Bijective / One-to-one correspondence)：既单且满。此时 $A$与$B$ 的元素一一对应。
图像判别法（水平线检验）
对于从 $\mathbb{R}$子集到$\mathbb{R}$ 的函数：
- 单射：任意水平线与函数图像至多有一个交点（Horizontal Line Test）。
- 满射：需要结合陪域判断。若陪域为 $\mathbb{R}$，则要求值域覆盖全实数轴。
- 例如 $f(x) = x^2$（定义域 $\mathbb{R}$，陪域 $\mathbb{R}$）：既非单（$f(1)=f(-1)=1$），也非满（值域 $[0,+\infty) \neq \mathbb{R}$）。
例1：判断映射类型
- $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x^3$→ 双射（单调递增，值域$\mathbb{R}$）
- $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = e^x$→ 单射非满（值域$(0,+\infty)$）
- $f: \mathbb{R} \to [0,+\infty),\ f(x) = x^2$ → 满射非单
- $f: [0,+\infty) \to [0,+\infty),\ f(x) = x^2$ → 双射（限制定义域后）
单/满/双射与反函数的关系
只有当映射是双射时，才存在全局反函数（见第3节）。单射可以通过限制陪域构造双射；满射可以通过限制定义域构造双射。
3. 反函数 (Inverse Function)
定义（反函数）
设 $f: A \to B$是双射，则存在唯一的映射$f^{-1}: B \to A$，使得： $$ f^{-1}(f(x)) = x \quad (\forall x \in A), \qquad f(f^{-1}(y)) = y \quad (\forall y \in B). $$ $f^{-1}$称为$f$ 的反函数。
反函数的存在条件
函数 $f$在其定义域$D$ 上存在反函数的充要条件是：$f$是$D$到$f(D)$ 上的一一映射（即单射）。换言之，$f$ 必须满足： $$ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$ 严格单调的函数一定存在反函数，但反之不真（存在不单调但有反函数的函数）。
3.1 求反函数的步骤
三步法
- 反解：由 $y = f(x)$解出$x = g(y)$（用 $y$表示$x$）；
- 互换：将 $x$与$y$互换，得$y = g(x)$；
- 定域：反函数的定义域 = 原函数的值域；反函数的值域 = 原函数的定义域。
例2：求 $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$ 的反函数
- 令 $y = \dfrac{2x+1}{x-3}$，解出 $x$： $$y(x-3) = 2x+1 \Rightarrow yx - 3y = 2x + 1 \Rightarrow yx - 2x = 3y + 1$$ $$x(y-2) = 3y + 1 \Rightarrow x = \frac{3y+1}{y-2}$$
- 互换 $x$与$y$：$f^{-1}(x) = \dfrac{3x+1}{x-2}$
- 原函数定义域为 $x \neq 3$，值域为 $y \neq 2$；故反函数定义域为 $x \neq 2$。
3.2 反函数的图像性质
对称性
$y = f(x)$与$y = f^{-1}(x)$的图像关于直线$y = x$ 对称。
若点 $(a,b)$在$f$的图像上，则$(b,a)$必在$f^{-1}$ 的图像上。
例3：互为反函数的经典对
- $y = e^x$与$y = \ln x$
- $y = a^x$与$y = \log_a x$（$a>0, a\neq 1$）
- $y = x^2\ (x \ge 0)$与$y = \sqrt{x}$
- $y = \sin x\ (x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}])$与$y = \arcsin x$
注意
严格来说，只有一一对应的函数才有反函数。因此 $y = x^2$在$\mathbb{R}$上无反函数，但限制在$[0,+\infty)$上有反函数$y = \sqrt{x}$。三角函数的反函数也必须限制主值区间。详见第5节。
4. 复合函数 (Composite Function)
定义（复合函数）
设 $f: A \to B$，$g: B \to C$，则映射： $$ g \circ f: A \to C, \quad (g \circ f)(x) = g(f(x)) $$ 称为 $f$与$g$ 的复合函数（$f$ 先作用，$g$ 后作用）。
复合的条件
$g \circ f$ 有意义的充要条件是：$f$的值域$R_f$与$g$的定义域$D_g$有交集，即$R_f \cap D_g \neq \varnothing$。实际定义域为 $\lbrace x \in D_f \mid f(x) \in D_g\rbrace $。
4.1 复合函数的分解
分解思路
复合函数分解的关键是识别"外层函数"和"内层函数"。从外向里逐层剥离：
- $h(x) = \sqrt{\ln(\sin x)}$→ 外层$f(u) = \sqrt{u}$，中层 $g(v) = \ln v$，内层 $k(x) = \sin x$，即 $h = f \circ g \circ k$。
- $h(x) = e^{\sin(x^2+1)}$→$f(u)=e^u$，$g(v)=\sin v$，$k(x)=x^2+1$。
例4：复合函数求定义域
求 $f(x) = \sqrt{\ln(x-1)}$ 的定义域。
分解：$h(x) = \sqrt{u},\ u = \ln(v),\ v = x-1$。
- $\sqrt{u}$要求$u \ge 0$，即 $\ln(x-1) \ge 0 \Rightarrow x-1 \ge 1 \Rightarrow x \ge 2$
- $\ln(v)$要求$v > 0$，即 $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
取交集得定义域：$x \ge 2$。
4.2 复合与反函数的关系
核心恒等式
$$ f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_A, \qquad f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_B. $$ 其中 $\operatorname{id}$ 为恒等映射。这意味着复合函数与逆运算本质上是一致的——反函数就是"撤销"原函数效果的函数，这与 运算,逆运算,函数,反函数 中的思想完全一致。
5. 基本初等函数
六大基本初等函数
- 常值函数 (Constant Function)
- 幂函数 (Power Function)
- 指数函数 (Exponential Function)
- 对数函数 (Logarithmic Function)
- 三角函数 (Trigonometric Functions)
- 反三角函数 (Inverse Trigonometric Functions)
5.1 常值函数
$$f(x) = C \quad (C \in \mathbb{R})$$
- 图像：平行于 $x$ 轴的水平直线。
- 定义域 $\mathbb{R}$，值域 $\lbrace C\rbrace $。
- 既是偶函数，也是周期函数（任何实数均为周期）。
5.2 幂函数 (Power Function)
$$f(x) = x^\alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R})$$
图像与性质
| $\alpha$ 的范围 | 图像特征 | 定义域 | 单调性 | 奇偶性 |
|---|---|---|---|---|
| $\alpha > 1$ | 凹向上，过$(0,0)$和$(1,1)$ | $[0,+\infty)$或$\mathbb{R}$ | 递增 | 看$\alpha$ 奇偶 |
| $0 < \alpha < 1$ | 凹向下，过$(0,0)$和$(1,1)$ | $[0,+\infty)$ | 递增 | — |
| $\alpha < 0$ | 双曲线型，渐近线$x=0$和$y=0$ | $(0,+\infty)$ | 递减 | — |
所有幂函数都过定点 $(1,1)$。$\alpha > 0$时过$(0,0)$。
常见幂函数对照
- $y = x$：一次函数，奇函数，过原点
- $y = x^2$：抛物线，偶函数
- $y = x^3$：立方函数，奇函数，中心对称
- $y = \sqrt{x} = x^{1/2}$：定义域 $[0,+\infty)$
- $y = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$：反比例函数，奇函数
5.3 指数函数 (Exponential Function)
$$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$$
图像与性质
- 定义域：$\mathbb{R}$；值域：$(0, +\infty)$
- 恒过定点 $(0, 1)$
- $a > 1$：严格递增，$x \to -\infty$时$y \to 0^+$（以 $x$ 轴为水平渐近线）
- $0 < a < 1$：严格递减，$x \to +\infty$时$y \to 0^+$
- $y = e^x$ 是最重要的指数函数，$e \approx 2.71828$
运算法则
$$a^{m+n} = a^m \cdot a^n, \quad a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}, \quad a^0 = 1$$
例5：指数方程
解 $2^{x+1} + 2^{x-1} = 20$。
令 $t = 2^x$，则 $2^{x+1} = 2t$，$2^{x-1} = \dfrac{t}{2}$。 $$2t + \frac{t}{2} = 20 \Rightarrow \frac{5t}{2} = 20 \Rightarrow t = 8$$ $$2^x = 8 \Rightarrow x = 3$$
5.4 对数函数 (Logarithmic Function)
$$f(x) = \log_a x \quad (a > 0, a \neq 1)$$
图像与性质
- 定义域：$(0, +\infty)$；值域：$\mathbb{R}$
- 恒过定点 $(1, 0)$
- $y = \log_a x$与$y = a^x$互为反函数，图像关于$y = x$ 对称
- $a > 1$：严格递增；$0 < a < 1$：严格递减
- 以 $y$ 轴为垂直渐近线
运算法则
$$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N, \quad \log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$$ $$\log_a M^n = n\log_a M, \quad \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\ (\text{换底公式})$$
特殊对数
- $\ln x = \log_e x$（自然对数 Natural Logarithm）
- $\lg x = \log_{10} x$（常用对数 Common Logarithm）
5.5 三角函数 (Trigonometric Functions)
六种三角函数对比
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 图像特征 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 奇 | 波形，过原点 |
| $\cos x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 偶 | 波形，对称于$y$ 轴 |
| $\tan x$ | $x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 奇 | 有垂直渐近线 |
| $\cot x$ | $x \neq k\pi$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 奇 | 有垂直渐近线 |
| $\sec x$ | $x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ | $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ | $2\pi$ | 偶 | — |
| $\csc x$ | $x \neq k\pi$ | $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ | $2\pi$ | 奇 | — |
诱导公式统一记忆："奇变偶不变，符号看象限"
- $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$，$\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$
- $\sin(\pi - x) = \sin x$，$\cos(\pi - x) = -\cos x$
核心恒等式
$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \quad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$ $$\sin(x \pm y) = \sin x\cos y \pm \cos x\sin y$$ $$\cos(x \pm y) = \cos x\cos y \mp \sin x\sin y$$
5.6 反三角函数 (Inverse Trigonometric Functions)
反三角函数必须限制主值区间才有反函数！
| 函数 | 定义域 | 主值区间（值域） | 奇偶性 |
|---|---|---|---|
| $\arcsin x$ | $[-1, 1]$ | $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ | 奇 |
| $\arccos x$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ | 非奇非偶 |
| $\arctan x$ | $\mathbb{R}$ | $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ | 奇 |
| $\operatorname{arccot} x$ | $\mathbb{R}$ | $(0, \pi)$ | 非奇非偶 |
反三角函数恒等式
$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \quad (|x| \le 1)$$ $$\arctan x + \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2}$$ $$\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}, \quad \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$$
6. 函数的四大性质
6.1 单调性 (Monotonicity)
定义
设 $f$定义在区间$I$上，对任意$x_1, x_2 \in I$：
- 若 $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$，则 $f$ 单调递增 (Monotonically Increasing)；
- 若 $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$，则 $f$ 严格单调递增 (Strictly Increasing)；
- 递减类似定义。
导数判别法
- $f'(x) > 0$在区间上恒成立 ⇒$f$ 严格递增；
- $f'(x) < 0$在区间上恒成立 ⇒$f$ 严格递减；
- $f'(x) \ge 0$且只在孤立点为零 ⇒$f$ 递增但不一定严格。
例6：判断单调区间
$f(x) = x^3 - 3x$，求导 $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$。
- $x \in (-\infty, -1)$：$f'(x) > 0$，递增
- $x \in (-1, 1)$：$f'(x) < 0$，递减
- $x \in (1, +\infty)$：$f'(x) > 0$，递增
单调性与反函数
严格单调函数一定存在反函数（从 微积分 角度，$f'(x) > 0$ 保证局部可逆，全局严格单调保证全局可逆）。
6.2 奇偶性 (Parity / Evenness and Oddness)
定义
设 $f$的定义域$D$ 关于原点对称：
- 偶函数 (Even Function)：$f(-x) = f(x)$。图像关于 $y$ 轴对称。
- 奇函数 (Odd Function)：$f(-x) = -f(x)$。图像关于原点中心对称。
运算性质
- 奇 ± 奇 = 奇；偶 ± 偶 = 偶
- 奇 × 奇 = 偶；偶 × 偶 = 偶；奇 × 偶 = 奇
- 复合：奇 ∘ 奇 = 奇；偶 ∘ 奇 = 偶；奇 ∘ 偶 = 偶
快速判断
- $f(x) = x^3 + \sin x$：奇 + 奇 = 奇
- $f(x) = x^2 + \cos x$：偶 + 偶 = 偶
- $f(x) = e^x$：$e^{-x} \neq \pm e^x$，非奇非偶
6.3 周期性 (Periodicity)
定义
若存在非零常数 $T$，使得对定义域中一切 $x$，有 $f(x+T) = f(x)$，则 $f$ 为周期函数，$T$ 为一个周期。最小的正周期称为最小正周期。
常见周期
- $\sin x, \cos x$：$T = 2\pi$
- $\tan x, \cot x$：$T = \pi$
- $\sin(\omega x)$的周期为$\dfrac{2\pi}{|\omega|}$
例7：求周期
$f(x) = \sin 2x + \cos 3x$ 的周期？
$\sin 2x$周期$\pi$，$\cos 3x$周期$\frac{2\pi}{3}$。最小公倍数不是直接求，而是求两周期的最小正公倍数： $$\pi = \frac{3\pi}{3}, \quad \frac{2\pi}{3}$$ 通分：$T_1 = \frac{3\pi}{3}$，$T_2 = \frac{2\pi}{3}$。最小公倍数为 $\frac{6\pi}{3} = 2\pi$。故 $f$的周期为$2\pi$。
6.4 有界性 (Boundedness)
定义
- 有上界：存在 $M$使$f(x) \le M$对一切$x \in D$ 成立；
- 有下界：存在 $m$使$f(x) \ge m$对一切$x \in D$ 成立；
- 有界 (Bounded)：既有上界又有下界，即存在 $K>0$使$|f(x)| \le K$。
INFO
- $\sin x$ 有界：$|\sin x| \le 1$
- $e^x$ 有下界无上界：$e^x > 0$，但 $\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty$
- $\dfrac{1}{x}$在$(0,1)$上无界，在$[1,+\infty)$ 上有界（$0 < \frac{1}{x} \le 1$）
闭区间上连续函数必有界（最值定理），此结论将在 微积分 中严格证明。
7. 函数图像的变换
六大基本变换
7.1 平移变换 (Translation / Shift)
| 变换 | 效果 | 方向 |
|---|---|---|
| $y = f(x) + k$ | 向上平移$k$个单位$(k>0)$ | 纵向 |
| $y = f(x) - k$ | 向下平移$k$个单位$(k>0)$ | 纵向 |
| $y = f(x - h)$ | 向右平移$h$个单位$(h>0)$ | 横向 |
| $y = f(x + h)$ | 向左平移$h$个单位$(h>0)$ | 横向 |
注意横向平移的"反直觉"
$f(x-2)$ 是向右平移 2 个单位（$x$变大才能与原来的$x$ 对应），不是向左！
7.2 伸缩变换 (Stretching / Compression)
| 变换 | 效果 ($a>0$) |
|---|---|
| $y = a f(x)$ | $a>1$ 纵向拉伸；$0<a<1$ 纵向压缩 |
| $y = f(ax)$ | $a>1$ 横向压缩；$0<a<1$ 横向拉伸 |
伸缩变换的口诀
- 纵向伸缩：乘以 $f(x)$ — 外面乘是"高矮"变化
- 横向伸缩：乘以 $x$ — 里面乘是"胖瘦"变化（反直觉！$f(2x)$是横向压缩为原来的$\frac{1}{2}$）
7.3 对称变换 (Reflection / Symmetry)
| 变换 | 效果 |
|---|---|
| $y = -f(x)$ | 关于$x$ 轴对称 |
| $y = f(-x)$ | 关于$y$ 轴对称 |
| $y = -f(-x)$ | 关于原点对称 |
7.4 翻折变换 (Absolute Value / Folding)
| 变换 | 效果 |
|---|---|
| $y = \Vert{}f(x)\Vert$ | 保留$x$ 轴上方的部分，将下方部分翻折到上方 |
| $y = f(\Vert{}x\Vert)$ | 保留$y$ 轴右侧的图像，左侧由右侧对称翻折得到（偶化） |
例8：图像变换综合
已知 $f(x) = \sin x$，画出 $g(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$ 的图像。
步骤：
- $y = \sin x$→$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$（右移 $\frac{\pi}{3}$）
- → $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$（横向压缩为 $\frac{1}{2}$，周期变 $\pi$）
- → $y = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$（纵向拉伸为 2 倍，振幅从 1→2）
- → $y = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1$（上移 1 个单位）
变换顺序建议
一般遵循：先伸缩、再平移；横向变换在 $x$ 内部处理，纵向变换在外部处理。拆解为： $$y = A f\big(\omega(x - \varphi)\big) + B$$ 其中 $A$ 控制纵向伸缩，$\omega$ 控制横向伸缩，$\varphi$ 控制横向平移，$B$ 控制纵向平移。
知识图谱
- 运算,逆运算,函数,反函数 — 反函数是逆运算在一元函数情形的特例
- 微积分 — 导数 $f'(x)$ 刻画函数的单调性与变化率，极限刻画渐近行为
- 韦达定理 — 函数零点与方程根的联系，二次函数图像与韦达定理
- 二项式定律 — 多项式函数展开的基础工具
- 常见函数导数表 — 六大基本初等函数的求导公式速查
本章小结
函数是数学中最基础也最重要的概念之一。掌握映射的定义与分类（单/满/双射）是理解反函数的前提；基本初等函数的图像与性质是所有初等函数分析的基石；四大性质（单调性、奇偶性、周期性、有界性）贯穿于 微积分 的始终；图像变换是快速作图和函数分析的核心技巧。