韦达定理

一.二次方程的韦达定理

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$, 两根$x_1,x_2$满足以下关系式： $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

初中时我们是先推导一元二次方程的求根公式：

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

从而得到韦达定理的

应用:

不论是解方程，还是研究方程的性质，韦达定理都很有。 一般来说，韦达定理主要有以下四个方面的用途。

1. 利用韦达定理可以观察出一些一元二次方程的根。
2. 已知方程的两根之间的某种关系，可以求出方程的系数来 。
3. 已知二次方程，求它的两个根的齐次幂的和。
4. 已知二次方程，求作一个新的二次方程，使得两个方程的根满足某种关系。

二.高次方程的韦达定理

$$\begin{equation} \left\lbrace \begin{aligned} x_1+x_2+\cdots+x_n &= -\frac{a_{n-1}}{a_n}~,\newline x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n &= \frac{a_{n-2}}{a_n}~,\newline &\vdots\newline x_1x_2\cdots x_n &= (-1)^n\frac{a_0}{a_n}~. \end{aligned}\right. \end{equation}$$ $$\sum_{1 \leq k_1 \leq \dots \leq k_i \leq n} x_{k_1} x_{k_2} \cdots x_{k_i} = (-1)^i \frac{a_{n - i}}{a_n}~.$$

证明:

设$n$次方程$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$有根$x_1,x_2,...,x_n$那么这个$n$次方程可以被表达成另一种形式:

$$a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)=0$$

(类比一元二次方程的根式表达式$a(x-x_0)(x-x_1)=0$)

为了将这两种形式对应起来，我们需要用数学里一个很重要的思想，搭配套餐思想。

观察多项式$a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$，我们如何找到$x^i(i=0,...,n)$的系数呢？

我们可以在多项式的n个式子$(x-x_j)$中，任选$i$个$x$从而得到$x^i$, 剩下的$n-i$个式子选$-x_j$,因此我们有${n \choose i}$中选法，可以得到系数$(-1)^{n-i} * a_0 * \sum_{1\le j_1\le \cdots\le j_{n-i} \le n}{x_{j_1}x_{j_2}\cdots}x_{j_{n-i}} $对应系数$a_{n-i}$

例如为了得到$x^{n-1}$,我们可以在$n-1$个因式中选$x$, 剩下的$1$个式子当中选$-x_j$

因此系数就是$-a_0*(x_1+x_2+\cdots+x_n)$,对应系数为$a_1$.

因此我们可以得到$-a_0*(x_1+x_2+\cdots+x_n)=a_1$从而

$$x_1+x_2+\cdots+x_n=-\frac{a_1}{a_0}$$ 类似的我们还可以得到 $$x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n=\frac{a_2}{a_0}$$\cdots$$x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_n}{a_0}$$ 这种思想的关键在于相同次数对应系数相等，同时也提供了一种方式求和所有带有$x^i$项的系数的方法。