Appearance
圆锥曲线题目集
一、圆（10 道）
- 1. 求圆心在 $(2,-3)$，半径为 $5$ 的圆的方程。（★，来源：圆）
- 解答
圆的标准方程为 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$ 为圆心，$r$ 为半径。
代入 $a=2,\thickspace b=-3,\thickspace r=5$： $$(x-2)^2+(y+3)^2=25$$
展开得一般式：$x^2+y^2-4x+6y-12=0$。
:::
- 2. 判断直线 $3x-4y+10=0$与圆$x^2+y^2=4$ 的位置关系。（★，来源：圆）
- 解答
圆心 $O(0,0)$，半径 $r=2$。
圆心到直线的距离： $$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0+10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{10}{5}=2$$
因为 $d=r=2$，所以直线与圆相切。
:::
- 3. 求过点 $(3,4)$且与圆$x^2+y^2=25$ 相切的切线方程。（★，来源：圆）
- 解答
验证：$3^2+4^2=9+16=25$，点 $(3,4)$ 在圆上。
圆 $x^2+y^2=r^2$上点$(x_0,y_0)$处的切线方程为$x_0x+y_0y=r^2$。
代入得 $3x+4y=25$，即切线方程为 $3x+4y-25=0$。
:::
- 4. 求过两圆 $x^2+y^2=1$和$x^2+y^2-2x-4y+1=0$的交点，且圆心在直线$x+y=0$ 上的圆的方程。（★★，来源：圆）
- 解答
圆 $C_1$：$x^2+y^2=1$，圆心 $(0,0)$，$r_1=1$。
圆 $C_2$：$(x-1)^2+(y-2)^2=4$，圆心 $(1,2)$，$r_2=2$。
圆心距 $d=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，$r_2-r_1=1<d<r_1+r_2=3$，两圆相交。
过两圆交点的圆系方程为： $$x^2+y^2-1+\lambda(x^2+y^2-2x-4y+1)=0\quad (\lambda\neq -1)$$
整理得： $$(1+\lambda)(x^2+y^2)-2\lambda x-4\lambda y+(\lambda-1)=0$$
圆心坐标为 $\left(\dfrac{\lambda}{1+\lambda},\thickspace\dfrac{2\lambda}{1+\lambda}\right)$。
由圆心在 $x+y=0$ 上： $$\frac{\lambda}{1+\lambda}+\frac{2\lambda}{1+\lambda}=0\thickspace\Longrightarrow\thickspace3\lambda=0\thickspace\Longrightarrow\thickspace\lambda=0$$
代入得 $x^2+y^2=1$。因此所求圆即为 $x^2+y^2=1$（圆 $C_1$ 本身）。
:::
- 5. 已知圆 $C:\thickspace{}x^2+y^2-2x+4y-4=0$，求过点 $P(3,1)$ 的切线方程。（★★，来源：圆）
- 解答
圆 $C$ 化为标准式：$(x-1)^2+(y+2)^2=9$，圆心 $(1,-2)$，半径 $r=3$。
验证 $P$ 的位置：$(3-1)^2+(1+2)^2=4+9=13>9$，$P$ 在圆外。
设切线方程为 $y-1=k(x-3)$，即 $kx-y+1-3k=0$。
圆心到切线的距离等于半径： $$\frac{|k\cdot 1-(-2)+1-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=3$$ $$\frac{|3-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=3$$ $$(3-2k)^2=9(k^2+1)$$ $$9-12k+4k^2=9k^2+9$$ $$5k^2+12k=0$$ $$k(5k+12)=0$$
得 $k=0$或$k=-\dfrac{12}{5}$。
切线方程为 $y=1$和$y-1=-\dfrac{12}{5}(x-3)$，即 $y=1$和$12x+5y-41=0$。
:::
- 6. 求与圆 $x^2+y^2=4$相切，且斜率为$2$ 的直线方程。（★★，来源：圆）
- 解答
设直线方程为 $y=2x+b$，即 $2x-y+b=0$。
圆心 $(0,0)$到直线的距离等于半径$r=2$： $$\frac{|b|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=2\thickspace\Longrightarrow\thickspace\frac{|b|}{\sqrt{5}}=2\thickspace\Longrightarrow\thickspace|b|=2\sqrt{5}$$
得 $b=\pm 2\sqrt{5}$。
切线方程为 $y=2x+2\sqrt{5}$和$y=2x-2\sqrt{5}$。
:::
- 7. 已知定点 $A(2,0)$，$P$为圆$x^2+y^2=1$上的动点，求线段$PA$中点$M$ 的轨迹方程。（★★，来源：圆 曲线与方程）
- 解答
设 $P(x_0,y_0)$满足$x_0^2+y_0^2=1$，$M(x,y)$为$PA$ 中点。
由中点公式： $$x=\frac{x_0+2}{2},\quad y=\frac{y_0}{2}$$
解得 $x_0=2x-2,\thickspace y_0=2y$。
代入圆的方程： $$(2x-2)^2+(2y)^2=1$$ $$4(x-1)^2+4y^2=1$$ $$(x-1)^2+y^2=\frac{1}{4}$$
轨迹是以 $(1,0)$ 为圆心、$\dfrac{1}{2}$ 为半径的圆。
:::
- 8. 圆 $x^2+y^2=4$的切线交$x$轴于$A$，交 $y$轴于$B$，求线段 $AB$中点$M$ 的轨迹方程。（★★★，来源：圆 曲线与方程）
- 解答
设切线方程为 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$（截距式），其中 $a,b$分别为$x$轴和$y$ 轴上的截距，$ab\neq 0$。
化为一般式：$bx+ay-ab=0$。
圆心 $(0,0)$到切线的距离为$2$： $$\frac{|-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}a^2b^2=4(a^2+b^2)$$
设 $AB$中点$M(x,y)$，则 $x=\dfrac{a}{2},\thickspace y=\dfrac{b}{2}$，即 $a=2x,\thickspace b=2y$。
代入上式： $$(4x^2)(4y^2)=4(4x^2+4y^2)$$ $$16x^2y^2=16(x^2+y^2)$$ $$x^2y^2=x^2+y^2$$ $$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1\quad (x\neq 0,\thickspace y\neq 0)$$
这就是 $AB$中点$M$ 的轨迹方程。
:::
- 9. 已知圆 $C:\thickspace(x-1)^2+y^2=1$，点 $A(-1,0)$，$B(1,2)$，$P$为圆上动点，求$|PA|^2+|PB|^2$ 的最大值和最小值。（★★★，来源：圆）
- 解答
圆 $C$ 的参数方程：$P(1+\cos\theta,\thickspace\sin\theta)$，$\theta\in[0,2\pi)$。
计算 $|PA|^2$： $$\begin{aligned}|PA|^2&=(1+\cos\theta+1)^2+(\sin\theta-0)^2\newline&=(2+\cos\theta)^2+\sin^2\theta\newline&=4+4\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta\newline&=5+4\cos\theta\end{aligned}$$
计算 $|PB|^2$： $$\begin{aligned}|PB|^2&=(1+\cos\theta-1)^2+(\sin\theta-2)^2\newline&=\cos^2\theta+\sin^2\theta-4\sin\theta+4\newline&=5-4\sin\theta\end{aligned}$$
求 $|PA|^2+|PB|^2$： $$\begin{aligned}|PA|^2+|PB|^2&=10+4\cos\theta-4\sin\theta\newline&=10+4\sqrt{2}\cos\negthinspace\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\end{aligned}$$
当 $\cos(\theta+\pi/4)=1$时，最大值$=10+4\sqrt{2}$； 当 $\cos(\theta+\pi/4)=-1$时，最小值$=10-4\sqrt{2}$。
:::
- 10. （阿波罗尼斯圆）已知 $A(-2,0)$，$B(2,0)$，求满足 $\dfrac{|PA|}{|PB|}=2$的点$P$ 的轨迹方程，并说明轨迹类型。（★★★，来源：圆 曲线与方程）
- 解答
设 $P(x,y)$，由条件 $\dfrac{|PA|}{|PB|}=2$： $$\frac{\sqrt{(x+2)^2+y^2}}{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}=2$$
两边平方： $$(x+2)^2+y^2=4\big[(x-2)^2+y^2\big]$$ $$x^2+4x+4+y^2=4(x^2-4x+4+y^2)$$ $$x^2+4x+4+y^2=4x^2-16x+16+4y^2$$ $$3x^2+3y^2-20x+12=0$$ $$x^2+y^2-\frac{20}{3}x+4=0$$
配方： $$\left(x-\frac{10}{3}\right)^2+y^2=\frac{100}{9}-4=\frac{64}{9}$$
轨迹是以 $\left(\dfrac{10}{3},0\right)$ 为圆心、$\dfrac{8}{3}$ 为半径的圆。
此类到两定点距离之比为常数（$\neq 1$）的点的轨迹称为阿波罗尼斯圆（Apollonius circle）。
:::
二、椭圆（12 道）
- 11. 已知椭圆焦点为 $(\pm 4,0)$，长轴长为 $10$，求椭圆的标准方程。（★，来源：椭圆）
- 解答
焦点在 $x$ 轴上，$c=4$，长轴长 $2a=10\Rightarrow a=5$。
$$b^2=a^2-c^2=25-16=9$$
椭圆标准方程为 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$。
:::
- 12. 椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$上一点$P$到一个焦点的距离为$3$，求 $P$ 到另一个焦点的距离。（★，来源：椭圆）
- 解答
由椭圆方程知 $a=5$，$2a=10$。
根据椭圆定义：$|PF_1|+|PF_2|=2a=10$。
已知 $|PF_1|=3$，则 $|PF_2|=10-3=7$。
:::
- 13. 求椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的离心率、焦点坐标、顶点坐标和准线方程。（★，来源：椭圆）
- 解答
$a=4,\thickspace b=3$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$。
- 离心率：$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
- 焦点：$F_1(-\sqrt{7},0),\thickspace F_2(\sqrt{7},0)$
- 顶点：长轴端点 $(\pm 4,0)$，短轴端点 $(0,\pm 3)$
- 准线方程：$x=\pm\dfrac{a^2}{c}=\pm\dfrac{16}{\sqrt{7}}=\pm\dfrac{16\sqrt{7}}{7}$
:::
- 14. 椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$的弦被点$P\negthinspace\left(1,\dfrac{1}{2}\right)$ 平分，求弦所在直线的方程。（★★，来源：椭圆）
- 解答
使用点差法。设弦端点 $A(x_1,y_1),\thickspace B(x_2,y_2)$，中点 $P(1,\frac12)$。
代入椭圆方程并相减： $$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1,\quad\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$$ $$\frac{x_1^2-x_2^2}{4}+y_1^2-y_2^2=0$$ $$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4}+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$$
由 $x_1+x_2=2,\thickspace y_1+y_2=1$，设弦斜率 $k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$： $$\frac{2}{4}+1\cdot k=0\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}k=-\frac12$$
弦所在直线：$y-\dfrac12=-\dfrac12(x-1)$，即 $x+2y-2=0$。
:::
- 15. 过椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$内一点$P(1,1)$ 作弦，求弦中点的轨迹方程。（★★，来源：椭圆 曲线与方程）
- 解答
设弦端点 $A(x_1,y_1),\thickspace B(x_2,y_2)$，中点 $M(x,y)$。
由点差法： $$\frac{x_1^2}{9}+\frac{y_1^2}{4}=1,\quad\frac{x_2^2}{9}+\frac{y_2^2}{4}=1$$ 相减得： $$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{9}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{4}=0$$ $$\frac{2x}{9}+\frac{2y\cdot k}{4}=0\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}k=-\frac{4x}{9y}$$
又 $P(1,1)$ 在弦上，$k=\dfrac{y-1}{x-1}$。因此： $$\frac{y-1}{x-1}=-\frac{4x}{9y}$$ $$9y(y-1)=-4x(x-1)$$ $$4x^2+9y^2-4x-9y=0$$
这就是弦中点的轨迹方程。
:::
- 16. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上点$P$，$F_1,F_2$ 为焦点，$\angle F_1PF_2=60^\circ$，求焦点三角形 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。（★★，来源：椭圆）
- 解答
设 $|PF_1|=m,\thickspace |PF_2|=n$，由椭圆定义：$m+n=2a$。
由余弦定理： $$m^2+n^2-2mn\cos 60^\circ=(2c)^2=4c^2$$ 即 $m^2+n^2-mn=4c^2$。
由 $m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=4a^2-2mn$，代入： $$4a^2-2mn-mn=4c^2\thickspace\Longrightarrow\thickspace4a^2-3mn=4c^2$$ $$mn=\frac{4(a^2-c^2)}{3}=\frac{4b^2}{3}$$
面积： $$S=\frac12 mn\sin 60^\circ=\frac12\cdot\frac{4b^2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\thinspace{}b^2}{3}$$
验证：用公式 $S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}=b^2\tan 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}b^2$，一致。
:::
- 17. 求椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$上的点到直线$y=x+3$ 的距离的最大值和最小值。（★★，来源：椭圆）
- 解答
设椭圆上点 $P(2\cos\theta,\thickspace\sin\theta)$。
点 $P$到直线$x-y+3=0$ 的距离： $$d=\frac{|2\cos\theta-\sin\theta+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|2\cos\theta-\sin\theta+3|}{\sqrt{2}}$$
令 $2\cos\theta-\sin\theta=\sqrt{5}\cos(\theta+\varphi)$，其中 $\tan\varphi=\dfrac12$。
$2\cos\theta-\sin\theta$的取值范围为$[-\sqrt{5},\thinspace\sqrt{5}]$。
因此 $2\cos\theta-\sin\theta+3$的取值范围为$[3-\sqrt{5},\thinspace3+\sqrt{5}]$，均为正数。
距离最大值 $d_{\max}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，最小值 $d_{\min}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$。
:::
- 18. 过椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$的右焦点作倾斜角为$45^\circ$ 的弦，求弦长。（★★，来源：椭圆）
- 解答
$a=2,\thickspace b=\sqrt{3},\thickspace c=\sqrt{4-3}=1$，右焦点 $F(1,0)$。
直线：$k=\tan 45^\circ=1$，方程为 $y=x-1$。
代入椭圆： $$\frac{x^2}{4}+\frac{(x-1)^2}{3}=1$$ $$3x^2+4(x^2-2x+1)=12$$ $$7x^2-8x-8=0$$
弦长公式：$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$
$k=1$，$\sqrt{1+k^2}=\sqrt{2}$，$\Delta=(-8)^2-4\cdot 7\cdot(-8)=64+224=288$。
$$|AB|=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{288}}{7}=\sqrt{2}\cdot\frac{12\sqrt{2}}{7}=\frac{24}{7}$$
:::
- 19. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上一点$P$，$F_1,F_2$ 为焦点，$\angle F_1PF_2=\theta$，求 $\triangle F_1PF_2$面积的最大值，并指出此时$P$ 的位置。（★★★，来源：椭圆）
- 解答
由焦点三角形面积公式：$S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$。
当 $\theta$最大时$S$ 最大。由余弦定理可证，$\theta$在$P$ 趋近短轴端点时最大。
当 $P$在短轴端点$(0,b)$ 时，$|PF_1|=|PF_2|=a$，由余弦定理： $$4c^2=a^2+a^2-2a^2\cos\theta_{\max}\thickspace\Longrightarrow\thickspace\cos\theta_{\max}=1-\frac{2c^2}{a^2}=1-2e^2$$
此时用面积公式 $S=\dfrac12|PF_1||PF_2|\sin\theta$： $$S_{\max}=\frac12 a^2\sin\theta_{\max}=\frac12 a^2\sqrt{1-\cos^2\theta_{\max}}$$ $$=\frac12 a^2\sqrt{1-(1-2e^2)^2}=\frac12 a^2\cdot 2e\sqrt{1-e^2}$$ $$=a^2\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{b}{a}=bc$$
因此 $\triangle F_1PF_2$面积的最大值为$bc$，此时 $P$ 位于短轴端点。
:::
- 20. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$，过点 $M(0,2)$作直线交椭圆于$A,B$两点，求$\triangle AOB$（$O$ 为原点）面积的最大值。（★★★，来源：椭圆）
- 解答
设直线 $AB:\thickspace{}y=kx+2$。
代入椭圆： $$\frac{x^2}{4}+(kx+2)^2=1$$ $$x^2+4(k^2x^2+4kx+4)=4$$ $$(1+4k^2)x^2+16kx+12=0$$
$\Delta=256k^2-48(1+4k^2)=64k^2-48$。需 $\Delta>0$，即 $|k|>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
$|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{1+4k^2}=\dfrac{\sqrt{64k^2-48}}{1+4k^2}$。
$\triangle AOB$的面积（以$OM$ 为底）： $$S=\frac12\cdot|OM|\cdot|x_1-x_2|=\frac12\cdot 2\cdot|x_1-x_2|=|x_1-x_2|$$
令 $t=4k^2+1>4$，则 $k^2=\dfrac{t-1}{4}$，$64k^2-48=16(t-1)-48=16t-64$。
$$S=\frac{\sqrt{16t-64}}{t}=\frac{4\sqrt{t-4}}{t}$$
令 $u=\sqrt{t-4}>0$，$t=u^2+4$： $$S=\frac{4u}{u^2+4}=\frac{4}{u+\dfrac{4}{u}}\leq\frac{4}{2\sqrt{u\cdot\dfrac{4}{u}}}=\frac{4}{4}=1$$
当 $u=2$（即 $t=8$，$k=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$）时取等号。
$\triangle AOB$面积的最大值为$1$。
:::
- 21. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的右焦点为$F$，过 $F$的直线交椭圆于$A,B$两点，求证$\dfrac{1}{|FA|}+\dfrac{1}{|FB|}$ 为定值。（★★★，来源：椭圆）
- 证明
以右焦点 $F(c,0)$ 为极点，$x$ 轴正方向为极轴，建立极坐标系。
椭圆的极坐标方程为 $\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$，其中 $p=\dfrac{b^2}{c}$（焦点到准线的距离）。
设 $A(\rho_1,\theta),\thickspace B(\rho_2,\theta+\pi)$，则： $$\rho_1=\frac{ep}{1-e\cos\theta},\quad\rho_2=\frac{ep}{1-e\cos(\theta+\pi)}=\frac{ep}{1+e\cos\theta}$$
因此： $$\frac{1}{|FA|}+\frac{1}{|FB|}=\frac{1}{\rho_1}+\frac{1}{\rho_2}=\frac{1-e\cos\theta}{ep}+\frac{1+e\cos\theta}{ep}=\frac{2}{ep}$$
其中 $ep=e\cdot\dfrac{b^2}{c}=\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{b^2}{c}=\dfrac{b^2}{a}$。
故 $\dfrac{1}{|FA|}+\dfrac{1}{|FB|}=\dfrac{2a}{b^2}$，为定值。
:::
- 22. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的内接$\triangle ABC$的重心与椭圆中心重合，求$\triangle ABC$ 面积的最大值。（★★★★，来源：椭圆）
- 解答
设 $A(a\cos\alpha,\thickspace{}b\sin\alpha)$，$B(a\cos\beta,\thickspace{}b\sin\beta)$，$C(a\cos\gamma,\thickspace{}b\sin\gamma)$。
重心在原点，即： $$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0,\quad\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0$$
这等价于 $\alpha,\beta,\gamma$三等分圆周（相差$\dfrac{2\pi}{3}$）。不妨设： $$\beta=\alpha+\frac{2\pi}{3},\quad\gamma=\alpha+\frac{4\pi}{3}$$
$\triangle ABC$ 的面积为： $$S=\frac12 ab\big|\sin(\beta-\alpha)+\sin(\gamma-\beta)+\sin(\alpha-\gamma)\big|$$
代入 $\beta-\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$，$\gamma-\beta=\dfrac{2\pi}{3}$，$\alpha-\gamma=-\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$： $$\begin{aligned}S&=\frac12 ab\left|\sin\frac{2\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}\right|\newline&=\frac12 ab\cdot 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}ab\end{aligned}$$
因此 $\triangle ABC$面积的最大值为$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}ab$。
注：这里的推导利用了重心在原点时三个角两两相差 $\dfrac{2\pi}{3}$ 的结论，这是椭圆内接三角形重心在原点时的必要条件。
:::
三、双曲线（12 道）
- 23. 已知双曲线焦点为 $(\pm 5,0)$，实轴长为 $6$，求双曲线的标准方程。（★，来源：双曲线）
- 解答
焦点在 $x$ 轴上，$c=5$，实轴长 $2a=6\Rightarrow a=3$。
$$b^2=c^2-a^2=25-9=16$$
双曲线标准方程为 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$。
:::
- 24. 求双曲线 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ 的离心率和渐近线方程。（★，来源：双曲线）
- 解答
$a=3,\thickspace b=4,\thickspace c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=5$。
- 离心率：$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{3}$
- 渐近线方程：$y=\pm\dfrac{b}{a}x=\pm\dfrac{4}{3}x$
:::
- 25. 双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1$上一点$P$到右焦点的距离为$5$，求 $P$ 到左焦点的距离。（★，来源：双曲线）
- 解答
$a=2$，$2a=4$，$c=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。
由双曲线定义：$\big||PF_1|-|PF_2|\big|=2a=4$。
已知 $|PF_2|=5$（右焦点），则 $\big||PF_1|-5\big|=4$。
若 $P$ 在右支，$|PF_1|>|PF_2|$，$|PF_1|-5=4\Rightarrow|PF_1|=9$； 若 $P$ 在左支，$|PF_1|<|PF_2|$，$5-|PF_1|=4\Rightarrow|PF_1|=1$。
因此 $P$到左焦点的距离为$9$或$1$。
:::
- 26. 求以 $y=\pm 2x$为渐近线，且过点$(2,1)$ 的双曲线方程。（★★，来源：双曲线）
- 解答
渐近线为 $y=\pm 2x$，即 $\dfrac{y}{x}=\pm 2$，或 $y^2=4x^2$。
设双曲线方程为 $4x^2-y^2=\lambda\thickspace(\lambda\neq 0)$。
过点 $(2,1)$：$4\cdot 4-1=16-1=15=\lambda$。
因此双曲线方程为 $4x^2-y^2=15$，即 $\dfrac{x^2}{15/4}-\dfrac{y^2}{15}=1$。
:::
- 27. 双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1$的弦被点$P(3,1)$ 平分，求弦所在直线的方程。（★★，来源：双曲线）
- 解答
使用点差法。设弦端点 $A(x_1,y_1),\thickspace B(x_2,y_2)$，中点 $P(3,1)$。
代入方程并相减： $$\frac{x_1^2}{4}-\frac{y_1^2}{5}=1,\quad\frac{x_2^2}{4}-\frac{y_2^2}{5}=1$$ $$\frac{x_1^2-x_2^2}{4}-\frac{y_1^2-y_2^2}{5}=0$$ $$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4}-\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{5}=0$$
$x_1+x_2=6,\thickspace y_1+y_2=2$，设 $k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$： $$\frac{6}{4}-\frac{2k}{5}=0\thickspace\Longrightarrow\thickspace\frac{3}{2}=\frac{2k}{5}\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}k=\frac{15}{4}$$
弦所在直线：$y-1=\dfrac{15}{4}(x-3)$，即 $15x-4y-41=0$。
:::
- 28. 等轴双曲线 $x^2-y^2=a^2$上一点$P$，$F_1,F_2$为焦点，且$PF_1\perp PF_2$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。（★★，来源：双曲线）
- 解答
等轴双曲线：$a=b,\thickspace c=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。
焦点 $F_1(-\sqrt{2}a,0),\thickspace F_2(\sqrt{2}a,0)$，$|F_1F_2|=2\sqrt{2}a$。
设 $|PF_1|=m,\thickspace |PF_2|=n$，由双曲线定义：$|m-n|=2a$。
由 $PF_1\perp PF_2$ 及勾股定理： $$m^2+n^2=|F_1F_2|^2=8a^2$$
由 $(m-n)^2=m^2+n^2-2mn$： $$4a^2=8a^2-2mn\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}mn=2a^2$$
面积： $$S=\frac12 mn=\frac12\cdot 2a^2=a^2$$
:::
- 29. 过双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1$的右焦点作倾斜角为$60^\circ$ 的弦，求弦长。（★★，来源：双曲线）
- 解答
$a=2,\thickspace b=\sqrt{3},\thickspace c=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$，右焦点 $F(\sqrt{7},0)$。
$k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}$，直线：$y=\sqrt{3}(x-\sqrt{7})$。
代入双曲线： $$\frac{x^2}{4}-\frac{3(x-\sqrt{7})^2}{3}=1$$ $$\frac{x^2}{4}-(x^2-2\sqrt{7}x+7)=1$$ $$-\frac{3}{4}x^2+2\sqrt{7}x-8=0$$ $$3x^2-8\sqrt{7}x+32=0$$
$\Delta=(-8\sqrt{7})^2-4\cdot 3\cdot 32=64\cdot 7-384=448-384=64$
弦长：$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|A|}=\sqrt{1+3}\cdot\dfrac{8}{3}=2\cdot\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$。
:::
- 30. 求双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$上的点到直线$y=2x+1$ 的距离的最小值。（★★，来源：双曲线）
- 解答
使用平行线法。设与 $y=2x+1$平行的直线$y=2x+m$ 与双曲线相切。
代入双曲线： $$\frac{x^2}{4}-(2x+m)^2=1$$ $$x^2-4(4x^2+4mx+m^2)=4$$ $$x^2-16x^2-16mx-4m^2=4$$ $$-15x^2-16mx-(4m^2+4)=0$$
相切条件 $\Delta=0$： $$(-16m)^2-4\cdot(-15)\cdot(-(4m^2+4))=0$$ $$256m^2-60(4m^2+4)=0$$ $$256m^2-240m^2-240=0$$ $$16m^2=240\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}m^2=15\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}m=\pm\sqrt{15}$$
两条切线为 $y=2x+\sqrt{15}$和$y=2x-\sqrt{15}$。
原直线 $y=2x+1$ 介于两者之间。最小距离为： $$d_{\min}=\frac{|\sqrt{15}-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{15}-1}{\sqrt{5}}$$
:::
- 31. 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，过右焦点 $F$的直线交双曲线右支于$A,B$两点，求$|AB|$ 的最小值。（★★★，来源：双曲线）
- 解答
以右焦点 $F(c,0)$ 为极点，$x$ 轴正方向为极轴，建立极坐标系。
双曲线的极坐标方程为 $\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$，其中 $p=\dfrac{b^2}{c}$。
设 $A(\rho_1,\theta),\thickspace B(\rho_2,\theta+\pi)$，则： $$\rho_1=\frac{ep}{1-e\cos\theta},\quad\rho_2=\frac{ep}{1+e\cos\theta}$$
弦长 $|AB|=\rho_1+\rho_2$（$A,B$在$F$ 两侧）： $$\begin{aligned}|AB|&=\frac{ep}{1-e\cos\theta}+\frac{ep}{1+e\cos\theta}\newline&=\frac{2ep}{1-e^2\cos^2\theta}\end{aligned}$$
当 $\cos\theta=0$（即 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$，弦垂直于实轴）时： $$|AB|_{\min}=2ep=2\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{b^2}{c}=\frac{2b^2}{a}$$
这就是双曲线的通径，也是过焦点弦长的最小值。
:::
- 32. 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$上点$P$，$F_1,F_2$ 为焦点，$\angle F_1PF_2=\theta$，求证 $S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\cot\dfrac{\theta}{2}$。（★★★，来源：双曲线）
- 证明
设 $|PF_1|=m,\thickspace |PF_2|=n$，由双曲线定义：$|m-n|=2a$。
由余弦定理： $$m^2+n^2-2mn\cos\theta=(2c)^2=4c^2$$
由 $(m-n)^2=m^2+n^2-2mn$： $$4a^2=m^2+n^2-2mn$$
两式相减： $$(m^2+n^2-2mn)-(m^2+n^2-2mn\cos\theta)=4a^2-4c^2$$ $$2mn(\cos\theta-1)=4(a^2-c^2)=-4b^2$$ $$mn(1-\cos\theta)=2b^2$$
利用 $1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac{\theta}{2}$： $$mn\cdot 2\sin^2\frac{\theta}{2}=2b^2\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}mn=\frac{b^2}{\sin^2\frac{\theta}{2}}$$
面积： $$\begin{aligned}S&=\frac12 mn\sin\theta=\frac12\cdot\frac{b^2}{\sin^2\frac{\theta}{2}}\cdot 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\newline&=b^2\cdot\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}=b^2\cot\frac{\theta}{2}\end{aligned}$$
证毕。
:::
- 33. 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\thickspace(a>0,b>0)$的离心率为$e$，过右焦点 $F$作直线交双曲线右支于$A,B$，若 $|FA|\cdot|FB|$的最小值为$b^2$，求离心率 $e$。（★★★，来源：双曲线）
- 解答
双曲线极坐标方程：$\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$，其中 $p=\dfrac{b^2}{c}$。
设 $A(\rho_1,\theta),\thickspace B(\rho_2,\theta+\pi)$： $$\rho_1=\frac{ep}{1-e\cos\theta},\quad\rho_2=\frac{ep}{1+e\cos\theta}$$
$$|FA|\cdot|FB|=\rho_1\rho_2=\frac{(ep)^2}{(1-e\cos\theta)(1+e\cos\theta)}=\frac{(ep)^2}{1-e^2\cos^2\theta}$$
当 $\cos\theta=0$（$\theta=\dfrac{\pi}{2}$）时，$|FA|\cdot|FB|$取最小值$(ep)^2$。
$$(ep)^2=\left(\frac{c}{a}\cdot\frac{b^2}{c}\right)^2=\left(\frac{b^2}{a}\right)^2=\frac{b^4}{a^2}$$
由题意 $\dfrac{b^4}{a^2}=b^2\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}b^2=a^2\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}a=b$。
此时 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}a$，$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{2}$。
离心率 $e=\sqrt{2}$，即等轴双曲线。
:::
- 34. 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，过右焦点 $F$作两条互相垂直的弦$AB$和$CD$，求 $\dfrac{1}{|AB|}+\dfrac{1}{|CD|}$ 是否为定值。（★★★★，来源：双曲线）
- 解答
设 $AB$的倾斜角为$\theta$，则 $CD$的倾斜角为$\theta+\dfrac{\pi}{2}$。
由第 31 题推导，过焦点弦长公式： $$|AB|=\frac{2ep}{1-e^2\cos^2\theta},\quad|CD|=\frac{2ep}{1-e^2\sin^2\theta}$$
因此： $$\begin{aligned}\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}&=\frac{1-e^2\cos^2\theta}{2ep}+\frac{1-e^2\sin^2\theta}{2ep}\newline&=\frac{2-e^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}{2ep}=\frac{2-e^2}{2ep}\end{aligned}$$
其中 $ep=\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{b^2}{c}=\dfrac{b^2}{a}$，$e^2=\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2}$。
$$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{2-\frac{a^2+b^2}{a^2}}{2\cdot\frac{b^2}{a}}=\frac{\frac{a^2-b^2}{a^2}}{\frac{2b^2}{a}}=\frac{a^2-b^2}{2ab^2}$$
该值依赖于 $a,b$，不是与倾斜角无关的定值，但对于给定的双曲线是定值（不依赖于 $\theta$）。
:::
四、抛物线（12 道）
- 35. 求焦点为 $(2,0)$，准线为 $x=-2$ 的抛物线方程。（★，来源：抛物线）
- 解答
由焦点和准线知 $p=4$（焦点到准线距离为 $4$，$\dfrac{p}{2}=2$）。
抛物线开口向右，标准方程为 $y^2=2px$。
代入 $p=4$：$y^2=8x$。
验证：设 $M(x,y)$ 在抛物线上，$|MF|=x+\dfrac{p}{2}=x+2$，$d(M,l)=x+2$，成立。
:::
- 36. 抛物线 $y^2=8x$上一点$M$到焦点的距离为$5$，求 $M$ 的坐标。（★，来源：抛物线）
- 解答
$2p=8\Rightarrow p=4$，焦点 $F(2,0)$，准线 $x=-2$。
由抛物线定义，$|MF|=x_M+\dfrac{p}{2}=x_M+2=5$，得 $x_M=3$。
代入 $y^2=8\cdot 3=24$，得 $y=\pm 2\sqrt{6}$。
因此 $M(3,\thinspace2\sqrt{6})$或$M(3,\thinspace-2\sqrt{6})$。
:::
- 37. 求抛物线 $y^2=4x$ 的焦点坐标、准线方程和通径长。（★，来源：抛物线）
- 解答
$y^2=4x$，$2p=4\Rightarrow p=2$。
- 焦点：$F\negthinspace\left(\dfrac{p}{2},0\right)=(1,0)$
- 准线：$x=-\dfrac{p}{2}=-1$
- 通径（过焦点垂直于对称轴的弦长）：$2p=4$
:::
- 38. 过抛物线 $y^2=4x$的焦点作倾斜角为$45^\circ$ 的弦，求弦长。（★★，来源：抛物线）
- 解答
焦点 $F(1,0)$，$k=\tan 45^\circ=1$，直线 $y=x-1$。
代入抛物线： $$(x-1)^2=4x\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}x^2-2x+1=4x\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}x^2-6x+1=0$$
$\Delta=36-4=32$，$x_1+x_2=6,\thickspace{}x_1x_2=1$。
弦长：$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{36-4}=8$。
或用焦点弦公式：$|AB|=x_1+x_2+p=6+2=8$。
:::
- 39. 抛物线 $y^2=2px$的焦点弦$AB$，设 $A(x_1,y_1),\thickspace{}B(x_2,y_2)$，求证 $y_1y_2=-p^2$。（★★，来源：抛物线）
- 证明
焦点 $F\negthinspace\left(\dfrac{p}{2},0\right)$。设焦点弦 $AB$方程为$x=my+\dfrac{p}{2}$。
代入抛物线： $$y^2=2p\negthinspace\left(my+\frac{p}{2}\right)\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}y^2-2pmy-p^2=0$$
由韦达定理，$y_1y_2=-p^2$。
进一步，$x_1x_2=\dfrac{y_1^2}{2p}\cdot\dfrac{y_2^2}{2p}=\dfrac{(y_1y_2)^2}{4p^2}=\dfrac{p^4}{4p^2}=\dfrac{p^2}{4}$。
:::
- 40. 过抛物线 $y^2=4x$上一点$P(1,2)$ 作切线，求切线方程。（★★，来源：抛物线）
- 解答
抛物线 $y^2=4x$上点$(x_0,y_0)$处的切线方程为$y_0y=2(x+x_0)$。
代入 $P(1,2)$：$2y=2(x+1)$，即 $y=x+1$。
切线方程为 $x-y+1=0$。
:::
- 41. 求抛物线 $y=x^2$上到直线$y=2x-4$ 距离最短的点的坐标。（★★，来源：抛物线）
- 解答
设抛物线上点 $P(t,\thickspace{}t^2)$。
直线 $2x-y-4=0$，距离： $$d=\frac{|2t-t^2-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|t^2-2t+4|}{\sqrt{5}}=\frac{|(t-1)^2+3|}{\sqrt{5}}$$
$(t-1)^2+3\geq 3>0$，故绝对值可去掉。
当 $t=1$ 时，$(t-1)^2+3=3$ 取最小值。
最短距离为 $\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$，对应点 $P(1,1)$。
:::
- 42. 抛物线 $y^2=4x$，过点 $M(2,1)$ 作弦，求弦中点的轨迹方程。（★★，来源：抛物线 曲线与方程）
- 解答
设弦端点 $A(x_1,y_1),\thickspace B(x_2,y_2)$，中点 $P(x,y)$。
由点差法： $$y_1^2=4x_1,\quad y_2^2=4x_2$$ 相减：$(y_1-y_2)(y_1+y_2)=4(x_1-x_2)$
设 $k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，$y_1+y_2=2y$： $$k\cdot 2y=4\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}k=\frac{2}{y}$$
又 $M(2,1)$ 在弦上，$k=\dfrac{y-1}{x-2}$： $$\frac{y-1}{x-2}=\frac{2}{y}$$ $$y(y-1)=2(x-2)$$ $$y^2-y=2x-4$$ $$y^2-2x-y+4=0$$
这就是弦中点的轨迹方程。
:::
- 43. 过抛物线 $y^2=2px$焦点$F$的弦$AB$，求证以 $AB$ 为直径的圆与准线相切。（★★★，来源：抛物线）
- 证明
焦点 $F\negthinspace\left(\dfrac{p}{2},0\right)$，准线 $l:\thickspace{}x=-\dfrac{p}{2}$。
设 $AB$中点$M$，分别过 $A,B,M$作准线的垂线，垂足为$A_1,B_1,M_1$。
由抛物线定义：$|AA_1|=|AF|,\thickspace|BB_1|=|BF|$。
在直角梯形 $AA_1B_1B$ 中，$MM_1$ 是中位线： $$|MM_1|=\frac{|AA_1|+|BB_1|}{2}=\frac{|AF|+|BF|}{2}=\frac{|AB|}{2}$$
以 $AB$为直径的圆，圆心为$M$，半径 $R=\dfrac{|AB|}{2}$。
因为 $|MM_1|=R$且$MM_1\perp l$，所以圆与准线相切。
证毕。
:::
- 44. 抛物线 $y^2=4x$的焦点弦$AB$，$O$为原点，求$\triangle OAB$ 面积的最小值。（★★★，来源：抛物线）
- 解答
焦点 $F(1,0)$，$p=2$。设焦点弦 $x=my+1$。
代入 $y^2=4x$： $$y^2=4(my+1)\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}y^2-4my-4=0$$
$y_1+y_2=4m,\thickspace y_1y_2=-4$。
$|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{16m^2+16}=4\sqrt{m^2+1}$。
$\triangle OAB$ 的面积： $$S=\frac12\cdot|OF|\cdot|y_1-y_2|=\frac12\cdot 1\cdot 4\sqrt{m^2+1}=2\sqrt{m^2+1}$$
当 $m=0$（即弦垂直于 $x$ 轴）时，$S_{\min}=2$。
$\triangle OAB$面积的最小值为$2$。
:::
- 45. 抛物线 $y^2=2px$上两点$A(x_1,y_1),\thickspace{}B(x_2,y_2)$，且 $OA\perp OB$（$O$为原点），求证直线$AB$ 过定点。（★★★，来源：抛物线）
- 证明
$OA\perp OB$即$x_1x_2+y_1y_2=0$。
由 $y_1^2=2px_1,\thickspace y_2^2=2px_2$得$x_1=\dfrac{y_1^2}{2p},\thickspace x_2=\dfrac{y_2^2}{2p}$。
代入： $$\frac{y_1^2y_2^2}{4p^2}+y_1y_2=0\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}y_1y_2\left(\frac{y_1y_2}{4p^2}+1\right)=0$$
若 $y_1y_2=0$，则 $A$或$B$ 为原点，不符合题意。因此： $$\frac{y_1y_2}{4p^2}+1=0\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}y_1y_2=-4p^2$$
直线 $AB$ 的方程为： $$(y_1+y_2)y=2px+y_1y_2=2px-4p^2$$
整理得 $2px-(y_1+y_2)y-4p^2=0$。
令 $x=2p,\thickspace y=0$，方程恒成立（与 $y_1+y_2$ 无关）。
因此直线 $AB$恒过定点$(2p,0)$。
证毕。
:::
- 46. 抛物线 $y^2=2px$的内接正三角形$ABC$的一个顶点在原点$O$，求三角形的边长。（★★★★，来源：抛物线）
- 解答
设正三角形 $OAB$，其中 $O(0,0)$，$A\negthinspace\left(\dfrac{y_1^2}{2p},y_1\right)$，$B\negthinspace\left(\dfrac{y_2^2}{2p},y_2\right)$。
由 $|OA|=|OB|=|AB|$及$OA,OB$夹角为$60^\circ$：
条件 1：$|OA|=|OB|$ $$\left(\frac{y_1^2}{2p}\right)^2+y_1^2=\left(\frac{y_2^2}{2p}\right)^2+y_2^2$$ 由对称性，可设 $y_2=-y_1$或$y_2\neq -y_1$。
若 $y_2=-y_1$，则 $A$和$B$关于$x$ 轴对称，$OA$和$OB$与$x$轴夹角分别为$\pm 30^\circ$（因为夹角 $60^\circ$）。
$OA$的斜率为$\tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$（或 $\tan 150^\circ$ 等）。
直线 $OA:\thickspace{}y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}x$。代入 $y^2=2px$： $$\frac{x^2}{3}=2px\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}x=6p\quad(\text{舍去 }x=0)$$
$y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot 6p=2\sqrt{3}p$。
边长 $|OA|=\sqrt{(6p)^2+(2\sqrt{3}p)^2}=\sqrt{36p^2+12p^2}=\sqrt{48p^2}=4\sqrt{3}p$。
因此正三角形的边长为 $4\sqrt{3}p$。
:::
五、圆锥曲线综合（4 道）
- 47. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$与抛物线$y^2=2px\thickspace(p>0)$有公共焦点，求$p$ 的值。（★★，来源：椭圆 抛物线 圆锥曲线综合）
- 解答
椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$：$a=2,\thickspace b=1$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。
椭圆右焦点为 $F(\sqrt{3},0)$。
抛物线 $y^2=2px$的焦点为$\left(\dfrac{p}{2},0\right)$。
由公共焦点： $$\frac{p}{2}=\sqrt{3}\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}p=2\sqrt{3}$$
:::
- 48. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$与双曲线$\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{n^2}=1$有共同焦点$(\pm c,0)$，求证它们有四个交点，且这四个交点共圆。（★★★，来源：椭圆 双曲线 圆锥曲线综合）
- 证明
椭圆焦点：$c^2=a^2-b^2$；双曲线焦点：$c^2=m^2+n^2$。
联立两方程，消去 $y^2$：
由椭圆：$\dfrac{y^2}{b^2}=1-\dfrac{x^2}{a^2}\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}y^2=b^2\negthinspace\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)$
由双曲线：$\dfrac{y^2}{n^2}=\dfrac{x^2}{m^2}-1\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}y^2=n^2\negthinspace\left(\dfrac{x^2}{m^2}-1\right)$
两式相等： $$b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2=\frac{n^2}{m^2}x^2-n^2$$ $$x^2\negthinspace\left(\frac{b^2}{a^2}+\frac{n^2}{m^2}\right)=b^2+n^2$$
由 $a^2-b^2=m^2+n^2=c^2$，可证 $b^2+n^2>0$且括号内为正，故$x^2$有唯一正解，得$x=\pm x_0$，每个对应两个 $y$ 值，共四个交点。
这四个交点坐标满足 $x^2+y^2=\dfrac{a^2b^2+m^2n^2}{c^2}$（可由联立方程推导），即它们都在同一个圆上，故四个交点共圆。
证毕。
:::
- 49. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$与双曲线$\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{n^2}=1$有共同焦点$F_1,F_2$，$P$ 为它们的一个交点。求证：$PF_1\perp PF_2$的充要条件是$a^2+m^2=2c^2$（其中 $c$ 为半焦距）。（★★★，来源：椭圆 双曲线 圆锥曲线综合）
- 证明
设 $P$ 为交点，$|PF_1|=r_1,\thickspace|PF_2|=r_2$。
由椭圆定义：$r_1+r_2=2a$。 由双曲线定义：$|r_1-r_2|=2m$。
两式平方相加： $$(r_1+r_2)^2+(r_1-r_2)^2=4a^2+4m^2$$ $$2(r_1^2+r_2^2)=4a^2+4m^2\thickspace\Longrightarrow\thickspace{}r_1^2+r_2^2=2a^2+2m^2$$
$PF_1\perp PF_2$等价于$r_1^2+r_2^2=|F_1F_2|^2=4c^2$。
因此 $PF_1\perp PF_2\thickspace\Longleftrightarrow\thickspace2a^2+2m^2=4c^2\thickspace\Longleftrightarrow\thickspace{}a^2+m^2=2c^2$。
证毕。
:::
- 50. 圆锥曲线的统一极坐标方程为 $\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$，其中 $e$ 为离心率，$p$为焦点到准线的距离。请推导该方程，并讨论$e$ 取不同值时对应的曲线类型。（★★★★，来源：椭圆 双曲线 抛物线 圆锥曲线综合）
- 解答
推导：以焦点 $F$ 为极点，$F$到准线$l$ 的垂线方向为极轴。
设 $F$到准线$l$的距离为$p$，准线位于极轴左侧（$x=-p$ 方向）。
对曲线上任意点 $M(\rho,\theta)$，$M$到$F$的距离为$\rho$，$M$到准线$l$的距离为$p+\rho\cos\theta$。
由圆锥曲线统一定义（第二定义）： $$\frac{|MF|}{d(M,l)}=e\thickspace\Longrightarrow\thickspace\frac{\rho}{p+\rho\cos\theta}=e$$
解得： $$\rho=e(p+\rho\cos\theta)\thickspace\Longrightarrow\thickspace\rho(1-e\cos\theta)=ep\thickspace\Longrightarrow\thickspace\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta}$$
讨论：
- 当 $0<e<1$ 时，$1-e\cos\theta>0$ 恒成立，$\rho$ 恒正且有界，曲线为椭圆。
- 当 $e=1$ 时，$\rho=\dfrac{p}{1-\cos\theta}$，当 $\theta\to 0$时$\rho\to\infty$，曲线为抛物线。
- 当 $e>1$时，存在$\theta_0=\arccos\dfrac{1}{e}$使得$1-e\cos\theta=0$，$\rho\to\infty$（渐近线方向），曲线为双曲线。
该统一方程揭示了离心率 $e$ 是区分三类圆锥曲线的本质参数。
:::
答案速查
| 题号 | 答案 |
|---|---|
| 1 | $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ |
| 2 | 相切 |
| 3 | $3x+4y=25$ |
| 4 | $x^2+y^2=1$ |
| 5 | $y=1$和$12x+5y-41=0$ |
| 6 | $y=2x\pm 2\sqrt{5}$ |
| 7 | $(x-1)^2+y^2=\dfrac{1}{4}$ |
| 8 | $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=1$ |
| 9 | 最大值 $10+4\sqrt{2}$，最小值 $10-4\sqrt{2}$ |
| 10 | $\left(x-\dfrac{10}{3}\right)^2+y^2=\dfrac{64}{9}$，圆 |
| 11 | $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ |
| 12 | $7$ |
| 13 | $e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$，焦点 $(\pm\sqrt{7},0)$，顶点 $(\pm 4,0),(0,\pm 3)$，准线 $x=\pm\dfrac{16\sqrt{7}}{7}$ |
| 14 | $x+2y-2=0$ |
| 15 | $4x^2+9y^2-4x-9y=0$ |
| 16 | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}b^2$ |
| 17 | $d_{\max}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，$d_{\min}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ |
| 18 | $\dfrac{24}{7}$ |
| 19 | $S_{\max}=bc$，$P$ 在短轴端点 |
| 20 | $1$ |
| 21 | 定值 $\dfrac{2a}{b^2}$ |
| 22 | $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}ab$ |
| 23 | $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ |
| 24 | $e=\dfrac{5}{3}$，$y=\pm\dfrac{4}{3}x$ |
| 25 | $9$（右支）或 $1$（左支） |
| 26 | $\dfrac{x^2}{15/4}-\dfrac{y^2}{15}=1$（即 $4x^2-y^2=15$） |
| 27 | $15x-4y-41=0$ |
| 28 | $a^2$ |
| 29 | $\dfrac{16}{3}$ |
| 30 | $\dfrac{\sqrt{15}-1}{\sqrt{5}}$ |
| 31 | $\dfrac{2b^2}{a}$（通径） |
| 32 | $b^2\cot\dfrac{\theta}{2}$ |
| 33 | $e=\sqrt{2}$（等轴双曲线） |
| 34 | 定值 $\dfrac{a^2-b^2}{2ab^2}$ |
| 35 | $y^2=8x$ |
| 36 | $(3,\pm 2\sqrt{6})$ |
| 37 | 焦点 $(1,0)$，准线 $x=-1$，通径 $4$ |
| 38 | $8$ |
| 39 | $y_1y_2=-p^2$ |
| 40 | $x-y+1=0$ |
| 41 | $P(1,1)$，$d_{\min}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ |
| 42 | $y^2-2x-y+4=0$ |
| 43 | 证明见解答 |
| 44 | $S_{\min}=2$ |
| 45 | 定点 $(2p,0)$ |
| 46 | $4\sqrt{3}p$ |
| 47 | $p=2\sqrt{3}$ |
| 48 | 证明见解答 |
| 49 | $a^2+m^2=2c^2$ |
| 50 | 推导及讨论见解答 |