双曲线 (Hyperbola)

概述

双曲线是圆锥曲线中离心率 $e > 1$ 的一类，由平面截双锥面得到。它在几何形态上表现为两支分离的无限延伸曲线，具有渐近线、两个焦点、两条准线等丰富结构。与椭圆的"闭合"和抛物线的"半开"不同，双曲线是唯一具有两支的圆锥曲线，也是唯一具有渐近线的圆锥曲线。

---

1. 双曲线的第一定义与标准方程

1.1 第一定义

双曲线的第一定义

平面内，到两个定点 $F_1$、$F_2$的距离之差的绝对值等于常数$2a$（$0 < 2a < |F_1F_2| = 2c$）的点的轨迹，称为双曲线。

两定点 $F_1$、$F_2$称为焦点，两焦点之间的距离$|F_1F_2| = 2c$ 称为焦距。

数学表述：设动点 $M(x,y)$，则

$$\big| |MF_1| - |MF_2| \big| = 2a \quad (0 < a < c)$$

注意条件 $2a < 2c$

• 若 $2a = 2c$（即 $a = c$），轨迹为以 $F_1$、$F_2$为端点的两条射线（分别沿$F_1F_2$ 方向向外延伸）。
• 若 $2a > 2c$（即 $a > c$），由三角不等式 $|MF_1| - |MF_2| \le |F_1F_2| = 2c$，$2a$不可能大于$2c$，此时无轨迹。
• 若 $2a = 0$，轨迹为线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线。

\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[gray,->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
  \draw[gray,->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
  \draw[domain=-3.5:3.5,smooth,variable=\x,thick,blue] plot ({\x},{1.5*sqrt((\x)^2/2.25+1)});
  \draw[domain=-3.5:3.5,smooth,variable=\x,thick,blue] plot ({\x},{-1.5*sqrt((\x)^2/2.25+1)});
  \fill (-2.5,0) circle (0.05) node[below] {$F_1$};
  \fill (2.5,0) circle (0.05) node[below] {$F_2$};
  \draw[dashed,gray] (-1.5,0) -- (0,0);
  \draw[<->] (0,-0.4) -- (1.5,-0.4) node[midway,below] {$a$};
  \draw[<->] (0,0.4) -- (2.5,0.4) node[midway,above] {$c$};
  \fill[red] (2.5,1.2) circle (0.04) node[above right] {$M$};
  \draw[dashed,red] (-2.5,0) -- (2.5,1.2) -- (2.5,0);
\end{tikzpicture}

1.2 标准方程推导（焦点在 $x$ 轴）

设定：焦点 $F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$，动点 $M(x, y)$。

由第一定义：

$$\big| \sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \big| = 2a$$

处理绝对值：设 $M$在右支（即$|MF_1| > |MF_2|$），则

$$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a$$

移项得：

$$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

两边平方：

$$(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2$$

展开左边：$x^2 + 2cx + c^2 + y^2$ 展开右边：$4a^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2$

消去 $x^2 + c^2 + y^2$，得到：

$$2cx = 4a^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} - 2cx$$

$$4cx - 4a^2 = 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

$$cx - a^2 = a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

两边再平方：

$$(cx - a^2)^2 = a^2\big[(x - c)^2 + y^2\big]$$

$$c^2x^2 - 2a^2cx + a^4 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)$$

$$c^2x^2 - 2a^2cx + a^4 = a^2x^2 - 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2$$

消去 $-2a^2cx$：

$$c^2x^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$$

$$(c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$$

关键代换

令 $b^2 = c^2 - a^2$（$b > 0$），则 $c^2 = a^2 + b^2$。注意：在双曲线中 $c^2 = a^2 + b^2$，与椭圆 $c^2 = a^2 - b^2$ 不同！

代入得：

$$b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$$

两边同除以 $a^2b^2$，得到标准方程：

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0,\thickspace b > 0)}$$

此即焦点在 $x$ 轴上的双曲线标准方程。

1.3 焦点在 $y$ 轴上的标准方程

若焦点在 $y$轴上，即$F_1(0, -c)$，$F_2(0, c)$，类似推导可得标准方程：

$$\boxed{\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0,\thickspace b > 0)}$$

此时 $a$ 仍为实半轴长，$b$ 为虚半轴长，$c^2 = a^2 + b^2$。

区分焦点在 $x$轴还是$y$ 轴

• 焦点在 $x$ 轴：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，$x^2$ 项为正，$y^2$ 项为负。
• 焦点在 $y$ 轴：$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$，$y^2$ 项为正，$x^2$ 项为负。
• 简单记忆：正号项对应的变量所在轴即为焦点所在轴。

1.4 $a$、$b$、$c$ 的几何意义

• $a$：实半轴长，顶点到中心的距离，$|MF_1| - |MF_2|$ 的绝对值的一半。
• $b$：虚半轴长，$b = \sqrt{c^2 - a^2}$。
• $c$：半焦距，焦点到中心的距离。
• 关系：$c^2 = a^2 + b^2$，在双曲线中 $c > a$且$c > b$。

1.5 例题

例1：求双曲线的标准方程

已知双曲线的焦点为 $F_1(-5, 0)$、$F_2(5, 0)$，双曲线上一点 $P$到两焦点距离之差的绝对值为$6$，求双曲线的标准方程。

[!success]- 解析 由条件知 $c = 5$，$2a = 6 \Rightarrow a = 3$。

由 $c^2 = a^2 + b^2$得$b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$，故 $b = 4$。

焦点在 $x$ 轴上，方程为： $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$$

例2：定义法求轨迹方程

已知 $A(-5, 0)$、$B(5, 0)$，动点 $M$满足$|MA| - |MB| = \pm 6$，求 $M$ 的轨迹方程。

[!success]- 解析 由条件知 $A$、$B$ 为焦点，$c = 5$，$2a = 6 \Rightarrow a = 3$。

$b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$。

焦点在 $x$轴上，轨迹方程为$\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$。

注意：$|MA| - |MB| = \pm 6$表示两支都包括，若只说$|MA| - |MB| = 6$（不带绝对值），则只表示右支，即 $x \ge 3$ 的部分。

---

2. 双曲线的几何性质

以焦点在 $x$轴上的标准方程$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 为例。

2.1 范围

由方程 $\dfrac{x^2}{a^2} = 1 + \dfrac{y^2}{b^2} \ge 1$，得 $|x| \ge a$。

范围

双曲线位于 $x \le -a$和$x \ge a$两个区域内，中间带$|x| < a$ 的区域无图像。$y$的取值范围为$\mathbb{R}$。

2.2 对称性

在方程 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 中：

• 以 $-x$代$x$，方程不变 → 关于 $y$ 轴对称
• 以 $-y$代$y$，方程不变 → 关于 $x$ 轴对称
• 以 $(-x, -y)$代$(x, y)$，方程不变 → 关于原点对称

双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形。原点 $O$ 称为双曲线的中心。

2.3 顶点

令 $y = 0$，得 $x = \pm a$，故双曲线与 $x$轴的交点为$A_1(a, 0)$、$A_2(-a, 0)$，它们称为双曲线的顶点。

令 $x = 0$，得 $-\dfrac{y^2}{b^2} = 1$，无实数解，故双曲线与 $y$ 轴无交点。

实轴与虚轴

• 线段 $A_1A_2$称为双曲线的实轴，长为$2a$。
• 在 $y$轴上取点$B_1(0, b)$、$B_2(0, -b)$，线段 $B_1B_2$称为双曲线的虚轴，长为$2b$。
• $a$ 为实半轴长，$b$ 为虚半轴长。

2.4 焦点

焦点坐标为 $F_1(c, 0)$、$F_2(-c, 0)$，其中 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

2.5 离心率

$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$

离心率的性质

• 对双曲线，$e > 1$（因为 $c > a$）。
• $e$ 越大，$\dfrac{b}{a}$ 越大，渐近线越陡，双曲线"开口"越大。
• $e$越接近$1$，$\dfrac{b}{a}$越接近$0$，双曲线越"扁"，渐近线越接近 $x$ 轴。
• 离心率 $e$ 决定了双曲线的形状（相似比）。

2.6 准线

双曲线有两条准线，方程分别为：

$$x = \frac{a^2}{c} \quad \text{和} \quad x = -\frac{a^2}{c}$$

（焦点在 $y$轴时，准线为$y = \pm \dfrac{a^2}{c}$）

注意：由于 $c > a$，$a^2/c < a$，因此准线位于两顶点之间，这与椭圆不同（椭圆的准线在顶点外侧）。

2.7 通径

过焦点且垂直于实轴的弦称为通径。将 $x = c$ 代入双曲线方程：

$$\frac{c^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \thickspace\Longrightarrow\thickspace \frac{y^2}{b^2} = \frac{c^2}{a^2} - 1 = \frac{c^2 - a^2}{a^2} = \frac{b^2}{a^2}$$

$$y^2 = \frac{b^4}{a^2} \thickspace\Longrightarrow\thickspace y = \pm \frac{b^2}{a}$$

通径长

$$\text{通径长} = \frac{2b^2}{a}$$

通径是过焦点的最短弦（在所有过焦点的弦中，通径的长度最短）。

2.8 几何性质总结表

项目	焦点在 $x$轴$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	焦点在$y$轴$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$
范围	$\Vert{}x\Vert \ge a$，$y \in \mathbb{R}$	$\Vert{}y\Vert \ge a$，$x \in \mathbb{R}$
对称性	关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点对称	同
顶点	$(\pm a, 0)$	$(0, \pm a)$
焦点	$(\pm c, 0)$	$(0, \pm c)$
焦距	$2c$，$c = \sqrt{a^2 + b^2}$	同
离心率	$e = c/a > 1$	同
准线	$x = \pm a^2/c$	$y = \pm a^2/c$
渐近线	$y = \pm \frac{b}{a}x$	$y = \pm \frac{a}{b}x$
通径	$2b^2/a$	$2b^2/a$

---

3. 双曲线的参数方程

3.1 三角参数形式

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的参数方程可写为：

$$\boxed{\begin{cases} x = a\sec\theta \newline y = b\tan\theta \end{cases} \quad (\theta \in [0, 2\pi),\ \theta \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})}$$

验证

代入方程：$\dfrac{a^2\sec^2\theta}{a^2} - \dfrac{b^2\tan^2\theta}{b^2} = \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ ✓

参数 $\theta$ 的几何意义：$\theta$ 不是双曲线上点的离心角，而是以原点为中心、$a$为半径的圆上对应点的参数角。具体来说，过点$(a\cos\theta, 0)$作$x$轴的垂线，与过点$(0, b\sin\theta)$作$y$轴的垂线相交，交点并不是双曲线上的点，但$\theta$与双曲线上的点$(a\sec\theta, b\tan\theta)$通过$\sec$和$\tan$ 关联。

注意

双曲线的参数方程中 $\theta$的几何意义不像椭圆那样直观。椭圆中$\theta$是离心角，双曲线中$\theta$ 更多地是代数参数的便利表达。

3.2 有理参数形式

另一种常用的参数形式为：

$$\boxed{\begin{cases} x = \dfrac{a}{2}\left(t + \dfrac{1}{t}\right) \newline[6pt] y = \dfrac{b}{2}\left(t - \dfrac{1}{t}\right) \end{cases} \quad (t \neq 0)}$$

验证

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \frac{1}{4}\left(t + \frac{1}{t}\right)^2 - \frac{1}{4}\left(t - \frac{1}{t}\right)^2 = \frac{1}{4}\left[(t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}) - (t^2 - 2 + \frac{1}{t^2})\right] = 1$$

• 当 $t > 0$ 时，对应右支（$x \ge a$）；
• 当 $t < 0$ 时，对应左支（$x \le -a$）。

这个参数形式在做弦中点、定点定值等问题时有时比三角形式更方便。

3.3 双曲函数参数形式

利用双曲函数 $\cosh u = \dfrac{e^u + e^{-u}}{2}$，$\sinh u = \dfrac{e^u - e^{-u}}{2}$，满足 $\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$，可得：

$$\boxed{\begin{cases} x = a\cosh u \newline y = b\sinh u \end{cases} \quad (u \in \mathbb{R})}$$

这是最自然的参数化方式，$u$的几何意义为双曲角（双曲线扇形面积的两倍除以$ab$）。$u > 0$ 对应右支上半部分，$u < 0$ 对应右支下半部分；左支需要添负号。

3.4 例题

例3：利用参数方程求最值

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$，点 $P$在右支上，求$|OP|$ 的最小值（$O$ 为原点）。

[!success]- 解析 设 $P(2\sec\theta, 3\tan\theta)$，则 $$|OP|^2 = 4\sec^2\theta + 9\tan^2\theta = 4(1 + \tan^2\theta) + 9\tan^2\theta = 4 + 13\tan^2\theta$$

$\tan^2\theta \ge 0$，故 $|OP|^2 \ge 4$，当 $\tan\theta = 0$（即 $\theta = 0$或$\pi$）时取等。

此时 $P(2, 0)$，即右顶点，$|OP|_{\min} = 2$。

例4：参数方程求弦长

双曲线 $x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$，过右焦点 $F(2, 0)$作倾斜角为$60^\circ$的直线，交双曲线于$A$、$B$两点，求$|AB|$。

[!success]- 解析 $a = 1$，$b = \sqrt{3}$，$c = 2$。直线参数方程：$\begin{cases} x = 2 + \dfrac{1}{2}t \newline y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}t \end{cases}$（$t$ 为参数，表示有向距离）。

代入双曲线方程： $$\left(2 + \frac{t}{2}\right)^2 - \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)^2}{3} = 1$$ $$4 + 2t + \frac{t^2}{4} - \frac{t^2}{4} = 1$$ $$4 + 2t = 1 \thickspace\Longrightarrow\thickspace t = -\frac{3}{2}$$

咦，只有一个交点？因为直线与右支交于一点，与左支也交于一点：

更仔细计算：$x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$，代入 $y = \sqrt{3}(x - 2)$。

$x^2 - \dfrac{3(x - 2)^2}{3} = 1$→$x^2 - (x - 2)^2 = 1$→$x^2 - (x^2 - 4x + 4) = 1$→$4x - 4 = 1$→$x = \dfrac{5}{4}$

那只有一个交点？实际上直线 $y = \sqrt{3}(x - 2)$，斜率为 $\sqrt{3} \approx 1.732$，渐近线斜率为 $\pm \sqrt{3} \approx \pm 1.732$。直线恰好与渐近线平行！所以只交于一点。

重设倾斜角为 $45^\circ$：直线 $y = x - 2$。

代入：$x^2 - \dfrac{(x - 2)^2}{3} = 1$→$3x^2 - (x^2 - 4x + 4) = 3$→$2x^2 + 4x - 7 = 0$

$x_1 + x_2 = -2$，$x_1x_2 = -\dfrac{7}{2}$。

$|AB| = \sqrt{1 + 1^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot (-\frac{7}{2})} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{4 + 14} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = 6$。

---

4. 双曲线的第二定义与焦半径

4.1 第二定义

双曲线的第二定义（统一定义）

平面内，到一个定点 $F$（焦点）与到一条定直线 $l$（准线）的距离之比为常数 $e$（$e > 1$）的点的轨迹称为双曲线。

即：设 $M(x, y)$ 为动点，$d$为$M$到准线$l$ 的距离，则

$$\frac{|MF|}{d} = e \quad (e > 1)$$

每侧焦点对应同侧准线：

• 右焦点 $F_1(c, 0)$↔ 右准线$l_1: x = \dfrac{a^2}{c}$
• 左焦点 $F_2(-c, 0)$↔ 左准线$l_2: x = -\dfrac{a^2}{c}$

4.2 从第二定义推导标准方程

以右焦点和右准线为例：

$$\frac{\sqrt{(x - c)^2 + y^2}}{\left|x - \frac{a^2}{c}\right|} = e = \frac{c}{a}$$

$$\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = \frac{c}{a}\left|x - \frac{a^2}{c}\right|$$

平方：

$$(x - c)^2 + y^2 = \frac{c^2}{a^2}\left(x - \frac{a^2}{c}\right)^2$$

$$x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = \frac{c^2}{a^2}\left(x^2 - \frac{2a^2}{c}x + \frac{a^4}{c^2}\right)$$

$$x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = \frac{c^2}{a^2}x^2 - 2cx + a^2$$

$$x^2 - \frac{c^2}{a^2}x^2 + y^2 = a^2 - c^2$$

$$\frac{a^2 - c^2}{a^2}x^2 + y^2 = a^2 - c^2$$

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1$$

令 $b^2 = c^2 - a^2$，即得 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。

4.3 焦半径公式

设 $P(x_0, y_0)$为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上一点。

由第二定义，$P$到右焦点的距离$|PF_1|$与$P$到右准线的距离$d_1$之比为$e$：

$$d_1 = \left|x_0 - \frac{a^2}{c}\right|$$

$$|PF_1| = e \cdot d_1 = \frac{c}{a}\left|x_0 - \frac{a^2}{c}\right| = \left|\frac{c}{a}x_0 - a\right| = |ex_0 - a|$$

同理，$P$ 到左焦点的距离：

$$|PF_2| = e \cdot d_2 = \frac{c}{a}\left|x_0 + \frac{a^2}{c}\right| = \left|\frac{c}{a}x_0 + a\right| = |ex_0 + a|$$

焦半径公式总结

对于双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上一点$P(x_0, y_0)$：

| 位置 | $x_0$范围 |$|PF_1|$（右焦点） | $|PF_2|$（左焦点） | |:---|:---|:---|:---| | 右支 | $x_0 \ge a$|$ex_0 - a$|$ex_0 + a$ | | 左支 | $x_0 \le -a$|$a - ex_0$|$-ex_0 - a$ |

注意：右支上点距右焦点近，左支上点距左焦点近。

4.4 例题

例5：焦半径公式的应用

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$的右支上一点$P$的横坐标为$5$，求 $P$ 到两焦点的距离。

[!success]- 解析 $a = 3$，$b = 4$，$c = \sqrt{9 + 16} = 5$，$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{3}$。

$x_0 = 5 \ge 3$，$P$ 在右支：

$|PF_{\text{右}}| = ex_0 - a = \dfrac{5}{3} \times 5 - 3 = \dfrac{25}{3} - 3 = \dfrac{16}{3}$

$|PF_{\text{左}}| = ex_0 + a = \dfrac{5}{3} \times 5 + 3 = \dfrac{25}{3} + 3 = \dfrac{34}{3}$

验证：$\big||PF_{\text{左}}| - |PF_{\text{右}}|\big| = \dfrac{34}{3} - \dfrac{16}{3} = 6 = 2a$ ✓

例6：焦半径公式求离心率

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的左支上一点$P$到左焦点的距离为$d_1$，到右焦点的距离为 $d_2$，且 $d_1 : d_2 = 1 : 3$，求离心率 $e$。

[!success]- 解析 $P$ 在左支，$x_0 \le -a$，则 $d_1 = -ex_0 - a$，$d_2 = a - ex_0$。

由题意 $\dfrac{-ex_0 - a}{a - ex_0} = \dfrac{1}{3}$，即 $3(-ex_0 - a) = a - ex_0$。

$-3ex_0 - 3a = a - ex_0$→$-2ex_0 = 4a$→$ex_0 = -2a$→$x_0 = -\dfrac{2a}{e}$。

又 $|x_0| \ge a$，即 $\dfrac{2a}{e} \ge a$，得 $e \le 2$。又 $e > 1$，故 $1 < e \le 2$。

但还需要 $x_0$满足双曲线方程。代入$x_0 = -2a/e$： $$\frac{4a^2/e^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \thickspace\Longrightarrow\thickspace \frac{4}{e^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1$$

由于 $\dfrac{y_0^2}{b^2} \ge 0$，所以 $\dfrac{4}{e^2} \ge 1$，即 $e^2 \le 4$，$e \le 2$。

题目条件不足以确定唯一的 $e$，但 $1 < e \le 2$。若补充条件 $P$恰为左顶点，则$x_0 = -a$，$d_1 = ea - a = (e-1)a$，$d_2 = a + ea = (e+1)a$，$\dfrac{e-1}{e+1} = \dfrac{1}{3}$→$3e - 3 = e + 1$→$e = 2$。

例7：利用焦半径公式证明

$P$为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 右支上一点，$F_1$ 为右焦点，$F_2$为左焦点。求证：以$PF_1$ 为直径的圆与以实轴为直径的圆内切。

[!success]- 证明 设 $P(x_0, y_0)$（$x_0 \ge a$），$PF_1$中点为$M$，$M$坐标为$\left(\dfrac{x_0 + c}{2}, \dfrac{y_0}{2}\right)$。

以 $PF_1$为直径的圆半径为$R_1 = \dfrac{|PF_1|}{2} = \dfrac{ex_0 - a}{2}$。

以实轴为直径的圆：圆心 $O(0, 0)$，半径 $R_2 = a$。

两圆圆心距：$|OM| = \sqrt{\left(\dfrac{x_0 + c}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{y_0}{2}\right)^2}$

由双曲线方程：$y_0^2 = \dfrac{b^2(x_0^2 - a^2)}{a^2}$，且 $c^2 = a^2 + b^2$。

可证 $|OM| = R_2 - R_1 = a - \dfrac{ex_0 - a}{2} = \dfrac{2a - ex_0 + a}{2} = \dfrac{3a - ex_0}{2}$，验证即得内切。

---

5. 渐近线（重点）

5.1 渐近线的定义与推导

渐近线

当双曲线上的点 $M$ 沿曲线无限远离原点时，$M$到某条定直线的距离趋近于$0$，则称该直线为双曲线的渐近线。

从双曲线方程 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 出发，解得：

$$y = \pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2} = \pm \frac{b}{a}x\sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}$$

当 $x \to \pm\infty$ 时，$\sqrt{1 - \dfrac{a^2}{x^2}} \to 1$，因此

$$y \to \pm \frac{b}{a}x$$

渐近线方程

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线方程为： $$\boxed{y = \pm \frac{b}{a}x}$$

简单记忆方法：将双曲线标准方程中的"$1$"换成"$0$"，即 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$，即得渐近线方程。

5.2 渐近线性质的严格证明

命题：双曲线上的点到渐近线的距离当 $x \to \infty$时趋于$0$。

证明：取第一象限中的点 $M(x, y)$ 在双曲线上，$y = \dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$。$M$到渐近线$y = \dfrac{b}{a}x$（即 $bx - ay = 0$）的距离为：

$$d = \frac{|bx - ay|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|bx - b\sqrt{x^2 - a^2}|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cdot \left|x - \sqrt{x^2 - a^2}\right|$$

分子有理化：

$$x - \sqrt{x^2 - a^2} = \frac{(x - \sqrt{x^2 - a^2})(x + \sqrt{x^2 - a^2})}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{a^2}{x + \sqrt{x^2 - a^2}}$$

当 $x \to +\infty$时，此式$\to 0$，故 $d \to 0$。双曲线与渐近线无限接近但永不相交。

5.3 有共同渐近线的双曲线系

双曲线系

与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 有共同渐近线的所有双曲线可以表示为： $$\boxed{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \lambda \quad (\lambda \neq 0)}$$

• $\lambda > 0$：焦点在 $x$轴上，实轴在$x$ 轴
• $\lambda < 0$：焦点在 $y$轴上，实轴在$y$ 轴（此时为共轭双曲线形式）

应用

已知渐近线方程为 $y = \pm \dfrac{b}{a}x$，则可设双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda$，再由其他条件确定 $\lambda$。这是求双曲线方程的常用方法。

5.4 渐近线与双曲线开口的关系

渐近线斜率 $k = \pm \dfrac{b}{a}$，与离心率的关系：

$$\frac{b}{a} = \sqrt{\frac{c^2 - a^2}{a^2}} = \sqrt{e^2 - 1}$$

• $e$越大 →$\dfrac{b}{a}$ 越大 → 渐近线越陡 → 开口越大
• $e \to 1^+$→$\dfrac{b}{a} \to 0$ → 渐近线趋于水平 → 开口极小

\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[gray,->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
  \draw[gray,->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
  \draw[domain=-3.5:3.5,smooth,variable=\x,thick,blue] plot ({\x},{1.5*sqrt((\x)^2/2.25+1)});
  \draw[domain=-3.5:3.5,smooth,variable=\x,thick,blue] plot ({\x},{-1.5*sqrt((\x)^2/2.25+1)});
  \draw[dashed,red] (-3.5,-2.333) -- (3.5,2.333) node[right] {$y=\frac{b}{a}x$};
  \draw[dashed,red] (-3.5,2.333) -- (3.5,-2.333) node[right] {$y=-\frac{b}{a}x$};
  \fill (-2.5,0) circle (0.05) node[below] {$F_1$};
  \fill (2.5,0) circle (0.05) node[below] {$F_2$};
\end{tikzpicture}

5.6 例题

例8：利用渐近线求双曲线方程

已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \dfrac{3}{4}x$，且过点 $(2, \sqrt{3})$，求双曲线方程。

[!success]- 解析 设双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = \lambda$（因为渐近线 $y = \pm \dfrac{3}{4}x$对应$\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4}$，取 $a = 4k$，$b = 3k$，则方程为 $\dfrac{x^2}{16k^2} - \dfrac{y^2}{9k^2} = 1$，令 $\lambda = k^2$）。

更直接：设 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = \lambda$。

代入点 $(2, \sqrt{3})$：$\dfrac{4}{16} - \dfrac{3}{9} = \lambda$→$\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{12} = \lambda$。

故方程为 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = -\dfrac{1}{12}$，即 $\dfrac{y^2}{3/4} - \dfrac{x^2}{4/3} = 1$（焦点在 $y$ 轴）。

例9：渐近线与离心率

已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3}x$，求离心率 $e$。

[!success]- 解析 $\dfrac{b}{a} = \sqrt{3}$，则 $b = \sqrt{3}a$。

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$。

$e = \dfrac{c}{a} = 2$。

例10：渐近线夹角

求双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1$ 的两条渐近线的夹角。

[!success]- 解析 $a = 2$，$b = 2\sqrt{3}$，渐近线 $y = \pm \dfrac{b}{a}x = \pm \sqrt{3}x$。

渐近线斜率为 $\pm \sqrt{3}$，对应倾斜角为 $60^\circ$和$120^\circ$。

两条渐近线的夹角为 $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$（或 $120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$）。

故夹角为 $60^\circ$。

---

6. 共轭双曲线与等轴双曲线

6.1 共轭双曲线

定义

双曲线 $C_1: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$与$C_2: \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1$（即 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = -1$）互为共轭双曲线。

共轭双曲线的几何意义：$C_1$的实轴是$C_2$ 的虚轴，$C_1$的虚轴是$C_2$ 的实轴。

共轭双曲线的性质

1. 共同渐近线：$C_1$和$C_2$有相同的渐近线$y = \pm \dfrac{b}{a}x$。
2. 共同焦距：$c_1 = c_2 = \sqrt{a^2 + b^2}$。
3. 离心率关系：$e_1 = \dfrac{c}{a}$，$e_2 = \dfrac{c}{b}$，满足 $\dfrac{1}{e_1^2} + \dfrac{1}{e_2^2} = \dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{b^2}{c^2} = 1$。
4. 四个焦点共圆（圆心在原点，半径为 $c$）。

6.2 等轴双曲线

定义

当 $a = b$ 时，双曲线称为等轴双曲线（或等边双曲线、直角双曲线）。

标准方程为：

$$\boxed{x^2 - y^2 = a^2}$$

等轴双曲线的性质

1. 离心率：$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{a^2 + a^2}}{a} = \sqrt{2}$。
2. 渐近线互相垂直：$y = \pm x$，夹角为 $90^\circ$。
3. 对称性：关于 $y = x$和$y = -x$ 也对称。
4. 通径：$\dfrac{2b^2}{a} = 2a$，等于实轴长。

6.3 反比例函数与等轴双曲线

重要联系

反比例函数 $y = \dfrac{k}{x}$（$k \neq 0$）的图像是等轴双曲线，将其旋转 $45^\circ$ 后即化为标准形式。

推导：将坐标轴旋转 $45^\circ$：

$$\begin{cases} x = \dfrac{x' - y'}{\sqrt{2}} \newline y = \dfrac{x' + y'}{\sqrt{2}} \end{cases}$$

代入 $xy = k$：

$$\frac{x' - y'}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x' + y'}{\sqrt{2}} = k \thickspace\Longrightarrow\thickspace \frac{x'^2 - y'^2}{2} = k \thickspace\Longrightarrow\thickspace x'^2 - y'^2 = 2k$$

即 $x'^2 - y'^2 = 2k$，这是等轴双曲线的标准形式。

结论

$y = \dfrac{k}{x}$的图像是等轴双曲线，其实轴在$y = x$或$y = -x$ 方向上，$a = \sqrt{2|k|}$，渐近线为 $x$轴和$y$ 轴（即坐标轴）。

6.4 例题

例11：共轭双曲线

已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$，求其共轭双曲线的方程、焦点坐标和离心率。

[!success]- 解析 共轭双曲线：$\dfrac{y^2}{16} - \dfrac{x^2}{9} = 1$（即 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = -1$）。

$a' = 4$（实半轴在 $y$ 轴），$b' = 3$，$c' = \sqrt{16 + 9} = 5$。

焦点：$(0, \pm 5)$。

离心率：$e' = \dfrac{c'}{a'} = \dfrac{5}{4}$。

验证：$\dfrac{1}{e_1^2} + \dfrac{1}{e_2^2} = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1$ ✓

例12：等轴双曲线

已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在 $x$轴上，且过点$(3, 1)$，求双曲线方程。

[!success]- 解析 设方程为 $x^2 - y^2 = a^2$。

代入 $(3, 1)$：$9 - 1 = a^2$→$a^2 = 8$。

故方程为 $x^2 - y^2 = 8$，即 $\dfrac{x^2}{8} - \dfrac{y^2}{8} = 1$。

焦点：$c = \sqrt{8 + 8} = 4$，$F(\pm 4, 0)$。离心率 $e = \sqrt{2}$。

---

7. 焦点三角形

7.1 焦点三角形的定义

焦点三角形

双曲线上任意一点 $P$与两个焦点$F_1$、$F_2$构成的三角形$\triangle F_1PF_2$ 称为双曲线的焦点三角形。

\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[gray,->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
  \draw[gray,->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
  \draw[domain=-3.5:3.5,smooth,variable=\x,thick,blue] plot ({\x},{1.5*sqrt((\x)^2/2.25+1)});
  \draw[domain=-3.5:3.5,smooth,variable=\x,thick,blue] plot ({\x},{-1.5*sqrt((\x)^2/2.25+1)});
  \fill (-2.5,0) circle (0.05) node[below] {$F_1$};
  \fill (2.5,0) circle (0.05) node[below] {$F_2$};
  \fill[red] (3,1.732) circle (0.04) node[above right] {$P$};
  \draw[thick,red] (-2.5,0) -- (3,1.732) -- (2.5,0) -- cycle;
  \node[red] at (1,0.5) {$\theta$};
\end{tikzpicture}

设 $\angle F_1PF_2 = \theta$，$|PF_1| = r_1$，$|PF_2| = r_2$，$|F_1F_2| = 2c$。

由双曲线定义：$|r_1 - r_2| = 2a$。

7.2 焦点三角形面积公式

面积公式

$$\boxed{S_{\triangle F_1PF_2} = b^2 \cot\frac{\theta}{2}}$$

推导：

在 $\triangle F_1PF_2$ 中，由余弦定理：

$$(2c)^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos\theta$$

又由双曲线定义：

$$(r_1 - r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 = 4a^2$$

两式相减：

$$4c^2 - 4a^2 = -2r_1r_2\cos\theta + 2r_1r_2 = 2r_1r_2(1 - \cos\theta)$$

$$4(c^2 - a^2) = 2r_1r_2(1 - \cos\theta)$$

$$4b^2 = 2r_1r_2(1 - \cos\theta)$$

$$r_1r_2 = \frac{2b^2}{1 - \cos\theta}$$

三角形面积：

$$S = \frac{1}{2}r_1r_2\sin\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{2b^2}{1 - \cos\theta} \cdot \sin\theta = \frac{b^2\sin\theta}{1 - \cos\theta}$$

利用半角公式：$\dfrac{\sin\theta}{1 - \cos\theta} = \cot\dfrac{\theta}{2}$

$$S = b^2\cot\frac{\theta}{2}$$

与椭圆焦点三角形对比

	椭圆	双曲线
定义	$r_1 + r_2 = 2a$	$\Vert{}r_1 - r_2\Vert = 2a$
面积公式	$S = b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$	$S = b^2\cot\dfrac{\theta}{2}$

椭圆用 $\tan$，双曲线用 $\cot$，恰好互补！

7.3 焦点三角形的周长

焦点三角形的周长 $= r_1 + r_2 + 2c$，$r_1 + r_2$ 不是定值，但可以通过余弦定理求解。

7.5 例题

例13：焦点三角形面积

双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - y^2 = 1$上一点$P$在右支，且$\angle F_1PF_2 = 90^\circ$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

[!success]- 解析 $a = 2$，$b = 1$，$c = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$。

由面积公式：$S = b^2\cot\dfrac{\theta}{2} = 1 \cdot \cot 45^\circ = 1$。

验证：$r_1r_2 = \dfrac{2b^2}{1 - \cos 90^\circ} = 2$，$S = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin 90^\circ = 1$ ✓。

例14：焦点三角形面积的最值

$P$为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$右支上的动点，求$\triangle F_1PF_2$ 面积的最大值。

[!success]- 解析 $S = b^2\cot\dfrac{\theta}{2}$。当 $P$ 在右支上移动时，$\theta$ 在变化。

当 $P$趋近顶点$(a, 0)$ 时，$\theta \to \pi$（$P$在$x$ 轴上，$F_1$、$P$、$F_2$ 共线），$\cot\dfrac{\theta}{2} \to \cot\dfrac{\pi}{2} = 0$，$S \to 0$。

当 $P$ 沿双曲线无限远离时，$\theta \to 0$（$PF_1$和$PF_2$ 都趋近于平行渐近线），$\cot\dfrac{\theta}{2} \to +\infty$，$S \to +\infty$。

故 $\triangle F_1PF_2$的面积无上界，但有下确界$0$（达不到）。

---

8. 双曲线的切线（重点）

8.1 过双曲线上一点的切线方程

切线方程

过双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上一点$P(x_0, y_0)$ 的切线方程为： $$\boxed{\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1}$$

推导（判别式法）：

设切线斜率为 $k$，则切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$。

代入双曲线方程：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{(y_0 + k(x - x_0))^2}{b^2} = 1$

整理得关于 $x$的二次方程。由于切线与双曲线只有一个公共点，判别式$\Delta = 0$。

但同时 $P(x_0, y_0)$ 在双曲线上：$\dfrac{x_0^2}{a^2} - \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1$。

解 $\Delta = 0$得$k = \dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$（$y_0 \neq 0$）。

代入切线方程：

$$y - y_0 = \frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x - x_0)$$

$$a^2y_0y - a^2y_0^2 = b^2x_0x - b^2x_0^2$$

$$b^2x_0x - a^2y_0y = b^2x_0^2 - a^2y_0^2 = a^2b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}\right) = a^2b^2$$

两边同除以 $a^2b^2$，得：

$$\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1$$

记忆方法

将标准方程中的 $x^2$换为$x_0x$，$y^2$换为$y_0y$，即得切线方程。这与椭圆切线方程的求法完全一致（只是符号不同）。

8.2 已知斜率的切线方程

斜率为 $k$ 的切线

斜率为 $k$的直线$y = kx + m$与双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切的条件是： $$m = \pm \sqrt{a^2k^2 - b^2}$$

切线方程为： $$\boxed{y = kx \pm \sqrt{a^2k^2 - b^2}}$$

推导：将 $y = kx + m$ 代入双曲线：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{(kx + m)^2}{b^2} = 1$$

$$b^2x^2 - a^2(k^2x^2 + 2kmx + m^2) = a^2b^2$$

$$(b^2 - a^2k^2)x^2 - 2a^2kmx - a^2(m^2 + b^2) = 0$$

相切条件 $\Delta = 0$：

$$4a^4k^2m^2 + 4(b^2 - a^2k^2) \cdot a^2(m^2 + b^2) = 0$$

$$a^2k^2m^2 + (b^2 - a^2k^2)(m^2 + b^2) = 0$$

$$a^2k^2m^2 + b^2m^2 + b^4 - a^2k^2m^2 - a^2k^2b^2 = 0$$

$$b^2m^2 + b^4 - a^2k^2b^2 = 0$$

$$m^2 = a^2k^2 - b^2$$

存在条件

$a^2k^2 - b^2 \ge 0$，即 $|k| \ge \dfrac{b}{a}$。这意味着切线的斜率绝对值必须不小于渐近线的斜率绝对值。当 $|k| = \dfrac{b}{a}$ 时，$m = 0$，切线为渐近线，但渐近线不与双曲线相交（相切于无穷远），所以严格来说 $|k| > \dfrac{b}{a}$。

8.3 法线方程

过双曲线上一点 $P(x_0, y_0)$的法线斜率为$k_{\text{法}} = -\dfrac{1}{k_{\text{切}}} = -\dfrac{a^2y_0}{b^2x_0}$（$y_0 \neq 0$）。

法线方程为：

$$y - y_0 = -\frac{a^2y_0}{b^2x_0}(x - x_0)$$

8.4 切点弦方程

切点弦方程

过双曲线外一点 $P(x_0, y_0)$作双曲线的两条切线，切点分别为$A$、$B$，则弦 $AB$ 所在直线的方程为： $$\boxed{\frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1}$$

推导思路：设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则 $PA$的切线方程为$\dfrac{x_1x}{a^2} - \dfrac{y_1y}{b^2} = 1$，$PB$的切线方程为$\dfrac{x_2x}{a^2} - \dfrac{y_2y}{b^2} = 1$。

$P(x_0, y_0)$ 在两条切线上，故：

$$\frac{x_1x_0}{a^2} - \frac{y_1y_0}{b^2} = 1,\quad \frac{x_2x_0}{a^2} - \frac{y_2y_0}{b^2} = 1$$

这说明点 $A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$都满足方程$\dfrac{x_0x}{a^2} - \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$，而两点确定一条直线，故 $AB$的方程即为$\dfrac{x_0x}{a^2} - \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$。

与切线方程形式相同

切点弦方程与切线方程在形式上完全一致，区别在于 $(x_0, y_0)$ 的位置：在曲线上时为切线，在曲线外时为切点弦。

8.5 例题

例15：求切线方程

求双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{3} = 1$在点$(4, 3)$ 处的切线方程。

[!success]- 解析 验证：$\dfrac{16}{4} - \dfrac{9}{3} = 4 - 3 = 1$，点 $(4, 3)$ 在双曲线上。

切线方程：$\dfrac{4x}{4} - \dfrac{3y}{3} = 1$，即 $x - y = 1$。

例16：已知斜率求切线

求与双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$相切且斜率为$1$ 的直线方程。

[!success]- 解析 $a = 3$，$b = 2$。斜率为 $k = 1$ 的切线：$y = x \pm \sqrt{9 \times 1 - 4} = x \pm \sqrt{5}$。

故切线方程为 $y = x + \sqrt{5}$和$y = x - \sqrt{5}$。

验证：渐近线斜率为 $\pm \dfrac{2}{3}$，$|k| = 1 > \dfrac{2}{3}$，满足存在条件。

例17：切点弦方程

过点 $P(2, 1)$作双曲线$\dfrac{x^2}{2} - y^2 = 1$ 的切线，求切点弦所在直线方程。

[!success]- 解析 验证 $P$ 在曲线外：$\dfrac{4}{2} - 1 = 1 > 0$，但 $\dfrac{4}{2} - 1 = 1 = 1$？不对。

$\dfrac{x^2}{2} - y^2 = 1$，代入 $P(2, 1)$：$\dfrac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1$，$P$恰好在双曲线上！那切线方程为$\dfrac{2x}{2} - 1 \cdot y = 1$，即 $x - y = 1$。

重新设 $P(3, 2)$：$\dfrac{9}{2} - 4 = 0.5 \neq 1$，$P$ 在曲线外。

切点弦方程：$\dfrac{3x}{2} - 2y = 1$，即 $3x - 4y = 2$。

---

9. 双曲线的光学性质

9.1 光学性质

双曲线的光学性质

从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点。

换言之，若光源位于焦点 $F_1$，光线射向双曲线上的点 $P$，则反射光线 $PR$的方向恰使得$F_2$、$P$、$R$三点共线，且$F_2$在$PR$ 的反向延长线上。

\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[gray,->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$x$};
  \draw[gray,->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
  \draw[domain=1.8:3.5,smooth,variable=\x,thick,blue] plot ({\x},{1.5*sqrt((\x)^2/2.25+1)});
  \fill (-2.5,0) circle (0.05) node[below] {$F_1$};
  \fill (2.5,0) circle (0.05) node[below] {$F_2$};
  \fill[red] (2.5,1.2) circle (0.04) node[above right] {$P$};
  \draw[thick,red,->] (-2.5,0) -- (2.5,1.2);
  \draw[thick,red,->] (2.5,1.2) -- (1.5,2.5);
  \draw[thick,dashed,red] (1.5,2.5) -- (2.5,0);
  \node[red] at (2.8,1.8) {反射};
  \draw[thick,green!60!black] (1.5,0.5) -- (3.5,1.8);
  \node[green!60!black] at (3.0,0.8) {切线};
\end{tikzpicture}

9.2 与椭圆光学性质的对比

椭圆	双曲线
从一个焦点发出的光线经反射后汇聚到另一个焦点	从一个焦点发出的光线经反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点
光线向"内"汇聚	光线向"外"发散，但延长线汇聚

统一理解

椭圆和双曲线的光学性质均可用切线性质证明：曲线上任意一点 $P$处的切线是$\angle F_1PF_2$ 的角平分线（椭圆中是外角平分线，双曲线中是内角平分线）。

9.3 切线法证明

命题：双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上一点$P(x_0, y_0)$处的切线平分$\angle F_1PF_2$。

证明：

切线斜率为 $k = \dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$。

$PF_1$ 的斜率：$k_1 = \dfrac{y_0}{x_0 + c}$，$PF_2$ 的斜率：$k_2 = \dfrac{y_0}{x_0 - c}$。

切线到 $PF_1$的夹角$\alpha$满足$\tan\alpha_1 = \left|\dfrac{k - k_1}{1 + kk_1}\right|$。

切线到 $PF_2$的夹角$\alpha_2$满足$\tan\alpha_2 = \left|\dfrac{k_2 - k}{1 + k_2k}\right|$。

通过计算可证 $\tan\alpha_1 = \tan\alpha_2$，故 $\alpha_1 = \alpha_2$，即切线平分 $\angle F_1PF_2$。

光学性质的推论

由于切线平分 $\angle F_1PF_2$，根据反射定律（入射角 = 反射角），从 $F_1$发出的光线射到$P$后，反射光线沿$PF_2$的反向延长线方向射出，即反射光线的反向延长线经过$F_2$。

9.4 应用

双曲线的光学性质在天文望远镜（卡塞格林望远镜）中有应用：主镜为抛物面，副镜为双曲面，利用双曲线的光学性质将光线折射到焦点。

9.6 例题

例18：光学性质应用

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的右焦点为$F_2$，$P$ 为右支上一点，$P$处的切线交$x$轴于$T$。求证：$F_2$关于切线的对称点在以$F_1$ 为圆心、$2a$ 为半径的圆上。

[!success]- 证明 设 $F_2$关于切线的对称点为$F_2'$。由光学性质，切线平分 $\angle F_1PF_2$，故 $F_2'$在$PF_1$的延长线上，且$|PF_2'| = |PF_2|$。

因此 $|F_1F_2'| = |PF_1| + |PF_2'| = r_1 + r_2$。

由双曲线定义，$r_1 - r_2 = 2a$（$P$ 在右支，$r_1 > r_2$），所以 $r_1 + r_2 = r_1 + (r_1 - 2a) = 2r_1 - 2a$，这不是定值。

更精确：$F_2$关于切线的对称点$F_2'$满足$F_1$、$P$、$F_2'$共线，且$|F_2F_2'| = 2|F_2P| = 2r_2$。由定义 $|F_1F_2'| = r_1 - r_2 = 2a$（需仔细验证符号），故 $F_2'$在以$F_1$ 为圆心、$2a$ 为半径的圆上。

---

10. 直线与双曲线的位置关系

10.1 判别式法判断位置关系

将直线 $y = kx + m$代入双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，得关于 $x$ 的二次方程：

$$(b^2 - a^2k^2)x^2 - 2a^2kmx - a^2(m^2 + b^2) = 0$$

判别式 $\Delta = 4a^2b^2(b^2 - a^2k^2 + m^2)$。

位置关系判定

条件	位置关系
$b^2 - a^2k^2 \neq 0$且$\Delta > 0$	相交于两点
$b^2 - a^2k^2 \neq 0$且$\Delta = 0$	相切（一个公共点）
$b^2 - a^2k^2 \neq 0$且$\Delta < 0$	相离（无公共点）
$b^2 - a^2k^2 = 0$且$m \neq 0$	直线与渐近线平行，交于一点
$b^2 - a^2k^2 = 0$且$m = 0$	直线为渐近线，无公共点

注意

当 $b^2 - a^2k^2 = 0$（即 $k = \pm b/a$）时，二次项系数为 $0$，方程退化为一次方程，此时直线与渐近线平行，与双曲线交于一点（另一交点在无穷远）。

10.2 弦长公式

直线 $y = kx + m$与双曲线交于$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则弦长：

$$\boxed{|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|b^2 - a^2k^2|}}$$

或使用纵坐标差：

$$|AB| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} \cdot |y_1 - y_2| \quad (k \neq 0)$$

10.3 弦中点问题（点差法）

点差法

设弦 $AB$的端点$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$在双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上，$M(x_0, y_0)$为$AB$ 的中点。

将 $A$、$B$ 的坐标代入双曲线方程：

$$\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1,\quad \frac{x_2^2}{a^2} - \frac{y_2^2}{b^2} = 1$$

两式相减：

$$\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} - \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0$$

$$\frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{a^2} - \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{b^2} = 0$$

由中点坐标：$x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$，$y_0 = \dfrac{y_1 + y_2}{2}$。

设弦 $AB$的斜率为$k = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$，代入得：

$$\frac{2x_0}{a^2} - \frac{2y_0k}{b^2} = 0$$

中点弦斜率公式

$$\boxed{k = \frac{b^2x_0}{a^2y_0} \quad (y_0 \neq 0)}$$

中点弦存在条件

与椭圆不同，双曲线的中点弦不一定存在！需要验证中点 $M$是否在"弦存在区域"内。具体来说，弦的中点$M(x_0, y_0)$必须在双曲线的"内部"（即满足$\dfrac{x_0^2}{a^2} - \dfrac{y_0^2}{b^2} > 1$或$\dfrac{x_0^2}{a^2} - \dfrac{y_0^2}{b^2} < 0$），否则以 $M$ 为中点的弦不存在。

10.4 例题

例19：弦长问题

斜率为 $2$的直线$l$过双曲线$\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{y^2}{2} = 1$的右焦点，求$l$ 被双曲线截得的弦长。

[!success]- 解析 $a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$，$c = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5}$。右焦点 $F(\sqrt{5}, 0)$。

直线 $l: y = 2(x - \sqrt{5})$。

代入双曲线：$\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{4(x - \sqrt{5})^2}{2} = 1$

$\dfrac{x^2}{3} - 2(x^2 - 2\sqrt{5}x + 5) = 1$

$\dfrac{x^2}{3} - 2x^2 + 4\sqrt{5}x - 10 = 1$

乘 $3$：$x^2 - 6x^2 + 12\sqrt{5}x - 30 = 3$→$-5x^2 + 12\sqrt{5}x - 33 = 0$

$5x^2 - 12\sqrt{5}x + 33 = 0$

$\Delta = (12\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 5 \cdot 33 = 720 - 660 = 60$

弦长 $= \sqrt{1 + 2^2} \cdot \dfrac{\sqrt{60}}{5} = \sqrt{5} \cdot \dfrac{2\sqrt{15}}{5} = \dfrac{2\sqrt{75}}{5} = \dfrac{10\sqrt{3}}{5} = 2\sqrt{3}$。

例20：中点弦问题

双曲线 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{2} = 1$中，求以$M(3, 1)$ 为中点的弦所在直线方程。

[!success]- 解析 $a = 2$，$b = \sqrt{2}$。由中点弦斜率公式：

$k = \dfrac{b^2x_0}{a^2y_0} = \dfrac{2 \times 3}{4 \times 1} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$。

弦所在直线：$y - 1 = \dfrac{3}{2}(x - 3)$，即 $3x - 2y - 7 = 0$。

验证存在性：中点 $M(3, 1)$，$\dfrac{9}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{7}{4} > 1$，$M$ 在双曲线"内部"（双曲线两支之间的区域），弦存在 ✓。

例21：点差法综合

已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）的离心率为 $\sqrt{3}$，右焦点为 $F$，过 $F$且斜率为$1$的直线交双曲线于$A$、$B$两点，且$\overrightarrow{FA} = 3\overrightarrow{BF}$，求双曲线方程。

[!success]- 解析 $e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{3}$，故 $c = \sqrt{3}a$，$b^2 = c^2 - a^2 = 2a^2$。

设双曲线为 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{2a^2} = 1$，右焦点 $F(\sqrt{3}a, 0)$。

直线 $AB: y = x - \sqrt{3}a$。

代入：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{(x - \sqrt{3}a)^2}{2a^2} = 1$

$2x^2 - (x^2 - 2\sqrt{3}ax + 3a^2) = 2a^2$

$x^2 + 2\sqrt{3}ax - 5a^2 = 0$

设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$。由 $\overrightarrow{FA} = 3\overrightarrow{BF}$知$x_1 - \sqrt{3}a = 3(\sqrt{3}a - x_2)$，即 $x_1 + 3x_2 = 4\sqrt{3}a$。

又 $x_1 + x_2 = -2\sqrt{3}a$，$x_1x_2 = -5a^2$。

解之：$x_1 + 3x_2 = 4\sqrt{3}a$，$x_1 + x_2 = -2\sqrt{3}a$，相减得 $2x_2 = 6\sqrt{3}a$，$x_2 = 3\sqrt{3}a$，$x_1 = -5\sqrt{3}a$。

$x_1x_2 = -15 \cdot 3a^2 = -45a^2 = -5a^2$，矛盾！说明题目数据有问题，或需要重新理解。

实际上由 $\overrightarrow{FA} = 3\overrightarrow{BF}$得$F$分$\overrightarrow{AB}$为$AF:FB = 3:1$且$F$在$AB$内部（方向相反），即$x_1 - \sqrt{3}a = 3(x_2 - \sqrt{3}a)$→$x_1 - 3x_2 = -2\sqrt{3}a$。结合 $x_1 + x_2 = -2\sqrt{3}a$，解得 $x_1 = -2\sqrt{3}a$，$x_2 = 0$，$x_1x_2 = 0 = -5a^2$，仍矛盾。

重新检查：$\overrightarrow{FA} = 3\overrightarrow{BF}$意味着$\overrightarrow{FA}$与$\overrightarrow{BF}$ 同向，$F$在$A$、$B$ 之间，$|FA| = 3|BF|$。设 $B$在$F$ 右侧，$A$在$F$左侧，则$x_1 < \sqrt{3}a < x_2$，且 $\sqrt{3}a - x_1 = 3(x_2 - \sqrt{3}a)$→$x_1 + 3x_2 = 4\sqrt{3}a$。

结合 $x_1 + x_2 = -2\sqrt{3}a$，得 $2x_2 = 6\sqrt{3}a$，$x_2 = 3\sqrt{3}a$，$x_1 = -5\sqrt{3}a$，$x_1x_2 = -45a^2 = -5a^2$→$a^2 = 0$，不可能。

这说明 $k=1$ 的直线与双曲线相交时，$F$不可能按$3:1$ 分弦。需要调整条件。此题作为思路展示，实际数值需根据题目给定。

---

11. 双曲线中的常见问题

11.1 最值问题

例22：距离最值

$P$为双曲线$\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1$ 右支上的动点，$A(4, 0)$，求 $|PA|$ 的最小值。

[!success]- 解析 $a = 2$，$b = 2\sqrt{3}$，$c = \sqrt{4 + 12} = 4$。$A(4, 0)$恰为右焦点$F_1$。

设 $P(x_0, y_0)$，$|PA| = |PF_1| = ex_0 - a$（焦半径公式）。

$e = \dfrac{c}{a} = 2$，$|PA| = 2x_0 - 2$。

由于 $x_0 \ge 2$，$|PA| \ge 2 \times 2 - 2 = 2$，当 $P$为右顶点$(2, 0)$时取最小值$2$。

例23：面积最值

已知双曲线 $x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$，过右焦点 $F(2, 0)$的直线交双曲线右支于$A$、$B$两点，求$\triangle AOB$（$O$ 为原点）面积的最小值。

[!success]- 解析 设直线 $AB: x = my + 2$（$m$ 为斜率的倒数，避免讨论斜率不存在）。

代入双曲线：$(my + 2)^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$

$m^2y^2 + 4my + 4 - \dfrac{y^2}{3} = 1$→$\left(m^2 - \dfrac{1}{3}\right)y^2 + 4my + 3 = 0$

由于 $A$、$B$ 都在右支，$\Delta > 0$且$y_1y_2 < 0$（$A$、$B$在$x$ 轴两侧）。

$y_1 + y_2 = -\dfrac{4m}{m^2 - 1/3}$，$y_1y_2 = \dfrac{3}{m^2 - 1/3}$。

$S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{2} \cdot |OF| \cdot |y_1 - y_2| = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot |y_1 - y_2| = |y_1 - y_2|$

$|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1y_2} = \sqrt{\dfrac{16m^2}{(m^2 - 1/3)^2} - \dfrac{12}{m^2 - 1/3}}$

$= \sqrt{\dfrac{16m^2 - 12(m^2 - 1/3)}{(m^2 - 1/3)^2}} = \sqrt{\dfrac{4m^2 + 4}{(m^2 - 1/3)^2}} = \dfrac{2\sqrt{m^2 + 1}}{|m^2 - 1/3|}$

令 $t = \sqrt{m^2 + 1} \ge 1$，$m^2 = t^2 - 1$，代入得 $S = \dfrac{2t}{|t^2 - 4/3|}$。

对 $t \ge 1$求最小值...当$t = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$时$S = \dfrac{4/\sqrt{3}}{|4/3 - 4/3|}$ 分母为 0，直线与渐近线平行，不交于两点。

当 $t \to \infty$时$S \to 0$；当 $t = 1$时$S = \dfrac{2}{|1 - 4/3|} = 6$。故最小值为 $6$（$t=1$，即 $m=0$，直线垂直于 $x$ 轴）。

11.2 定点定值问题

例24：定点问题

已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，$A$、$B$是双曲线右支上的两个动点，且$OA \perp OB$（$O$ 为原点）。求证：$O$到直线$AB$ 的距离为定值。

[!success]- 证明 设 $OA: y = kx$，则 $OB: y = -\dfrac{1}{k}x$。

联立 $OA$ 与双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{k^2x^2}{b^2} = 1$→$x_A^2 = \dfrac{a^2b^2}{b^2 - a^2k^2}$（需 $|k| < \dfrac{b}{a}$）。

$|OA|^2 = x_A^2 + y_A^2 = (1 + k^2)x_A^2 = \dfrac{a^2b^2(1 + k^2)}{b^2 - a^2k^2}$。

同理 $|OB|^2 = \dfrac{a^2b^2(1 + 1/k^2)}{b^2 - a^2/k^2} = \dfrac{a^2b^2(k^2 + 1)}{b^2k^2 - a^2}$。

在 $\triangle AOB$ 中，$OA \perp OB$，$S = \dfrac{1}{2}|OA|\cdot|OB| = \dfrac{1}{2}|AB| \cdot d$（$d$为$O$到$AB$ 的距离）。

$d = \dfrac{|OA| \cdot |OB|}{|AB|} = \dfrac{|OA| \cdot |OB|}{\sqrt{|OA|^2 + |OB|^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{|OA|^2} + \dfrac{1}{|OB|^2}}}$

计算 $\dfrac{1}{|OA|^2} + \dfrac{1}{|OB|^2} = \dfrac{b^2 - a^2k^2}{a^2b^2(1 + k^2)} + \dfrac{b^2k^2 - a^2}{a^2b^2(1 + k^2)} = \dfrac{b^2(1 + k^2) - a^2(1 + k^2)}{a^2b^2(1 + k^2)} = \dfrac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$

故 $d = \dfrac{ab}{\sqrt{b^2 - a^2}}$（定值）。

例25：定值问题

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$上任意一点$P$（非顶点）处的切线交渐近线于 $A$、$B$ 两点。求证：$P$为$AB$ 的中点。

[!success]- 证明 设 $P(x_0, y_0)$，切线方程为 $\dfrac{x_0x}{a^2} - \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$。

渐近线 $y = \dfrac{b}{a}x$与切线的交点$A$： 代入得 $\dfrac{x_0x}{a^2} - \dfrac{y_0 \cdot \frac{b}{a}x}{b^2} = 1$→$\dfrac{x_0x}{a^2} - \dfrac{y_0x}{ab} = 1$→$x_A = \dfrac{a^2b}{bx_0 - ay_0}$。

同理，渐近线 $y = -\dfrac{b}{a}x$与切线的交点$B$：$x_B = \dfrac{a^2b}{bx_0 + ay_0}$。

$AB$ 中点横坐标：$\dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2b}{bx_0 - ay_0} + \dfrac{a^2b}{bx_0 + ay_0}\right) = \dfrac{a^2b \cdot 2bx_0}{2(b^2x_0^2 - a^2y_0^2)} = \dfrac{a^2b^2x_0}{b^2x_0^2 - a^2y_0^2}$

由 $P$ 在双曲线上：$\dfrac{x_0^2}{a^2} - \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1$→$b^2x_0^2 - a^2y_0^2 = a^2b^2$。

故 $\dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{a^2b^2x_0}{a^2b^2} = x_0$。

同理可证 $\dfrac{y_A + y_B}{2} = y_0$。故 $P$为$AB$ 中点。✓

11.3 综合例题

例26：综合题

已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0, b > 0$）的离心率为 $\sqrt{2}$，右焦点为 $F$，过 $F$作斜率为$k$（$k \neq 0$）的直线交 $C$于$A$、$B$两点。若$\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{FB}$，求 $k$。

[!success]- 解析 $e = \sqrt{2}$，$c = \sqrt{2}a$，$b^2 = c^2 - a^2 = a^2$，故 $a = b$，为等轴双曲线。

设双曲线为 $x^2 - y^2 = a^2$，$F(\sqrt{2}a, 0)$。

过 $F$ 的直线：$y = k(x - \sqrt{2}a)$。

代入：$x^2 - k^2(x - \sqrt{2}a)^2 = a^2$

$(1 - k^2)x^2 + 2\sqrt{2}ak^2x - (2a^2k^2 + a^2) = 0$

设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$。由 $\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{FB}$知$F$在$AB$ 内部，$|AF| = 3|FB|$。

由定比分点公式：$x_1 + 3x_2 = 4\sqrt{2}a$（因为 $F$分$AB$为$3:1$）。

又 $x_1 + x_2 = -\dfrac{2\sqrt{2}ak^2}{1 - k^2}$，$x_1x_2 = -\dfrac{a^2(2k^2 + 1)}{1 - k^2}$。

由 $x_1 + 3x_2 = 4\sqrt{2}a$和$x_1 + x_2 = -\dfrac{2\sqrt{2}ak^2}{1 - k^2}$： $2x_2 = 4\sqrt{2}a + \dfrac{2\sqrt{2}ak^2}{1 - k^2} = 2\sqrt{2}a\left(2 + \dfrac{k^2}{1 - k^2}\right) = 2\sqrt{2}a \cdot \dfrac{2 - k^2}{1 - k^2}$

$x_2 = \sqrt{2}a \cdot \dfrac{2 - k^2}{1 - k^2}$，$x_1 = -\dfrac{2\sqrt{2}ak^2}{1 - k^2} - x_2 = -\dfrac{2\sqrt{2}ak^2}{1 - k^2} - \sqrt{2}a \cdot \dfrac{2 - k^2}{1 - k^2} = -\sqrt{2}a \cdot \dfrac{2 + k^2}{1 - k^2}$

$x_1x_2 = \left(-\sqrt{2}a \cdot \dfrac{2 + k^2}{1 - k^2}\right)\left(\sqrt{2}a \cdot \dfrac{2 - k^2}{1 - k^2}\right) = -2a^2 \cdot \dfrac{(2 + k^2)(2 - k^2)}{(1 - k^2)^2}$

又 $x_1x_2 = -\dfrac{a^2(2k^2 + 1)}{1 - k^2}$，故：

$$-2a^2 \cdot \dfrac{4 - k^4}{(1 - k^2)^2} = -\dfrac{a^2(2k^2 + 1)}{1 - k^2}$$

$$\dfrac{2(4 - k^4)}{1 - k^2} = 2k^2 + 1$$

$$2(4 - k^4) = (2k^2 + 1)(1 - k^2) = 2k^2 - 2k^4 + 1 - k^2 = k^2 - 2k^4 + 1$$

$$8 - 2k^4 = 1 + k^2 - 2k^4$$

$$8 = 1 + k^2 \thickspace\Longrightarrow\thickspace k^2 = 7$$

$$k = \pm \sqrt{7}$$

---

12. 补充专题

12.1 双曲线的直径

双曲线的直径

平行弦中点的轨迹称为双曲线的直径。对于双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，斜率为 $k$ 的平行弦的中点轨迹为直线： $$y = \frac{b^2}{a^2k}x$$

这条直线过原点，称为与方向 $k$ 共轭的直径。

12.2 共轭直径

共轭直径

若直径 $d_1$平分平行于直径$d_2$的弦，直径$d_2$也平分平行于直径$d_1$的弦，则$d_1$与$d_2$ 互为共轭直径。

对于双曲线，若 $d_1$的斜率为$k_1$，$d_2$的斜率为$k_2$，则： $$k_1k_2 = \frac{b^2}{a^2}$$

注意：当 $k_1k_2 = \dfrac{b^2}{a^2}$ 时，$d_1$与$d_2$中有一条的斜率绝对值小于$\dfrac{b}{a}$，另一条大于 $\dfrac{b}{a}$。其中一条直径与双曲线相交（斜率绝对值小于渐近线斜率），另一条与双曲线不相交。

12.3 双曲线的极坐标方程

以右焦点 $F(c, 0)$ 为极点，$x$ 轴正方向为极轴，建立极坐标系。由第二定义可推导双曲线的极坐标方程：

$$\boxed{\rho = \frac{ep}{1 - e\cos\theta}}$$

其中 $p = \dfrac{b^2}{c}$ 为焦点到相应准线的距离（焦准距），$e = \dfrac{c}{a} > 1$。

对于标准双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，以右焦点为极点：

$$\rho = \frac{b^2/a}{1 - e\cos\theta}$$

参见 极坐标与参数方程。

12.4 双曲线与椭圆、抛物线的关系

圆锥曲线统一性

三种圆锥曲线可通过离心率 $e$ 统一：

• $0 < e < 1$：椭圆（闭合曲线）
• $e = 1$：抛物线（开放曲线，一支）
• $e > 1$：双曲线（开放曲线，两支）

也可通过二次方程的一般形式 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$的判别式$\Delta = B^2 - 4AC$ 分类：

• $\Delta < 0$：椭圆型
• $\Delta = 0$：抛物型
• $\Delta > 0$：双曲型

参见 曲线与方程 和 圆锥曲线综合。

---

13. 习题精选

习题1

已知双曲线的焦距为 $10$，离心率为 $\dfrac{5}{4}$，焦点在 $x$ 轴上，求双曲线的标准方程。

[!success]- 解答 $2c = 10 \Rightarrow c = 5$，$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4} \Rightarrow a = 4$。

$b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9$。

方程为 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$。

习题2

双曲线 $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$上一点$P$到左焦点的距离为$8$，求 $P$ 到右焦点的距离。

[!success]- 解答 $a = 5$，$2a = 10$。由定义 $||PF_{\text{左}}| - |PF_{\text{右}}|| = 10$。

若 $|PF_{\text{左}}| = 8$，则 $|8 - |PF_{\text{右}}|| = 10$→$|PF_{\text{右}}| = 18$（负舍去）。

注意：$P$ 在左支（$|PF_{\text{左}}| = 8 < |PF_{\text{右}}| = 18$）。

习题3

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$的渐近线与实轴的夹角为$60^\circ$，求离心率。

[!success]- 解答 渐近线 $y = \pm \dfrac{b}{a}x$与$x$轴的夹角为$60^\circ$，故 $\dfrac{b}{a} = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$。

$e = \sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 3} = 2$。

习题4

过双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$的右焦点作倾斜角为$45^\circ$的直线，交双曲线于$A$、$B$两点。求弦$AB$ 的长。

[!success]- 解答 $a = 3$，$b = 4$，$c = 5$。右焦点 $F(5, 0)$，直线 $y = x - 5$。

代入：$\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{(x - 5)^2}{16} = 1$

$16x^2 - 9(x^2 - 10x + 25) = 144$

$16x^2 - 9x^2 + 90x - 225 = 144$

$7x^2 + 90x - 369 = 0$

$\Delta = 8100 + 10332 = 18432$

$|AB| = \sqrt{1 + 1} \cdot \dfrac{\sqrt{18432}}{7} = \sqrt{2} \cdot \dfrac{96\sqrt{2}}{7} = \dfrac{192}{7}$。

习题5

等轴双曲线 $x^2 - y^2 = a^2$上任意一点$P$到两焦点的距离之积为$|OP|^2$（$O$ 为原点）。求证此结论。

[!success]- 证明 设 $P(x_0, y_0)$，$x_0^2 - y_0^2 = a^2$。

焦点 $F_1(-\sqrt{2}a, 0)$，$F_2(\sqrt{2}a, 0)$。

$|PF_1| \cdot |PF_2| = \sqrt{(x_0 + \sqrt{2}a)^2 + y_0^2} \cdot \sqrt{(x_0 - \sqrt{2}a)^2 + y_0^2}$

$= \sqrt{[(x_0^2 + y_0^2 + 2a^2) + 2\sqrt{2}ax_0] \cdot [(x_0^2 + y_0^2 + 2a^2) - 2\sqrt{2}ax_0]}$

$= \sqrt{(x_0^2 + y_0^2 + 2a^2)^2 - 8a^2x_0^2}$

利用 $x_0^2 = a^2 + y_0^2$，$x_0^2 + y_0^2 = a^2 + 2y_0^2$，代入化简：

$= \sqrt{(a^2 + 2y_0^2 + 2a^2)^2 - 8a^2(a^2 + y_0^2)}$

$= \sqrt{(3a^2 + 2y_0^2)^2 - 8a^4 - 8a^2y_0^2}$

$= \sqrt{9a^4 + 12a^2y_0^2 + 4y_0^4 - 8a^4 - 8a^2y_0^2}$

$= \sqrt{a^4 + 4a^2y_0^2 + 4y_0^4} = \sqrt{(a^2 + 2y_0^2)^2} = a^2 + 2y_0^2 = x_0^2 + y_0^2 = |OP|^2$ ✓

习题6

$P$为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 右支上一点，$F_1$、$F_2$为左右焦点。设$\angle PF_1F_2 = \alpha$，$\angle PF_2F_1 = \beta$。求证：$\tan\dfrac{\alpha}{2} \cdot \tan\dfrac{\beta}{2} = \dfrac{e-1}{e+1}$。

[!success]- 证明 由正弦定理在 $\triangle F_1PF_2$ 中： $$\frac{|PF_2|}{\sin\alpha} = \frac{|PF_1|}{\sin\beta} = \frac{2c}{\sin(\alpha + \beta)}$$

又 $|PF_1| = ex_0 + a$，$|PF_2| = ex_0 - a$（$P$ 在右支）。

利用半角公式可证。详细推导略。

---

14. 本章小结

双曲线知识体系

双曲线是离心率 $e > 1$ 的圆锥曲线，其核心特征为：

1. 第一定义：$||MF_1| - |MF_2|| = 2a$（距离之差为常数）
2. 标准方程：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，$c^2 = a^2 + b^2$
3. 渐近线：$y = \pm \dfrac{b}{a}x$（双曲线独有的特征）
4. 第二定义：$\dfrac{|MF|}{d} = e > 1$（离心率定义）
5. 切线方程：$\dfrac{x_0x}{a^2} - \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$
6. 焦点三角形面积：$S = b^2\cot\dfrac{\theta}{2}$
7. 光学性质：切线平分 $\angle F_1PF_2$

关键公式速记：

• $c^2 = a^2 + b^2$（与椭圆的 $c^2 = a^2 - b^2$ 对比）
• 焦半径：右支 $|PF_{\text{右}}| = ex_0 - a$，$|PF_{\text{左}}| = ex_0 + a$
• 中点弦斜率：$k = \dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$
• 等轴双曲线：$a = b$，$e = \sqrt{2}$

参见：椭圆 | 抛物线 | 圆锥曲线综合 | 曲线与方程 | 极坐标与参数方程 | 圆