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三角形与圆
三角形是最基本的平面多边形，圆是最完美的平面曲线。三角形与圆的结合构成了平面几何中最丰富的内容。本文从竞赛视角系统梳理三角形与圆的核心知识。
一、三角形五心的向量表示与坐标表示
[!定义] 三角形五心 三角形的五个特殊点——重心、外心、内心、垂心、旁心——统称为三角形的"五心"，它们在竞赛中反复出现。
1. 重心 $G$（三条中线的交点）
向量表示：$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$（$O$ 为任意原点）
坐标表示：若 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$，则 $G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
性质：$AG:GD = 2:1$（$D$为$BC$ 中点）
2. 外心 $O$（三边垂直平分线的交点，外接圆圆心）
向量表示：$\vec{O} = \frac{a^2(b^2+c^2-a^2)\vec{A} + \cdots}{16S^2}$（较复杂，通常用坐标法）
坐标表示：可用三边垂直平分线方程联立求解
性质：$OA = OB = OC = R$（外接圆半径）
3. 内心 $I$（三条角平分线的交点，内切圆圆心）
向量表示：$\vec{OI} = \frac{a\vec{OA} + b\vec{OB} + c\vec{OC}}{a+b+c}$
坐标表示：$I\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right)$，其中 $a=BC$、$b=CA$、$c=AB$
性质：$I$到三边距离$= r$（内切圆半径）
4. 垂心 $H$（三条高的交点）
向量表示：$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$（当 $O$ 为外心时）
性质：$H$、$G$、$O$共线，且$HG = 2GO$（欧拉线）
5. 旁心（一个内角平分线与两个外角平分线的交点，共三个）
三角形有三个旁心 $I_a$、$I_b$、$I_c$，分别对应三个旁切圆。
记忆技巧
- 重心是"质量中心"→ 坐标平均
- 内心是"角平分线交点"→ 边长加权平均
- 外心到三顶点等距 → 外接圆圆心
- 垂心通过外心向量表示：$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$
二、欧拉线定理
[!定理] 欧拉线定理（Euler Line） 任意（非等边）三角形的外心 $O$、重心 $G$、垂心 $H$三点共线，且$\vec{OH} = 3\vec{OG}$，即 $HG = 2GO$。
向量法完整证明
取外心 $O$为原点，则$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$。
重心 $G$满足$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$。
定义点 $H$满足$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$。我们来证明 $H$ 就是垂心。
考虑 $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = (\vec{OH} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = (\vec{OB} + \vec{OC}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = |\vec{OC}|^2 - |\vec{OB}|^2 = R^2 - R^2 = 0$。
所以 $AH \perp BC$。同理 $BH \perp AC$，$CH \perp AB$，故 $H$ 确为垂心。
于是 $\vec{OH} = 3\vec{OG}$，即 $O$、$G$、$H$共线且$HG = 2GO$。证毕。
欧拉线的特例
等边三角形中，$O$、$G$、$H$、$I$ 四心合一，欧拉线退化为一个点。
三、九点圆定理
[!定理] 九点圆定理（Nine-Point Circle） 三角形中以下九个点共圆：
- 三边的中点
- 三条高的垂足
- 各顶点到垂心连线的中点
该圆称为九点圆（或欧拉圆），其圆心 $N$在欧拉线上，且$ON = NH$（即 $N$为$OH$的中点），半径$= R/2$。
九点圆的证明思路
设 $H$ 为垂心，$D$、$E$、$F$ 为垂足，$M_a$、$M_b$、$M_c$ 为三边中点，$P$、$Q$、$R$为$AH$、$BH$、$CH$ 的中点。
以 $M_a$和$P$为例：在$\triangle AHC$ 中，$P$是$AH$ 中点，$M_b$是$AC$中点，所以$PM_b \parallel HC$。同理 $M_aM_b \parallel AB$。而 $HC \perp AB$，故 $PM_b \perp M_aM_b$，即 $\angle PM_bM_a = 90^\circ$。
连接 $M_a$、$P$、$D$、$E$等点，利用直角三角形斜边中线性质，可证这九个点都在以$OH$ 中点为圆心、$R/2$ 为半径的圆上。
四、费尔巴哈定理
[!定理] 费尔巴哈定理（Feuerbach's Theorem） 三角形的九点圆与内切圆和三个旁切圆都相切。
具体地：九点圆与内切圆内切，与三个旁切圆外切。
费尔巴哈定理是平面几何中最优美的定理之一，它揭示了九点圆与三角形内切/旁切体系之间的深刻联系。证明通常使用反演变换或解析几何方法。
五、三角形面积公式汇总
| 公式名称 | 公式 | 适用条件 |
|---|---|---|
| 底乘高 | $S = \frac{1}{2}ah_a$ | 通用 |
| 正弦面积公式 | $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ | 已知两边及其夹角 |
| 海伦公式 | $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ | 已知三边（$s = \frac{a+b+c}{2}$） |
| 外接圆半径公式 | $S = \frac{abc}{4R}$ | 已知三边和外接圆半径 |
| 内切圆半径公式 | $S = rs$ | 已知周长和内切圆半径 |
| 坐标面积公式 | $S = \frac{1}{2}\left | \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \newline x_2 & y_2 & 1 \newline x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\right |
海伦公式的变形
令 $x = s-a$，$y = s-b$，$z = s-c$，则 $x+y+z = s$，且 $S = \sqrt{sxyz}$。这种形式在不等式问题中很有用。
六、外接圆半径与内切圆半径
[!公式] 外接圆半径 $R$ $$R = \frac{abc}{4S} = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$$
[!公式] 内切圆半径 $r$ $$r = \frac{S}{s} = \frac{2S}{a+b+c} = 4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$$
七、欧拉不等式 $R \geq 2r$
[!定理] 欧拉不等式 对任意三角形，有 $R \geq 2r$，等号成立当且仅当三角形为等边三角形。
证明
利用 $OI^2 = R(R - 2r)$（欧拉距离公式）。由于 $OI^2 \geq 0$，故 $R(R - 2r) \geq 0$，即 $R \geq 2r$。
另一种证明：利用 $r = 4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$和$\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}$（等号当 $A=B=C=60^\circ$），即得 $r \leq \frac{R}{2}$。
八、例题精讲
例题 1：重心坐标
已知 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(2,4)$，求 $\triangle ABC$的重心$G$、外心 $O$、垂心 $H$ 的坐标，并验证欧拉线。
重心：$G(8/3, 4/3)$。 外心：$BC$中点$(4,2)$，$BC$斜率$-1$，垂直平分线 $y-2 = 1 \cdot (x-4)$，即 $y = x-2$。$AB$垂直平分线$x=3$。联立得 $O(3,1)$。 垂心：由 $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$，$O(3,1)$，$A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(2,4)$，得 $\vec{OH} = (-3,-1) + (3,-1) + (-1,3) = (-1,1)$，$H(2,2)$。 验证：$G$在$OH$上，且$OG:GH = 1:2$。
例题 2：九点圆半径
已知 $\triangle ABC$的三边长为$a=13$、$b=14$、$c=15$，求其九点圆半径。
$s = 21$，$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$。 $R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}$。 九点圆半径 $= R/2 = \frac{65}{16}$。
例题 3：内切圆半径
直角 $\triangle ABC$中$\angle C = 90^\circ$，$a=3$，$b=4$，求 $r$和$R$。
$c = 5$，$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$。 $R = \frac{abc}{4S} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = 2.5$（直角三角形的外心在斜边中点）。 $r = \frac{S}{s} = \frac{6}{6} = 1$。 验证：$R = 2.5 \geq 2r = 2$，满足欧拉不等式。
例题 4：欧拉线
证明：非等边三角形的外心 $O$、重心 $G$、九点圆圆心 $N$、垂心 $H$四点共线，且$OG:GN:NH = 2:1:3$。
由欧拉线定理，$O$、$G$、$H$共线且$\vec{OH} = 3\vec{OG}$。 九点圆圆心 $N$是$OH$的中点，故$\vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{OH} = \frac{3}{2}\vec{OG}$。 因此 $OG:GN:NH = 2:1:3$。
例题 5：五心综合
锐角 $\triangle ABC$ 中，$H$ 为垂心，$O$ 为外心。证明：$\angle BHC = 180^\circ - \angle A$，且 $\angle BOC = 2\angle A$。
在四边形 $BHAC$ 中，$\angle BHC = 180^\circ - \angle A$（因为 $BH \perp AC$，$CH \perp AB$）。 在圆中，$\angle BOC = 2\angle A$（圆心角是圆周角的 2 倍）。 因此 $B$、$H$、$O$、$C$四点共圆当且仅当$\angle BHC + \angle BOC = 180^\circ$，即 $180^\circ - \angle A + 2\angle A = 180^\circ$，$\angle A = 0^\circ$，矛盾。所以 $B$、$H$、$O$、$C$ 一般不共圆。（此题说明垂心和外心在角度关系上的差异。）
例题 6：海伦公式与面积
已知 $\triangle ABC$中$a=7$，$b=8$，$c=9$，求 (1) 面积 $S$；(2) 内切圆半径 $r$；(3) 外接圆半径 $R$；(4) $A$ 角的正弦值。
$s = 12$，$S = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$。 $r = S/s = 12\sqrt{5}/12 = \sqrt{5}$。 $R = abc/(4S) = 7 \cdot 8 \cdot 9 / (4 \cdot 12\sqrt{5}) = 504/(48\sqrt{5}) = 21/(2\sqrt{5}) = \frac{21\sqrt{5}}{10}$。 $\sin A = a/(2R) = 7 / (2 \cdot \frac{21\sqrt{5}}{10}) = 7 / (\frac{21\sqrt{5}}{5}) = \frac{35}{21\sqrt{5}} = \frac{5}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。