几何不等式与极值

几何不等式是数学竞赛中难度较高的板块，它将几何直观与代数不等式技巧相结合。掌握几何不等式，需要同时具备几何直觉和代数功底。本文系统梳理竞赛中最常见的几何不等式及其证明方法。

一、欧拉不等式：$R \geq 2r$

[!定理] 欧拉不等式（Euler's Inequality） 对任意三角形，外接圆半径 $R$与内切圆半径$r$ 满足： $$R \geq 2r$$ 等号成立当且仅当三角形为等边三角形。

证明方法一：欧拉距离公式

三角形外心 $O$与内心$I$ 的距离满足欧拉公式： $$OI^2 = R(R - 2r)$$

由于 $OI^2 \geq 0$，故 $R(R - 2r) \geq 0$，即 $R \geq 2r$。

证明方法二：三角恒等式

利用 $r = 4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$，只需证： $$\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}$$

由 AM-GM 不等式和 $\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} - \cos\frac{A+B}{2}\right)$ 等恒等式可证。

欧拉不等式的推广

对任意三角形，有 $R \geq 2r$。更一般地，对于 $n$维单纯形，外接球半径$R$与内切球半径$r$满足$R \geq nr$。欧拉不等式是 $n=2$ 的特例。

二、艾尔多斯-莫德尔不等式

[!定理] 艾尔多斯-莫德尔不等式（Erdős–Mordell Inequality） 设 $P$是$\triangle ABC$ 内部或边界上一点，$R_a$、$R_b$、$R_c$分别为$P$到$A$、$B$、$C$ 的距离，$d_a$、$d_b$、$d_c$分别为$P$到边$BC$、$CA$、$AB$ 的距离，则： $$R_a + R_b + R_c \geq 2(d_a + d_b + d_c)$$ 等号成立当且仅当 $\triangle ABC$为等边三角形且$P$ 为其中心。

证明思路

该不等式的一个经典证明是利用反射构造。将 $\triangle ABC$关于$P$对称地反射，将$R_a$、$R_b$、$R_c$与$d_a$、$d_b$、$d_c$ 放在同一个三角形中比较。

艾尔多斯-莫德尔不等式的推论

取 $P$为外心$O$，则 $R_a = R_b = R_c = R$，$d_a = R\cos A$，$d_b = R\cos B$，$d_c = R\cos C$， 代入得 $3R \geq 2R(\cos A + \cos B + \cos C)$，即 $\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}$。 这是三角形中一个经典三角不等式。

三、等周不等式

[!定理] 等周不等式（Isoperimetric Inequality） 在周长固定的所有平面图形中，圆的面积最大。即对于周长为 $L$的平面区域，其面积$S$ 满足： $$S \leq \frac{L^2}{4\pi}$$ 等号成立当且仅当区域为圆。

二维等周不等式的形式

对任意简单闭曲线围成的区域，$L^2 \geq 4\pi S$。

三角形中的等周不等式

[!公式] 三角形的等周不等式 对任意三角形，有： $$S \leq \frac{\sqrt{3}}{36}(a+b+c)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$$ 等号成立当且仅当 $a=b=c$（等边三角形）。

即：周长固定时，等边三角形面积最大。

例题 1：等周不等式的应用

证明：在所有周长固定的三角形中，等边三角形的内切圆半径最大。

由 $S = rs$，$s$ 为半周长（固定），$S$最大等价于$r$ 最大。 由等周不等式，$S$最大当$a=b=c$，此时 $r = S/s$ 也最大。 等边三角形中 $r = \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac{\sqrt{3}}{18} \cdot 2s$，故 $r_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{18} \cdot 2s = \frac{\sqrt{3}}{9}s$。

四、三角形中的不等式

边长不等式

[!公式] 三角形不等式（三角不等式） 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边： $$a + b > c,\quad b + c > a,\quad c + a > b$$ $$|a - b| < c,\quad |b - c| < a,\quad |c - a| < b$$

边长与角的不等式

• 大边对大角：$a > b \iff A > B$
• $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$（由 $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$ 推导）
• $a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}S$（魏岑伯克不等式，Weitzenböck）
• $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$

中线不等式

[!公式] 中线长公式 $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$（$m_a$为$BC$ 边上的中线）

中线不等式：

• $m_a + m_b + m_c \leq \frac{9}{4}R$（中线之和不超过 $\frac{9}{4}R$）
• $m_a + m_b + m_c \geq \frac{3}{2}(a+b+c)$？（这是一个常见误区，实际上 $m_a+m_b+m_c \leq \frac{3}{2}(a+b+c)^{1/2}\cdots$ 需要具体分析）

例题 2：中线不等式

证明：$\triangle ABC$ 中，$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$。

$m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$，$m_b^2 = \frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}$，$m_c^2 = \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$。 相加：$m_a^2+m_b^2+m_c^2 = \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4}$。

角的不等式

• $\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}$（等号当 $A=B=C=60^\circ$）
• $\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$（等号当 $A=B=C=60^\circ$）
• $\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}$（等号当 $A=B=C=60^\circ$）
• $A+B+C = \pi \implies \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$（三角恒等式）

五、用代数不等式证明几何不等式

许多几何不等式可以通过将几何量代数化，然后用代数不等式（如 AM-GM、柯西不等式等）来证明。

方法：将几何量用边长或角度表示

几何量	用边长表示	用角度表示
面积 $S$	$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$	$\frac{1}{2}ab\sin C$
外接圆半径 $R$	$\frac{abc}{4S}$	$\frac{a}{2\sin A}$
内切圆半径 $r$	$\frac{S}{s}$	$4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$
中线 $m_a$	$\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$	—
高 $h_a$	$\frac{2S}{a}$	$b\sin C = c\sin B$
角平分线 $l_a$	$\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}$	—

例题 3：用柯西不等式证几何不等式

证明：$\triangle ABC$ 中，$a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}S$（魏岑伯克不等式）。

由海伦公式 $16S^2 = 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)$。 需证 $a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}S$，即 $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 48S^2$。 即 $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) - (a^4+b^4+c^4)]$。 整理得 $4(a^4+b^4+c^4) \geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$，即 $a^4+b^4+c^4 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$。 由 $x^2+y^2 \geq 2xy$可得$a^4+b^4 \geq 2a^2b^2$，同理累加即得结论。等号当 $a=b=c$。

例题 4：用 AM-GM 证几何不等式

证明：$\triangle ABC$ 中，$R \geq 2r$ 的一个等价形式：$abc \geq 8(s-a)(s-b)(s-c)$。

由 $R = abc/(4S)$和$r = S/s$，$R \geq 2r$即$\frac{abc}{4S} \geq 2 \cdot \frac{S}{s}$，即 $abc \cdot s \geq 8S^2$。 由海伦公式 $S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$，代入得 $abc \cdot s \geq 8s(s-a)(s-b)(s-c)$，即 $abc \geq 8(s-a)(s-b)(s-c)$。 由 AM-GM：$a = (s-b)+(s-c) \geq 2\sqrt{(s-b)(s-c)}$，同理 $b \geq 2\sqrt{(s-c)(s-a)}$，$c \geq 2\sqrt{(s-a)(s-b)}$。三式相乘即得结论。

六、几何极值问题

几何极值问题要求在给定约束下求某个几何量的最大值或最小值。

费马点问题

[!问题] 费马点（Fermat Point） 在 $\triangle ABC$中求一点$P$，使 $PA + PB + PC$ 最小。

• 若三角形的最大角 $\geq 120^\circ$，则费马点在该最大角的顶点处
• 若三角形的最大角 $< 120^\circ$，则费马点满足 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ$

反射法解最短路径

利用反射（轴对称）将折线路径转化为直线，是解决几何极值问题的经典方法。

例题 5：反射法

已知 $\angle XOY = 60^\circ$，$A$、$B$分别在$OX$、$OY$ 上，$OA = a$，$OB = b$。在 $\angle XOY$内部求一点$P$使$PA + PB + PO$ 最小。

将 $O$关于$OX$反射到$O_1$，关于 $OY$反射到$O_2$。则 $PA + PO = PA + PO_1$（反射后），问题转化为 $O_1$到$O_2$经过$A$、$B$的最短路径。利用$\angle O_1OO_2 = 120^\circ$ 和余弦定理求解。

面积最大问题

例题 6：定周长的最大面积

周长为 $2s$ 的三角形中，何时面积最大？求最大面积。

由等周不等式，等边三角形面积最大，此时 $a=b=c=2s/3$。 $S_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{2s}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{9}s^2$。

例题 7：四边形极值

已知四边形 $ABCD$的四边长为$a$、$b$、$c$、$d$，求其最大面积。

当四边形内接于圆时面积最大（婆罗摩笈多公式）： $S_{\max} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$，其中 $s = \frac{a+b+c+d}{2}$。 这是海伦公式在四边形中的推广。

七、几何不等式常用技巧汇总

技巧	说明	示例
代数化	将几何量用边长/角度表示，转化为代数不等式	$R \geq 2r \to abc \geq 8(s-a)(s-b)(s-c)$
AM-GM	将和转化为积或积转化为和	$a = (s-b)+(s-c) \geq 2\sqrt{(s-b)(s-c)}$
柯西不等式	处理平方和与乘积和的关系	$(\sum x_i^2)(\sum y_i^2) \geq (\sum x_i y_i)^2$
反射法	利用对称将折线拉直	最短路径问题
等周原理	固定周长时面积最大化的图形	固定周长，等边三角形面积最大
三角恒等式	利用三角恒等式化简和放缩	$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}$

解题思路

1. 识别类型：判断是边不等式、角不等式还是面积不等式
2. 代数化：将几何量用边长 $a,b,c$、面积 $S$、半周长 $s$ 或其组合表示
3. 化简：利用恒等式（如海伦公式、$R=abc/(4S)$）将不等式转化为代数形式
4. 放缩：使用 AM-GM、柯西、排序不等式等进行放缩
5. 验证等号条件：确认等号成立时对应的几何意义

相关链接

• 不等式证明方法综述
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