结论（Euler 线）
设三角形 $ABC$的外心、重心、垂心分别为$O,G,H$，则 $O,G,H$ 共线，且 $\vec{OH}=3\vec{OG}$，即 $OG:GH=1:2$。

下面给出多种证明（其中包含向量法）：

• 向量法（最短、最常用）
  以外心 $O$为原点，设顶点的向量为$\vec a,\vec b,\vec c$，由于 $OA=OB=OC$，有 $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|$。
  重心 $\vec g=\dfrac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}$。 令 $\vec h=\vec a+\vec b+\vec c$。
  验证 $\vec h$为垂心：例如证明$AH\perp BC$， $$(\vec h-\vec a)\cdot(\vec b-\vec c)=(\vec b+\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)=|\vec b|^2-|\vec c|^2=0,$$ 因而 $\vec h$就是垂心的向量表示。由此$\vec h=3\vec g$，所以 $O,G,H$在同一直线上，且$\vec{OH}=3\vec{OG}$，得出比例 $OG:GH=1:2$。

• 复数/单位圆法（与向量法本质相同）
  在复平面取外心为 $0$、外接圆为单位圆，则顶点对应复数 $a,b,c$且$|a|=|b|=|c|=1$。重心为 $g=(a+b+c)/3$，垂心为 $h=a+b+c$（可通过验证 $(h-a)\overline{(b-c)}+( \overline{h}-\overline{a})(b-c)=0$或用类似向量的正交计算证明$AH\perp BC$）。于是同样有 $h=3g$，得结论。

• 合成几何（九点圆 + 同心相似）
  设九点心为 $N$（九点心为 $OH$的中点，同时是边中点三角形的外心）。重心$G$对三角形做中心为$G$的同心相似变换，比例$-1/2$，会把三角形 $ABC$映为中点三角形，因而把外心$O$映为中点三角形的外心，即九点心$N$。因此 $O,G,N$ 共线，且有矢量关系 $$\vec{GN}=-\tfrac{1}{2}\vec{GO}.$$ 又 $N$为$OH$的中点，所以$\vec{N}=\tfrac{1}{2}\vec{H}$（以 $O$为原点），结合上式得到$\vec H=3\vec G$，故 $O,G,H$共线且$\vec{OH}=3\vec{OG}$。

• 解析坐标法（可选）
  以便于计算的坐标放置（例如把 $A,B,C$的坐标写为$(x_i,y_i)$，重心为坐标平均值，外心由两条中垂线交点求得，垂心由三条高的交点求得），也能代数运算得出 $\vec H=3\vec G$。这一法虽然更繁，但也直接且机械可验证。