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空间解析几何基础 (Fundamentals of 3D Analytic Geometry)
核心定位
本笔记从二维平面几何自然过渡到三维空间，系统梳理空间中的平面、直线、曲面与曲线的方程表示，连接 直线的方程与线性代数表示、向量、点到直线、曲线、平面、曲面的距离 等已有知识。空间解析几何的核心思想是：用代数方程刻画几何对象，用向量运算替代几何推理。
1. 空间直角坐标系 (Rectangular Coordinate System in Space)
1.1 从二维到三维的过渡
在平面 $\mathbb{R}^2$ 中，两条互相垂直的坐标轴（$x$轴与$y$ 轴）确定了平面直角坐标系。在空间中，引入第三条坐标轴——$z$轴，使其与$x$ 轴、$y$轴两两垂直，且满足右手定则（右手法则 / Right-Hand Rule），即得到空间直角坐标系$O\text{-}xyz$。
右手定则
伸出右手，使拇指、食指、中指两两垂直：拇指指向 $x$轴正方向，食指指向$y$轴正方向，则中指指向$z$ 轴正方向。
空间中任意一点 $P$对应于唯一的有序三元组$(x, y, z)$，称为点 $P$的坐标（Coordinates）。三个坐标平面$xOy$、$yOz$、$zOx$ 将空间分为八个卦限（Octants）。
1.2 空间两点间的距离
设 $P_1(x_1, y_1, z_1)$、$P_2(x_2, y_2, z_2)$，则两点间的距离为：
$$ |P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$
这是平面距离公式的直接推广，本质上由勾股定理两次应用得到。
1.3 空间向量的基本运算
空间中向量 $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$、$\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ 的运算（详见 向量）：
- 点积（内积 / Dot Product）：$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
- 叉积（外积 / Cross Product）：$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \newline a_x & a_y & a_z \newline b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$，结果是一个垂直于 $\vec{a}$与$\vec{b}$ 的向量
- 混合积（标量三重积 / Scalar Triple Product）：$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$，其绝对值等于以三向量为棱的平行六面体的体积
2. 空间中的平面方程 (Equations of Planes in Space)
2.1 点法式 (Point-Normal Form)
定义 2.1（点法式）
已知平面上一点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 和平面的法向量（Normal Vector）$\vec{n} = (A, B, C) \neq \vec{0}$，则平面上任一点 $P(x,y,z)$ 满足： $$ \vec{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0 $$ 即： $$ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \tag{2.1} $$
几何意义：平面是空间中所有与法向量 $\vec{n}$正交的向量（从$P_0$ 出发）的终点集合。这是线性代数中余维数为 1 的仿射子空间在三维中的体现。
2.2 一般式 (General Form)
将点法式展开，令 $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$，得：
$$ Ax + By + Cz + D = 0 \quad (A^2+B^2+C^2 \neq 0) \tag{2.2} $$
特殊情形
- $D = 0$：平面过原点
- $C = 0$：平面平行于 $z$轴（法向量垂直于$z$ 轴）
- $B = C = 0$：平面为 $x = -\frac{D}{A}$，平行于 $yOz$ 坐标面
2.3 截距式 (Intercept Form)
若平面在三个坐标轴上的截距分别为 $a, b, c$（均不为零且不过原点），则方程可写为：
$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \tag{2.3} $$
例 2.1
平面过点 $(3,0,0)$、$(0,2,0)$、$(0,0,1)$，则截距式方程为 $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 1$，化为一般式：$2x + 3y + 6z - 6 = 0$。
2.4 三点式与参数式
参数式
已知平面上一点 $P_0$和两个不共线的方向向量$\vec{u}, \vec{v}$，则平面的参数方程为： $$ \vec{r}(s, t) = \vec{r}_0 + s\vec{u} + t\vec{v}, \quad s, t \in \mathbb{R} \tag{2.4} $$ 平面的法向量可由 $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ 得到。
3. 空间中的直线方程 (Equations of Lines in Space)
3.1 一般式（两平面交线 / Intersection of Two Planes）
空间直线可视为两个不平行平面的交线：
$$ \begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \newline A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases} \quad \text{rank}\negthinspace\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \newline A_2 & B_2 & C_2 \end{pmatrix} = 2 \tag{3.1} $$
直线的方向向量（Direction Vector）为两平面法向量的叉积：$\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$。
3.2 对称式（点向式 / Symmetric Form）
已知直线上一点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$和方向向量$\vec{v} = (m, n, p)$（$m,n,p$ 不全为零），则：
$$ \frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p} \tag{3.2} $$
当某个分母为零时，对应的分子也为零，例如 $m=0$时理解为$x = x_0$。
3.3 参数式 (Parametric Form)
从对称式直接写出参数式：
$$ \begin{cases} x = x_0 + m t \newline y = y_0 + n t \newline z = z_0 + p t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \tag{3.3} $$
或写成向量形式： $$ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{v} \tag{3.4} $$
与二维的类比
参数式 $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{v}$ 是直线最本质的表示，与 直线的方程与线性代数表示 中二维情形完全一致——直线是一维仿射子空间。
3.4 方向向量与法向量小结
| 几何对象 | 关键向量 | 确定方式 |
|---|---|---|
| 平面 | 法向量 $\vec{n} = (A,B,C)$ | 垂直于平面上的所有方向 |
| 直线 | 方向向量 $\vec{v} = (m,n,p)$ | 直线上的切方向 |
| 两平面交线 | $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ | 两法向量的叉积 |
| 直线与平面夹角 | $\sin\theta = \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{v}\vec{n}}$ | 方向向量与法向量夹角的正弦 |
4. 距离公式 (Distance Formulas)
4.1 点到平面的距离 (Distance from a Point to a Plane)
定理 4.1
点 $P(x_0, y_0, z_0)$到平面$\Pi: Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离为： $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \tag{4.1} $$
推导：平面的单位法向量为 $\hat{\vec{n}} = \dfrac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$，任取平面上一点 $Q$，则 $\overrightarrow{QP}$ 在法向上的投影的绝对值即为距离。这与二维点到直线距离公式的结构完全一致（参见 点到直线、曲线、平面、曲面的距离）。
例 4.1
求点 $P(1, 2, 3)$到平面$2x - y + 2z - 4 = 0$ 的距离。
解： $$ d = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 - 2 + 6 - 4|}{3} = \frac{2}{3} $$
4.2 点到空间直线的距离 (Distance from a Point to a Line in Space)
定理 4.2
设直线过点 $A$，方向向量为 $\vec{v}$，则点 $P$ 到直线的距离为： $$ d = \frac{\Vert\overrightarrow{AP} \times \vec{v}\Vert}{\Vert\vec{v}\Vert} \tag{4.2} $$
几何意义：以 $\overrightarrow{AP}$和$\vec{v}$ 为邻边的平行四边形的面积除以底边长即得高（距离）。
例 4.2
求点 $P(0, 0, 0)$到直线$\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z+1}{-2}$ 的距离。
解：$A(1, 0, -1)$，$\vec{v} = (2, 1, -2)$，$\overrightarrow{AP} = (-1, 0, 1)$。 $$ \overrightarrow{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \newline -1 & 0 & 1 \newline 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1, 0, -1) $$ $$ \Vert\overrightarrow{AP} \times \vec{v}\Vert = \sqrt{2}, \quad \Vert\vec{v}\Vert = 3, \quad d = \frac{\sqrt{2}}{3} $$
5. 夹角问题 (Problems on Angles)
5.1 两平面的夹角 (Angle Between Two Planes)
两平面的夹角定义为它们法向量之间的夹角（取锐角）。设两平面法向量分别为 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$，则：
$$ \cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}, \quad \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \tag{5.1} $$
垂直与平行条件
- 两平面垂直 $\iff$ $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$（即 $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$）
- 两平面平行 $\iff$ $\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2$（即 $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}$）
5.2 两直线的夹角 (Angle Between Two Lines)
设两直线的方向向量分别为 $\vec{v}_1, \vec{v}_2$，则：
$$ \cos\theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1||\vec{v}_2|}, \quad \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \tag{5.2} $$
5.3 直线与平面的夹角 (Angle Between a Line and a Plane)
直线与平面的夹角定义为直线与它在平面上的投影所夹的锐角。设直线方向向量为 $\vec{v}$，平面法向量为 $\vec{n}$，则：
$$ \sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}, \quad \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \tag{5.3} $$
为什么是正弦？
因为法向量垂直于平面，直线方向向量与法向量夹角的余角才是直线与平面的夹角，故 $\sin\theta = |\cos\langle\vec{v}, \vec{n}\rangle|$。
6. 常见二次曲面 (Common Quadric Surfaces)
统一定义
二次曲面（Quadric Surface）是空间中满足三元二次方程的点的轨迹： $$ Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 $$
本节的讨论限于标准形式（经过适当坐标变换，交叉项消去）。
6.1 球面 (Sphere)
球心在 $(x_0, y_0, z_0)$、半径为 $R$ 的球面方程：
$$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 \tag{6.1} $$
球面是到定点（球心）距离为常数的点的轨迹，在二次曲面分类中属于椭球面的特殊情形（三个半轴相等）。
6.2 椭球面 (Ellipsoid)
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a,b,c > 0) \tag{6.2} $$
- $a, b, c$分别是$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴方向的半轴长
- 当 $a=b=c$ 时退化为球面
- 当 $a=b$时为旋转椭球面（绕$z$ 轴旋转）
6.3 抛物面 (Paraboloid)
椭圆抛物面（Elliptic Paraboloid）：
$$ z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \quad (a,b > 0) \tag{6.3} $$
截面为椭圆（$z>0$部分），形状像一口向上开口的碗。当$a=b$ 时为旋转抛物面，可由抛物线绕对称轴旋转得到。
双曲抛物面（Hyperbolic Paraboloid，也称马鞍面 / Saddle Surface）：
$$ z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \tag{6.4} $$
截面为双曲线，形状像马鞍。
6.4 双曲面 (Hyperboloid)
单叶双曲面（Hyperboloid of One Sheet）：
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \tag{6.5} $$
是一个连通曲面，形状像冷却塔。
双叶双曲面（Hyperboloid of Two Sheets）：
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 \tag{6.6} $$
分为不相连的两叶，分别位于 $z>0$和$z<0$ 区域。
6.5 柱面 (Cylinder)
柱面是由一条直线（母线 / Generator）沿一条平面曲线（准线 / Directrix）平行移动生成的曲面。其方程中不含某一变量，如：
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{椭圆柱面 / Elliptic Cylinder}) \tag{6.7} $$
$$ y^2 = 2px \quad (\text{抛物柱面 / Parabolic Cylinder}) \tag{6.8} $$
柱面的识别
若曲面方程中缺少 $z$，则它是母线平行于 $z$轴的柱面，其准线为$xOy$ 平面上的对应曲线。
6.6 锥面 (Cone)
椭圆锥面（Elliptic Cone）：
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \tag{6.9} $$
当 $a=b$时为圆锥面，顶点在原点，关于$z$ 轴对称。
二次曲面与圆锥曲线的联系
二次曲面方程中，用平行于坐标面的平面去截，得到的截面曲线正是圆锥曲线。例如：用 $z=k$截椭圆锥面得到椭圆，用$z=k$ 截单叶双曲面也可能得到椭圆或双曲线。这与 圆锥曲线 中的理论一脉相承。
6.7 二次曲面速查表
| 曲面名称 | 标准方程 | 特征 |
|---|---|---|
| 球面 | $x^2+y^2+z^2 = R^2$ | 三个半轴相等 |
| 椭球面 | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$ | 三轴不等 |
| 椭圆抛物面 | $z = \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}$ | 开口向上，截面为椭圆 |
| 双曲抛物面 | $z = \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}$ | 马鞍形 |
| 单叶双曲面 | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ | 连通，冷却塔形 |
| 双叶双曲面 | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1$ | 分两叶 |
| 椭圆柱面 | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | 母线平行于$z$ 轴 |
| 椭圆锥面 | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0$ | 顶点在原点 |
7. 空间曲线 (Space Curves)
7.1 空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两个曲面的交线：
$$ \begin{cases} F(x,y,z) = 0 \newline G(x,y,z) = 0 \end{cases} \tag{7.1} $$
7.2 空间曲线的参数方程 (Parametric Equation of a Space Curve)
参数方程
空间曲线 $\Gamma$ 也可用参数方程表示： $$ \vec{r}(t) = \big(x(t),\thinspace y(t),\thinspace z(t)\big), \quad t \in I \subseteq \mathbb{R} \tag{7.2} $$ 其中 $x(t), y(t), z(t)$是参数$t$ 的连续函数。$\vec{r}(t)$ 称为向量值函数（Vector-Valued Function）。
7.3 向量值函数的导数与几何意义
向量值函数 $\vec{r}(t)$在$t_0$ 处的导数（若存在）定义为：
$$ \vec{r}'(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t_0 + \Delta t) - \vec{r}(t_0)}{\Delta t} = \big(x'(t_0),\thinspace y'(t_0),\thinspace z'(t_0)\big) \tag{7.3} $$
几何意义
$\vec{r}'(t_0)$是曲线在点$\vec{r}(t_0)$处的切向量（Tangent Vector），其方向为曲线的切线方向。若$\vec{r}'(t_0) \neq \vec{0}$，则曲线在该点处的切线方程为： $$ \vec{R}(s) = \vec{r}(t_0) + s\vec{r}'(t_0), \quad s \in \mathbb{R} $$
7.4 曲线弧长 (Arc Length)
空间曲线 $\vec{r}(t)$（$t \in [\alpha, \beta]$）的弧长为：
$$ s = \int_{\alpha}^{\beta} \Vert\vec{r}'(t)\Vert \thinspace dt = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \thinspace dt \tag{7.4} $$
例 7.1：圆柱螺旋线 (Helix)
圆柱螺旋线的参数方程为 $\vec{r}(t) = (a\cos t,\thinspace a\sin t,\thinspace bt)$，$t \in \mathbb{R}$。
- 切向量：$\vec{r}'(t) = (-a\sin t,\thinspace a\cos t,\thinspace b)$
- 速度大小：$\Vert\vec{r}'(t)\Vert = \sqrt{a^2 + b^2}$（常数）
- 弧长（$t$从$0$到$2\pi$）：$s = \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\thinspace{}dt = 2\pi\sqrt{a^2+b^2}$
7.5 空间曲线在坐标面上的投影
从方程组 $\begin{cases} F(x,y,z)=0 \newline G(x,y,z)=0 \end{cases}$消去$z$得$H(x,y)=0$，它表示曲线在 $xOy$面上的投影柱面（Projecting Cylinder），该柱面与$xOy$面的交线即为曲线在$xOy$ 面上的投影曲线。
8. 知识图谱与总结
8.1 知识连接
| 关联主题 | 连接关系 |
|---|---|
| 向量 | 空间几何的运算基础（点积、叉积、混合积） |
| 直线的方程与线性代数表示 | 直线是仿射子空间，从二维到三维的推广 |
| 点到直线、曲线、平面、曲面的距离 | 距离公式的统一框架 |
| 圆锥曲线 | 二次曲面的截面是圆锥曲线 |
| 微积分 | 向量值函数的导数、弧长积分、曲面积分 |
8.2 核心公式速查
| 公式类型 | 表达式 |
|---|---|
| 点法式平面 | $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ |
| 一般式平面 | $Ax+By+Cz+D=0$ |
| 截距式平面 | $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ |
| 直线对称式 | $\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}$ |
| 直线参数式 | $\vec{r}(t)=\vec{r}_0+t\vec{v}$ |
| 点到平面距离 | $d=\dfrac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ |
| 点到直线距离 | $d=\dfrac{\Vert\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\Vert}{\Vert\vec{v}\Vert}$ |
| 两平面夹角 | $\cos\theta=\dfrac{\vert\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2\vert}{\vert\vec{n}_1\vert\vert\vec{n}_2\vert}$ |
| 直线与平面夹角 | $\sin\theta=\dfrac{\vert\vec{v}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{v}\vert\vert\vec{n}\vert}$ |
| 曲线弧长 | $s=\int_{\alpha}^{\beta}\Vert\vec{r}'(t)\Vert\thinspace{}dt$ |
核心思想
从二维到三维，解析几何的方法论没有改变：用向量和坐标将几何问题转化为代数问题。平面是三维空间中的余维数为 1 的仿射子空间，直线是余维数为 2 的仿射子空间。二次曲面是圆锥曲线在三维中的自然推广，其截面曲线正是各类圆锥曲线。向量值函数 $\vec{r}(t)$ 将微积分工具引入空间曲线研究，为后续的 微积分 中曲线积分和曲面积分奠定基础。