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绝对值定义与基本性质 (Definition and Basic Properties of Absolute Value)
对于实数 $a$，绝对值定义为：
$$ |a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \newline -a, & a < 0 \end{cases} $$
基本性质：
- $|a| \geq 0$，$|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$
- $|a| = |-a|$
- $|ab| = |a| \cdot |b|$
- $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$（$b \neq 0$）
- $|a|^2 = a^2$（平方去绝对值的关键）
[!重要] 绝对值本质上表示数轴上一点到原点的距离（Distance），因此绝对值不等式天然具有几何解释。
三角不等式 (Triangle Inequality) — 核心
对于任意实数 $a, b$：
$$ \color{Red}{\big||a| - |b|\big| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|} $$
几何意义 (Geometric Interpretation)
在数轴上，$|a+b|$表示向量$a$与$b$ 相加后的模长。三角不等式说明：两向量和的模长不超过各自模长之和（三角形两边之和大于第三边），且不小于两模长之差的绝对值（三角形两边之差小于第三边）。
证明 (Proof)
右半部分 $|a+b| \leq |a|+|b|$：
由于 $-|a| \leq a \leq |a|$，$-|b| \leq b \leq |b|$，相加得：
$$ -(|a|+|b|) \leq a+b \leq |a|+|b| $$
由绝对值的定义，即 $|a+b| \leq |a|+|b|$。当且仅当 $ab \geq 0$ 时等号成立。
左半部分 $\big||a|-|b|\big| \leq |a+b|$：
由右半部分，$|a| = |(a+b)-b| \leq |a+b| + |b|$，移项得 $|a|-|b| \leq |a+b|$。
同理 $|b|-|a| \leq |a+b|$，故 $\big||a|-|b|\big| \leq |a+b|$。
对于 $|a-b|$，只需将上述推导中 $b$替换为$-b$ 即可。$\square$
[!直观理解] 三角不等式是绝对值不等式体系的基石。几乎所有含绝对值的复杂不等式最终都要回到这条核心不等式上。
推广到 $n$项 (Generalization to$n$ Terms)
$$ \color{Red}{|a_1 + a_2 + \cdots + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n|} $$
等号当且仅当所有 $a_i$同号（即$a_i a_j \geq 0$对任意$i,j$）时成立。
此推广可由数学归纳法直接证明。
绝对值不等式解法 (Solving Absolute Value Inequalities)
基本模式 (Basic Patterns)
对于 $a > 0$：
- $|f(x)| < a \Leftrightarrow -a < f(x) < a$（区间型）
- $|f(x)| > a \Leftrightarrow f(x) < -a \text{ 或 } f(x) > a$（分离型）
[!口诀] 「小于夹中间，大于分两边。」
一般解法步骤
- 确定零点（令绝对值内部表达式为 $0$）
- 分区间讨论，去掉绝对值符号
- 在各区间内解普通不等式
- 取各区间的并集
含绝对值的不等式证明技巧 (Proof Techniques)
技巧一：平方去绝对值 (Squaring to Eliminate Absolute Value)
利用 $|a|^2 = a^2$，当不等式两边均非负时可平方处理。
例1 求证：$|a+b| \leq |a|+|b|$。
证明：两边平方：
$$ \begin{aligned} |a+b|^2 &= (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \newline (|a|+|b|)^2 &= |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|ab| + b^2 \end{aligned} $$
由 $ab \leq |ab|$知$a^2+2ab+b^2 \leq a^2+2|ab|+b^2$，故 $|a+b| \leq |a|+|b|$。$\square$
技巧二：分类讨论 (Case Analysis)
根据绝对值内部表达式的正负号，分情况去掉绝对值。
技巧三：利用三角不等式放缩 (Scaling with Triangle Inequality)
将待证表达式凑成 $|A+B|$ 的形式，然后应用三角不等式逐层放缩。
例题 (Examples)
例2 证明：当 $x \neq 0$ 时，$\left|x + \dfrac{1}{x}\right| \geq 2$。
证明：由 AM-GM不等式，当 $x > 0$ 时，
$$ x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 $$
故 $\left|x + \dfrac{1}{x}\right| = x + \dfrac{1}{x} \geq 2$，当且仅当 $x=1$ 时等号成立。
当 $x < 0$时，令$t = -x > 0$，则
$$ \left|x + \frac{1}{x}\right| = \left|-\left(t + \frac{1}{t}\right)\right| = t + \frac{1}{t} \geq 2 $$
当且仅当 $t=1$即$x=-1$ 时等号成立。$\square$
[!注记] 此题也可直接配方：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2 = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 \geq 0$，再结合平方与绝对值的关系证明。
例3 已知 $a, b \in \mathbb{R}$，求证：$\dfrac{|a+b|}{1+|a+b|} \leq \dfrac{|a|}{1+|a|} + \dfrac{|b|}{1+|b|}$。
证明：考虑函数 $f(x) = \dfrac{x}{1+x}\ (x \geq 0)$，$f'(x) = \dfrac{1}{(1+x)^2} > 0$，故 $f(x)$ 单调递增。
由三角不等式 $|a+b| \leq |a|+|b|$，有：
$$ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leq \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} = \frac{|a|}{1+|a|+|b|} + \frac{|b|}{1+|a|+|b|} \leq \frac{|a|}{1+|a|} + \frac{|b|}{1+|b|} $$
证毕。$\square$