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模拟卷二·二试
考试信息
- 考试时间：180 分钟
- 满分：180 分
- 题目数量：共 4 题
- 每题分值：45 分
- 难度级别：CMO / 省队级别
题目分布
| 题号 | 类型 | 分值 |
|---|---|---|
| 第 1 题 | 代数 | 45 分 |
| 第 2 题 | 几何 | 45 分 |
| 第 3 题 | 数论 | 45 分 |
| 第 4 题 | 组合 | 45 分 |
第 1 题（代数，45 分）
设数列 $\lbrace a_n\rbrace $满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = \dfrac{a_n^2 + 2}{2a_n}$（$n \ge 1$）。
(1) 证明：$\sqrt{2} < a_n < \sqrt{2} + \dfrac{1}{2^n}$对所有$n \ge 2$ 成立。
(2) 求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。
(3) 证明：$a_n - \sqrt{2} < \dfrac{(a_1 - \sqrt{2})^2}{2\sqrt{2}} \cdot \left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)^{n-2}$对所有$n \ge 2$ 成立。
第 2 题（几何，45 分）
$\triangle ABC$ 中，$\angle A = 90°$，$AB = AC$。$D$为$BC$ 上一点，$BD : DC = 1 : 2$。$E$为$AD$ 中点。$BE$的延长线交$AC$于$F$。求 $\dfrac{AF}{FC}$ 的值。
第 3 题（数论，45 分）
求所有素数 $p$，使得存在正整数 $x, y$满足$x^2 + y^2 = p$且$x + y = p - 1$。
第 4 题（组合，45 分）
(1) 证明：在任意 9 个整数中，必能选出 5 个，其和被 5 整除。
(2) 证明：在任意 $2n - 1$个整数中，必能选出$n$个，其和被$n$ 整除。（Erdős–Ginzburg–Ziv 定理）