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模拟卷一·一试
考试信息
- 考试时间：120 分钟
- 满分：120 分
- 试卷结构：填空题 4 题（每题 15 分，共 60 分）+ 解答题 4 题（每题 15 分，共 60 分）
- 覆盖版块：代数、几何、数论、组合
一、填空题（每题 15 分，共 60 分）
第 1 题（代数）
已知实数 $a, b, c$满足$a + b + c = 0$，$a^2 + b^2 + c^2 = 6$。求 $a^4 + b^4 + c^4$ 的最大值。
第 2 题（数论）
求最大的正整数 $n$，使得 $2025^{100}$整除$n!$。（已知 $2025 = 3^4 \cdot 5^2$）
第 3 题（组合）
将 2025 表示为若干个（至少 2 个）连续正整数之和，求不同的表示方法数。
第 4 题（几何）
在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 13$，$BC = 14$，$CA = 15$。设 $I$为内心，求$AI \cdot BI \cdot CI$ 的值。
二、解答题（每题 15 分，共 60 分）
第 5 题（代数 - 不等式）
设正实数 $x, y, z$满足$xyz = 1$。证明： $$\frac{x^2}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^2}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^2}{z^2 + zx + x^2} \le 1$$
第 6 题（数论）
证明：对任意正整数 $n$，$n^2 + n + 1$的任一素因子$p$满足$p = 3$或$p \equiv 1 \pmod{3}$。
第 7 题（组合）
在一个 $8 \times 8$ 棋盘上，每个格子染红色或蓝色。证明：存在一个由 4 个格子组成的矩形（某两行与某两列交叉处的 4 格），其 4 个格子同色。
第 8 题（几何）
设 $P$为$\triangle ABC$ 内一点，$D, E, F$分别为$P$在$BC, CA, AB$上的垂足。若$PD = PE = PF$，且 $\triangle ABC$的面积为$S$，周长为 $l$。 (1) 求 $PD$ 的值。 (2) 若 $\angle BAC = 60°$，$AB = AC$，求 $\angle BPC$。