二次型理论（Theory of Quadratic Forms）

核心定位

二次型理论是数论中优美而深刻的分支，由 Fermat、Euler、Lagrange、Gauss 等人发展成熟。其核心问题是：哪些整数能被给定二次型 $f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$ 表示？这一问题与 二次剩余与阶、代数数论初步、不定方程与丢番图方程 紧密相连，是高联二试、TST、USAMO、IMO 等高档次竞赛的核心工具。本笔记系统介绍二元二次型的等价分类、约化理论、类数公式、合成法则及表示定理，并向多元二次型与 Hasse-Minkowski 定理延伸。

---

一、二次型的基本概念

1.1 定义

二元二次型

形如 $$f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \quad (a, b, c \in \mathbb{Z})$$ 的齐次二次多项式称为二元二次型（binary quadratic form），简记为 $[a, b, c]$。

判别式： $$\Delta = b^2 - 4ac$$

判别式符号与型的性质

• $\Delta < 0$：$f$称为定正（若$a > 0$）或定负（若 $a < 0$）二次型，对应的二次曲线 $f(x,y) = n$ 是椭圆
• $\Delta > 0$：$f$ 称为不定二次型，$f(x,y) = n$ 是双曲线
• $\Delta = 0$：$f$ 退化，可因式分解为两个线性式之积

1.2 矩阵表示

$$f(x, y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b/2 \newline b/2 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \newline y \end{pmatrix}$$

矩阵 $M_f = \begin{pmatrix} a & b/2 \newline b/2 & c \end{pmatrix}$的行列式$\det M_f = ac - b^2/4 = -\Delta/4$。

1.3 本原与非本原

本原二次型

若 $\gcd(a, b, c) = 1$，则称 $f = [a, b, c]$ 为本原二次型；否则为非本原。

非本原二次型可写作 $f = d \cdot f_1$，其中 $d = \gcd(a,b,c) > 1$，$f_1$ 本原。研究时常限于本原型。

---

二、等价与等价类

2.1 等价的定义

$SL_2(\mathbb{Z})$ 等价

两个二次型 $f, g$称为真等价（properly equivalent），记$f \sim g$，若存在 $M = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \newline \gamma & \delta \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{Z})$（即 $\alpha\delta - \beta\gamma = 1$）使得 $$g(x, y) = f(\alpha x + \beta y,\ \gamma x + \delta y)$$

若允许 $\det M = \pm 1$（即 $GL_2(\mathbb{Z})$），则称为广义等价。

等价的基本不变量

• 判别式 $\Delta$ 在等价下不变
• 本原性在等价下不变
• 表示数集合在等价下相同（因为 $M$可逆将整数对$(x,y)$ 一一对应）

2.2 基本变换

任何 $SL_2(\mathbb{Z})$ 变换可由以下两个生成元复合而成：

1. 平移：$T: (x, y) \mapsto (x + y, y)$，对应 $[a, b, c] \mapsto [a, b + 2a, c + b + a]$
2. 反转：$S: (x, y) \mapsto (-y, x)$，对应 $[a, b, c] \mapsto [c, -b, a]$

实用变换

由 $T$可得：保持$a$不变，让$b$增减$2a$的整数倍。这给出约化$b$至$|b| \le a$ 的途径。

2.3 等价类

固定判别式 $\Delta$，所有本原二次型在真等价下分为若干类。类的个数称为类数 $h(\Delta)$。

---

三、约化理论（定正情形）

3.1 约化型

约化型（Reduced Form，$\Delta < 0$）

本原定正二次型 $[a, b, c]$（$\Delta < 0$，$a > 0$）称为约化的，若满足： $$-a < b \le a < c \quad \text{或} \quad 0 \le b \le a = c$$

约化型存在唯一性定理

每个定正本原二次型真等价于唯一一个约化型。故类数 $h(\Delta)$（$\Delta < 0$）等于判别式为 $\Delta$ 的约化型个数。

3.2 约化算法

输入：$[a, b, c]$，输出：与之等价的约化型。

循环：
  1. 若 b ≤ -a 或 b > a：取 r 使 -a < b + 2ar ≤ a，令 b ← b + 2ar, c ← c + br + ar²
     （这相当于作变换 (x,y) ↦ (x+ry, y)）
  2. 若 a > c 或 (a = c 且 b < 0)：交换 a 与 c，取 b ← -b
     （这相当于作变换 (x,y) ↦ (-y, x)）
  3. 否则结束

3.3 约化型的有限性

约化型满足：

• $|b| \le a \le c$
• $a \le \sqrt{|\Delta|/3}$

关键不等式

由 $\Delta = b^2 - 4ac$且$|b| \le a \le c$： $$|\Delta| = 4ac - b^2 \ge 4a^2 - a^2 = 3a^2$$ 故 $a \le \sqrt{|\Delta|/3}$。

这说明对固定 $\Delta < 0$，约化型个数有限，类数 $h(\Delta)$ 有限。

求 $\Delta = -23$ 的所有约化型

$a \le \sqrt{23/3} \approx 2.77$，故 $a \in \lbrace 1, 2\rbrace $。

• $a = 1$：$b \in \lbrace 0, 1\rbrace $（因 $-1 < b \le 1$），$c = (b^2 + 23)/4$：

  • $b = 1$：$c = 24/4 = 6$，约化型 $[1, 1, 6]$ ✓
  • $b = 0$：$c = 23/4$ 非整数 ✗
  • $b = -1$：由约化定义 $-1 < b$，排除

• $a = 2$：$-2 < b \le 2$且$b^2 \equiv -23 \equiv 1 \pmod 8$（由 $\Delta = b^2 - 8c$），故 $b$ 为奇数：$b \in \lbrace -1, 1\rbrace $

  • $b = 1$：$c = 24/8 = 3$，约化型 $[2, 1, 3]$✓（验证$-2 < 1 \le 2 < 3$）
  • $b = -1$：$c = 24/8 = 3$，$[2, -1, 3]$，但 $-a < b$即$-2 < -1$✓ 且$a = 2 < c = 3$✓，也是约化型。但$[2, 1, 3] \not\sim [2, -1, 3]$（在真等价下），它们构成一对反向类。

共 $3$ 个约化型：$[1, 1, 6], [2, 1, 3], [2, -1, 3]$，类数 $h(-23) = 3$。

---

四、类数公式

4.1 Kronecker 类数公式

类数公式（$\Delta < 0$）

设 $\Delta < 0$为基本判别式（即不存在$m > 1$与$\Delta_0$使得$\Delta = m^2 \Delta_0$），$|\Delta| > 4$。则 $$h(\Delta) = -\frac{w(\Delta)}{2\Delta} \sum_{n=1}^{|\Delta|} \chi_\Delta(n)\thinspace n$$ 其中 $w(\Delta)$是判别式为$\Delta$ 的单位根个数（$\Delta = -3$时$w = 6$，$\Delta = -4$时$w = 4$，其余 $w = 2$），$\chi_\Delta$ 是 Kronecker 特征。

4.2 Dirichlet 类数公式（更经典形式）

Dirichlet 类数公式

对基本判别式 $\Delta < 0$，$\Delta \neq -3, -4$： $$h(\Delta) = -\frac{1}{|\Delta|} \sum_{n=1}^{|\Delta|-1} \chi_\Delta(n)\thinspace n$$

对基本判别式 $\Delta > 0$： $$h(\Delta) = -\frac{1}{\ln \varepsilon_\Delta} \sum_{n=1}^{\Delta-1} \chi_\Delta(n) \ln \sin\negthinspace\left(\frac{\pi n}{\Delta}\right)$$ 其中 $\varepsilon_\Delta$是$\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$ 的基本单位。

计算 $h(-23)$

$\Delta = -23$ 为基本判别式（$-23 \equiv 1 \pmod 4$且$-23$ 无平方因子）。 Kronecker 特征 $\chi_{-23}(n) = \left(\dfrac{-23}{n}\right)$（雅可比符号）。

列表 $n = 1, \ldots, 22$与$\chi_{-23}(n)$：

• $n = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18$（与 $23$ 互素的二次剩余）：$\chi = 1$
• $n = 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21$：$\chi = -1$
• $n = 23$ 的倍数（$n < 23$ 时无）：$\chi = 0$

实际计算（部分）： $$\sum_{n=1}^{22} \chi_{-23}(n) \cdot n = (1+2+3+\cdots) - (5+7+10+\cdots)$$

经精细计算得 $\sum = -69$，故 $h(-23) = 69/23 = 3$。与上节算得结果一致。

4.3 类数与 $L$ 函数

解析类数公式

$$h(\Delta) = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2\pi} L(1, \chi_\Delta) \quad (\Delta < 0)$$ $$h(\Delta) \log \varepsilon_\Delta = \sqrt{\Delta}\thinspace L(1, \chi_\Delta) \quad (\Delta > 0)$$

其中 $L(s, \chi) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\chi(n)}{n^s}$是 Dirichlet$L$ 函数。

类数一问题

Gauss 猜想：恰有一个类的虚二次域只有有限个，具体为判别式 $\Delta = -3, -4, -7, -8, -11, -19, -43, -67, -163$共$9$个。Heegner（1952）、Baker、Stark（1966）证明。对应的素数$p$满足$e^{\pi\sqrt{p}} \approx$ 整数，称为Ramanujan-Hassler 数： $$e^{\pi\sqrt{163}} \approx 262537412640768743.99999999999925\ldots$$ 这个近似整数的奥秘来自 $j$ 不变量的特殊值。

---

五、表示定理

5.1 表示数

表示数 $r_f(n)$

对二次型 $f$，定义 $r_f(n) = \#\lbrace (x, y) \in \mathbb{Z}^2 : f(x, y) = n\rbrace $。

等价的二次型有相同的表示数集合。

5.2 两数平方和

Fermat 二平方和定理

奇素数 $p$可表示为两整数平方和$\iff$ $p \equiv 1 \pmod 4$。

更一般地，$n$可表示为两整数平方和$\iff$ $n$的每个$4k+3$型素因子在$n$ 中出现偶数次。

证明思路：

• 必要性：若 $p \equiv 3 \pmod 4$且$p \mid x^2 + y^2$，则 $x^2 \equiv -y^2 \pmod p$，若 $p \nmid y$则$\left(\dfrac{-1}{p}\right) = 1$，与 $p \equiv 3 \pmod 4$矛盾。故$p \mid x, y$，幂次为偶。
• 充分性：用 代数数论初步 中高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$的唯一分解定理，或用二次型$[1, 0, 1]$的类数$h(-4) = 1$。

表示数公式 $r_2(n)$

$$r_2(n) = 4 \sum_{d \mid n} \chi_4(d) = 4\left(\#(d \mid n : d \equiv 1\negthinspace\negthinspace\pmod 4) - \#(d \mid n : d \equiv 3\negthinspace\negthinspace\pmod 4)\right)$$ 其中 $\chi_4$是模$4$ 的非主特征：$\chi_4(d) = \begin{cases} 1 & d \equiv 1 \pmod 4 \newline -1 & d \equiv 3 \pmod 4 \newline 0 & 2 \mid d \end{cases}$

5.3 三平方和定理

Legendre 三平方和定理

$n$可表示为三整数平方和$\iff$ $n \neq 4^a(8b + 7)$（$a, b \ge 0$）。

证明用到 代数数论初步 中三元二次型 $x^2 + y^2 + z^2$的理论，以及模$8$平方数仅为$0, 1, 4$ 的初等事实。

5.4 四平方和定理

Lagrange 四平方和定理

每个正整数 $n$ 都可表示为四个整数平方之和： $$n = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$$

证明关键（Euler 乘法恒等式）： $$(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2) = X^2 + Y^2 + Z^2 + W^2$$ 其中 $$\begin{aligned} X &= ae - bf - cg - dh \newline Y &= af + be + ch - dg \newline Z &= ag - bh + ce + df \newline W &= ah + bg - cf + de \end{aligned}$$ （这相当于四元数乘法 $|uv| = |u||v|$。）

由此只需证每个素数 $p$ 是四平方和。

• $p = 2$：$2 = 1^2 + 1^2 + 0 + 0$ ✓
• $p$奇素数：用 Minkowski 凸体定理或 Cauchy-Davenport 定理证明存在$x, y$使$x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod p$，再用无穷递降构造。

Jacobi 表示数公式

$$r_4(n) = 8 \sum_{\substack{d \mid n \newline 4 \nmid d}} d = \begin{cases} 8 \sigma(n) & 4 \nmid n \newline 8 \sigma(n) - 32\sigma(n/4) & 4 \mid n \end{cases}$$

5.5 用 $[1, 0, 1]$型表示$n$（恒等式 $r_2$ 与卷积）

$r_2(n)/4$是$\chi_4$与常数函数$1$的 Dirichlet 卷积在$n$ 处的值： $$\frac{r_2(n)}{4} = (\chi_4 * \mathbf{1})(n) = \sum_{d \mid n} \chi_4(d)$$

这与 数论函数与欧拉定理 中讨论的 Dirichlet 卷积一致。

---

六、合成法则（Composition of Forms）

6.1 Dirichlet 合成

二次型的合成

给定两个判别式同为 $\Delta$的本原二次型$f_1 = [a_1, b_1, c_1]$与$f_2 = [a_2, b_2, c_2]$，且 $\gcd(a_1, a_2, (b_1 + b_2)/2) = 1$，可以构造一个新的本原二次型 $f_3 = [a_3, b_3, c_3]$（同判别式 $\Delta$），称为 $f_1$与$f_2$的合成，记$f_3 = f_1 \circ f_2$。

构造方法（Dirichlet）：

1. 选取 $B$满足$B \equiv b_1 \pmod{2a_1}$，$B \equiv b_2 \pmod{2a_2}$，$B^2 \equiv \Delta \pmod{4a_1 a_2}$（由中国剩余定理可解）
2. 令 $a_3 = a_1 a_2$，$b_3 = B$，$c_3 = (B^2 - \Delta)/(4a_3)$

6.2 类群

类群定理（Gauss）

判别式为 $\Delta$的本原二次型的真等价类在合成下构成一个有限 Abel 群$C(\Delta)$，称为类群。其阶即类数 $h(\Delta)$。

单位元：主类，即包含主型 $[1, 0, -\Delta/4]$（$\Delta \equiv 0 \pmod 4$）或 $[1, 1, (1-\Delta)/4]$（$\Delta \equiv 1 \pmod 4$）的类。

逆元：$[a, b, c]^{-1} = [a, -b, c]$。

类群的结构

类群结构反映了二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$ 的理想类群结构。这是代数数论中"二次型 ↔ 二次域理想"的 Gauss 对应，是 代数数论初步 的核心内容。

6.3 合成的应用：表示数的乘性

若 $n_1$由$f_1$ 表示，$n_2$由$f_2$表示，则$n_1 n_2$由$f_1 \circ f_2$ 表示。

例如：$5 = 1^2 + 2^2$由$[1, 0, 1]$ 表示，$13 = 2^2 + 3^2$也由$[1, 0, 1]$ 表示。$5 \cdot 13 = 65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2$。这是 Brahmagupta-Fibolic 恒等式 $$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2$$ 的应用，对应于 $[1,0,1] \circ [1,0,1] = [1, 0, 1]$（因为 $[1, 0, 1]$ 是主型，主类是单位元）。

---

七、不定二次型（$\Delta > 0$）

7.1 约化与周期

不定型约化

不定二次型 $[a, b, c]$（$\Delta > 0$）的约化条件较复杂，且约化型在等价类中无穷多，呈周期结构。这对应于 $\sqrt{\Delta}$ 的连分数展开周期。

与 Pell 方程的对应

主型 $[1, 0, -D]$（$\Delta = 4D$）的等价类对应 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 中的主理想类。$x^2 - Dy^2 = \pm 1$（Pell 方程）的解对应主型的"自变换"。

详见 连分数与丢番图逼近 和 不定方程与丢番图方程。

7.2 表示数

不定型的表示数通常为无穷（如有解），这是 不定方程与丢番图方程 中广义 Pell 方程理论的核心。

---

八、二次型的自同构

8.1 自同构群

自同构

二次型 $f$的自同构是满足$f(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) = f(x, y)$的$M = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \newline \gamma & \delta \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{Z})$。所有自同构构成群 $\operatorname{Aut}(f)$。

• 对定正型（$\Delta < 0$）：$\operatorname{Aut}(f)$有限，阶为$w(\Delta)/2$。具体为：
  • $\Delta = -3$：阶 $6$（正六边形对称）
  • $\Delta = -4$：阶 $4$（正方形对称）
  • 其他 $\Delta < -4$：阶 $2$（仅 $\pm I$）
• 对不定型（$\Delta > 0$）：$\operatorname{Aut}(f)$ 无限，由 Pell 方程的解生成

8.2 表示数与自同构

若 $f(x_0, y_0) = n$，则 $\lbrace (x_0, y_0) \cdot M : M \in \operatorname{Aut}(f)\rbrace $给出$f$表示$n$的所有"等价"表示。表示数$r_f(n)$等于"基本表示数"乘以$|\operatorname{Aut}(f)|$。

---

九、多元二次型简介

9.1 定义与等价

$n$元整二次型$f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$为$n \times n$对称整数矩阵（允许半整数非对角元）。等价通过$GL_n(\mathbb{Z})$ 作用定义。

9.2 局部-全局原理

Hasse-Minkowski 定理

非退化有理二次型 $f$在$\mathbb{Q}$上表示$0$（即 $f(\mathbf{x}) = 0$有非零有理解）当且仅当$f$在$\mathbb{R}$和所有$\mathbb{Q}_p$（$p$-adic 数域）上表示 $0$。

这是 同余方程进阶与Hensel引理 中 $p$-adic 数论的深刻应用。它说明：判定 $f(\mathbf{x}) = 0$ 是否有有理解可以化为局部（每个素数 + 实数）问题。

9.3 三元二次型表示整数

三元二次型表示定理（Legendre, Gauss）

三元二次型 $f(x, y, z) = n$的可解性问题比二元复杂得多。判定$n$ 是否被表示需要：

1. 实数可解（易判定）
2. 每个 $p$-adic 可解（即模 $p^k$可解，对所有$p, k$）

当 $n \ne 0$ 时，三元型的表示可通过 同余方程进阶与Hensel引理 中的 Hensel 引理和 Spinor 亏格理论精细分析。

9.4 正定二次型表示数与模形式

表示数的模形式观点

对定正 $n$元二次型$f$，表示数 $r_f(m)$ 的生成函数 $$\Theta_f(\tau) = \sum_{m=0}^\infty r_f(m) q^m \quad (q = e^{2\pi i \tau})$$ 是权 $n/2$ 的模形式。$r_4(n)$（Jacobi 公式）与 $r_8(n)$ 等都可用 Eisenstein 级数与尖点形式分解精确表达。

---

十、典型例题

例 1：判别型等价性

证明 $[1, 0, 1]$与$[1, 2, 2]$ 真等价。

解：$[1, 0, 1]$经变换$T: (x, y) \mapsto (x + y, y)$ 得 $$[1, 0+2\cdot1, 0+0+1] = [1, 2, 1]$$ 不对，重新算：$f(x+y, y) = (x+y)^2 + y^2 = x^2 + 2xy + 2y^2 = [1, 2, 2]$。✓ 判别式同为 $-4$，均为约化型。事实上 $[1, 0, 1]$与$[1, 2, 2]$都对应主类，类数$h(-4) = 1$。

例 2：用约化求类数 $h(-20)$

$a \le \sqrt{20/3} \approx 2.58$，$a \in \lbrace 1, 2\rbrace $，$\Delta = -20 \equiv 0 \pmod 4$故$b$ 偶。

• $a = 1$：$b \in \lbrace 0\rbrace $（因 $-1 < b \le 1$且$b$ 偶），$c = 20/4 = 5$，约化型 $[1, 0, 5]$ ✓
• $a = 2$：$b \in \lbrace -2, 0, 2\rbrace $（$b$ 偶，$-2 < b \le 2$），$b^2 \equiv -20 + 8c = 8c - 20 \equiv 0 \pmod 4$ 自动满足。
  • $b = 0$：$c = 20/8$ 非整 ✗
  • $b = 2$：$c = 24/8 = 3$，$[2, 2, 3]$，但 $a = 2 < c = 3$满足$-2 < 2 \le 2$，约化 ✓
  • $b = -2$：按定义 $-a < b$排除（除非$a = c$，这里不是）

故 $h(-20) = 2$，类群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。对应 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$类数为$2$。

例 3：判别表示

哪些素数 $p$可由$x^2 + 5y^2$ 表示？

解：$x^2 + 5y^2$对应型$[1, 0, 5]$，判别式 $\Delta = -20$。由类域论（或直接模分析）：

• $p$由$[1, 0, 5]$表示$\iff$ $p \equiv 1, 9 \pmod{20}$
• 若 $p \equiv 3, 7 \pmod{20}$，则 $p$由$[2, 2, 3]$（另一类）表示，即 $p = 2x^2 + 2xy + 3y^2$

例如 $29 \equiv 9 \pmod{20}$，$29 = 3^2 + 5 \cdot 2^2 = 9 + 20$ ✓。$7 \equiv 7 \pmod{20}$，由 $[2, 2, 3]$ 表示：$7 = 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 2 + 2 + 3 = 7$ ✓。

例 4：四平方和验证

用 Jacobi 公式计算 $r_4(6)$ 并验证。

解：$6$无$4$ 因子，$r_4(6) = 8\sigma(6) = 8 \cdot (1+2+3+6) = 8 \cdot 12 = 96$。

验证：枚举 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 6$。每个 $x_i^2 \in \lbrace 0, 1, 4\rbrace $。$6 = 4+1+1+0 = 4+0+1+1 = \ldots$或$6 = 1+1+1+3$? $3$ 不是平方，不行。

• $6 = 4+1+1+0$（排列数 $4!/(1!2!1!) = 12$，每排列对应 $\pm 2, \pm 1, \pm 1, 0$，符号 $2^3 = 8$）共 $12 \cdot 8 = 96$
• $6 = 1+1+1+1+1+1$？不行，限定 $4$ 项
• 其他组合如 $4+4+?+?$不行（已$> 6$）

总计 $96$，符合公式。

例 5：用二次型解 IMO 题

（IMO 1988 P6）设 $a, b$ 为正整数，$ab + 1 \mid a^2 + b^2$。证明 $(a^2 + b^2)/(ab+1)$ 是完全平方数。

二次型视角：令 $k = (a^2 + b^2)/(ab+1)$，则 $a^2 - kab + b^2 = k$。视 $a$ 为主元： $$a^2 - kb \cdot a + (b^2 - k) = 0$$ 这是关于 $a$ 的二次方程，由 Vieta 跳跃（不定方程与丢番图方程），另一根 $a' = kb - a$ 也是整数。

注意到 $a^2 - kab + b^2$可看作关于$(a, b)$的二次型$[1, -k, 1]$（判别式 $k^2 - 4$）。如果 $k^2 - 4 < 0$（即 $k = 0, 1$）型定正；如果 $k^2 - 4 > 0$ 型不定。后者在 Vieta 跳跃下可产生新解，但需小心符号。

当 $k \ge 2$时$\Delta = k^2 - 4 \ge 0$。$k = 2$给$\Delta = 0$，退化。$k \ge 3$时$\Delta > 0$，对应广义 Pell 方程，存在无穷解。但题目要求 $k$是完全平方，故$k = m^2$，$\Delta = m^4 - 4$。具体的解结构需借助 Pell 方程分析（略）。

例 6：Hasse-Minkowski 应用

判定 $3x^2 + 5y^2 + 7z^2 = 0$在$\mathbb{Q}$ 上是否有非零解。

解：由 Hasse-Minkowski，需检查实数与各 $p$-adic 可解性。

• 实数：定正型，$f = 0$仅在$\mathbf{x} = 0$ 时成立，不可解。

故原方程无非零有理解。

例 7：Legendre 三平方和

证明 $7$ 不能表示为三整数平方和。

解：$7 = 4^0 \cdot (8 \cdot 0 + 7)$，由 Legendre 定理 $7$不能表示为三平方和。验证：枚举$|x|, |y|, |z| \le 2$（因 $2^2 \cdot 3 = 12 > 7$），可能的组合：$4+1+1 = 6, 4+4+? = 8+\ldots$ 无解。

例 8：Minkowski 凸体定理应用

用 Minkowski 定理证明每个素数 $p \equiv 1 \pmod 4$ 是两平方和。

证：$p \equiv 1 \pmod 4$时$\left(\dfrac{-1}{p}\right) = 1$，存在 $u$使$u^2 \equiv -1 \pmod p$。考虑格 $\Lambda = \lbrace (a, b) \in \mathbb{Z}^2 : b \equiv ua \pmod p\rbrace $，其协体积 $p$。凸体 $D = \lbrace (x, y) : x^2 + y^2 < 2p\rbrace $（圆，面积 $2\pi p > 4p$）。由 Minkowski 凸体定理，存在非零格点 $(a, b) \in D \cap \Lambda$。则 $a^2 + b^2 < 2p$且$a^2 + b^2 \equiv a^2 + u^2 a^2 \equiv 0 \pmod p$，故 $a^2 + b^2 = p$。

---

十一、与竞赛的联系

11.1 一试二试常见考点

• 一试：两平方和判定、$r_2(n)$ 公式、Pell 方程与连分数
• 二试：用二次型表示整数、Vieta 跳跃、类数初等估计
• TST/CMO/IMO：类域论的初等应用、合成法则、Hasse-Minkowski 简单情形

11.2 高档次竞赛技巧

1. 构造辅助二次型：将不定方程 $F(x, y) = n$化为二次型$f$表示$n$，用类数与等价类分析
2. 模 $p$的二次型表示：用$r_f(p) \bmod p$ 的性质判定
3. 合成法则：若 $n_1, n_2$都被表示，则$n_1 n_2$ 被合成型表示，再化为约化型
4. 判别式不变量：等价类在 Vieta 跳跃下保持，提供"不变量"分析工具

11.3 推荐参考

• D. A. Cox, Primes of the Form $x^2 + ny^2$（Cox 经典）
• J.-P. Serre, A Course in Arithmetic（Serre 简洁经典）
• 潘承洞、潘承彪《初等数论》
• 冯克勤《代数数论》

---

十二、知识链接

• 二次剩余与阶 — 勒让德符号、雅可比符号是判定二次型表示的核心工具
• 代数数论初步 — 二次型与二次域理想类群 Gauss 对应
• 不定方程与丢番图方程 — 二次型表示整数是不定方程的核心问题
• 连分数与丢番图逼近 — 不定二次型约化与 $\sqrt{D}$ 连分数周期对应
• 同余方程进阶与Hensel引理 — Hasse-Minkowski 与 $p$-adic 数论
• 数论函数与欧拉定理 — 表示数公式 $r_2, r_4$ 是 Dirichlet 卷积应用
• 整除与同余基础 — 模分析是二次型理论的初等基础
• 矩阵与线性代数初步 — 二次型的矩阵表示 $Q(\vec{x})=\vec{x}^T A \vec{x}$、合同对角化、正定性判定
• 对称多项式与牛顿恒等式深化 — 判别式 $\Delta=\prod_{i<j}(r_i-r_j)^2$ 作为对称多项式的表示
• 复数与向量方法 — 高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$与$x^2+y^2=n$ 表示的复数证明
• 设计与编码理论初步 — 二次型与差集、Hadamard 矩阵的构造
• 组合数论与加法组合 — 二次型在加法组合（如 Sidon 集）中的应用
• 对称群与Pólya计数 — 二次型不变量在群作用下的分类

---

十三、mermaid 图：判别式与分类

graph TD
    A[二元二次型 f = a x² + bxy + c y²]
    A --> B{判别式 Δ = b² - 4ac}
    B -->|Δ < 0| C[定正/定负型]
    B -->|Δ > 0| D[不定型]
    B -->|Δ = 0| E[退化型]
    C --> F[约化理论: 每类唯一约化型]
    F --> G[类数 h(Δ) 有限]
    G --> H[Dirichlet 类数公式]
    D --> I[约化型周期性]
    I --> J[对应 √Δ 连分数周期]
    J --> K[Pell 方程理论]
    E --> L[因式分解为线性式]
    C --> M[表示数 r_f n 有限]
    D --> N[表示数无穷或有解则无穷]
    M --> O[模形式 Θ_f]
    O --> P[Eisenstein 级数 + 尖点形式]

十四、附录：常用判别式的类数表

判别式 $\Delta$	二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$	类数$h(\Delta)$	备注
$-3$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$	$1$	Eisenstein 整数，UFD
$-4$	$\mathbb{Q}(i)$	$1$	高斯整数，UFD
$-7$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$	$1$	Heegner 数
$-8$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$	$1$	UFD
$-11$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$	$1$	Heegner 数
$-15$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-15})$	$2$
$-19$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$	$1$	Heegner 数
$-20$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$	$2$	非 UFD 经典例
$-23$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$	$3$	例 2 计算
$-43$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-43})$	$1$	Heegner 数
$-67$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-67})$	$1$	Heegner 数
$-163$	$\mathbb{Q}(\sqrt{-163})$	$1$	Heegner 数，$e^{\pi\sqrt{163}}$ 近整数
$5$	$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$	$1$	黄金比域
$8$	$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$	$1$
$12$	$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$	$1$
$-4n$	—	—	$x^2 + ny^2$ 表示问题

% 注：类数表取自标准数论教材，可用于快速查找竞赛题涉及的小判别式情形。