平面向量

相关笔记

空间解析几何基础 | 仿射坐标系 | 线性空间与基变换

平面的定义

• 几何直观：平面是在三维空间中延伸的二维“平”表面，任意两点之间的连线仍在该平面内。
• 唯一性定理：通过三点中若干任意不共线点（即三点不在同一直线上）可以确定唯一的平面。
• 向量表示（参数式）：设平面上已有一点 $\vec{r_0}$，且存在两条线性无关的方向向量 $\vec{u},\vec{v}$，则平面上的任意点位置矢量 $\vec{r}$ 可表示为
  $$\vec{r}=\vec{r_0}+s\vec{u}+t\vec{v}\quad(s,t\in\mathbb{R}).$$
• 法向量表示（点法式）：若 $\vec{n}$为平面的法向量，则平面上任一点$\vec{r}$ 满足
  $$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0,$$ 表明从已知点到任一点的向量与法向量正交。
• 解析坐标式（一般式）：设 $\vec{n}=(a,b,c)$，将上述展开到坐标形式得
  $$ax+by+cz+d=0,$$ 其中 $(x,y,z)$ 为平面上一点的坐标，$d$ 为常数（可由已知点代入求出）。

平面向量基本定理

• 定理（基本表述）：设 $\vec{u},\vec{v}$为平面内的两个不共线向量（即线性无关），则平面内任意向量$\vec{w}$ 都可以且仅可以表示为这两个向量的线性组合：
  $$ \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}\quad(s,t\in\mathbb{R}). $$ 换言之，两个不共线向量构成该平面的一组基，且每个向量在这组基下的坐标 $(s,t)$ 唯一确定。

• 证明要点（概念性）：任选平面上一点作原点，将 $\vec{u},\vec{v}$的终点与原点连线可张成整个平面（因为不共线），因此任意点到原点的向量都能由$\vec{u},\vec{v}$的线性组合表示。若有两组表示相等$s\vec{u}+t\vec{v}=s'\vec{u}+t'\vec{v}$，则 $(s-s')\vec{u}+(t-t')\vec{v}=\vec{0}$，由线性无关性得 $s=s',\ t=t'$，从而表示唯一。

• 推论（线性相关/无关判据）：

  • 若 $\vec{u},\vec{v}$共线，则存在标量$k$使得$\vec{u}=k\vec{v}$（或 $\vec{v}=k\vec{u}$），此时无法用两者唯一地表示平面内任意向量，最多表示一条直线上的向量。
  • 在坐标形式下，若 $\vec{u}=(u_1,u_2),\ \vec{v}=(v_1,v_2)$，则线性相关当且仅当行列式为 0：
    $$ \det\begin{pmatrix}u_1 & v_1\newline[2pt] u_2 & v_2\end{pmatrix}=u_1v_2-u_2v_1=0. $$

• 坐标表示（基变换）：给定基 $\lbrace \vec{u},\vec{v}\rbrace $，若 $\vec{w}=(w_1,w_2)$ 在标准基下，解线性系统 $$ s\vec{u}+t\vec{v}=\vec{w} $$ 即得到 $\vec{w}$在基$\lbrace \vec{u},\vec{v}\rbrace $下的坐标$(s,t)$。当行列式非零时，解存在且唯一，可用克拉默法则表示： $$ s=\frac{\det(\vec{w},\vec{v})}{\det(\vec{u},\vec{v})},\qquad t=\frac{\det(\vec{u},\vec{w})}{\det(\vec{u},\vec{v})}. $$

• 常用结论与应用：

  • 共线判别：三点 $A,B,C$共线 当且仅当$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$ 共线（即上述行列式为 0）。
  • 向量分解：可用两条不同方向的向量把任意向量分解（投影与基变换相关）。
  • 面积计算：以 $\vec{u},\vec{v}$为邻边的平行四边形面积为$|\det(\vec{u},\vec{v})|$。

平面向量共线定理

• 定理（向量形式）：两个向量 $\vec{u},\vec{v}$共线 当且仅当 存在标量$k$ 使得 $$ \vec{u}=k\vec{v}. $$ （按常用约定，零向量 $\vec{0}$与任意向量都视为共线；若其中一向量为零，则$k$ 不唯一。）

• 二维判据（行列式/比例）：设 $\vec{u}=(u_1,u_2),\ \vec{v}=(v_1,v_2)$，则等价条件为 $$ u_1v_2-u_2v_1=0, $$ 或在分母非零时有分量成比例 $$ \frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}. $$

• 三点共线：平面上三点 $A,B,C$共线 当且仅当 向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$ 共线，即 $$ \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0 $$ （或对应的二维分量成比例、平行四边形面积为 0）。

• 三维判据（叉乘）：在三维空间中，两个向量 $\vec{u},\vec{v}$ 共线 当且仅当 $$ \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}, $$ 即叉积为零向量。

• 证明要点：

  • 必要性：若 $\vec{u}=k\vec{v}$，则显然各分量成比例，行列式为 0，且叉积为零。
  • 充分性（二维）：若 $u_1v_2-u_2v_1=0$，且不全为零，则可解出标量 $k$使得$\vec{u}=k\vec{v}$（处理分量为零的特殊情形即可）。
  • 三维情形可由叉积性质直接得出：$\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$ 意味着两向量方向相同或相反，从而存在标量倍数关系。

• 注意事项：

  • 零向量与任意向量共线，但通常在判据中需单独处理以避免除以零。
  • 若 $k>0$，方向相同；若 $k<0$，方向相反。
  • 共线不等同于等长，只是方向在一条直线上。

• 例子：

  • $\vec{u}=(2,4),\ \vec{v}=(1,2)$，有 $2\cdot2-4\cdot1=0$，故共线，且 $\vec{u}=2\vec{v}$。
  • 点 $A(0,0),B(1,2),C(2,4)$，有 $\overrightarrow{AB}=(1,2),\ \overrightarrow{AC}=(2,4)$，因此三点共线。

比分点定理（向量形式）

• 设线段 $AB$上一点$P$将$AB$分为内分点，使得$AP:PB=m:n$（$m,n\ge0$，不同时为0）。设顶点位置矢量为 $\vec{a},\vec{b},\vec{p}$，则有参数表示 $$ \vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}),\qquad t=\frac{AP}{AB}=\frac{m}{m+n}. $$ 故内分点位置向量为 $$ \vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}. $$

• 外分点（延长线上分点）：若 $P$在$AB$的延长线上使$AP:PB=m:-n$（或理解为外分 $m:n$），同样由参数 $t=\frac{m}{m-n}$ 得 $$ \vec{p}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}\quad(\text{或等价写法，根据符号约定}). $$

• 证明要点：用线性插值 $\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$，由 $t=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{m}{m+n}$ 得出权重形式。

• 注意：当含零或负比时要区分内分与外分，并避免分母为0的情形（即 $m+n=0$ 表示退化）。

重心公式及其推导（平面三角形）

• 定理（重心）：设三角形 $ABC$的顶点位置矢量分别为$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$，则三角形的重心 $G$ 的位置矢量为 $$ \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}. $$

• 推导（用中位线与比例）：

  • 设 $M$为边$BC$的中点，则$\vec{m}=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$。
  • 中位线从 $A$到$M$，重心 $G$在该中位线上且满足$AG:GM=2:1$（中位线被重心按 $2:1$ 分）。用参数表述： $$ \vec{g}=\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{m}-\vec{a}) =\vec{a}+\frac{2}{3}\Big(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{a}\Big) =\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}. $$
  • 也可通过对称或向量方程（令 $\vec{g}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}$，并利用三条中位线相交）得到相同结论。

• 性质：

  • 重心是三条中线的交点；
  • 重心可视为三个质量相等点在质心位置；
  • 若将顶点质量记为 $m_A,m_B,m_C$，质心为质量加权平均： $\vec{g}=(m_A\vec{a}+m_B\vec{b}+m_C\vec{c})/(m_A+m_B+m_C)$。

平面三角形面积的向量表示

• 向量与叉积（空间形式）：若在平面内或三维中，三角形 $ABC$ 的有向面积（绝对值为实际面积）可用两条边的叉积表示： $$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\big\Vert(\vec{b}-\vec{a})\times(\vec{c}-\vec{a})\big\Vert. $$ 其中在二维情形可将叉积视为标量（与行列式等价）。

• 二维行列式表示：若 $A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2),\ C(x_3,y_3)$，则面积为 $$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\Big| \det\begin{pmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1\newline[4pt] y_2-y_1 & y_3-y_1 \end{pmatrix}\Big| =\frac{1}{2}\big|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\big|. $$

• 代数几何意义：

  • 行列式的绝对值给出以 $(\vec{b}-\vec{a})$与$(\vec{c}-\vec{a})$ 为邻边的平行四边形面积，三角形面积是其一半；
  • 若行列式为0，则三点共线，面积为0。

• 应用例子（简短）：

  • 设 $A(0,0),B(1,0),C(0,2)$，则 $$ S=\frac{1}{2}\big|\det\begin{pmatrix}1&0\newline0&2\end{pmatrix}\big|=\frac{1}{2}\cdot2=1. $$

夹角公式

• 定义：两非零向量 $\vec{u},\vec{v}$之间的夹角$\theta$ 满足 $$ \cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}, $$ 其中 $|\vec{u}|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}$。
• 若已知坐标（笛卡尔直角系），则用点积计算夹角： $$ \cos\theta=\frac{u_xv_x+u_yv_y(+u_zv_z)}{\sqrt{u_x^2+u_y^2(+u_z^2)}\sqrt{v_x^2+v_y^2(+v_z^2)}}. $$
• 有向角：可根据符号或叉积的方向判别角的正负（二维中叉积的标量符号）。

数量投影（标量投影）与向量投影

• 数量投影（标量投影，带符号）： $$ \operatorname{comp}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{|\vec{u}|}. $$ 说明：是 $\vec{v}$在$\vec{u}$ 方向上的有符号长度。

• 向量投影（在 $\vec{u}$ 上的正交投影向量）： $$ \operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{|\vec{u}|^2}\thinspace\vec{u}. $$

• 若需要垂直分量，$\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}$即为$\vec{v}$在$\vec{u}$ 正交方向上的分量。

• 坐标系中点积（直角坐标下的常用公式）

  • 在标准正交坐标系中，若 $\vec{u}=(u_x,u_y)$, $\vec{v}=(v_x,v_y)$，则 $$ \vec{u}\cdot\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y. $$ 三维对应为 $u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$。
  • 点积的几何含义：$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$，也用于投影、功的计算、正交判别等。

建系技巧（如何选取坐标系以简化向量问题）

• 优先选正交坐标系（最好选单位正交基）：计算最简，点积、长度直接用分量相乘相加。
• 若问题有对称性，令坐标轴与对称轴、边、或常见向量对齐（例如三角形一边、法向量、某条中线）以使分量简单或为零。
• 若存在自然原点（共顶点、质心、交点），把原点选为该点，常能简化位置矢量表达。
• 若需要处理角度或投影，令某轴与一个已知方向平行以便直接得到投影长度。
• 对于涉及距离或面积的计算，考虑是否把基向量长度归一化（单位向量）以免出现额外因子。
• 若方便，把问题先转到标准直角系里求解（计算完后再转回原问题所需形式）。

斜坐标系（非正交基/斜基）的问题与解决办法

• 描述：在斜坐标系中，选取的基 $\lbrace \vec{e}_1,\vec{e}_2\rbrace $ 不必相互正交或单位化。任一向量可写为 $$ \vec{v}=a_1\vec{e}_1+a_2\vec{e}_2. $$
• 点积的“度量矩阵”（Gram 矩阵）：
  • 定义 $G$ 为基的内积矩阵，$G_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$。则两向量 $\vec{v}=a_i\vec{e}_i,\ \vec{w}=b_j\vec{e}_j$ 的点积为 $$ \vec{v}\cdot\vec{w}=\begin{bmatrix}a_1 & a_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}G_{11} & G_{12}\newline[2pt] G_{21} & G_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1\newline[2pt] b_2\end{bmatrix} =\sum_{i,j} a_iG_{ij}b_j. $$
  • 含义：在斜坐标系中不能简单地把分量直接相乘求内积，须用度量矩阵修正。
• 求分量的两种常用办法
  • 直接解线性方程：若知道基向量在标准坐标下的表达，令矩阵 $E=[\vec{e}_1\ \vec{e}_2]$（列为基向量），则给定标准坐标下的 $\vec{v}$，其斜坐标系下的系数向量 $a$满足$E a=\vec{v}$，解得 $a=E^{-1}\vec{v}$（二维中若 $E$ 可逆）。
  • 用倒易（互补）基：定义倒易基（互补基）$\lbrace \vec{e}^1,\vec{e}^2\rbrace $满足$\vec{e}^i\cdot\vec{e}_j=\delta^i_j$。则分量可写为 $a_i=\vec{e}^i\cdot\vec{v}$。计算倒易基的矩阵表达：若 $E=[\vec{e}_1\ \vec{e}_2]$，则倒易基列向量构成的矩阵为 $R=(E^{-1})^{\negthinspace{}T}$（即 $R$的列是各$\vec{e}^i$）。
• 用倒易基简化内积：若写 $\vec{v}=a_i\vec{e}_i,\ \vec{w}=b_i\vec{e}_i$，并定义倒易分量 $\tilde a^i=\vec{e}^i\cdot\vec{v}$，$\tilde b^i=\vec{e}^i\cdot\vec{w}$，则 $$ \vec{v}\cdot\vec{w}=\sum_i \tilde a^i b_i=\sum_i a_i\tilde b^i, $$ 或在倒易基下也可得类似正交形式。
• 面积与行列式：以 $\vec{e}_1,\vec{e}_2$为基的平行四边形面积为$|\det E|$；对三角形或面积相关问题可利用基向量的实际坐标算行列式。
• 求角度与投影：先按上述方法通过度量矩阵计算点积，再用夹角公式 $\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$；投影向量仍用正交投影公式，但需先把被投影向量与目标方向表示为标准或基向量，然后按常规步骤计算（或用度量矩阵与倒易基推导分量形式）。
• 实用步骤（处理斜坐标题目推荐流程）：
  • 步骤 1：写出基向量 $\vec{e}_1,\vec{e}_2$在标准直角坐标下的坐标，构造矩阵$E$。
  • 步骤 2：若已知向量的标准坐标，求其斜坐标 $a=E^{-1}\vec{v}$；若只在斜坐标
  • 中给出，且需要点积，直接用度量矩阵 $G=E^TE$计算$a^T G b$。
  • 步骤 3：计算长度 $\thickspace|\vec{v}|=\sqrt{a^T G a}\thickspace$，点积 $\thickspace \vec{v}\cdot\vec{w}=a^T G b\thickspace$，夹角用 $\cos\theta=\dfrac{a^T G b}{\sqrt{a^T G a}\sqrt{b^T G b}}$。
  • 步骤 4：如需更直观的投影或几何图示，可把向量换回到标准直角坐标系中处理。
• 例子（简短）
  • 设基向量 $\vec{e}_1=(1,0),\ \vec{e}_2=(1,1)$，则 $$ E=\begin{bmatrix}1&1\newline0&1\end{bmatrix},\quad G=E^TE=\begin{bmatrix}1&1\newline1&2\end{bmatrix}. $$ 若 $\vec{v}=2\vec{e}_1+3\vec{e}_2$，$\vec{w}=\vec{e}_1-\vec{e}_2$（即斜坐标系下系数向量分别为 $a=(2,3)^T,b=(1,-1)^T$），则 $$ \vec{v}\cdot\vec{w}=a^T G b=(2,3)\begin{bmatrix}1&1\newline1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\newline-1\end{bmatrix}=(2,3)\begin{bmatrix}0\newline-1\end{bmatrix}=-3. $$ 长度为 $|\vec{v}|=\sqrt{a^TGa}=\sqrt{(2,3)G(2,3)^T}$，可据此求夹角。
• 注意事项
  • 斜坐标系可带来额外的代数复杂度，但在某些几何构造或晶格问题中更自然；如无必要，优先用正交单位基简化计算。
  • 使用矩阵形式能系统化地处理高维或复杂基的点积、长度、角度与投影问题。

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共线的重要结论

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重要结论

$$已知点 D 在直线 AB 上,且 \vec{OD} = x\vec{OA} + y\vec{OB},则必有x+y=1.$$

结论（命题）

• 已知点 $D$在直线$AB$上，且用以某一固定原点$O$ 为基的表示 $$ \vec{OD}=x\vec{OA}+y\vec{OB}, $$ 则必有 $x+y=1$；反之，若某些标量 $x,y$满足$x+y=1$且$\vec{OD}=x\vec{OA}+y\vec{OB}$，则 $D$在直线$AB$ 上。

证明

• 必要性（$D\in AB\Rightarrow x+y=1$）：

  • 设 $\vec{a}=\vec{OA},\ \vec{b}=\vec{OB},\ \vec{d}=\vec{OD}$。由于 $D$在直线$AB$上，存在实数$t$ 使得 $$ \vec{OD}=\vec{OA}+t(\vec{OB}-\vec{OA})=\thinspace(1-t)\vec{a}+t\vec{b}. $$ 与给定表示比较，可取 $x=1-t,\ y=t$，因此 $x+y=(1-t)+t=1$。

• 充分性（$x+y=1$且$\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}\Rightarrow D\in AB$）：

  • 若 $x+y=1$，则 $$ \vec{d}-\vec{a}=x\vec{a}+y\vec{b}-\vec{a}=(x-1)\vec{a}+y\vec{b}=y(\vec{b}-\vec{a}). $$ 故 $\overrightarrow{AD}=\vec{d}-\vec{a}=y\overrightarrow{AB}$，即 $D$在以$A$为起点沿$\overrightarrow{AB}$的直线上，因而$D\in AB$。

仿射组合的扩展与整理

• 定义（仿射组合）：

  • 给定点集 $P_1,\dots,P_n$及对应的标量$\lambda_1,\dots,\lambda_n$，若 $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$，则点 $$ P=\sum_{i=1}^n\lambda_i P_i $$ 称为这些点的一个仿射组合。这里把点用其位置矢量表示（相对于某固定原点 $O$），即 $\vec{OP}=\sum\lambda_i\vec{OP_i}$。

• 平移不变性（重要性质）：

  • 仿射组合与所选原点无关。若改选原点为 $O'$，位置矢量变为 $\vec{O'P_i}=\vec{OP_i}-\vec{OO'}$，则 $$ \sum_i\lambda_i\vec{O'P_i}=\sum_i\lambda_i(\vec{OP_i}-\vec{OO'})=\Big(\sum_i\lambda_i\vec{OP_i}\Big)-\Big(\sum_i\lambda_i\Big)\vec{OO'}. $$ 当 $\sum_i\lambda_i=1$时，上式为$\vec{OP}-\vec{OO'}=\vec{O'P}$，保持一致性。因此“仿射”概念与基点无关。

• 凸组合与仿射组合：

  • 若还要求 $\lambda_i\ge0$，则称为凸组合（点在这些点的凸包内部或边界上）。仿射组合不要求非负性，只要求系数和为1。

• 仿射空间、仿射无关性与仿射坐标（重心/重心坐标）：

  • 若点组 $P_1,\dots,P_m$的仿射凸壳生成了一个$k$维仿射子空间，且这些点在仿射意义下无关（即不能用其它点的仿射组合表示），则称为仿射无关。若$m=k+1$ 且仿射无关，则每一点在该仿射子空间中的表示（仿射系数）唯一。
  • 例如，三角形 $ABC$中任意点$P$ 在三角形所在平面内都有表示 $$ \vec{OP}=\alpha\vec{OA}+\beta\vec{OB}+\gamma\vec{OC},\qquad \alpha+\beta+\gamma=1. $$ $(\alpha,\beta,\gamma)$即为点$P$关于$\triangle ABC$的重心坐标（barycentric coordinates）；若还要求非负即为点在三角形内的凸重心坐标。若$A,B,C$ 非共线，则此表示唯一。

• 计算仿射系数的常用方法：

  • 参数法：把点表示为某一基点加上独立方向的线性组合（如用向量差 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 解线性方程）。
  • 面积法（重心坐标）：在三角形中，重心坐标与对边三小三角形面积成正比：例如 $$ \alpha=\frac{[PBC]}{[ABC]},\ \beta=\frac{[APC]}{[ABC]},\ \gamma=\frac{[ABP]}{[ABC]}. $$
  • 线性代数法：设位置矩阵 $E=[\vec{OP_1}\ \cdots\ \vec{OP_n}\ 1]$（在齐次坐标下），解方程可得系数向量。

• 唯一性条件：

  • 若点 $P_1,\dots,P_m$在仿射意义上生成的维度为$m-1$（即仿射无关），则任一点在它们生成的仿射子空间内的仿射表示系数唯一。否则表示不唯一（例如在直线上用两个端点外加其它在同一直线上的点会引入非唯一表示）。

示例与应用

• 原命题对应的示例：当 $D$在直线$AB$上时，表达为$D=(1-t)A+tB$（$t\in\mathbb{R}$），对应系数和为1；若再要求 $0\le t\le1$ 则为线段上的点（凸组合）。
• 重心：三角形重心 $G$即为仿射组合$G=\tfrac{1}{3}A+\tfrac{1}{3}B+\tfrac{1}{3}C$，系数和为1，且各系数相等。
• 反向使用：若写出某点的线性组合系数之和为1，则可断定该点在这些点张成的仿射子空间内（例如若两点系数和为1则在其直线上）。

扩展

基本概念与记法

• 向量空间：实数域上的 $n$维向量空间记为$\mathbb{R}^n$。向量可视为列向量 $v=(v_1,\dots,v_n)^T$或位置矢量$\vec{OP}$。
• 向量的线性运算：加法与数乘按分量进行，满足交换律、结合律、分配律等。
• 基与坐标：一组线性无关向量 $\lbrace e_1,\dots,e_n\rbrace $为基，则任意向量可唯一表示为线性组合$v=\sum_i a_i e_i$；系数 $a_i$ 为坐标。

内积、范数与角度

• 标准内积（欧氏内积）：在标准正交基下， $$ v\cdot w=\sum_{i=1}^n v_iw_i. $$
• 范数（长度）：$|v|=\sqrt{v\cdot v}$。
• Cauchy–Schwarz 不等式：$|v\cdot w|\le|v||w|$。
• 夹角：$\cos\theta=\dfrac{v\cdot w}{|v||w|}$。
• 非标准基/度量：若基不正交，则用度量矩阵（Gram 矩阵）$G$，有 $v\cdot w=a^T G b$（$a,b$ 为斜坐标系下系数）。

空间向量（3 维）特有运算

• 叉积（向量积）：仅在 $\mathbb{R}^3$ 中定义，$\thickspace{}u\times v\thickspace$ 为垂直于两者的向量，满足 $$ u\times v=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\newline u_1&u_2&u_3\newline v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}, $$ 且 $|u\times v|$ 为平行四边形面积。
• 标量三重积（混合积）：$u\cdot(v\times w)=\det[u\ v\ w]$，其绝对值为由三向量生成的平行六面体体积。
• 注意：高维无叉积的直接类比，可用外积/楔积（外代数）描述方向性，但常用行列式与 Gram 矩阵处理体积。

体积、面积与 Gram 行列式

• $k$维平行体的平方体积等于对应基向量 Gram 矩阵的行列式：若基向量为列向量组成矩阵$E$，则体积平方为 $\det(E^T E)=\det G$。
• 三角形/多面体面积体积常用行列式或混合积计算。

矩阵与线性变换

• 矩阵视为线性映射：$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$表示从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^m$ 的线性变换，$y=Ax$。
• 基本运算：加法、数乘、乘法、转置 $A^T$、逆矩阵 $A^{-1}$（若存在）。
• 行列式与体积：方阵 $A$的行列式$\det A$表示线性变换对体积的缩放因子（带符号）；若$\det A\neq0$，$A$ 可逆。
• 秩与秩定理：rank$(A)$ = 最大线性无关列数 = 最大线性无关行数；秩-零化度定理：$\dim\ker A + \dim\operatorname{im}A = n$。
• 特殊矩阵类型：
  • 对称矩阵 $A=A^T$（实对称矩阵可正交对角化）；
  • 正交矩阵 $Q$满足$Q^TQ=I$（保持长度与角度）；
  • 正定矩阵（$x^T A x>0$，用于度量与能量）。
• 线性方程组：$Ax=b$。若 $A$为方阵且可逆，解$x=A^{-1}b$；欠定/超定情况用秩与参数表示解的结构。

特征值与奇异值分解

• 特征值/特征向量：$Av=\lambda v$。实对称矩阵存在实特征值与正交特征向量集合，构成正交对角化 $A=Q\Lambda Q^T$。
• 奇异值分解（SVD）：任意矩阵可分解为 $A=U\Sigma V^T$，其中 $U,V$ 正交，$\Sigma$ 对角（奇异值）。SVD 在最小二乘、秩逼近、PCA 中非常重要。

投影、最小二乘与正交分解

• 子空间投影：给定矩阵 $A\in\mathbb{R}^{m\times k}$（列向量为基），投影矩阵 $$ P=A(A^TA)^{-1}A^T $$ 将任意向量投影到列空间（当列向量线性无关时）。
• 最小二乘问题：最小化 $\Vert{}Ax-b\Vert^2$的正规方程为$A^TAx=A^Tb$。用 SVD 或 QR 分解数值稳定求解。
• Gram–Schmidt 正交化：将一组线性无关向量变为正交（或正交归一）基，常用于构造正交基与数值计算（QR 分解即其矩阵化形式）。

齐次坐标与仿射/仿射空间推广

• 齐次坐标：在处理仿射变换（平移、透视变换）时把点表示为 $(x,1)$ 的形式，用扩展矩阵把仿射变换统一为线性变换。
• 仿射组合与重心坐标在任意维度推广：若 $\sum_i\lambda_i=1$，则 $P=\sum_i\lambda_i P_i$ 表示点在这些点张成的仿射子空间内；面积/体积法与之前类比推广为体积分配。

数值/计算技巧与建系建议（高维推广）

• 优先选取正交单位基（便于内积与长度计算），若不可，使用度量矩阵 $G$ 或将分量换回标准坐标计算。
• 在数值计算中，使用 QR 分解或 SVD 比直接求逆更稳定（避免求 $A^{-1}$）。
• 处理高维几何时常用矩阵形式：把多个点列成矩阵，利用行列式/秩/投影矩阵统一处理共线/共面/体积等判据。
• 若基向量相近或接近线性相关（条件数大），问题将数值病态，需重正交化或正则化（如岭回归）。
• 求点在仿射子空间的最近点（正交投影）用 $P$计算；若子空间由列矩阵$A$张成，投影系数为$(A^TA)^{-1}A^T b$（最小二乘解）。

几条有用公式/结论速查

• 投影矩阵： $P=A(A^TA)^{-1}A^T$。
• Gram 行列式给体积平方： 若 $E$列为基向量，体积平方$=\det(E^TE)$。
• 三维体积： $V=|\det[a\ b\ c]|=|a\cdot(b\times c)|$。
• 最小二乘正规方程： $A^TAx=A^Tb$。
• SVD： $A=U\Sigma V^T$，最好用于秩分解、降维与稳定求解。

应用举例（简短）

• 用矩阵判断点是否共面：把向量差列成矩阵，若列秩 $\le2$ 则共面（3D 情形）。
• PCA（主成分分析）：对高维点集中心化后，计算协方差矩阵并做特征分解，保留前 k 个主方向做降维。
• 利用 SVD 做低秩近似：最佳拟合低秩矩阵由截断奇异值构成。

[^1]

[^1]: 补充具体证明（如 Gram 行列式-体积的证明、SVD 的几何含义）

共线 / 共面 判别

• 二维共线（点或向量）：
  • 两向量 $\vec{u}=(u_1,u_2),\ \vec{v}=(v_1,v_2)$共线当且仅当行列式为 0：$u_1v_2-u_2v_1=0$。
  • 三点 $A,B,C$共线等价于$\det\begin{pmatrix}x_B-x_A & x_C-x_A\newline y_B-y_A & y_C-y_A\end{pmatrix}=0$。
• 三维共线 / 共面：
  • 三维两向量共线同样可用比例或行列式（二维子式）判别；向量叉积为零： $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$。
  • 四点 $A,B,C,D$共面等价于三向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$的混合积（标量三重积）为 0：$\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=0$。
• 一般 $n$ 维的仿射判别（统一方法）：
  • 设点 $P_1,\dots,P_m$给出，任选基点$P_1$，构造差向量矩阵 $E=[\overrightarrow{P_1P_2}\ \overrightarrow{P_1P_3}\ \dots\ \overrightarrow{P_1P_m}]$。这些点位于同一 $k$维仿射子空间当且仅当$\operatorname{rank}(E)\le k$。
  • 特例：点共线等价于 $\operatorname{rank}(E)\le1$；点共面（在 3D）等价于 $\operatorname{rank}(E)\le2$。
• 数值实现与容差：
  • 数值判定用奇异值分解（SVD）或行列式/秩但要设置阈值（例如小于 $\varepsilon\cdot\sigma_{\max}$ 视为零），以应对舍入误差与近似共线/共面情形。

投影与最小二乘

• 正交投影到由列向量張成的子空间（列空间）：
  • 令 $A\in\mathbb{R}^{m\times k}$的列线性无关，向量$b\in\mathbb{R}^m$投影到列空间的投影向量为$p=A\hat x$，其中 $\hat x$为最小二乘解，满足正规方程$A^TA\hat x=A^Tb$。
  • 投影矩阵为 $P=A(A^TA)^{-1}A^T$，满足 $P^2=P,\ P^T=P$。
• 最小二乘求解方法（数值稳定建议）：
  • 直接正规方程：解 $A^TAx=A^Tb$（简单，但当 $A$ 条件数大时不稳定，因平方条件数）。
  • QR 分解：$A=QR$（$Q$ 正交，$R$上三角），解法为$R x=Q^Tb$（稳健且常用）。
  • SVD 与伪逆：$A=U\Sigma V^T$，最小二乘解 $\hat x=V\Sigma^{+}U^Tb$，可处理欠定/病态问题并便于截断奇异值正则化（TSVD）。
  • 正则化（岭回归）：当病态或噪声大时，解改为 $\hat x=(A^TA+\lambda I)^{-1}A^Tb$，减少过拟合并改善数值稳定性。
• 投影性质与误差：
  • 残差 $r=b-A\hat x$与列空间正交：$A^T r=0$。
  • 最优性：$\hat x$使得$\Vert{}b-Ax\Vert_2$ 最小。
• 示例（简单）：
  • 线性回归：数据矩阵 $A$的列为基函数（如$[1,\ x,\ x^2]$），解回归系数即为最小二乘解。
• 数值提示：
  • 当 $A$ 大且稀疏，优先使用稀疏 QR/迭代法（LSQR、LSMR）。
  • 若只需投影结果 $p$而非系数，可直接求$p=P b$或用正交分解构造$Q$得到$p=QQ^T b$。

特征值 / 特征向量 计算（及常用算法）

• 定义与性质：
  • 特征对 $(\lambda,v)$满足$Av=\lambda v$，若 $A$可对角化则$A=S\Lambda S^{-1}$。
  • 对称矩阵 $A=A^T$有实特征值与正交特征向量，可写$A=Q\Lambda Q^T$。
• 常用数值算法（何时用哪种）：
  • 幂法（Power method）：用于求矩阵最大的模特征值与相应特征向量（大而稀疏时常用，简单）。
    • 迭代 $v_{k+1}=Av_k/\Vert{}Av_k\Vert$，收敛到主特征向量（若谱半径有唯一最大模）。
  • 反幂法（Inverse power）与位移反幂：用于求靠近给定位移 $\mu$ 的特征值（求最小特征值或某个内部特征值）。
    • 需反复解线性系统 $(A-\mu I)w=b$，通常用 LU/预条件迭代。
  • QR 算法：通用求全部特征值/特征向量的稳健方法（对中小尺度密集矩阵常用，带位移的 QR 很快）。
  • Lanczos / Arnoldi（Krylov 子空间法）：用于大稀疏矩阵求前若干个特征值（Lanczos 适对称矩阵，Arnoldi 适一般矩阵）。
  • Rayleigh quotient iteration：局部二次收敛，需解线性系统，每步收敛快但开销大。
  • SVD：任意矩阵的奇异值分解可给出对称矩阵 $A^TA$ 的特征信息（$\Sigma^2$为$A^TA$ 的特征值）。
• 数值注意事项：
  • 对称阵可用专用算法（对称 QR、分段三对角化 + QR）获得高效与稳定结果。
  • 归一化与正交化：迭代中应定期正交化（如 Lanczos 中的重正交）以防止向量数值线性相关。
  • 条件数与灵敏度：特征值问题对噪声敏感度与矩阵的条件数相关，簇集（接近的特征值）会降低分辨率。
• 简要算法示例（幂法）：
  • 输入 $A$、初值 $v^{(0)}$，重复 $w=A v^{(k)}$, $\lambda^{(k)}=\Vert{}w\Vert_\infty$（或其他范数），$v^{(k+1)}=w/\lambda^{(k)}$，直至收敛 $\Vert{}v^{(k+1)}-v^{(k)}\Vert$ 小于容差。
• 获取全部特征向量（密集小矩阵）：
  • 先把 $A$ 化为上（或对称情形下三对角）形式，再用 QR 算法迭代提取特征值与反解特征向量，数值库（如 LAPACK）可直接调用高效实现。

常见判别/计算联系（综合提示）

• 判别共线/共面常归结为判断矩阵列的秩；秩可用 SVD 通过显著奇异值数目判断（稳健）。
• 投影与最小二乘紧密相关：投影矩阵 $P$ 可由 QR 或 SVD 高效获得，SVD 也给出正规方程的稳定伪逆解。
• 特征值问题在许多几何/统计任务中出现（如 PCA），PCA 本质上是对协方差矩阵做特征分解或对数据矩阵做 SVD。
• 数值实现首选成熟数值库（LAPACK / ARPACK / scipy.linalg / numpy.linalg），并结合问题规模选择算法（直接法 vs Krylov 法）。