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二项式定理 (Binomial Theorem)
定理陈述
对于任意实数或复数 $x, y$以及正整数$n$，有 $$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \cdots + \binom{n}{n}y^n$$ 其中 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$称为 二项式系数，也记作$C_n^k$。
1. 推导过程 (组合证明)
组合解释
将 $(x+y)^n$看作$n$个$(x+y)$ 相乘： $$(x+y)(x+y)\cdots(x+y)$$ 展开后每一项由每个因子中各选一个 $x$或$y$相乘得到。若选了$k$个$y$，则必然选了 $n-k$个$x$，得到项 $x^{n-k}y^k$。
从 $n$个因子中选出$k$个$y$的方法数为$\binom{n}{k}$，故该项系数为 $\binom{n}{k}$。
低次展开验证
- $n=1$：$(x+y)^1 = \binom{1}{0}x + \binom{1}{1}y = x+y$
- $n=2$：$(x+y)^2 = \binom{2}{0}x^2 + \binom{2}{1}xy + \binom{2}{2}y^2 = x^2 + 2xy + y^2$
- $n=3$：$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
2. 通项公式
展开式的第 $k+1$项（记$T_{k+1}$）为： $$T_{k+1} = \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \quad (k=0,1,\dots,n)$$ 有时也写为含 $a$和$b$ 的形式： $$T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$$
注意
项数编号从 $0$开始，所求“第$m$项”通常指$k=m-1$。
3. 二项式系数的性质
基本性质
- 对称性：$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
- 递推性：$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ (杨辉三角)
- 最大值：当 $n$为偶数时，中间项$\binom{n}{n/2}$ 最大；$n$为奇数时，中间两项$\binom{n}{(n-1)/2}$和$\binom{n}{(n+1)/2}$ 相等且最大。
- 系数和：令 $x=y=1$，得 $$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n} = 2^n$$
- 奇数项和等于偶数项和：令 $x=1, y=-1$， $$\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\cdots+(-1)^n\binom{n}{n} = 0$$ 即奇偶项系数和相等，均为 $2^{n-1}$。
4. 重要方法与技巧
4.1 赋值法求系数和
对 $(a+bx)^n$或$(1+x)^n$等赋予$x$特殊值（如$1, -1, \omega$ 等）可求各项系数之和或部分和。
4.2 求导法与积分法
- 对 $(1+x)^n = \sum \binom{n}{k}x^k$两边求导再赋值，可求形如$\sum k\binom{n}{k}$ 的和。
- 积分可得 $\sum \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}$ 等组合和。
4.3 整除与余数问题
利用二项式定理将底数写成 $a = bm + r$ 形式，展开后分析余数。
4.4 证明组合恒等式
通过比较不同展开式中系数，或构造多项式相等来证明。
5. 典型例题
例1：求 $(2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^8$ 展开式中的常数项。
- 解析
通项 $T_{k+1} = \binom{8}{k} (2x)^{8-k} \left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^k = \binom{8}{k} 2^{8-k} (-1)^k x^{8-k - k/2}$。
令 $8 - \frac{3k}{2} = 0 \Rightarrow k = \frac{16}{3}$ 非整数，故无常数项。（注意检查）
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例2：求 $(1+x)+(1+x)^2+\cdots+(1+x)^{10}$展开式中$x^3$ 的系数。
- 解析
每个 $(1+x)^m$中$x^3$系数为$\binom{m}{3}$。所求系数为 $\sum_{m=3}^{10} \binom{m}{3} = \binom{11}{4} = 330$。
（利用恒等式 $\sum_{k=r}^{n}\binom{k}{r} = \binom{n+1}{r+1}$）
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例3：证明 $\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} = n\cdot 2^{n-1}$。
- 证明
法一：求导法。对 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k$求导得$n(1+x)^{n-1} = \sum k\binom{n}{k} x^{k-1}$，令 $x=1$ 即得。
法二：组合意义。从 $n$ 人中选一个队长和若干队员（队长必选）的方案数。
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6. 习题精选 (由易到难)
- 1. 写出 $(a+b)^5$ 的展开式。
- 解答
$$a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$
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- 2. 求 $(2x+3y)^6$展开式中$x^3y^3$ 的系数。
- 解答
$k=3$，项为 $\binom{6}{3}(2x)^3(3y)^3 = 20 \cdot 8x^3 \cdot 27y^3 = 4320 x^3y^3$，系数为 4320。
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- 3. 已知 $\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^n$的展开式中第4项是常数项，求$n$。
- 解答
通项 $T_{k+1} = \binom{n}{k} (x^2)^{n-k} (x^{-1})^k = \binom{n}{k} x^{2n-3k}$。第4项即 $k=3$，由 $2n-9=0$得$n = \frac{9}{2}$非正整数，故无解。（检查：可能是第4项为$k=3$或计数从1开始，若$T_4$指$k=3$，得非整数；若题设合理请调整）
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- 4. 求 $(1+2x)^{10}$ 展开式中系数最大的项。
- 解答
设第 $k+1$项系数$a_k = \binom{10}{k} 2^k$。解不等式组 $a_k \ge a_{k-1}$且$a_k \ge a_{k+1}$。
$a_k / a_{k-1} = \frac{10-k+1}{k} \cdot 2 \ge 1 \Rightarrow 22-2k \ge k \Rightarrow k \le 22/3 \approx 7.33$。
$a_k / a_{k+1} = \frac{k+1}{10-k} \cdot \frac{1}{2} \ge 1 \Rightarrow k+1 \ge 20-2k \Rightarrow k \ge 19/3 \approx 6.33$。
所以 $k=7$时系数最大。系数为$\binom{10}{7}2^7 = 120 \times 128 = 15360$，项为 $T_8$。
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- 5. 求 $C_n^0 + 2C_n^1 + 2^2C_n^2 + \cdots + 2^n C_n^n$ 的值。
- 解答
在 $(1+x)^n$展开式中令$x=2$，原式 $= (1+2)^n = 3^n$。
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- 6. 证明恒等式：$\binom{n}{0}^2 + \binom{n}{1}^2 + \cdots + \binom{n}{n}^2 = \binom{2n}{n}$。
- 证明
考察 $(1+x)^{2n} = (1+x)^n (1+x)^n$，比较两边 $x^n$的系数：左边系数$\binom{2n}{n}$，右边为 $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\binom{n}{n-k} = \sum \binom{n}{k}^2$，得证。
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- 7. 求 $C_{100}^{0} - C_{100}^{2} + C_{100}^{4} - \cdots + C_{100}^{100}$ 的值。
- 解答
考虑 $(1+i)^{100}$，其中 $i$ 为虚数单位。展开实部即所求。
$(1+i) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$，故 $(1+i)^{100} = 2^{50}(\cos 25\pi + i\sin 25\pi) = 2^{50}(-1 + 0i)$。实部为 $-2^{50}$。
所以原式 $= -2^{50}$。
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- 8. 设 $(2x-1)^{20} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{20} x^{20}$，求 $a_0 + a_1 + \cdots + a_{20}$及$a_0 + a_2 + a_4 + \cdots + a_{20}$。
- 解答
令 $x=1$：$a_0+\cdots+a_{20} = (2-1)^{20} = 1$。
令 $x=-1$：$a_0 - a_1 + a_2 - \cdots + a_{20} = (-2-1)^{20} = 3^{20}$。
两式相加除以2得偶次项和：$\frac{1 + 3^{20}}{2}$。
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- 9. 求 $1.02^{10}$ 的近似值（精确到小数点后两位）。
- 解答
$1.02^{10} = (1+0.02)^{10} = 1 + 10\times 0.02 + \binom{10}{2}(0.02)^2 + \binom{10}{3}(0.02)^3 + \cdots$
$= 1 + 0.2 + 45\times 0.0004 + 120\times 0.000008 + \cdots$
$= 1.2 + 0.018 + 0.00096 + 0.0000224 + \cdots \approx 1.21898 \approx 1.22$。
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- 10. (竞赛) 证明：对所有正整数 $n$，$\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} \binom{n}{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$。
- 证明
考虑积分 $\int_0^1 \frac{1-(1-x)^n}{x} dx$。一方面，$(1-(1-x)^n)/x = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}(-1)^{k-1} x^{k-1}$，积分即 $\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} \binom{n}{k}$。另一方面，令 $t=1-x$，积分为 $\int_0^1 \frac{1-t^n}{1-t} dt = \int_0^1 (1+t+\cdots+t^{n-1})dt = 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$，得证。
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