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立方和基本公式 (Sum of Cubes Formula)
立方和因式分解公式：
$$ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $$
立方差公式：
$$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $$
三元立方和不等式 (Three-Variable Cubic Inequality)
对于 $a, b, c \geq 0$，有恒等式：
$$ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)\left[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\right] \geq 0 $$
证明：
$$ \begin{aligned} a^3 + b^3 + c^3 - 3abc &= (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc \newline &= (a+b+c)\left[(a+b)^2 - (a+b)c + c^2\right] - 3ab(a+b+c) \newline &= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab) \newline &= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \newline &= \frac{1}{2}(a+b+c)\left[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\right] \geq 0 \end{aligned} $$
当且仅当 $a = b = c$ 时等号成立。$\square$
[!关键恒等式 Identity] $$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$ 这是处理三元立方和的万能钥匙。
推论 (Corollary)
当 $a, b, c \geq 0$ 时：
$$ \color{Red}{a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc} $$
等号当且仅当 $a = b = c$ 时成立。
四元推广 (Four-Variable Generalization)
对于 $a, b, c, d \geq 0$：
$$ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \geq abc + abd + acd + bcd $$
证明思路：由三元推论，$a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc$，$a^3 + b^3 + d^3 \geq 3abd$，$a^3 + c^3 + d^3 \geq 3acd$，$b^3 + c^3 + d^3 \geq 3bcd$，四式相加即得。
例题 (Examples)
例1 已知 $a+b+c=1$，求 $a^3+b^3+c^3$ 的最小值。
解：由 柯西不等式，
$$ (a^3+b^3+c^3)(1+1+1) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^3 \quad\text{(错误方向!)} $$
更准确的做法是利用幂平均不等式 (Power Mean Inequality) 或 琴生不等式。由函数 $f(x)=x^3$在$[0,+\infty)$ 上是下凸函数（Convex Function），由琴生不等式：
$$ \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} $$
故 $a^3+b^3+c^3 \geq \dfrac{1}{9}$，当且仅当 $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ 时取等。
[!注意] 此处用三元立方和不等式 $a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$并不能直接得到最小值，因为$abc$ 本身也在变化。需要结合约束条件使用合适的工具。
例2 已知 $a, b, c > 0$，求证：$a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$。
证明：由三元立方和恒等式变形：
$$ \begin{aligned} &\quad (a^3+b^3+c^3+3abc) - \left[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\right] \newline &= \frac{1}{2}\sum_{\text{cyc}}(a+b-c)(a-b)^2 \end{aligned} $$
此为 Schur 不等式（Schur's Inequality）$r=1$的情形，对于$a,b,c \geq 0$ 恒成立。$\square$