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切线不等式（Tangent Line Method）
切线法（Tangent Line Method / Tangent Line Trick）是一种利用凸函数的几何性质来证明不等式的方法。其核心思想是：
[!核心思想] 凸函数的图像位于其任意一点切线的上方；凹函数的图像位于其任意一点切线的下方。因此，可以用切线对函数值进行线性放缩，将复杂函数转化为简单的一次函数。
基本原理
设 $f(x)$在区间$I$ 上二阶可导。
若 $f''(x) \geq 0$（凸函数，Convex Function），则对任意 $x, x_0 \in I$： $$ \color{Red}{f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)} $$ 等号成立当且仅当 $x = x_0$。
若 $f''(x) \leq 0$（凹函数，Concave Function），则对任意 $x, x_0 \in I$： $$ \color{Red}{f(x) \leq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)} $$ 等号成立当且仅当 $x = x_0$。
[!直观理解] 从几何上看，凸函数的图像"向上弯曲"，任意一点的切线都在函数图像之下；凹函数的图像"向下弯曲"，任意一点的切线都在函数图像之上。这本质上是 琴生不等式 (Jensen's Inequality) 在两点情形下的等价形式。
常见切线不等式
以下几个是切线法中最常用到的基本不等式，应试与竞赛中频繁出现：
| 不等式 | 范围 | 切点 | 凹凸性 |
|---|---|---|---|
| $\ln x \leq x - 1$ | $x > 0$ | $x = 1$ | 凹函数 |
| $e^x \geq 1 + x$ | $x \in \mathbb{R}$ | $x = 0$ | 凸函数 |
| $\sin x \leq x$ | $x \geq 0$ | $x = 0$ | 凹函数 |
| $\cos x \geq 1 - \dfrac{x^2}{2}$ | $x \in \mathbb{R}$ | $x = 0$ | 凹函数 |
$\ln x \leq x - 1$（$x > 0$）
证明：令 $f(x) = \ln x - x + 1$，则 $f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1 - x}{x}$。
| $x$ | $(0, 1)$ | $1$ | $(1, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $f(x)$ | $\nearrow$ | 极大$0$ | $\searrow$ |
故 $f(x) \leq f(1) = 0$，即 $\ln x \leq x - 1$，当且仅当 $x = 1$ 时等号成立。$\square$
[!注记] 从切线角度看，$y = x - 1$恰好是$y = \ln x$在$x = 1$处的切线。由于$\ln x$在$(0, +\infty)$ 上是凹函数（$f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$），其图像恒在切线下方。
$e^x \geq 1 + x$（$x \in \mathbb{R}$）
证明：令 $g(x) = e^x - x - 1$，则 $g'(x) = e^x - 1$。
| $x$ | $(-\infty, 0)$ | $0$ | $(0, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| $g'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $g(x)$ | $\searrow$ | 极小$0$ | $\nearrow$ |
故 $g(x) \geq g(0) = 0$，即 $e^x \geq 1 + x$，当且仅当 $x = 0$ 时等号成立。$\square$
而从切线角度看，$y = 1 + x$正是$y = e^x$在$x = 0$ 处的切线；$e^x$ 是凸函数，图像在切线上方。
$\sin x \leq x$（$x \geq 0$）
由于 $\sin x$在$[0, \pi]$ 上是凹函数（$\sin''(x) = -\sin x \leq 0$），其在 $x = 0$处的切线为$y = x$，图像位于切线下方，即 $\sin x \leq x$。此不等式在 $x \geq \pi$时同样成立，因为$\sin x \leq 1 < \pi \leq x$。$\square$
$\cos x \geq 1 - \dfrac{x^2}{2}$
$y = 1 - \dfrac{x^2}{2}$实际上是$y = \cos x$在$x = 0$处的二阶泰勒逼近而非切线（切线应为$y = 1$）。但注意到这是凹函数 $\cos x$在$x=0$处的二阶切线放缩形式（与切线法的本质一致），同样可以通过考察$h(x) = \cos x - 1 + \dfrac{x^2}{2}$ 的导数来证明。$\square$
切线法证明不等式的一般步骤
- 识别目标：确定需要放缩的函数 $f(x)$及自变量$x$ 的约束条件。
- 选择切点：根据题目的约束条件或等号条件，找到合适的切点 $x_0$。
- 写出切线：计算 $f'(x_0)$，写出切线方程 $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$。
- 证明方向：判断 $f(x)$ 在定义域上的凹凸性（$f''(x)$ 的符号），确定是切线在上还是在下。
- 得到不等式：利用凸/凹性得到 $f(x)$ 与切线的关系，进而完成放缩。
例题
例1：证明 $\ln x \leq x - 1$对所有$x > 0$ 成立
此即为最常见的切线不等式，证明已在上文给出。
另证（切线视角）：
$f(x) = \ln x$，$f'(x) = \dfrac{1}{x}$，$f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$，故 $\ln x$ 是凹函数。
取切点 $x_0 = 1$：$f(1) = 0$，$f'(1) = 1$，切线方程为 $y = 0 + 1 \cdot (x - 1) = x - 1$。
凹函数图像在切线下方，即 $\ln x \leq x - 1$。$\square$
例2：已知 $a + b + c = 1$（$a, b, c > 0$），求 $\ln a + \ln b + \ln c$ 的最大值
解（切线法）：
由 $\ln x \leq x - 1$（取切点 $x = \dfrac{1}{3}$更精准，或直接利用$x = 1$ 处的切线），更恰当的做法是：
令 $x_0 = \dfrac{1}{3}$（这也是 $a = b = c = \dfrac{1}{3}$ 时等号成立的位置），$f(x) = \ln x$在$x_0 = \dfrac{1}{3}$ 处的切线为： $$ y = \ln\frac{1}{3} + 3\left(x - \frac{1}{3}\right) = -\ln 3 + 3x - 1 $$ 由于 $\ln x$是凹函数，有$\ln x \leq -\ln 3 + 3x - 1$。分别代入 $a, b, c$ 并求和： $$ \begin{aligned} \ln a + \ln b + \ln c &\leq 3(-\ln 3 - 1) + 3(a + b + c) \newline &= 3(-\ln 3 - 1) + 3 \cdot 1 \newline &= -3\ln 3 = \ln\left(\frac{1}{27}\right) \end{aligned} $$ 当且仅当 $a = b = c = \dfrac{1}{3}$时等号成立。故$\ln a + \ln b + \ln c$的最大值为$-3\ln 3 = \ln\dfrac{1}{27}$。
另解（直接由约束与 $\ln x \leq x-1$）：
将 $\ln x \leq x - 1$（在 $x = 1$处切线）改写为$\ln x \leq -1 + x$。此法切点不在 $\frac{1}{3}$，需要进一步调整： $$ \ln a + \ln b + \ln c = \ln(abc) \leq 3\ln\left(\frac{a+b+c}{3}\right) = 3\ln\left(\frac{1}{3}\right) = -3\ln 3 $$ （这里用了 琴生不等式 或 AM-GM不等式）
总之，切线法配合等号条件选择合适的切点是关键。$\square$
相关笔记：